Este documento trata sobre los polinomios y sus propiedades. Explica que los polinomios se utilizan para expresar fórmulas científicas como el movimiento en caída libre o el volumen de un cubo. Luego define los monomios, polinomios y sus partes, y describe operaciones básicas como la suma, resta, multiplicación y división de polinomios. Finalmente, presenta identidades notables para operar con binomios.

2. Lospolinomiosson una parte importante del
Álgebra. Están presentesen todosloscontextos
científicosy tecnológicos: desde los
ordenadoresy la informática hasta la carrera
espacial.
La fórmula que
expresa el
movimiento de un
cuerpo en caída
libre viene dada
por el siguiente
polinomio:
2
2
1
)( gttP =
t: tiempo
g: gravedad
La fórmula para calcular el
volumen de un cubo en
función de la longitud (l)
de su lado viene dada por:
3
)( llV =

3. MonomiosMonomios
Un monomio esuna expresión algebraica en la que
la únicasoperacionesque afectan a lasletrasson la
multiplicación y la potencia de exponente natural.
Son monomios: NO son monomios:
2
2x
23
12 yzx−
15
4abc
2
2 −
x
3
2
2
7 xyz−

4. Partes de un monomioPartes de un monomio
Los coeficientes son los números que aparecen multiplicando.
La parte literal la forman las letras y sus exponentes.
El grado del monomio es la suma de los exponentes de las letras.
2.=Gr 6213. =++=Gr 171511. =++=Gr
1 1 1

5. Tipos de monomiosTipos de monomios
Monomios semejantessemejantes:
tienen la misma parte literal.
Monomios opuestosopuestos:
son semejantes y sus coeficientes
son números opuestos.
NO semejantes NO opuestos
23
25 ba− 32
25 bacba 32
3 32
ba
32
25 ba− 32
ba
xy5 xy
7
1
−
32
25 ba− 32
25 ba
23
7
1
yx−23
7
1
yx
32
ba 32
ba
xy xy
−
−

6. Operaciones con monomiosOperaciones con monomios
La suma (o resta)suma (o resta) de monomios semejantes se realiza
sumando (o restando) los coeficientes y dejando la misma parte
literal.
2
xy
222
35 yxxy + No son semejantes,
luego no se pueden
sumar.
Ejemplo 1:
Ejemplo 2:
2
xy 2
xy 2
xy
2
xy 2
xy
5 3+ 5− 7+
10( )
=
=
5 3+ 5− 7+

7. Operaciones con monomiosOperaciones con monomios
Para multiplicarmultiplicar por un lado, multiplicamos sus
coeficientes y, por otro, sus partes literales.
24
15 yx=
Ejemplo 3: =⋅− yy 73 2
Ejemplo 4:
3− 7⋅2
y y 3
21y−=( )
=⋅ 32
35 xxy ( )5 3⋅2
xy 3
x

8. Operaciones con monomiosOperaciones con monomios
Para dividirdividir por un lado, dividimos sus
coeficientes y, por otro, sus partes literales
(si se puede).
Ejemplo 5:
Ejemplo 6:
=− 27
7:21 yy
=bba 4:25 23
21− 7: ( )( )7
y 2
y : 5
3y−=
25 4ba3
b 3
4
25
a=

9. PolinomiosPolinomios
Un polinomiopolinomio es una expresión algebraica formada por
la suma o resta de dos o más monomios no semejantes.
Cada uno de los monomios se llama términotérmino, y
si no tiene parte literal se llama términotérmino
independienteindependiente.
El mayor de los grados de todos sus términos se
denomina gradogrado del polinomio.
21373 523
−+− xyzyxxy
Términos
Término
independiente
Grado: 2 + 5 = 7
Se llama coeficiente principal al coeficiente del
monomio de mayor grado.
Coeficiente
principal

10. PolinomiosPolinomios
El valor numéricovalor numérico de un polinomio P(x), para un
valor x=a, lo expresamos como P(a) y se obtiene
sustituyendo la variable x por el valor a en el
polinomio y operando.
10437)( 34
−+−= xxxxP
=−⋅+⋅−⋅= 10242327)2( 34
P
( ) ( ) ( ) =−−⋅+−⋅−−⋅=− 10141317)1(
34
P
Ejemplo:
861082411210883167 =−+−=−+⋅−⋅=
( ) 4104371041317 −=−−+=−−−⋅−⋅=

