2. Los polinomios son una parte importante del
Álgebra. Están presentes en todos los
contextos científicos y tecnológicos: desde los
ordenadores y la informática hasta la carrera
espacial.
La fórmula que
expresa el
movimiento de un
cuerpo en caída
libre viene dada
por el siguiente
polinomio:
2
2
1
)
( gt
t
P
t: tiempo
g: gravedad
La fórmula para calcular
el volumen de un cubo
en función de la longitud
(l) de su lado viene dada
por:
3
)
( l
l
V
3. Monomios
Un monomio es una expresión algebraica en la
que la únicas operaciones que afectan a las letras
son la multiplicación y la potencia de exponente
natural.
Son monomios: NO son monomios:
2
2x
2
3
12 yz
x
15
4abc
2
2
x
3
2
2
7 x
yz
4. Partes de un monomio
Los coeficientes son los números que aparecen multiplicando.
La parte literal la forman las letras y sus exponentes.
El grado del monomio es la suma de los exponentes de las letras.
2
.
Gr 6
2
1
3
.
Gr 17
15
1
1
.
Gr
1 1 1
5. Tipos de monomios
Monomios semejantes:
tienen la misma parte literal.
Monomios opuestos:
son semejantes y sus coeficientes
son números opuestos.
NO semejantes NO opuestos
2
3
25 b
a
3
2
25 b
a
c
b
a 3
2
3 3
2
b
a
3
2
25 b
a
3
2
b
a
xy
5 xy
7
1
3
2
25 b
a
3
2
25 b
a
2
3
7
1
y
x
2
3
7
1
y
x
3
2
b
a 3
2
b
a
xy xy
6. Operaciones con monomios
La suma (o resta) de monomios semejantes se realiza
sumando (o restando) los coeficientes y dejando la misma parte
literal.
2
xy
2
2
2
3
5 y
x
xy No son semejantes,
luego no se pueden
sumar.
Ejemplo 1:
Ejemplo 2:
2
xy 2
xy 2
xy
2
xy 2
xy
5 3
5
7
10
( )
5 3
5
7
7. Operaciones con monomios
Para multiplicar por un lado, multiplicamos sus
coeficientes y, por otro, sus partes literales.
2
4
15 y
x
Ejemplo 3:
y
y 7
3 2
Ejemplo 4:
3
7
2
y y 3
21y
( )
3
2
3
5 x
xy ( )
5 3
2
xy 3
x
8. Operaciones con monomios
Para dividir por un lado, dividimos sus
coeficientes y, por otro, sus partes literales
(si se puede).
Ejemplo 5:
Ejemplo 6:
2
7
7
:
21 y
y
b
b
a 4
:
25 2
3
21
7
: ( )( )
7
y 2
y : 5
3y
25 4
b
a3
b 3
4
25
a
9. Polinomios
Un polinomio es una expresión algebraica formada por
la suma o resta de dos o más monomios no semejantes.
Cada uno de los monomios se llama término, y
si no tiene parte literal se llama término
independiente.
El mayor de los grados de todos sus términos se
denomina grado del polinomio.
21
3
7
3 5
2
3
xyz
y
x
xy
Términos
Término
independiente
Grado: 2 + 5 = 7
Se llama coeficiente principal al coeficiente del
monomio de mayor grado.
Coeficiente
principal
10. Polinomios
El valor numérico de un polinomio P(x), para un
valor x=a, lo expresamos como P(a) y se obtiene
sustituyendo la variable x por el valor a en el
polinomio y operando.
10
4
3
7
)
( 3
4
x
x
x
x
P
10
2
4
2
3
2
7
)
2
( 3
4
P
10
1
4
1
3
1
7
)
1
(
3
4
P
Ejemplo:
86
10
8
24
112
10
8
8
3
16
7
4
10
4
3
7
10
4
1
3
1
7
11. Polinomios
El polinomio opuesto de un polinomio P(x), que
designamos como -P(x), se obtiene cambiando el
signo de todos los términos de P(x).
