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OBJETIVO
Resolver problemas sobre matrices, utilizando definiciones, propiedades y métodos adecuados para
cada tipo, en situaciones reales propias de la ingeniería y ciencias aplicadas.
CONTENIDO:
1.1 ALGEBRA DE MATRICES
1.2 CLASIFICACION DE LAS MATRICES CUADRADAS
1.3 MATRIZ TRANSPUESTA
1.4 MATRIZ TRANSPUESTA - CONJUGADA
1.5 TRAZA DE UNA MATRIZ
1.6 POTENCIA DE UNA MATRIZ
1.7 CUESTIONARIO
1.1 ALGEBRA DE MATRICES
En esta sección se introduce terminología básica, se define una matriz, matriz identidad y matriz escalar. Se define
y establecen las operaciones que se pueden realizar entre matrices, además, enunciaremos las propiedades más
importantes.
Las matrices se escribirán mediante un solo símbolo, que por lo común serán letras
mayúsculas como A, B, C, D, etc. Cuando no se utilicen números específicos para
designar los elementos de una matriz, se utilizarán minúsculas de la forma aij. No
existen restricciones sobre el número de filas o columnas que una matriz puede tener.
DEFINICION 1.1.1
Una matriz es una ordenación rectangular de elementos distribuidos en n
filas (horizontales) y m columnas (verticales), el elemento que está en la
i-ésima fila y en la j-ésima columna se denota por aij, siendo este elemento,
un número real o complejo. Formalmente lo denotamos como A = (aij).
Una matriz con n filas y m columnas se llama matriz de n x m; la expresión n x m es
su orden o forma y lo expresamos como
11 12 1
21 22 2
1 2
m
m
n n nm
a a a
a a a
a a a
 
 
 
 
  
 
A
En otras palabras, podemos decir que una matriz de n x m definida sobre el conjunto
K, es una aplicación a : A x B  K que asocia a cada par (i, j) el número aij. Los
MATRICES
JOE GARCIA ARCOS
2
elementos horizontales ai1, ai2, ..., aim representan las filas de la matriz y los
elementos verticales a1j, a2j, ..., anj representan las columnas. Así, la letra i representa
la fila y la j representa la columna.
Si n = m la matriz se denomina cuadrada y se dice que tiene orden n. Si una matriz
tiene una sola fila, se le llama matriz fila y se la representa por
A = (ai1 ai2 ... aim).
Si una matriz tiene una sola columna, se le llama matriz columna y se representa por
1
2
j
j
nj
a
a
a
 
 
 
  
 
 
 
A .
En particular, un elemento aij puede considerarse como una matriz de una fila y una
columna. Es conveniente designar a la matriz con letras mayúsculas en
correspondencia, si es posible, con la letra minúscula común con la cual se designan
sus elementos.
A continuación se dan algunos tipos de matrices:
1 0 4
5 6 2
7 9 1
 
 
  
 
 
A ;
2 5 7
1 9 2
 
  
 
B ;
1
4
8
 
 
  
 
 
C ;  1 2 9 D ,
siendo A una matriz de 3 x 3, B de 2 x 3, C de 3 x 1 y D de 1 x 3.
DEFINICION 1.1.2
Una matriz cuadrada que tiene el número 1 como elementos de la diagonal
principal, y los demás elementos son ceros, se denomina matriz identidad y
se denota como I = (ij), donde
1, si
0, si
ij
i j
i j

  

,  se denomina delta de
Kronecker.
Matrices de este tipo se dan a continuación:
2
1 0
0 1
 
  
 
I ; 3
1 0 0
0 1 0
0 0 1
 
 
  
 
 
I ; 4
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
 
 
 
 
 
 
I ; etc.
DEFINICION 1.1.3
Una matriz cuadrada que tiene el número   K diferente de cero, como
elementos de la diagonal principal, y los demás elementos son ceros, se
denomina matriz escalar y se denota como E = I.
Este tipo de matrices tienen la siguiente forma:
2
0 1 0
0 0 1
a
a
a
   
    
   
E ; 3
0 0 1 0 0
0 0 ( ) 0 1 0
0 0 0 0 1
a b
a b a b
a b
   
   
      
      
E ; etc.
La definición de operaciones entre matrices es lo que determina la utilidad de ellas
puesto que una matriz de por sí es solamente un arreglo de números. Veremos que
aquellas definiciones que intuitivamente parecen obvias para operar con matrices son
también las más útiles.
MATRICES
JOE GARCIA ARCOS
3
A continuación se explican algunas operaciones que se pueden realizar con matrices.
Definidas las matrices, podemos comenzar a estudiar su álgebra. Se explicará
primero el significado de la afirmación de que dos matrices A y B son iguales.
Lo anterior significa que los elementos correspondientes de cada matriz son iguales,
es decir aij = bij para cada i y j. Cuando las matrices son iguales, se escribe A = B.
Para que dos matrices sean iguales, el número de filas de A debe ser el mismo que el
número de filas de B, y el número de columnas de A debe ser el mismo que el
número de columnas de B.
DEFINICION 1.1.4
Dadas A = (aij), B = (bij), matrices de igual orden. Las matrices A y B se
dice son iguales si y sólo si los elementos correspondientes a cada una de
estas son iguales.
Es decir, dadas las matrices
11 12 1
21 2 2 2
1 2
m
m
n n n m
a a a
a a a
a a a
 
 
 
  
 
 
 
A y
11 12 1
21 2 2 2
1 2
=
m
m
n n n m
b b b
b b b
b b b
 
 
 
 
 
 
 
B
por definición estas matrices son iguales si y sólo si se cumple que a11 = b11,
a12 = b12, ..., anm = bnm. De manera más compacta, se escribe A = B si aij = bij, para
todo i, j  .
EJEMPLO 1.1.1
Sean A y B dos matrices de 2 x 3:
1 2 2a b b a b
a b a b
    
  
  
A y
1
3
c
c c i
  
       
B .
¿Cuando A y B son iguales?
SOLUCION
Las matrices A y B son iguales si cumplen la siguiente identidad:
1 2 2 1
3
a b b a b c
a b a b c i
       
             
lo cual implica que
a – b + 1 = i, 2 + 2b – a = , b = c, a = c + , - b = 3 y a – b =  + i. 
EJEMPLO 1.1.2
Determine los valores de a, b y c para que las matrices dadas sean iguales
2 4
1 6
 
  
 
A y
2 2
1 2
a b c a c
a a b
   
  
  
B .
SOLUCION
Para que A y B sean iguales se debe cumplir por definición que sus correspondientes
elementos sean iguales, es decir:
2 2
2 4
1 1
2 6
a b c
a c
a
a b
  
  

 
  

2 2
2 4
0
2 6
a b c
a c
a
a b
  
  


  

0
3
4
a
b
c



  
. 
Se definirá ahora la suma de matrices, que consiste simplemente, como esperará el
lector, en sumar los elementos correspondientes. Es decir, la suma C de una matriz A
que tenga n filas y m columnas, y una matriz B que tenga n filas y m columnas es
MATRICES
JOE GARCIA ARCOS
4
una matriz que tiene n filas y m columnas cuyos elementos están dados por
cij = aij + bij, para todo i, j.
DEFINICION 1.1.5
Dadas A = (aij), B = (bij) y C = (cij), matrices de igual orden. Si se cumple
que
C = (aij) + (bij) = (aij + bij) = (cij), i, j  N
a la matriz C se le denomina adición de A y B.
Es decir; si a cada par de matrices de orden n x m le hacemos corresponder otra
matriz del mismo orden cuyos elementos se obtienen sumando término a término los
correspondientes a dichas matrices, se denomina adición de matrices. Dadas las
matrices A y B, detalladamente podemos interpretar la adición de matrices de la
siguiente manera:
C = A + B
11 12 111 12 1
21 2 2 221 22 2
1 2 1 2
mm
mm
n n nm n n n m
b b ba a a
b b ba a a
a a a b b b
  
  
      
        
11 11 12 12 1 1
21 21 2 2 2 2 2 2
1 1 2 2
m m
m m
n n n n n m n m
a b a b a b
a b a b a b
a b a b a b
   
 
   
  
 
    
.
Debemos tener muy en cuenta que la adición de las matrices A y B se puede realizar
solamente cuando B tiene el mismo número de filas y el mismo número de columnas
que A. De aquí que el orden de la matriz suma es la misma que la de los sumandos.
EJEMPLO 1.1.3
Dadas las matrices
1 1 4
5 3 6
9 1
2
i
i
Sen
 
 
 
   
 
 
 
A y
3 4
4
5 3
3
2 4
Tan i
Cos i Tan
 
  
 
   
 
  
 
 
B
Determine A + B.
SOLUCION
3 4
1 1 4 4
+ 5 3 6 5 3
3
9 1
2 2 4
Tan i
i
i
Sen Cos i Tan
      
  
       
           
A B
1 ( 3) 1 4 ( 4 )
2 1 04
(5 3 ) ( 5) 6 3 3 9 (1 )
3 1 9 0
9 1
2 2 4
Tan i i
i
i i i
i
Sen Cos i Tan
 
         
   
            
            
