algebra

2. Los polinomios son una parte importante del
Álgebra. Están presentes en todos los
contextos científicos y tecnológicos: desde los
ordenadores y la informática hasta la carrera
espacial.
La fórmula que
expresa el
movimiento de un
cuerpo en caída
libre viene dada
por el siguiente
polinomio:
2
2
1
)( gttP 
t: tiempo
g: gravedad
La fórmula para calcular
el volumen de un cubo
en función de la longitud
(l) de su lado viene dada
por:
3
)( llV 

3. Monomios
Un monomio es una expresión algebraica en la
que la únicas operaciones que afectan a las letras
son la multiplicación y la potencia de exponente
natural.
Son monomios: NO son monomios:
2
2x
23
12 yzx
15
4abc
2
2 
x
3
2
2
7 xyz

4. Partes de un monomio
Los coeficientes son los números que aparecen multiplicando.
La parte literal la forman las letras y sus exponentes.
El grado del monomio es la suma de los exponentes de las letras.
2.Gr 6213. Gr 171511. Gr
1 1 1

5. Tipos de monomios
Monomios semejantes:
tienen la misma parte literal.
Monomios opuestos:
son semejantes y sus coeficientes
son números opuestos.
NO semejantes NO opuestos
23
25 ba 32
25 bacba 32
3 32
ba
32
25 ba 32
ba
xy5 xy
7
1

32
25 ba 32
25 ba
23
7
1
yx23
7
1
yx
32
ba 32
ba
xy xy



6. Operaciones con monomios
La suma (o resta) de monomios semejantes se realiza
sumando (o restando) los coeficientes y dejando la misma parte
literal.
2
xy
222
35 yxxy  No son semejantes,
luego no se pueden
sumar.
Ejemplo 1:
Ejemplo 2:
2
xy 2
xy 2
xy
2
xy 2
xy
5 3 5 7
10( )


5 3 5 7

7. Operaciones con monomios
Para multiplicar por un lado, multiplicamos sus
coeficientes y, por otro, sus partes literales.
24
15 yx
Ejemplo 3:  yy 73 2
Ejemplo 4:
3 72
y y 3
21y( )
 32
35 xxy ( )5 32
xy 3
x

8. Operaciones con monomios
Para dividir por un lado, dividimos sus
coeficientes y, por otro, sus partes literales
(si se puede).
Ejemplo 5:
Ejemplo 6:
 27
7:21 yy
bba 4:25 23
21 7: ( ) ( )7
y 2
y : 5
3y
25 4ba3
b 3
4
25
a

9. Polinomios
Un polinomio es una expresión algebraica formada por
la suma o resta de dos o más monomios no semejantes.
Cada uno de los monomios se llama término, y
si no tiene parte literal se llama término
independiente.
El mayor de los grados de todos sus términos se
denomina grado del polinomio.
21373 523
 xyzyxxy
Términos
Término
independiente
Grado: 2 + 5 = 7
Se llama coeficiente principal al coeficiente del
monomio de mayor grado.
Coeficiente
principal

10. Polinomios
El valor numérico de un polinomio P(x), para un
valor x=a, lo expresamos como P(a) y se obtiene
sustituyendo la variable x por el valor a en el
polinomio y operando.
10437)( 34
 xxxxP
 10242327)2( 34
P
       10141317)1(
34
P
Ejemplo:
861082411210883167 
  4104371041317 

11. Polinomios
El polinomio opuesto de un polinomio P(x), que
designamos como -P(x), se obtiene cambiando el
signo de todos los términos de P(x).
10437)( 34
 xxxxP
10437)( 34
 xxxxP
Ejemplo:
Polinomio opuesto:

12. Operaciones con polinomios
Para sumar polinomios sumamos sus monomios
semejantes, dejando indicada la suma de los
monomios no semejantes.
Ejemplo: 172)( 245
 xxxxP
87223)( 234
 xxxxxQ
)()( xQxP 
5
2x 4
x 2
7x 1
4
3x 3
2x 2
2x x7 8
775222 2345
 xxxxx


13. Operaciones con polinomios
Para restar polinomios sumamos al primero el
opuesto del segundo.
Ejemplo: 172)( 245
 xxxxP
87223)( 234
 xxxxxQ
)()( xQxP 
5
2x 4
x 2
7x 1
4
3x 3
2x 2
2x x7 8
979242 2345
 xxxxx