10
4
3
7
)
( 3
4
x
x
x
x
P
10
4
3
7
)
( 3
4
x
x
x
x
P
Ejemplo:
Polinomio opuesto:
12. Operaciones con polinomios
Para sumar polinomios sumamos sus monomios
semejantes, dejando indicada la suma de los
monomios no semejantes.
Ejemplo: 1
7
2
)
( 2
4
5
x
x
x
x
P
8
7
2
2
3
)
( 2
3
4
x
x
x
x
x
Q
)
(
)
( x
Q
x
P
5
2x 4
x
2
7x
1
4
3x 3
2x
2
2x
x
7
8
7
7
5
2
2
2 2
3
4
5
x
x
x
x
x
13. Operaciones con polinomios
Para restar polinomios sumamos al primero el
opuesto del segundo.
Ejemplo: 1
7
2
)
( 2
4
5
x
x
x
x
P
8
7
2
2
3
)
( 2
3
4
x
x
x
x
x
Q
)
(
)
( x
Q
x
P
5
2x 4
x
2
7x
1
4
3x
3
2x
2
2x
x
7
8
9
7
9
2
4
2 2
3
4
5
x
x
x
x
x
14. Operaciones con polinomios
Para multiplicar un monomio por un polinomio
multiplicamos el monomio por cada uno de los
términos del polinomio.
Ejemplo:
3
2
4
5
2
por
1
7
2
)
( x
x
x
x
x
P
)
(
2 3
x
P
x
3
2x
3
5
7
8
2
14
2
4 x
x
x
x
1
7
2 2
4
5
x
x
x
15. Operaciones con polinomios
El producto de dos polinomio se halla multiplicando
cada uno de los términos de uno de los polinomios
por el otro, y sumando después los polinomios
semejantes.
Ejemplo: 4
3
)
(
1
5
2
)
( 2
3
x
x
Q
x
x
x
P
)
(
)
( x
Q
x
P
4
3 2
x
4
20
3
23
6 2
3
5
x
x
x
x
1
5
2 3
x
x
4
20
8 3
x
x
2
3
5
3
15
6 x
x
x
16. Operaciones con polinomios
Para dividir un polinomio entre un monomio,
dividimos cada término del polinomio entre el
monomio. Ejemplos:
2
4
5
27
9
6
)
( x
x
x
x
P
9
3
2
3
:
27
3
:
9
3
:
6
3
:
)
(
2
3
2
2
2
4
2
5
2
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
P
xy
y
x
x
Q 5
7
)
( 3
3
2
7 5 7 5
( ): 2
2 2 2 2
x y xy
Q x x x y y
x x
17. Operaciones con polinomios
Para dividir un polinomio entre un polinomio,
seguiremos los siguientes pasos:
1º) Ordenamos los términos del dividendo y del divisor
y los dispondremos como una división normal.
x
x
x
x
x
P 30
11
20
2
)
( 2
4
3
2
3
)
( 2
x
x
x
Q
3
2x
4
x 2
11x
x
30
20
2
x x
3
2
18. Operaciones con polinomios
2º) Se divide el primer término del dividendo con el
primer término del divisor, así se obtiene el primer
término del cociente.
3
2x
4
x 2
11x
x
30
20
2
x x
3
2
2
x
3º) Se multiplica el primer término del cociente por
cada término del divisor y el producto pasa restando al
dividendo.
2
x
4
x
2
3
4
2
2
2
3
2
3
x
x
x
x
x
x
2
3
4
2
3 x
x
x
19. Operaciones con polinomios
3
2x
4
x 2
11x
x
30
20
2
x x
3
2
4º) Se suman algebraicamente.
5º) Se divide el primer término del nuevo residuo, entre
el primer término del divisor, así obtenemos el segundo
término del divisor. Este segundo término se multiplica
por el divisor y se pasa restando al dividendo.