 
. 
MATRICES
JOE GARCIA ARCOS
5
TEOREMA 1.1.1
Sean las matrices A = (aij), O = (oij) de igual orden, entonces
A + O = O + A = A.
DEMOSTRACION
Sean A, O matrices de igual orden, entonces
A + O = (aij) + (oij)
= (aij + oij)
= (oij + aij)
= (aij)
= A. 
TEOREMA 1.1.2
Si A = (aij) y B = (bij) son matrices de igual orden, entonces la adición de
matrices es conmutativa, es decir, A + B = B + A.
DEMOSTRACION
Sean las matrices A, B de igual orden, entonces:
A + B = (aij) + (bij)
= (aij + bij)
= (bij + aij)
= (bij) + (aij)
= B + A. 
TEOREMA 1.1.3
Si A = (aij), B = (bij), C = (cij) son matrices de igual orden, entonces la adición
de matrices es asociativa, es decir, A + (B + C) = (A + B) + C.
DEMOSTRACION
Sean A, B, C matrices de igual orden, entonces:
A + (B + C) = (aij) + (bij) + (cij)
= (aij) + (bij + cij)
= (aij + bij + cij)
= (aij + bij) + (cij)
= ((aij) + (bij)) + (cij)
= (A + B) + C. 
% CALCULAR LA SUMA DE MATRICES
clc;clear;
fprintf('n SUMA DE MATRICES n')
fil=input('Ingrese el numero de filas de las Matrices A y B: ');
col=input('Ingrese el numero de columnas de las Matrices A y B: ');
%Ingreso de elementos
fprintf('Matriz A:n')
for f=1:fil
for c=1:col
fprintf('Ingrese el elemento A:(%d,%d)',f,c)
A(f,c)=input(' :');
end
end
fprintf('Matriz B:n')
for f=1:fil
for c=1:col
fprintf('Ingrese el elemento B:(%d,%d)',f,c)
B(f,c)=input(' :');
end
end
fprintf(' LA MATRIZ A ES:n')
A
end
fprintf(' LA MATRIZ B ES:n')
B
MATRICES
JOE GARCIA ARCOS
6
end
fprintf(' LA SUMA C ES:n')
C=A+B
end
La siguiente operación que se considerará es la de multiplicar una matriz por un
número. Esta operación recibe el nombre de multiplicación por un escalar. Para
multiplicar una matriz A por un número , simplemente se multiplica cada elemento
de A por .
DEFINICION 1.1.6
Dada A = (aij) una matriz arbitraria y  un escalar. El producto del escalar 
y la matriz A se define como la matriz C = (cij) del mismo orden que A,
cuyos elementos se obtienen multiplicando el escalar por cada uno de los
elementos de A.
Es decir; formalmente se expresa esta operación de la siguiente manera:
11 12 1 11 12 1
21 2 2 2 21 2 2 2
1 2 1 2
= α =
m m
m m
n n n m n n n m
a a a a a a
a a a a a a
a a a a a a
     
   
     
    
   
        
C A
Cada elemento de A se multiplica por el escalar . El producto A es, por
consiguiente, otra matriz con n filas y m columnas, si A tiene n filas y m columnas.
Es decir, la matriz resultante del producto por un escalar conserva el orden de la
matriz original.
EJEMPLO 1.1.4
Dada la matriz
1
4 4
1
4
Tan Cos
i i Sen
  
 
 
  
 
A y k = 1 + i.
Determine kA.
SOLUCION
1
4 4(1 )
1
4
Tan Cos
k i
i i Sen
  
 
  
  
 
A
(1 ) (1 ) (1 ) 1
4 4
(1 ) (1 )(1 ) (1 )
4
i Tan i Cos i
i i i i i Sen
  
    
 
     
 
1
1 1
2
1
1 2
2
i
i i
i
i
 
  
 
  
 
 
. 
TEOREMA 1.1.4
Sea A = (aij) una matriz arbitraria y k un número, entonces kA = Ak.
DEMOSTRACION
Sean A una matriz arbitraria y k un número, entonces:
MATRICES
JOE GARCIA ARCOS
7
kA = k(aij)
= (kaij)
= (aijk)
= (aij)k
= Ak. 
EJEMPLO 1.1.5
Un fabricante de sacos los produce en color negro, azul y rojo para hombres, mujeres
y niños. La capacidad de producción en miles en la planta A está dada por la matriz
Hombres Mujeres Niños
Negro 3 5 6
Azul 2 3 4
Rojo 5 1 3
La producción en la planta B está dada por
Hombres Mujeres Niños
Negro 2 3 3
Azul 4 2 5
Rojo 1 3 2
a.- Determine la representación matricial de la producción total de cada tipo de
sacos en ambas plantas.
b.- Si la producción en A se incrementa en un 15% y la de B en un 30%, encuentre
la matriz que representa la nueva producción total de cada tipo de saco.
SOLUCION
a.- Para obtener la matriz de producción total, sumamos las matrices que relacionan
las plantas A y B:
3 5 6 2 3 3 5 8 9
2 3 4 4 2 5 6 5 9
5 1 3 1 3 2 6 4 5
     
     
      
     
     
.
b.- La nueva matriz de producción total la obtenemos sumando las matrices
3 5 6 2 3 3 6.05 9.65 10.8
1.15 +1.30 1.15 2 3 4 1.30 4 2 5 7.5 6.05 11.1
5 1 3 1 3 2 7.05 5.05 6.05
     
     
       
     
     
A B . 
EJEMPLO 1.1.6
El costo en dólares de comprar un boleto aéreo de la ciudad A a cada una de las
cuatro ciudades B, C, D y E, está relacionado en la matriz P = (75 62 35 55). Si la
directiva de la aviación civil aprueban un incremento del 12% en las tarifas. Hallar
las nuevas tarifas.
SOLUCION
Las nuevas tarifas se obtienen multiplicando la matriz P por 1.12, es decir;
   1.12 1.12 75 62 35 55 84 69,44 39,2 61,6 P . 
EJEMPLO 1.1.7
Una empresa produce tres tamaños de radios en tres modelos diferentes. La
producción en miles en su planta A está dada por la matriz
Tamaño 1 Tamaño 2 Tamaño 3
Modelo 1 20 32 25
Modelo 2 15 15 29
Modelo 3 12 27 30
La producción en miles en su planta B está dada por la matriz
MATRICES
JOE GARCIA ARCOS
8
Tamaño 1 Tamaño 2 Tamaño 3
Modelo 1 35 42 19
Modelo 2 25 35 25
Modelo 3 12 18 21
a.- Escriba una matriz que represente la producción total de radios en ambas plantas.
b.- El dueño de la empresa planea abrir una tercera planta en C, la cual tendrá una
vez y cuarto la capacidad de la planta en A. Escriba la matriz que representa la
producción en la planta C.
c.- ¿Cuál sería la producción total de las tres plantas?
SOLUCION
a.- Para representar la producción total en ambas plantas, debemos sumar ambas
matrices
20 32 25 35 42 19 55 74 44
15 15 29 25 35 25 40 50 54
12 27 30 12 18 21 24 45 51
     
     
      
     
     
.
b.- Para encontrar la matriz C, tenemos que multiplicar a la matriz A por 1.25, es
decir
20 32 25 25 40 31.25
1.25 15 15 29 18.75 18.75 36.25
12 27 30 15 33.75 37.5
   
   
   
   
   
.
c.- Para representar la producción total de las tres plantas, debemos sumar las
matrices A, B y C, es decir:
20 32 25 35 42 19 25 40 31.25
+ + 15 15 29 25 35 25 18.75 18.75 36.25
12 27 30 12 18 21 15 33.75 37.5
     
     
       
     
     
A B C
80 114 75.25
58.75 68.75 90.25
39 78.75 88.5
 
 
  
 
 
. 
EJEMPLO 1.1.8
Una compañía tiene plantas en cuatro provincias, I, II, III y IV, y cuatro bodegas en
los lugares P, Q, R y S. El costo en miles de dólares de transportar cada unidad de su
producto de una planta a una bodega está dado por la matriz
Prov. I Prov. II Prov. III Prov. IV
Bodega P 13 12 17 12
Bodega Q 19 17 13 15
Bodega R 8 9 11 13
Bodega S 19 21 9 15
a.- Si los costos de transportación se incrementan uniformemente en $500 por
unidad, ¿cuál es la nueva matriz?
b.- Si los costos de transportación se elevan en un 25%, escriba los nuevos costos.
SOLUCION
a.- Obtenemos la nueva matriz, sumándole a la matriz A la matriz de incrementos
13 12 17 12 0.5 0.5 0.5 0.5 13.5 12.5 17.5 12.5
19 17 13 15 0.5 0.5 0.5 0.5 19.5 17.5 13.5 15.5
8 9 11 13 0.5 0.5 0.5 0.5 8.5 9.5 11.5 13.5
19 21 9 15 0.5 0.5 0.5 0.5 19.5 21.5 9.5 15.5
     
     
      
     
     
     
.
b.- Los nuevos datos los obtenemos multiplicando la matriz A por 1.25, es decir
MATRICES
JOE GARCIA ARCOS
9
13 12 17 12 16.25 15 21.25 15
19 17 13 15 23.75 21.25 16.25 18.75
1.25
8 9 11 13 10 11.25 13.75 16.25
19 21 9 15 23.75 26.25 11.25 18.75
   
   
   
   
   
   
. 
TEOREMA 1.1.5
Si A = (aij), B = (bij) son matrices de igual orden y k un número, entonces se
cumple la ley distributiva respecto a la adición de matricial, es decir,
k(A + B) = kA + kB.
DEMOSTRACION
Sean A, B matrices de igual orden y k un número, entonces:
k(A + B) = k((aij) + (bij))
= k(aij) + bij)
= (kaij + kbij)
= (kaij) + (kbij)
= kA + kB. 
TEOREMA 1.1.6
Si A = (aij) es una matriz arbitraria y k, t números, entonces se cumple la ley
distributiva con respecto a la adición de escalares, es decir,
(k + t)A = kA + tA.
DEMOSTRACION
Sean A una matriz arbitraria y k, t números, entonces:
(k + t)A = (k + t)(aij)
= ((k + t)aij)
= (kaij + taij)
= (kaij) + (taij)
= kA + tA. 
% MULTIPLICACION DE UN ESCALAR Y UNA MATRIZ
clc;clear;
fprintf('n PRODUCTO POR UN ESCALAR n')
fil=input('Ingrese el numero de filas de la Matriz A: ');
col=input('Ingrese el numero de columnas de la Matriz A: ');
n=input('Ingrese el escalar: ');
%Ingreso de elementos
for f=1:fil
for c=1:col
fprintf('Ingrese el elemento (%d,%d)',f,c)
A(f,c)=input(' :');
end
fprintf(' LA MATRIZ A ES: n')
A
end
fprintf(' LA MATRIZ PRODUCTO B ES: n')
B=A*n
End
La matriz opuesta de A puede obtenerse multiplicando la matriz original por el
escalar –1. De acuerdo con esta definición; B = (-1)A, notándose B = -A, lo cual
podemos expresarlo detalladamente como
= +(- )C A A
11 12 1 11 12 1
21 2 2 2 21 2 2 2
1 2 1 2
m m
m m
n n n m n n n m
a a a a a a
a a a a a a
a a a a a a
     
   
     
    
   
        
MATRICES
JOE GARCIA ARCOS
10
11 11 12 12 1 1
21 21 2 2 2 2 2 2
1 1 2 2
0 0 0
0 0 0
0 0 0
m m
m m
n n n n n m n m
a a a a a a
a a a a a a
a a a a a a
     