11. PolinomiosPolinomios
El polinomio opuestopolinomio opuesto de un polinomio P(x), que
designamos como -P(x), se obtiene cambiando el
signo de todos los términos de P(x).
10437)( 34
−+−= xxxxP
10437)( 34
+−+−=− xxxxP
Ejemplo:
Polinomio opuesto:

12. Polinomios especiales

13. Polinomios especiales
polinomio
ordenado
homogéneo
idéntico
completo
opuesto
nulo

14. Polinomio ordenado
x4
y3
+ 2x2
y5
– 3xy8
Polinomio ordenado respecto a “x” en forma descendente
Polinomio ordenado respecto a “y” en forma ascendente
x4
y3
+ 2x2
y5
– 3x1
y8

15. Polinomio completo
x4
y + 3x2
y5
– 3x3
+xy4
– 5
Polinomio completo con respecto a x
x4
y + 3x2
y5
– 3x3
+xy4
– 5x0

16. Polinomio homogéneo
Polinomio homogéneo de grado 8
6x5
y3
– 3x4
y4
+ 6x6
y2
GA = 8 GA = 8 GA = 8

17. Polinomios idénticos
Si P y Q son idénticos,
entonces a = 5; b = 2; c = -8
P(x) = ax3
+ bx2
+ c
Q(x) = 2x2
+5x3
– 8
P≡Q

18. Polinomio opuesto
Si
P(x;y) = x4
y3
+ 2x2
y5
– 3xy8
el polinomio opuesto de P es:
-P(x;y) = – x4
y3
– 2x2
y5
+ 3xy8

19. Polinomio idénticamente nulo
P(x) = ax3
+ bx2
- c
a = b = c = 0
P(x) = ax3
+ bx2
- c
P(x) ≡ 0

20. Ejercicio 1
caabb
xxxxR ++++
−−= 272
25)( π
Si se sabe que el polinomio es completo y
ordenado en forma creciente, calcula el valor
de 2abc. Indica el grado del polinomio.
Respuestas:
a)2abc = 160
b)GA = 2

21. Ejercicio 2
xcbxaxxxxdxP 12392642)( 2323
−+−++−+=
Si se sabe que el polinomio es idénticamente
nulo, calcula el valor de -7(a+b+c+d)
Respuesta: 84

22. Ejercicio 3
yxyxxyxR abb 22712
262);( ++
+−=
Si se sabe que el polinomio es homogéneo,
calcula el valor de a – b.
Respuesta: -1

23. Operaciones con polinomiosOperaciones con polinomios
Para sumarsumar polinomios sumamos sus monomios
semejantes, dejando indicada la suma de los
monomios no semejantes.
Ejemplo: 172)( 245
++−= xxxxP
87223)( 234
−+−−= xxxxxQ
)()( xQxP +
5
2x 4
x− 2
7x+ 1+
4
3x 3
2x− 2
2x− x7+ 8−
775222 2345
−++−+ xxxxx
+

24. Operaciones con polinomiosOperaciones con polinomios
Para restarrestar polinomios sumamos al primero el
opuesto del segundo.
Ejemplo: 172)( 245
++−= xxxxP
87223)( 234
−+−−= xxxxxQ
)()( xQxP −
5
2x 4
x− 2
7x+ 1+
4
3x− 3
2x+ 2
2x+ x7− 8+
979242 2345
+−++− xxxxx
+

25. Operaciones con polinomiosOperaciones con polinomios
Para multiplicar un monomio por un polinomiomultiplicar un monomio por un polinomio
multiplicamos el monomio por cada uno de los
términos del polinomio.
Ejemplo:
3245
2por172)( xxxxxP ++−=
)(2 3
xPx ⋅
3
2x
3578
21424 xxxx ++−
×
172 245
++− xxx

26. Operaciones con polinomiosOperaciones con polinomios
El producto de dos polinomioproducto de dos polinomio se halla multiplicando
cada uno de los términos de uno de los polinomios
por el otro, y sumando después los polinomios
semejantes.
Ejemplo: 43)(152)( 23
−=+−= xxQxxxP
)()( xQxP ⋅
43 2
−x
4203236 235
−++− xxxx
×
152 3
+− xx
4208 3
−+− xx
235
3156 xxx +−
+