2
x
2
3
4
2
3 x
x
x
20
30
9
5 2
3
x
x
x
x
5
x
x
x
x
x
x
10
15
5
5
2
3
2
3
2
x
x
x 10
15
5 2
3
20. Operaciones con polinomios
6º) Se repite el procedimiento hasta que el grado del
polinomio resto sea menor que el grado del polinomio
divisor.
3
2x
4
x 2
11x
x
30
20
2
x x
3
2
2
x
2
3
4
2
3 x
x
x
20
30
9
5 2
3
x
x
x
x
5
x
x
x 10
15
5 2
3
20
20
6 2
x
x
6
12
18
6 2
x
x
8
2
x
21. Operaciones con polinomios
3
2x
4
x 2
11x
x
30
20
2
x x
3
2
2
x x
5
6
8
2
x
Polinomio dividendo
)
(x
D
3
2x
4
x 2
11x
x
30
20
2
x x
3
2
Polinomio divisor
Polinomio cociente
Polinomio resto
)
(x
d
)
(x
c
)
(x
r
2
x x
5
6
8
2
x
22. Regla de Ruffini
La regla de Ruffini es un algoritmo que permite
obtener fácilmente el cociente y el resto de la
división de un polinomio por un binomio de la
forma x-a. Veamos el algoritmo con un ejemplo.
1º) Ordenamos los términos del dividendo y del divisor.
5
3
2
)
( 2
3
x
x
x
x
D
1
)
(
x
x
d
23. Regla de Ruffini
5
3
2
)
( 2
3
x
x
x
x
D 1
)
(
x
x
d
2º) Se colocan los coeficientes
de cada término. Si no
apareciese algún término
entre el de mayor grado y el
de menor se coloca un 0.
2 1 3
5
3º) A la izquierda se pone el número que se resta a x en d(x),
en nuestro caso 1 y se baja el coeficiente del término de
mayor grado.
1
4º) Se multiplica el coeficiente que se ha bajado (2) por el
que se ha colocado a la izquierda (1). El resultado del
producto se coloca debajo del coeficiente del término
siguiente y se suman .
2
2
24. Regla de Ruffini
5º) El resultado de la suma
se vuelve a multiplicar por el
número situado a la izquierda
y se repite el proceso.
2 1 3
5
1
2
2
3
3
0
0
5
El último número (recuadro rojo) se corresponde con
el resto de la división mientras que el resto de
números de la fila inferior son los coeficientes del
cociente.
x
x
x
c 3
2
)
( 2
5
)
(
x
r
5
3
2
)
( 2
3
x
x
x
x
D 1
)
(
x
x
d
25. Identidades notables
Las siguientes operaciones con binomios son
simples multiplicaciones.
Es recomendable aprenderlas de memoria por su
constante utilidad.
Uno de los errores mas frecuentes es considerar
que la expresión (a+b)2 es igual a a2+b2. Pero es FALSO.
26. (a+b)2
Identidades notables
Cuadrado de una suma: el cuadrado de una suma
es igual a:
• el cuadrado del primero,
• más el doble del primero por el segundo,
• más el cuadrado del segundo.
a + b
a + b
ab + b2
a2 + ab
a2 + 2ab + b2
a2
ab
ab
b2
a
b
a b
a + b
a
+
b
27. a2
(a-b)2
Identidades notables
Cuadrado de una diferencia: el cuadrado de una
diferencia es igual a:
• el cuadrado del primero,
• menos el doble del primero por el segundo,
• más el cuadrado del segundo.
a - b
a - b
- ab + b2
a2 - ab
a2 - 2ab + b2
ab
ab
b2
28. Identidades notables
Suma por diferencia: una suma por una diferencia
es igual a:
• el cuadrado del primero,
• menos el cuadrado del segundo.
a + b
a - b
- ab - b2
a2 + ab
a2 - b2