            
   
      
.
DEFINICION 1.1.7
Una matriz B = (bij) que, dada una matriz A = (aij) cumple la ecuación
matricial
(oij) = (aij) + (bij), para todo i, j  N
recibe el nombre de matriz opuesta o negativa de A.
La operación de restar una matriz B de una matriz A se define exactamente como
esperará el lector: A – B es la matriz cuyos elementos son aij – bij. Se observa
también que la resta puede definirse en términos de operaciones ya definidas,
como
A – B = A + (-B).
Es decir, para restar dos matrices, restamos sus correspondientes elementos.
DEFINICION 1.1.8
Dadas A = (aij), B = (bij) y C = (cij), matrices de igual orden. Si se cumple
que
C = A - B = (aij) - (bij) = (aij – bij) = (cij), i, j  N
a la matriz C se le denomina resta de A y B.
Es decir; si a cada par de matrices de orden n x m le hacemos corresponder otra
matriz del mismo orden cuyos elementos se obtienen restando término a término
los correspondientes a dichas matrices, se denomina resta de matrices. Dadas las
matrices A y B, detalladamente podemos interpretar la resta de matrices de la
siguiente manera:
= -C A B
11 12 1 11 12 1
21 2 2 2 21 2 2 2
1 2 1 2
=
m m
m m
n n n m n n n m
a a a b b b
a a a b b b
a a a b b b
   
   
   
   
   
   
   
11 11 12 12 1 1
21 21 2 2 2 2 2 2
1 1 2 2
m m
m m
n n n n n m n m
a b a b a b
a b a b a b
a b a b a b
   
 
   
  
 
    
.
Debemos tener muy en cuenta, como lo hicimos para la adición, que la resta de las
matrices A y B se puede realizar solamente cuando tienen el mismo orden. De aquí
que el orden de la matriz obtenida de la resta es la misma que la de A y B.
EJEMPLO 1.1.9
Dadas las matrices
13 5 12
17 6 8
 
  
 
A y
-6 11 3
=
15 2 1
 
 
 
B .
Determine la matriz M tal que A - 2M = 3B.
SOLUCION
Como A – 2M = 3B, entonces:
MATRICES
JOE GARCIA ARCOS
11
2M = A – 3B 
1
= ( -3 )
2
M A B
Reemplazando los datos conocidos, obtenemos:
13 5 12 -6 11 3 13 5 12 -18 33 91 1
= -3 = -
17 6 8 15 2 1 17 6 8 45 6 32 2
          
          
          
M
31 28 31
28 0 52
 
  
 
. 
EJEMPLO 1.1.10
Dadas las matrices
4 4
4 4
Sen Cos
Cos Sen
  
 
 
   
 
A , 4 4
4 4
Tan Sen
Sen Tan
  
 
 
  
 
 
B .
Determine A - B.
SOLUCION
2 2 2
1
4 4 4 4 2 2 2-
2 2 2
1
4 4 4 4 2 2 2
Sen Cos Tan Sen
Cos Sen Sen Tan
         
       
         
                
       
A B
2
1 2
2
2
2 1
2
 
 
 
 
  
 
. 
EJEMPLO 1.1.11
Tres máquinas de gaseosas se localizan en un centro comercial. El contenido de estas
máquinas se presenta en la siguiente matriz de inventario:
Coca -Cola Fanta Sprite
Maquina I 65 32 84
Maquina II 92 65 36
Maquina III 45 72 93
Los elementos indican el número de latas de cada tipo de gaseosa que contiene cada
máquina. Suponga que la matriz de ventas para el día siguiente es
Coca -Cola Fanta Sprite
Maquina I 53 25 70
Maquina II 80 60 30
Maquina III 35 65 85
donde los elementos indican el número de latas de cada tipo de gaseosa que vende
cada máquina. Hallar la matriz de inventario al final del día.
SOLUCION
La matriz de inventario al final del día se obtiene de la siguiente manera:
65 32 84 53 25 70 12 7 14
92 65 36 80 60 30 12 5 6
45 72 93 35 65 85 10 7 8
     
     
      
     
     
.
Si cada máquina se recarga con 30 latas de Coca-Cola, 20 latas de Fanta y 15 latas de
Sprite, entonces la matriz de inventarios es la siguiente:
MATRICES
JOE GARCIA ARCOS
12
12 7 14 30 20 15 42 27 29
12 5 6 30 20 15 42 25 21
10 7 8 30 20 15 40 27 23
     
     
      
     
     
. 
EJEMPLO 1.1.12
Determínense las matrices P y Q de orden 3 x 2, tales que satisfagan el sistema de
ecuaciones
2 +3 =
- - =



P Q A
P Q B
, donde
1 3
= 2 4
1 2
 
 
 
 
 
A y
-1 0
= -1 -3
1 -1
 
 
 
 
 
B .
SOLUCION
Multiplicando la segunda ecuación por 2, y sumandole a la primera, obtenemos las
matrices P y Q.
= - -3
= + 2



P A B
Q A B
Es decir:
1 3 -1 0 -1 -3 -3 0 2 -3
= - 2 4 -3 -1 -3 = -2 -4 - -3 -9 = 1 5
1 2 1 -1 -1 -2 3 -3 -4 1
         
         
         
         
         
P
1 3 -1 0 1 3 -2 0 -1 3
= 2 4 + 2 -1 -3 = 2 4 + -2 -6 = 0 -2
1 2 1 -1 1 2 2 -2 3 0
         
         
         
         
         
Q . 
A continuación, dividamos una matriz A en partes mediante un sistema de rectas
verticales y horizontales. Estas partes pueden ser consideradas como matrices de
órdenes inferiores que forman, interpretadas como elementos, la propia matriz; se
denominan bloques o submatrices de la matriz A, mientras que la propia matriz A,
dividida de un modo determinado en submatrices, se denomina hipermatriz. Una
misma matriz puede ser dividida en submatrices de diferentes maneras.
DEFINICION 1.1.9
Se denomina hipermatriz a una ordenación rectangular de submatrices. Una
submatriz derivada de una matriz A es la formada por los elementos que
pertenecen simultáneamente a h filas y k columnas de A.
La conveniencia de la división en submatrices consiste en que las operaciones
principales sobre hipermatrices se realizan formalmente siguiendo las mismas reglas
que en el caso de matrices corrientes. En efecto, supongamos una matriz A dividida
de algún modo en submatrices:
11 12 1
21 22 2
1 2
n
n
m m mn
 
 
 
 
  
 
A A A
A A A
A
A A A
.
Al multiplicar todas las submatrices por un número k multiplicaremos, al mismo
tiempo, todos los elementos de la matriz A por k. Por consiguiente
11 12 1
21 22 2
1 2
n
n
m m mn
k k k
k k k
k
k k k
 
 
 
 
  
 
A A A
A A A
A
A A A
.
Sea B una matriz dividida en el mismo número de submatrices que la matriz A
MATRICES
JOE GARCIA ARCOS
13
11 12 1
21 22 2
1 2
n
n
m m mn
 
 
 
 
  
 
B B B
B B B
B
B B B
.
supongamos, además, que las correspondientes submatrices de las matrices A y B
son del mismo número de filas y de columnas respectivamente. Para sumar las
matrices A y B hay que sumar sus elementos correspondientes. Pero lo mismo
ocurrirá, si sumamos las submatrices correspondientes de estas matrices. Por esto
11 11 12 12 1 1
21 21 22 22 2 2
1 1 2 2
+
n n
n n
m m m m mn mn
   
 
   
 
     
A B A B A B
A B A B A B
A B
A B A B A B
.
% CALCULAR LA RESTA DE MATRICES
clc;clear;
fprintf('n RESTA DE MATRICES n')
fil=input('Ingrese el numero de filas De las Matrices A y B: ');
col=input('Ingrese el numero de columnas De las Matrices A y B: ');
%Ingreso de elementos
fprintf('Matriz A:n')
for f=1:fil
for c=1:col
fprintf('Ingrese el elemento A:(%d,%d)',f,c)
A(f,c)=input(' :');
end
end
fprintf('Matriz B:n')
for f=1:fil
for c=1:col
fprintf('Ingrese el elemento B:(%d,%d)',f,c)
B(f,c)=input(' :');
end
end
fprintf(' LA MATRIZ A ES:n')
A
end
fprintf(' LA MATRIZ B ES:n')
B
end
fprintf('LA MATRIZ DIFERENCIA C ES:n')
C=A-B
End
Como podemos ver, resulto fácil definir la igualdad, la multiplicación por un
escalar, y la suma de matrices. No es tan obvio, en cambio, cómo debe definirse
la multiplicación matricial. En este caso debe abandonarse, el concepto de matriz
como simple arreglo de números puesto que esta idea no nos proporciona una
guía para una definición propia. Ahora definiremos la operación más complicada
de multiplicar dos matrices.
DEFINICION 1.1.10
Dadas A = (aij) y B = (bij), matrices en las cuales el número de columnas de
A es igual al número de filas de B. Se llama producto de A y B a una matriz
C = (cij) cuyo orden es el número de filas de A y el número de columnas de
B, denotada
( )ij ik kj
k
c a b

 
   
 
C , para todo i, j  .
MATRICES
JOE GARCIA ARCOS
14
De la propia definición se deduce que, en general, no es posible multiplicar dos
matrices rectangulares, ya que se exige que el número de columnas de la primera
matriz coincida con el número de filas de la segunda. Por lo tanto la condición
necesaria y suficiente para que el producto AB esté definido, es que el número de
columnas de A sea igual al número de filas de B.
Para formar los elementos de la primera fila de la matriz AB se han multiplicado
ordenadamente los elementos de la primera fila de A con los elementos de cada
columna de B y, después se suman los correspondientes productos. Procediendo
análogamente con cada una de las demás filas de A, se obtienen los elementos de
cada una de las restantes filas de AB. La notación formal se expresa como
C = AB y sus elementos se determinan de la siguiente manera:
11 12 1 11 12 1
21 2 2 2 21 2 2 2
1 2 1 2
=
p m
p m
n n n p p p p m
a a a b b b
a a a b b b
a a a b b b
  
  
  
   
  
  
  
C AB
1 1 1 2 1
2 1 2 2 2
1 2
k k k k k k m
k k k
k k k k k k m
k k k
n k k n k k n k k m
k k k
a b a b a b
a b a b a b
a b a b a b
  