27. Operaciones con polinomiosOperaciones con polinomios
Para dividir un polinomio entre un monomiodividir un polinomio entre un monomio,
dividimos cada término del polinomio entre el
monomio. Ejemplos:
245
2796)( xxxxP +−=
( ) ( ) ( )
932
3:273:93:63:)(
23
2224252
+−=
=+−=
xx
xxxxxxxxP
xyyxxQ 57)( 3
−=
( ) yx
x
xy
x
yx
xxQ
2
5
2
7
2
5
2
7
2:)( 2
3
+−=
−
−
−
=−

28. Operaciones con polinomiosOperaciones con polinomios
Para dividir un polinomio entre un polinomiodividir un polinomio entre un polinomio,
seguiremos los siguientes pasos:
1º) Ordenamos los términos del dividendo y del divisor
y los dispondremos como una división normal.
xxxxxP 3011202)( 243
+−−+−=
23)( 2
−+= xxxQ
3
2x−4
x 2
11x− x30+ 20− 2
x x3+ 2−

29. Operaciones con polinomiosOperaciones con polinomios
2º) Se divide el primer término del dividendo con el
primer término del divisor, así se obtiene el primer
término del cociente.
3
2x−4
x 2
11x− x30+ 20− 2
x x3+ 2−
2
x
3º) Se multiplica el primer término del cociente por
cada término del divisor y el producto pasa restando al
dividendo.
2
x4
x
234
2
2
23
23
xxx
x
xx
−+
×
−+
234
23 xxx +−−

30. Operaciones con polinomiosOperaciones con polinomios
3
2x−4
x 2
11x− x30+ 20− 2
x x3+ 2−
4º) Se suman algebraicamente.
5º) Se divide el primer término del nuevo residuo, entre
el primer término del divisor, así obtenemos el segundo
término del divisor. Este segundo término se multiplica
por el divisor y se pasa restando al dividendo.
2
x
234
23 xxx +−−
203095 23
−+−− xxx
x5−
xxx
x
xx
10155
5
23
23
2
+−−
−×
−+
xxx 10155 23
−+

31. Operaciones con polinomiosOperaciones con polinomios
6º) Se repite el procedimiento hasta que el grado del
polinomio resto sea menor que el grado del polinomio
divisor.
3
2x−4
x 2
11x− x30+ 20− 2
x x3+ 2−
2
x
234
23 xxx +−−
203095 23
−+−− xxx
x5−
xxx 10155 23
−+
20206 2
−+ xx
6+
12186 2
+−− xx
82 −x

32. Operaciones con polinomiosOperaciones con polinomios
3
2x−4
x 2
11x− x30+ 20− 2
x x3+ 2−
2
x x5− 6+
82 −x
Polinomio dividendo
=)(xD
3
2x−4
x 2
11x− x30+ 20− 2
x x3+ 2−
Polinomio divisor
Polinomio cociente
Polinomio resto
=)(xd
=)(xc
=)(xr
2
x x5− 6+
82 −x

33. Identidades notablesIdentidades notables
Las siguientes operaciones con binomios son
simples multiplicaciones.
Es recomendable aprenderlas de memoria por su
constante utilidad.
Uno de los errores mas frecuentes es considerar
que la expresión (a+b)2
es igual a a2
+b2
. Pero es FALSO.

34. (a+b)2
Identidades notablesIdentidades notables
Cuadrado de una suma:Cuadrado de una suma: el cuadrado de una suma
es igual a:
• el cuadrado del primero,
• más el doble del primero por el segundo,
• más el cuadrado del segundo.
a + b
a + b
ab + b2
a2
+ ab
a2
+ 2ab + b2
a2
ab
ab
b2
a
b
a b
a + b
a+b

35. a2
(a-b)2
Identidades notablesIdentidades notables
Cuadrado de una diferencia:Cuadrado de una diferencia: el cuadrado de una
diferencia es igual a:
• el cuadrado del primero,
• menos el doble del primero por el segundo,
• más el cuadrado del segundo.
a - b
a - b
- ab + b2
a2
- ab
a2
- 2ab + b2
ab
ab
b2

36. Identidades notablesIdentidades notables
Suma por diferencia:Suma por diferencia: una suma por una diferencia
es igual a:
• el cuadrado del primero,
• menos el cuadrado del segundo.
a + b
a - b
- ab - b2
a2
+ ab
a2
- b2

37. Identidades notablesIdentidades notables