14. Operaciones con polinomios
Para multiplicar un monomio por un polinomio
multiplicamos el monomio por cada uno de los
términos del polinomio.
Ejemplo:
3245
2por172)( xxxxxP 
)(2 3
xPx 
3
2x
3578
21424 xxxx 

172 245
 xxx

15. Operaciones con polinomios
El producto de dos polinomio se halla multiplicando
cada uno de los términos de uno de los polinomios
por el otro, y sumando después los polinomios
semejantes.
Ejemplo: 43)(152)( 23
 xxQxxxP
)()( xQxP 
43 2
x
4203236 235
 xxxx

152 3
 xx
4208 3
 xx
235
3156 xxx 


16. Operaciones con polinomios
Para dividir un polinomio entre un monomio,
dividimos cada término del polinomio entre el
monomio. Ejemplos:
245
2796)( xxxxP 
     
932
3:273:93:63:)(
23
2224252


xx
xxxxxxxxP
xyyxxQ 57)( 3

  yx
x
xy
x
yx
xxQ
2
5
2
7
2
5
2
7
2:)( 2
3






17. Operaciones con polinomios
Para dividir un polinomio entre un polinomio,
seguiremos los siguientes pasos:
1º) Ordenamos los términos del dividendo y del divisor
y los dispondremos como una división normal.
xxxxxP 3011202)( 243

23)( 2
 xxxQ
3
2x4
x 2
11x x30 20 2
x x3 2

18. Operaciones con polinomios
2º) Se divide el primer término del dividendo con el
primer término del divisor, así se obtiene el primer
término del cociente.
3
2x4
x 2
11x x30 20 2
x x3 2
2
x
3º) Se multiplica el primer término del cociente por
cada término del divisor y el producto pasa restando al
dividendo.
2
x4
x
234
2
2
23
23
xxx
x
xx



234
23 xxx 

19. Operaciones con polinomios
3
2x4
x 2
11x x30 20 2
x x3 2
4º) Se suman algebraicamente.
5º) Se divide el primer término del nuevo residuo, entre
el primer término del divisor, así obtenemos el segundo
término del divisor. Este segundo término se multiplica
por el divisor y se pasa restando al dividendo.
2
x
234
23 xxx 
203095 23
 xxx
x5
xxx
x
xx
10155
5
23
23
2



xxx 10155 23


20. Operaciones con polinomios
6º) Se repite el procedimiento hasta que el grado del
polinomio resto sea menor que el grado del polinomio
divisor.
3
2x4
x 2
11x x30 20 2
x x3 2
2
x
234
23 xxx 
203095 23
 xxx
x5
xxx 10155 23

20206 2
 xx
6
12186 2
 xx
82 x

21. Operaciones con polinomios
3
2x4
x 2
11x x30 20 2
x x3 2
2
x x5 6
82 x
Polinomio dividendo
)(xD
3
2x4
x 2
11x x30 20 2
x x3 2
Polinomio divisor
Polinomio cociente
Polinomio resto
)(xd
)(xc
)(xr
2
x x5 6
82 x

22. Identidades notables
Las siguientes operaciones con binomios son
simples multiplicaciones.
Es recomendable aprenderlas de memoria por su
constante utilidad.
Uno de los errores mas frecuentes es considerar
que la expresión (a+b)2 es igual a a2+b2. Pero es FALSO.

23. (a+b)2
Identidades notables
Cuadrado de una suma: el cuadrado de una suma
es igual a:
• el cuadrado del primero,
• más el doble del primero por el segundo,
• más el cuadrado del segundo.
a + b
a + b
ab + b2
a2 + ab
a2 + 2ab + b2
a2
ab
ab
b2
a
b
a b
a + b
a+b

24. a2
(a-b)2
Identidades notables
Cuadrado de una diferencia: el cuadrado de una
diferencia es igual a:
• el cuadrado del primero,
• menos el doble del primero por el segundo,
• más el cuadrado del segundo.
a - b
a - b
- ab + b2
a2 - ab
a2 - 2ab + b2
ab
ab
b2

25. Identidades notables
Suma por diferencia: una suma por una diferencia
es igual a:
• el cuadrado del primero,
• menos el cuadrado del segundo.
a + b
a - b
- ab - b2
a2 + ab
a2 - b2

26. Identidades notables