  
  
 
 
 
 
  
 
 
 
 
  
  
  
.
El producto de dos matrices, en términos generales, depende del orden de los
factores incluso en el caso en que el conjunto al cuál pertenecen sus elementos es
conmutativo. Si se consideran matrices no cuadradas, puede ocurrir incluso que el
producto de dos matrices tomadas en un orden tenga sentido y tomadas en el
orden contrario, no lo tenga.
EJEMPLO 1.1.13
Pruébese que si A es una matriz cuadrada y B = A + I, donde  y  son escalares,
entonces AB = BA.
SOLUCION
Calculamos el producto matricial AB, previamente reemplazando la identidad de B y
obtenemos el resultado requerido:
AB = A(A + I) = A2
+ AI = (A + I)A = BA. 
EJEMPLO 1.1.14
Si
2 1
2 3
 
  
 
A y
7 6
9 8
 
  
 
B .
Hallar matrices C y D de orden 2, tales que AC = B y DA = B.
SOLUCION
Para determinar matrices C y D, debemos tomar matrices de 2 x 2 cuyos elementos
son desconocidos y los establecemos como sigue:
2 1 7 6
2 3 9 8
a b
c d
    
    
    

2 2 7 6
2 3 2 3 9 8
a c b d
a c b d
    
   
      
2 1 7 6
2 3 9 8
e f
g h
    
    
    

2 2 3 7 6
2 2 3 9 8
e f e f
g h g h
     
   
     
De aquí, establecemos los siguientes sistemas de ecuaciones:
MATRICES
JOE GARCIA ARCOS
15
2 7
2 3 9
a c
a c
  

   
c = 8 y d = 7;
2 2 7
3 6
e f
e f
  

   
19
4
f  y
33
4
e 
2 6
2 3 8
b d
b d
  

   
15
2
a  y
13
2
b  ;
2 2 9
3 8
g h
g h
  

   
25
4
h  y
43
4
g 
Solucionados ambos sistemas y obtenemos las matrices pedidas:
15 13
2 2
8 7
 
 
  
 
C y
33 19
4 4
43 25
4 4
 
 
 
 
 
 
D . 
EJEMPLO 1.1.15
Determine la matriz M de modo que satisfaga la relación
3 1 5 7
=
-2 2 -5 9
   
   
   
M .
SOLUCION
Para resolver este problema, debemos tomar una matriz M de 2 x 2 cuyos elementos
son desconocidos y los establecemos de la siguiente manera:
3 1 5 7
2 2 5 9
a b
c d
    
    
     

3 2 2 5 7
3 2 2 5 9
a b a b
c d c d
    
   
     
.
Dos matrices se dice son iguales si sus correspondientes elementos son iguales,
por tanto
3 2 5
2 7
a b
a b
  

  
 4a = 12  a = 3 y b = 2;
3 2 5
2 9
c d
c d
   

  
 4c = 4  c = 1 y d = 4
Por lo tanto
3 2
=
1 4
 
 
 
M . 
EJEMPLO 1.1.16
Encontrar todas las matrices de orden dos que conmutan con la matriz
Cos Sen
Sen Cos
   
  
  
A .
SOLUCION
Multiplicamos a la matriz A por la izquierda y derecha por una matriz 2 x 2 de
variables:
a b Cos Sen Cos Sen a b
c d Sen Cos Sen Cos c d
          
     
        
Igualando los elementos de estas matrices, establecemos un sistema de ecuaciones:
aCos bSen aCos cSen
aSen bCos bCos dSen
cCos dSen aSen cCos
cSen dCos bSen dCos
      
       

      
       

( ) 0
( ) 0
( ) 0
( ) 0
b c Sen
a d Sen
a d Sen
b c Sen
  
   

  
   
Si Sen  0, entonces: b + c = 0  b = -c y a - d = 0  a = d
por lo tanto la matriz buscada es
d c
c d
 
 
 
, para todo c, d  R. 
MATRICES
JOE GARCIA ARCOS
16
EJEMPLO 1.1.17
Dadas las matrices A, B, ¿en qué condiciones son válidas las siguientes ecuaciones?
a.- (A + B)2
= A2
+ 2AB + B2
; b.- (A + B)(A - B) = (A - B)(A + B) = A2
- B2
.
SOLUCION
a.- (A + B)2
= (A + B)(A + B) = AA + AB + BA + BB si AB = BA
= A2
+ 2AB + B2
.
b.- (A + B)(A - B) = AA - AB + BA - BB si AB = BA
= A2
- B2
(A - B)(A + B) = AA + AB - BA - BB si AB = BA
= A2
- B2
. 
EJEMPLO 1.1.18
Dadas las matrices A, B, C, D, suponga que todas las operaciones están definidas;
demuestre entonces, a partir de la definición de multiplicación de matrices, que:
(A + B)(C + D) = A(C + D) + B(C + D) = AC + AD + BC + BD.
Bajo qué hipótesis están definidas todas las operaciones?
SOLUCION
Realizamos el producto
(A + B)(C + D) = AC + AD + BC + BD
= (AC + AD) + (BC + BD)
= A(C + D) + B(C + D)
Las matrices A y B deben ser de orden m x n y las matrices C + D de orden n x p. 
EJEMPLO 1.1.19
Si A, B, C son tres matrices tales que AC = CA y BC = CB, pruébese que:
(AB ± BA)C = C(AB ± BA).
SOLUCION
Tenemos como hipótesis que tanto A y C como B y C son conmutativas para el
producto, entonces:
(AB ± BA)C = ABC ± BAC = ACB ± BCA = CAB ± CBA = C(AB ± BA). 
EJEMPLO 1.1.20
Dadas las matrices
1 0 2
0 1 1
2 0 2
 
 
  
 
 
A ,
1 3 0
0 4 1
2 3 0
 
 
  
 
 
B ,
6 5 7
2 2 4
3 3 6
 
 
  
 
 
C .
Muestre que AC = BC, sin embargo, A  B.
SOLUCION
Primero realizamos el producto AC y luego BC:
1 0 2 6 5 7 12 11 19
0 1 1 2 2 4 5 5 10
2 0 2 3 3 6 18 16 26
    
    
     
    
    
AC ;
1 3 0 6 5 7 12 11 19
0 4 1 2 2 4 5 5 10
2 3 0 3 3 6 18 16 26
    
    
      
    
    
BC .
De esta manera queda demostrado que AC = BC sin que A = B. 
EJEMPLO 1.1.21
Muestre que A y B conmutan si y sólo si A - I y B - I conmutan para un cierto
escalar unidad.
SOLUCION
Realizamos los productos correspondientes a (A - I)(B - I) y (B - I)(A - I):
(A - I)(B - I) = (B - I)(A - I)
MATRICES
JOE GARCIA ARCOS
17
AB - AI - IB + 2
II = BA - BI - IA + 2
II
AB - A - B + 2
I2
= BA - B - A + 2
I2
AB = BA. 
EJEMPLO 1.1.22
Sea
a b
c d
 
  
 
A una matriz de 2 x 2 con ad – bc  0. Encuentre una matriz B tal
que AB = BA = I.
SOLUCION
Realizamos los productos AB = I y BA = I, luego resolvemos los sistemas de
ecuaciones lineales generados por cada uno de ellos:
1 0
0 1
a b x y
c d z u
    
     
    
AB 
1
0
0
1
ax bz
cx dz
ay bu
cy du
 
  

 
  

;
;
d c
x z
ad bc ad bc
b a
y u
ad bc ad bc

   

  
  
1 0
0 1
x y a b
z u c d
    
     
    
BA 
1
0
0
1
ax cy
bx dy
az cu
bz du
 
  

 
  

;
;
d c
x z
ad bc ad bc
b a
y u
ad bc ad bc

   

  
  
.
Por lo tanto la matriz B tiene la forma siguiente:
d b
ad bc ad bc
c a
ad bc ad bc
 
   
 
 
  
B . 
EJEMPLO 1.1.23
Demuestre que si AB = O y B  O, no existe ninguna matriz C tal que CA = I.
SOLUCION
Si A = O por ser B  O, la no existencia de la matriz C para que CA = I, es obvia. Si
A  O y B  O, entonces A  O, CA  CO, CA  O para que CA = I
necesariamente la matriz C debe ser la inversa de A, en caso contrario no podemos
obtener CA = I. 
EJEMPLO 1.1.24
Sea A una matriz de n x n. Suponga que AB = B para toda matriz B de n x n.
Pruebe que A = I.
SOLUCION
Tenemos que:
AB = B  AB – B = O  (A – I)B = O.
Por hipótesis B  O, entonces A – I = O, de donde A = I. 
EJEMPLO 1.1.25
Encuentre un ejemplo para probar que existen matrices no cuadradas A y B, tales que
AB = I. Específicamente, pruebe que existe una matriz A de m x n y una matriz B de
n x m, tales que AB es la matriz identidad de m x m. Demuestre que BA no es la
matriz identidad de n x n. Pruebe en general que, si m  n, entonces AB y BA no
pueden ser ambas matrices identidad.
SOLUCION
Sea
1 3 1
4 2 1
 
  
 
A y
a b
c d
e f
 
 
  
 
 
B , entonces:
MATRICES
JOE GARCIA ARCOS
18
1 3 1 3 3 1 0
4 2 1 4 2 4 2 0 1
a b
a c e b d f
c d
a c e b d f
e f
 
          
                  
 
AB .
Igualando las matrices, obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones:
(1) 3 1
(2) 4 2 0 (1) (2) 5 5 1
(3) 3 0 (3) (4) 5 5 1
(4) 4 2 1
a c e
a c e a c
b d f b d
b d f
  
      
 
     
   

5 5 1
5 5 1
a b
a c
c d
b d
e f
  
   
       
  
B .
Como comprobación, podemos escoger la matriz B de la siguiente manera:
3 3
5 10
1 3 1 1 02 1
4 2 1 0 15 2
8 6
5 5
 
 
 
          
    
  
 
AB .
Con esto queda demostrado que existen matrices no cuadradas, tales que el producto
AB es la matriz I. A continuación, vamos a demostrar que el producto BA no es la
matriz I:
3 3 3 6 9
5 10 5 5 10 1 0 0
1 3 12 1 8 1 9
0 1 0
4 2 15 2 5 5 10
0 0 1
8 6 16 12 14
5 5 5 5 5
   
     
     
                
        
       
   
BA . 
EJEMPLO 1.1.26
Suponga que la tercera columna de B es la suma de las primeras dos columnas. ¿Qué
se puede decir sobre la tercera columna de AB? ¿Por qué?
SOLUCION
La tercera columna de AB es la suma de las primeras dos columnas de AB. He aquí
por qué. Denotemos las primeras tres columnas de B por b1, b2, b3. Si b3 = b1 + b2,
entonces la tercera columna de AB es Ab3 = Ab1 + Ab2, por una propiedad de la
multiplicación de matrices. 
EJEMPLO 1.1.27
Un comerciante de radios, tiene 10 radios de tamaño I, 15 de tamaño II y 8 de
tamaño III. Los radios de tamaño I se venden a $60 cada uno los de tamaño II en $47
cada uno y los de tamaño III se venden a $40 cada uno. Calcular el precio de venta
de su existencia de radios.
SOLUCION
Construimos una matriz A en la cual constan la cantidad de radios de cada uno de los
tamaños y, una matriz B de precios por tamaño. Realizamos el producto de AB para
obtener el precio de venta de la existencia de radios
 
60
10 15 8 47 $1625
40
 
 
 
 
 
. 
EJEMPLO 1.1.28
Una empresa utiliza tres tipos de materias primas P1, P2 y P3 en la elaboración de tres
productos Q1, Q2 y Q3. El número de unidades de P1, P2 y P3 usados por cada unidad
de Q1 son 4, 3 y 2 respectivamente, por cada unidad de Q2 son 5, 3 y 4,
MATRICES
JOE GARCIA ARCOS
19
respectivamente, y por cada unidad de Q3 son 2, 5 y 3 respectivamente. Suponga que
la empresa produce 28 unidades de Q1, 18 unidades de Q2 y 39 unidades de Q3 a la
semana.
a.- ¿Cuál es el consumo semanal de materia prima?
b.- Si los costos por unidad para P1, P2 y P3 son 60, 52 y 18, respectivamente, ¿cuá-
les son los costos de las materias primas por unidad de Q1, Q2 y Q3?
c.- ¿Cuál es la cantidad total gastada en materias primas a la semana en la produc-
ción de Q1, Q2 y Q3?
SOLUCION
a.- Para obtener el consumo semanal de la materia prima, construimos la matriz A
de unidades por producto y una matriz B de cantidad de materia prima por producto
y luego realizamos el producto AB
   
4 3 2
28 18 39 5 3 4 280 333 245
2 5 3
 
 
  
 
 
AB .
b.- Los costos de materia prima por unidad de cada producto lo calculamos de la
siguiente manera: a la matriz B del inciso anterior le multiplicamos la matriz C de
costos por unidad para cada tipo de materia prima, es decir
4 3 2 60 432
5 3 4 52 528
2 5 3 18 434
    
    
     
    
    
BC .
c.- Si sumamos los tres tipos de materia prima, obtenemos la cantidad total gastada
a la semana en la producción de los tres productos
P1 + P2 + P3 = 280 + 333 + 245 = 858. 
EJEMPLO 1.1.29
Demostrar que la igualdad AB – BA = I es imposible.
SOLUCION
Sea
11 12 1
21 22 2
1 2
...
...
... ... ...
...
n
n
n n nn
a a a
a a a
a a a
 
 
 
 
  
 
A ,
11 12 1
21 22 2
1 2
...
...
... ... ...
...
n
n
n n nn
b b b
b b b
b b b
 
 
 
 
  
 
B ,
1 1 1 2 1
1 1 1
2 1 2 2 2
1 1 1
1 2
1 1 1
...
...
... ... ...
...
n n n
k k k k k kn
k k k
n n n
k k k k k kn
k k k
n n n
nk k nk k nk kn
k k k
a b a b a b
a b a b a b
a b a b a b
  
  
  
 
 
 
 
 
  
 
 
 
 
 
 
  
  
  
AB ,
1 1 1 2 1
1 1 1
2 1 2 2 2
1 1 1
1 2
1 1 1
...
...
... ... ...
...
n n n
k k k k k kn
k k k
n n n
k k k k k kn
k k k
n n n
nk k nk k nk kn
k k k
b a b a b a
b a b a b a
b a b a b a
  
  
  
 
 
 
 
 
  
 
 
 
 
 
 
  
  
  
BA .
Entonces la suma de los elementos diagonales de la matriz AB es igual a
MATRICES
JOE GARCIA ARCOS
20
1 1
n n
ik ki
i k
a b
 
 , que es exactamente igual a la suma de los elementos diagonales para la
matriz BA. Por consiguiente, la suma de los elementos diagonales de la matriz
AB – BA es igual a cero, y la igualdad AB – BA = I es imposible. 
TEOREMA 1.1.7
Sean A = (aij), B = (bij) y C = (cij), matrices compatibles para el producto,
entonces (AB)C = A(BC).
DEMOSTRACION
Sean A, B, C matrices compatibles para el producto y D = BC, entonces para todo i,
j natural
1
( )
m
ij ik kj
k
d b c

 
  
 
 .
Sea E = AD, entonces para todo i, j natural
1 1 1 1 1
( )
m m m m m
ij ir rj ir rk kj ir rk kj
r r k r k
e a d a b c a b c
    
      
         
      
    .
Por otra parte, sea F = AB, entonces para todo i, j natural
1
( )
m
ij ik kj
k
f a b

 
  
 
 .
Sea G = FC, entonces para todo i, j natural
1 1 1 1 1
( )
m m m m m
ij ir rj ik kr rj ik kr rj
r r k r k
g f c a b c a b c
    
      
         
      
    .
Obtenemos E = G y, por tanto (AB)C = A(BC). 
De este teorema se deduce que el producto de varias matrices dispuestas en un orden
determinado no depende de cómo se coloquen los paréntesis. Por esto podemos
hablar no sólo sobre el producto de dos matrices, sino también sobre el producto de
un número mayor de matrices.
TEOREMA 1.1.8
Sean A = (aij), B = (bij) y C = (cij), matrices compatibles para el producto y
suma respectivamente, entonces
A(B + C) = AB + AC.
DEMOSTRACION
Sea D = B + C, entonces (dij) = (bij + cij). Si E = AD, entonces
1
( )
m
ij i k k j
k
e a d

 
  
 

1
( )
m
i k k j i k k j
r
a b a c

 
  
 

1 1
m m
i k k j i k k j
r r
a b a c
 
   
    
   
 
= +AB AC . 
TEOREMA 1.1.9
Sean A = (aij), B = (bij) y C = (cij), matrices compatibles para la suma y el
producto respectivamente, entonces
(B + C)A = BA + CA.
DEMOSTRACION
Sea D = B + C, entonces (dij) = (bij + cij). Si E = DA, entonces
MATRICES
JOE GARCIA ARCOS
21
1 1 1 1
( ) ( ) +
m m m m
ij ik kj ik ik kj ik kj ik kj
k r r r
e d a b c a b a c a
   
       
            
       
    BA CA . 
De las propiedades 1.1.8 y 1.1.9 se desprende directamente la siguiente regla general:
para multiplicar una suma de matrices por otra hay que multiplicar cada matriz de la
primera suma por cada matriz de la segunda suma y sumar los productos obtenidos.
Si las operaciones indicadas en uno de los miembros son posibles, las operaciones
indicadas en el otro miembro también son posibles y los resultados obtenidos en
ambos miembros coinciden.
TEOREMA 1.1.10
Sean A = (aij), I = (ij) matrices cuadradas de igual orden. En las matrices
cuadradas es posible definir un elemento neutro respecto del producto
matricial, llamado matriz unidad o identidad, representado por I, que cumple
AI = IA = A.
DEMOSTRACION
Si D = AI, entonces
1
( ) ( ) ( )
m
ij ik kj ij jj ij
r
d a a a

 
     
 

Si E = IA, entonces
1
( ) ( ) ( )
m
ij ik kj ii ij ij
r
e a a a

 
     
 

Por tanto, D = E = A. 
TEOREMA 1.1.11
Sean A = (aij), B = (bij) matrices compatibles para el producto. En general, el
producto de dos matrices no es conmutativo, y, por tanto AB  BA.
DEMOSTRACION
Si D = AB, entonces
1
( )
m
ij ik kj
r
d a b

 
  
 

Si E = BA, entonces
1
( )
m
ij ik kj
r
e b a

 
  
 

Claramente observamos que D  E y, por tanto, en general el producto de matrices
no es conmutativo. 
EJEMPLO 1.1.30
Demuestre que AB  BA dadas las matrices
2 4 3
7 6 9 1
i i i
i i
  
  
  
A ,
8 4 5
6 2
3 2 4 5
i i
i
i i
 
 
  
   
B .
SOLUCION
8 4 5
2 4 3 42 21 6 4
6 2
7 6 9 1 97 25 27 24
3 2 4 5
i i
i i i i i
i
i i i i
i i
 
       
               
AB ;
8 4 5 20 35 38 1 9 8
2 4 3
6 2 12 8 42 6 6 2
7 6 9 1
3 2 4 5 32 42 83 19 7 4
i i i i i
i i i
i i i i
i i
i i i i i
      
     
                     
BA .
MATRICES
JOE GARCIA ARCOS
22
Por tanto AB  BA. 
EJEMPLO 1.1.31
Dadas las matrices
4 4
4 4
Sen Cos
Cos Sen
  
 
 
   
 
A , 4 4
4 4
Tan Sen
Sen Tan
  
 
 
  
 
 
B .
Demuestre que AB = BA.
SOLUCION
Realizamos el producto AB:
4 4 4 4
4 4 4 4
Sen Cos Tan Sen
Cos Sen Sen Tan
     
  
  
       
  
AB
2 2 2 2 1 2 1
1
2 2 2 2 2
2 2 2 1 2 2 1
1
2 2 2 2 2
     
    
     
     
    
    
.
También efectuamos el producto BA:
4 4 4 4
4 4 4 4
Tan Sen Sen Cos
Sen Tan Cos Sen
     
  
  
       
  
BA
2 2 2 2 1 2 1
1
2 2 2 2 2
2 2 2 1 2 2 1
1
2 2 2 2 2
     
    
     
     
    
    
.
Por tanto AB = BA. 
% CALCULAR LA MULTIPLICACION DE MATRICES
clc;clear;
fprintf('n PRODUCTO ENTRE MATRICES n')
fil1=input('Ingrese el numero de filas de la matriz A : ');
col1=input('Ingrese el numero de columnas de la matriz A: ');
fil2=input('Ingrese el numero de filas de la matriz B : ');
col2=input('Ingrese el numero de columnas de la matriz B: ');
if (col1==fil2)
%Ingreso de elementos
fprintf('Matriz A:n')
for f=1:fil1
for c=1:col1
fprintf('Ingrese el elemento A:(%d,%d)',f,c)
A(f,c)=input(' :');
end
end
fprintf('Matriz B:n')
for f=1:fil2
for c=1:col2
fprintf('Ingrese el elemento B:(%d,%d)',f,c)
B(f,c)=input(' :');
end
end
fprintf(' LA MATRIZ A ES:n')
MATRICES
JOE GARCIA ARCOS
23
A
fprintf(' LA MATRIZ B ES:n')
B
fprintf(' LA MATRIZ PRODUCTO C ES:n')
C=A*B
else
fprintf('n Las dimensiones no coincidenn')
end
A continuación damos de forma general, la multiplicación de hipermatrices.
Consideremos las matrices
11 12 1
21 22 2
1 2
p
p
m m mp
 
 
 
  
 
 
 
A A A
A A A
A
A A A
y
11 12 1
21 22 2
1 2
n
n
p p pn
 
 
 
 
  
 
B B B
B B B
B
B B B
.
divididas en submatrices Aik y Bkj de manera que el número de columnas de la
submatriz Aik sea igual al número de filas de la submatriz Bkj. En estas condiciones
las expresiones Cij = Ai1B1j + Ai2B2j + ... + AipBpj tienen sentido. Por tanto
1 1 1 2 1
2 1 2 2 2
1 2
k k k k k km
k k k
k k k k k km
k k k
nk k nk k nk km
k k k
  
  
  
 
 
 
 
  
 
 
 
 
  
  
  
A B A B A B
A B A B A B
AB
A B A B A B
es decir, las matrices divididas de manera adecuada en submatrices pueden ser
multiplicadas de la forma corriente.
DEFINICION 1.1.11
Si A y B son dos hipermatrices cuyas submatrices son (Aik), (Bkj), para todo
i, j, k  , respectivamente, la hipermatriz producto C = AB se define
como
( )ij ik kj
k
c

 
   
 
C A B , para todo i, j, k  .
EJEMPLO 1.1.32
Determine AB, dadas las matrices
4 3 5 2 1
0 4 6 3 8
1 2 3 6 2
1 2 5 6 7
1 0 3 5 1
 
 
 
 
 
 
 
 
A y
0 3 9 1
1 3 6 3
2 4 6 8
1 4 6 3
2 4 8 5
 
 
 
 
 
 
 
 
B .
SOLUCION
El producto AB se establece de la siguiente manera:
11 11 12 12 11 12 12 2 2 11 12
21 2221 11 2 2 21 21 12 2 2 2 2
+ +
= =
+ +
   
       
A B A B A B A B C C
AB
C CA B A B A B A B
11
2 4 6
4 3 0 3 9 5 2 1
1 4 6
0 4 1 3 6 6 3 8
2 4 8
 
     
      
     
 
C
MATRICES
JOE GARCIA ARCOS
24
3 21 54 14 32 50 17 53 104
4 12 24 31 68 118 35 80 142
     
       
     
.
12
8
4 3 1 5 2 1 13 51 64
3
0 4 3 6 3 8 12 97 109
5
 
           
               
           
 
C .
21
1 2 3 6 2 2 4 6
0 3 9
1 2 5 6 7 1 4 6
1 3 6
1 0 3 5 1 2 4 8
    
     
      
     
    
C
2 9 21 16 44 70 18 53 91
2 9 21 30 72 122 32 81 143
0 3 9 13 36 56 13 39 65
     
     
       
     
     
.
22
1 2 3 6 2 8 7 52 59
1
1 2 5 6 7 3 7 93 100
3
1 0 3 5 1 5 1 44 45
          
           
               
           
          
C .
17 53 104 64
35 80 142 109
= 18 53 91 59
32 81 143 100
13 39 65 45
 
 
 
 
 
 
 
 
AB . 
EJEMPLO 1.1.33
Dada
=
 
 
 
O I
A
B O
donde las submatrices O, I, B son de k x k. Determine A2
y A4
.
SOLUCION
Realizamos el producto AA y luego A2
A2
y obtenemos los resultados
correspondientes:
2 + +
= = = =
+ +
      
      
      
O I O I O IB OI IO B O
A AA
B O B O BO OB BI O O B
;
2 2
4 2 2
2 2
+ +
= = = =
+ +
     
               
B O B O B O BO OB B O
A A A
O B O B OB BO O B O B
. 
Las propiedades entre hipermatrices son las mismas que estudiamos anteriormente.
PROBLEMAS
1.1.1 Multiplicar las matrices:
a.-
1 2 1 2 3 1 1 2 1
0 1 2 1 1 0 0 1 2
3 1 1 1 2 1 3 1 1
   
   
   
      
;
b.-
1
1
1 1 1 1
a b c a c
c b a b b
c a
  
  
  
  
  
.
1.1.2 Pruebe que si A es una matriz de n x n y B = aA +
bI, siendo a, b números reales, entonces A y B son
conmutativas.
1.1.3 Hallar todas las matrices de segundo orden, cuyos
cubos son iguales a la matriz nula.
1.1.4 Pruebe que las matrices A y B son conmutativas, si
y solamente si C = aA + bB y D = cA + dB lo son,
donde a, b, c, d son números reales.
MATRICES
JOE GARCIA ARCOS
25
1.1.5 Dadas las matrices
1
2
3
 
 
  
 
 
A ,
1
0
2
 
 
  
 
 
B ,
1
4
4
 
 
  
 
 
C ,
0
0
1
 
 
  
 
 
D .
a.- Encuentre escalares a y b tales que C = aA + bB;
b.- Demuestre que no existen escalares a y b tales que D
= aA + bB;
c.- Encuentre escalares no nulos a, b, c tales que aA + bB
+ cC = O.
1.1.6 Hallar todas las matrices se segundo orden, cuyos
cuadrados son iguales a la matriz nula.
1.1.7 Hallar todas las matrices conmutativas con la
siguiente matriz:
a.-
1 2
4 1
 
 
 
; b.-
1 2
2 1
 
 
 
; c.-
1 1
1 1
 
 
 
;
d.-
2 1
1 1
 
 
 
; e.-
3 4
5 1
 
 
 
; f.-
2 3
2 4
 
 
 
;
g.-
1 4
3 2
 
 
 
; h.-
3 8
3 1
 
 
 
; i.-
1 4
2 8
 
 
 
.
1.1.8 Hallar todas las matrices conmutativas con la
siguiente matriz:
a.-
1 1 1
1 1 1
1 1 1
 
 
 
   
; b.-
0 1 4
3 2 1
1 1 3
 
 
 
  
;
c.-
5 1 3
2 1 1
1 1 3
 
 
 
  
; d.-
4 5 1
1 3 0
2 0 1
 
 
 
 
 
;
e.-
1 3 0
2 1 3
5 2 1
 
 
 
  
; f.-
1 1 7
2 3 1
1 4 1
 
 
 
 
 
.
1.1.9 Encuentre matrices A y B de 2 x 2 tales que AB =
O pero BA  O.
1.1.10 Hallar todas las matrices de tercer orden, cuyos
cuadrados son iguales a la matriz nula.
1.1.11 Hallar todas las matrices de tercer orden, cuyos
cuadrados son iguales a la matriz identidad.
1.1.12 Suponga que la última columna de AB es
completamente cero pero B misma no tiene ninguna
columna de ceros. ¿Qué se puede decir sobre las columnas
de A?
1.1.13 Demuestre que si el producto AB es de n x n,
entonces el producto BA está definido.
1.1.14 Demuestre que si A es una matriz de m x n, n >
m, entonces existe un vector columna no nulo para el cual
Av = O.
1.1.15 Encuentre una matriz B tal que ABC = D dado
que
3 7
2 1
5 3
 
 
  
 
 
A ,
2 5 4
9 6 2
 
  
 
C ,
9 3 5
7 2 4
7 5 0
 
 
  
 
 
D .
1.1.16 Demuestre que si A es una matriz de n x n tal que
Av = v para cualquier vector columna, entonces A = I.
1.1.17 Hallar todas las matrices de segundo orden, cuyos
cuadrados son iguales a la matriz identidad.
1.1.18 Hallar todas las matrices reales de segundo orden,
cuyos cubos son iguales a la matriz identidad.
1.1.19 Hallar todas las matrices reales de segundo orden,
cuyas cuartas potencias son iguales a la matriz identidad.
1.1.20 Hállese la familia de matrices de la forma
0 0
0
0
a
b c
d e
 
 
  
 
 
A
tales que A2
= I.
1.1.21 Encontrar una matriz A de 4 x 4 cuyos elementos
cumplan la condición siguiente:
a.- aij = i – j; b.- aij = mín{i, j};
c.- aij = j1+ j
; d.- aij = i - j;
e.- aij = máx{i, j}; f.-
1 si 1
1 si 1ij
i j
a
i j
  
 
  
.
1.1.22 Pruebe con un ejemplo que si B tiene una columna
de ceros, entonces AB tiene una columna correspondiente
de ceros.
1.1.23 Encuentre una matriz A tal que:
a.- 3
1 2 4
0 3 1
0 0 3
 
 
  
 
 
A ; b.- 2
1 2 1
3 0 2
0 5 1
 
 
  
  
A ;
c.- 3
2 0 0
1 3 2
1 1 1
 
 
  
  
A ; d.- 2
1 2 1
1 0 2
1 2 1
 
 
  
  
A .
1.1.24 Sean A y B matrices tales que el producto AB
está definido. Demuestre que si A tiene dos columnas
idénticas, entonces las dos columnas correspondientes de
AB también son idénticas.
MATRICES
JOE GARCIA ARCOS
26
1.1.25 Represente como un producto de matrices las
siguientes expresiones:
a.- x2
+ 5y2
– 4z2
+ 2xy – 4xz;
b.- 4x2
+ y2
+ z2
– 4xy + 4xz – 3yz;
c.- 2x2
+ 18y2
+ 8z2
– 12xy + 8xz – 27yz;
d.- -12x2
– 3y2
– 12z2
+ 12xy – 24xz + 8yz;
e.- 3x2
+ 2y2
– z2
– 2u2
+ 2xy – 4yz + 2yu;
f.- 4x2
+ y2
+ 9z2
– 12xz;
g.- 2x2
+ 3y2
+ 6z2
– 4xy – 4xz + 8yz;
h.- 3x2
+ 10y2
+ 25z2
– 12xy – 18xz + 40yz;
i.- 5x2
+ 5y2
+ 2z2
+ 8xy + 6xz + 6yz;
j.- 2x2
+ 9y2
+ 3z2
+ 8xy – 4xz – 10yz.
1.1.26 Encuentre una matriz A de orden 2 x 2, tal que
AB = I si
3
1 1 3
i
i
 
  
 
B .
1.1.27 Comprobar que las identidades algebraicas
(A + B)2
= A2
+ 2AB + B2
y
(A + B)(A – B) = A2
– B2
no son ciertas para las matrices de 2 x 2:
1 3
4 5
 
  
 
A y
0 1
2 3
 
  
 
B
Modificar el segundo miembro de esas identidades para
obtener fórmulas válidas para todas las matrices cuadradas
A y B. ¿Para qué matrices A y B son válidas las
identidades establecidas anteriormente?
1.1.28 Sean A y B matrices de n x n. Demuestre que si
todos los elementos de la j-ésima columna de A son nulos
entonces todos los elementos de la j-ésima columna de AB
son nulos.
1.1.29 Hállese la familia de matrices de la forma
0 0
0
0
a
b c
d e
 
 
  
 
 
A
tales que A2
= O.
1.1.30 Construya una matriz aleatoria A de 4 x 4 y
compruebe si (A + I)(A – I) = A2
– I. La mejor manera de
hacer esto es calcular (A + I)(A – I) – (A2
– I) y verificar
que esta diferencia sea la matriz cero. Hágalo para tres
matrices al azar. Luego haga la prueba para (A + B)(A –
B) = A2
– B2
procediendo de la misma manera con tres
pares de matrices de 4 x 4 al azar. Informe los resultados.
1.1.31 Sea
0 0
0 1
 
  
 
A . Demuestre que para toda ma-
triz B de 2 x 2
(AB – ABA)2
= (BA – ABA)2
= O.
1.1.32 Encuentre todas las matrices de 4 x 4 que
conmuten con la matriz
1 1 0 0
1 1 1 0
0 1 1 1
0 0 1 1
 
 
 
 
 
 
A .
1.1.33 La matriz
PARA A PARA B PARA C
DE A 1.50 1.25 1.05
DE B 0.75 0.50 0.45
DE C 0.35 0.45 0.95
representa la proporción de una población de electores
que cambia del partido i al partido j en una elección dada.
Es decir, pij (i  j) representa la proporción de la población
de electores que cambia del partido i al partido j y pii
representa la proporción que permanece leal al partido i
de una elección a otra. Encuentre el producto de P con sí
misma. ¿Qué representa este producto?
1.1.34 Pruebe con un ejemplo que si A tiene una fila de
ceros, entonces AB tiene una fila correspondiente de
ceros.
1.1.35 Suponga que se quiere calcular la cantidad de
dinero que se tiene al cabo de n años si invertimos $ 250 a
un interés compuesto anual del, 4.5, 5, 5.5 %. Si
colocamos P dólares durante un año a un interés r,
entonces el valor que se tiene al final del año es Capital
final = P + rP = (1 + r)P. Encuentre el monto al final del
tercero y cuarto años de una inversión de $ 250 al interés
de 4.5, 5 y 5.5 %, respectivamente.
1.1.36 El costo en dólares de comprar un boleto aéreo de
la ciudad A a cada una de las cuatro ciudades B, C, D y E,
está relacionado en la matriz P = (75 62 35 55). Si la
directiva de la aviación civil aprueba un incremento del
12% en las tarifas. Hallar las nuevas tarifas.
1.1.37 Suponga que una matriz de n x n satisface la
ecuación A2
– 2A + I = O. Demuestre que A3
= 3A - 2I y
que A4
= 4A – 3I.
1.1.38 Demuestre que si ambos productos AB y BA están
definidos, entonces AB y BA son matrices cuadradas.
1.1.39 Tres máquinas de gaseosas se localizan en un
centro comercial. El contenido de estas máquinas se pre-
senta en la siguiente matriz de inventario:
A B C
Maquina I 65 32 84
Maquina II 92 65 36
Maquina III 45 72 93
MATRICES
JOE GARCIA ARCOS
27
Los elementos indican el número de latas de cada tipo de
gaseosa que contiene cada máquina. Suponga que la matriz
de ventas para el día siguiente es
A B C
Maquina I 53 25 70
Maquina II 80 60 30
Maquina III 35 65 85
donde los elementos indican el número de latas de cada
tipo de gaseosa que vende cada máquina. Hallar la matriz
de inventario al final del día.
1.1.40 Un comerciante de radios, tiene 10 radios de
tamaño I, 15 de tamaño II y 8 de tamaño III. Los radios
de tamaño I se venden a $60 cada uno los de tamaño II
en $47 cada uno y los de tamaño III se venden a $40
cada uno. Calcular el precio de venta de su existencia de
radios.
1.1.41 Un fabricante de sacos los produce en color ne-
gro, azul y rojo para hombres, mujeres y niños. La capa-
cidad de producción en miles en la planta A está dada
por la matriz
Hombres Mujeres Niños
Negro 3 5 6
Azul 2 3 4
Rojo 5 1 3
La producción en la planta B está dada por
Hombres Mujeres Niños
Negro 2 3 3
Azul 4 2 5
Rojo 1 3 2
a.- Determine la representación matricial de la producción
total de cada tipo de sacos en ambas plantas.
b.- Si la producción en A se incrementa en un 15% y la
de B en un 30%, encuentre la matriz que representa la
nueva producción total de cada tipo de saco.
1.1.42 Sean A y B dos matrices de 3 x 3. Demuestre que
la ecuación matricial AB – BA = I no tiene solución.
1.1.43 Una empresa utiliza tres tipos de materias primas
P1, P2 y P3 en la elaboración de tres productos Q1, Q2 y Q3.
El número de unidades de P1, P2 y P3 usados por cada
unidad de Q1 son 4, 3 y 2 respectivamente, por cada
unidad de Q2 son 5, 3 y 4, respectivamente, y por cada
unidad de Q3 son 2, 5 y 3 respectivamente. Suponga que la
empresa produce 28 unidades de Q1, 18 unidades de Q2 y
39 unidades de Q3 a la semana:
a.- ¿Cuál es el consumo semanal de materia prima?
b.- Si los costos por unidad para P1, P2 y P3 son 60, 52 y
18, respectivamente, ¿cuáles son los costos de las materias
primas por unidad de Q1, Q2 y Q3?
c.- ¿Cuál es la cantidad total gastada en materias primas a
la semana en la producción de Q1, Q2 y Q3?
1.1.44 Sean las matrices
2 2
3 2
 
  
 
A ,
1 1
0 1
 
  
 
B ,
1
0
 
  
 
C ,
 2 1 D ,
3
1
 
  
 
E .
Encuéntrese cada uno de los productos que se piden, y
compruébese el resultado mediante la multiplicación
directa:
a.-
  
  
  
A O B O
O B O I
; b.-
  
  
  
A B A O
B A I B
;
c.-
  
  
  
A C E I
D O O D
; d.-
  
  
  
  
  
A O O I
O B O O
O O O B
.
1.1.45 Utilizando el programa hecho anteriormente,
realice el producto por partición entre las matrices
1 1 2 3 4 5
6 2 3 0 1 3
1 2 9 0 1
6 4 5 2 7
4 81 56 92 102 15
i i
i
 
 
 
  
 
 
 
 
A
y
93 67 34 0 0.5
1 4 8 3 0
8 56 71 23 41 3
1 1 6 2 9 0
0 2 1 3 4 5
6 9 6 2 1 3
i
i
 
 
 
 
  
 
 
  
 
B .
1.1.46 Una fábrica elabora muebles de comedor y sala en
dos sitios. La matriz proporciona el costo total de
manufactura de cada producto en cada lugar (suponga que
solamente hay costos de mano de obra y de material):
SITIO1 SITIO 2
COMEDOR 65 45
SALA 50 60
a.- Dado que la mano de obra corresponde a casi 2/5 del
costo total, determine la matriz B que proporciona los
costos de mano de obra para cada producto en cada sitio.
b.- Encuentre la matriz C que da los costos de material
para cada producto en cada sitio.
1.1.47 En un ecosistema, ciertas especies proveen de
comida a otras. El elemento aij de la matriz de consumo
es igual al número de unidades de la especie j consumi-
das diariamente por un individuo de la especie i.
MATRICES
JOE GARCIA ARCOS
28
Construya la matriz (aij) para el siguiente ecosistema
simple que consiste de tres especies:
a.- Cada especie consume en promedio 1 unidad de
cada una de las otras especies.
b.- La especie 1 consume una unidad de la especie 2; la
especie 2 consume ½ unidad de cada una de las especies
1 y 3; la especie 3 consume 2 unidades de la especie 1.
c.- La especie 1 consume 2 unidades de la especie 3; la
especie 2 consume 1 unidad de la especie 1; la especie 3
no consume de ninguna de las otras especies.
1.1.48 Cierta empresa cuenta con cuatro fábricas, cada una de ellas produce dos
productos:
FABRICA1 FABRICA 2 FABRICA 3 FABRICA 4
PRODUCTO1 125 105 95 80
PRODUCTO 2 55 60 75 60
Determine los niveles de producción que habría si ésta se incrementase en un 25 %.
1.1.49 Un agricultor cosecha dos veces al año, las cuales se distribuyen a cuatro
mercados:
MERCADO1 MERCADO 2 MERCADO 3 MERCADO 4
COSECHA1 125 105 95 80
COSECHA 2 55 60 75 60
La ganancia en una unidad del producto i se representa en la matriz  B 1.25 3.25 .
Encuentre el producto BA y explique qué representa cada elemento de este producto.
1.1.50 La siguiente tabla, que puede ser vista como una matriz, da el costo en centavos de
un kilo de cada uno de los productos en tres supermercados:
CARNE PESCADO POLLO PAPAS ARROZ
SUPERMERCADO1 80 35 65 25 25
SUPERMERCADO 2 85 40 70 30 30
SUPERMERCADO 3 75 45 65 35 35
Si se compran 4 kilos de carne, 4 kilos de pescado, 3 kilos de pollo, 10 kilos de papas, 10
kilos de arroz, encuentre el costo total en cada uno de los supermercados.
1.1.51 Una compañía tiene plantas en cuatro provincias, I, II, III y IV, y cuatro bodegas
en los lugares P, Q, R y S. El costo en miles de dólares de transportar cada unidad de su
producto de una planta a una bodega está dado por la matriz
Prov. I Prov. II Prov. III Prov. IV
Bodega P 13 12 17 12
Bodega Q 19 17 13 15
Bodega R 8 9 11 13
Bodega S 19 21 9 15
a.- Si los costos de transportación se incrementan uniformemente en $500 por unidad,
¿cuál es la nueva matriz?
b.- Si los costos de transportación se elevan en un 25%, escriba los nuevos costos.
1.1.52 Una empresa produce tres tamaños de radios en tres modelos diferentes. La
producción en miles en su planta A está dada por la matriz
Tamaño 1 Tamaño 2 Tamaño 3
Modelo 1 20 32 25
Modelo 2 15 15 29
Modelo 3 12 27 30
MATRICES
JOE GARCIA ARCOS
29
La producción en miles en su planta B está dada por la matriz
Tamaño 1 Tamaño 2 Tamaño 3
Modelo 1 35 42 19
Modelo 2 25 35 25
Modelo 3 12 18 21
a.- Escriba una matriz que represente la producción total de radios en ambas plantas.
b.- El dueño de la empresa planea abrir una tercera planta en C, la cual tendrá una vez y
cuarto la capacidad de la planta en A. Escriba la matriz que representa la producción en la
planta C.
c.- ¿Cuál sería la producción total de las tres plantas?
1.1.53 La siguiente tabla da el costo en centavos de un kilo de mariscos en tres diferentes
supermercados:
CAMARON CONCHA CALAMAR
SUPERMERCADO1 0.95 1.10 0.45
SUPERMERCADO 2 0.90 0.95 0.50
SUPERMERCADO 3 0.93 1.00 0.55
Si un comprador compra 3 kilos de camarón, 2 kilos de concha y 4 kilos de calamar,
encuentre el costo total en cada uno de los supermercados.
1.2 CLASIFICACION DE LAS MATRICES CUADRADAS
En esta sección clasificamos y definimos las diversas partes de una matriz cuadrada, se introduce términología
básica, enunciamos sus correspondientes propiedades.
Las matrices cuadradas, desempeñan un papel muy importante en todos los aspectos
del álgebra de matrices. Su estructura requiere un análisis particular, el cual se
discutirá a continuación, de modo que no resulte incomprensible el estudio de las
operaciones que pueden efectuarse sobre este particular tipo de matrices.
DEFINICION 1.2.1
Sea A una matriz cuadrada de n x n. Dentro de este tipo de matrices,
podemos distinguir tres regiones que se definen de la siguiente manera:
a.- La diagonal principal, está formada por los elementos aij para los
cuales i = j.
b.- El triángulo superior, está formado por los elementos aij para los cuales
i < j.
c.- El triángulo inferior, está formado por los elementos aij para los cuales
i > j.
Es decir, la diagonal principal de una matriz cuadrada son todos los elementos
que se encuentran en la línea que va del vértice superior de la izquierda al inferior
de la derecha. La diagonal secundaria la forman los elementos de una matriz que
se encuentran en la línea que va del vértice superior derecho al inferior izquierdo.
De la definición anterior, podemos distinguir algunas matrices cuya estructura
permite una clasificación bien determinada.
DEFINICION 1.2.2
Se dice que una matriz T = (tij) de orden n, es triangular superior (inferior)
si existen elementos tij = 0, con i > j (i < j).
Este tipo de matrices se determinan, cuando los elementos situados debajo (encima)
de la diagonal principal son nulos. Es decir:
MATRICES
JOE GARCIA ARCOS
30
11 12 1
2 2 20
0 0
n
n
n n
t t t
t t
t
 
 
 
  
 
 
 
T , ti j = 0 si i > j;
11
21 2 2
1 2
0 0
0
n n n n
t
t t
t t t
 
 
 
  
 
 
 
T , tij = 0 si i < j.
TEOREMA 1.2.1
La adición de dos matrices triangulares, ambas superiores o inferiores, es
una matriz triangular superior o inferior.
DEMOSTRACION
Sean A = (aij), con aij = 0, para todo i > j y B = (bij), con bij = 0, para todo i > j.
A + B = (aij) + (bij) = (aij + bij) = (cij),
con cij = 0, para todo i > j.
Sean A = (aij), con aij = 0, para todo i < j y B = (bij), con bij = 0, para todo i < j.
A + B = (aij) + (bij) = (aij + bij) = (cij),
con cij = 0, para todo i < j. 
TEOREMA 1.2.2
El producto de dos matrices triangulares, ambas superiores o inferiores, es
una matriz triangular superior o inferior.
DEMOSTRACION
Sean T = (tij) con tij = 0, para todo i > j y T´ = (t´ij) con t´ij = 0, para todo i > j, las
matrices triangulares superiores. C = TT´, poseerá el elemento general
cij = ti1t´1j + ti2t´2j + … + ti nt´n j =
1
´
n
i k k j
k
t t


que en este caso se transforma en
1,
´
n
ij ik kj
k k j
c t t
 
  , ya que, de otra manera, algún
sumando se anulará. La suma, pues, sólo estará definida para aquellos valores del
índice k que cumplan i  k  j, luego, cij  0 si i  j y, cij = 0 si i > j, por tanto, C es
triangular superior. De forma análoga se demuestra cuando son triangulares superior.
EJEMPLO 1.2.1
Sea
3 2
A 1
3 2 2
a a b c a b c
a b c b a b c
b c a b c c
    
 
      
    
Analice en qué condiciones es la matriz:
a.- Triangular superior; b.- Triangular inferior.
SOLUCION
a.- Para que la matriz A sea triangular superior, debe resolverse el siguiente sistema
de ecuaciones no homogéneo:
1 0
3 0
2 2 0
a b c
b c
a b c
   

 
   
lo cual implica que
5
3
a   , b = - 2,
2
3
c   . Por tanto la matriz buscada tiene la
MATRICES
JOE GARCIA ARCOS
31
forma siguiente:
5
7 6
3
0 2 3
2
0 0
3
 
   
 
   
 
 
 
A
b.- Para que la matriz A sea triangular inferior, debe resolverse el siguiente sistema
de ecuaciones homogéneo:
3 0
2 0
0
a b c
a b c
a b c
  

  
   
lo cual implica que a = b = c = 0. Por tanto la matriz buscada tiene la forma
siguiente:
5
0 0
3
1 2 0
2
0 0
3
 
 
 
   
 
 
 
A . 
DEFINICION 1.2.3
Se dice que una matriz T de n x n es estrictamente triangular, si es triangular
superior (inferior) y además posee la diagonal principal nula.
Este tipo de matrices se las puede visualizar a continuación:
12 13 1
2 3 2
1
0
0 0
0 0 0
0 0 0 0 0
n
n
n n
t t t
t t
t 
 
 
 
 
 
 
 
 
T , ti j = 0 si i  j;
21
11 12 13
1 2 3 1
0 0 0 0
0 0 0
0
0
n n n
n n n n n
t
t t t
t t t t
  

 
 
 
 
 
 
  
 
T , ti j = 0 si i  j.
EJEMPLO 1.2.2
Las llamadas matrices de giro de Pauli son
0 1
( )
1 0
x
 
  
 
S ,
0
( )
0
i
y
i
 
  
 
S ,
1 0
( )
0 1
z
 
  
 
S .
Demuestre que S(x)S(y) = iS(z), S(y)S(x) = -iS(z), S2
(x) = S2
(y) = S2
(z) = I.
SOLUCION
0 1 0 0 1 0
( ) ( ) ( )
1 0 0 0 0 1
i i
x y i i z
i i
      
         
       
S S S ;
0 0 1 0 1 0
( ) ( ) ( )
0 1 0 0 0 1
i i
y x i i z
i i
       
           
      
S S S ;
2 0 1 0 1 1 0
( ) I
1 0 1 0 0 1
x
    
      
    
S ;
MATRICES
JOE GARCIA ARCOS
32
2
2
2
0 0 0 1 0
( ) I
0 0 0 10
i i i
y
i i i
       
              
S ;
2 1 0 1 0 1 0
( ) I
0 1 0 1 0 1
z
    
      
     
S . 
EJEMPLO 1.2.3
Las matrices M(s), N(t) y P(u) están definidas por
0
( ) 1
0
s
s
s
 
 
  
 
M ,
1 0
( )
1
t
t
 
  
 
N ,
1
( )
0 1
u
u
 
  
 
P ,
siendo s  0. Demuestre que la condición necesaria y suficiente para que una matriz
a b
c d
 
  
 
A ,
pueda ponerse en la forma M(s)N(t)P(u) es a  0 y ad – bc = 1.
SOLUCION
Como A = M(s)N(t)P(u), entonces
0
1 0 1
1
1 0 10
s
a b u
c d t
s
 
               
 
 1
s su
a b
t tu
c d
s s s
 
        
 
0
1 1 1
( 1) 1 ( 1) 1
a s
b
b su u si a
a
t
c t ac
s
b
d tu d ac d cb ad bc
s a a a


    



  

               
Por lo tanto, a  0 y ad – bc = 1. 
DEFINICION 1.2.4
Se dice que una matriz cuadrada es diagonal si, los triángulos superior e
inferior son nulos.
Es decir:
11
2 2
0 0
0 0
0 0 0 n n
d
d
d
 
 
 
  
 
 
 
D , di j = 0 si i < j e i > j.
Debido a su estructura peculiar, las matrices diagonales también pueden denotarse
como Diag(a11, a22, ..., ann), en la cual debe existir algún elemento no nulo.
TEOREMA 1.2.3
La adición de dos matrices diagonales es una matriz diagonal.
DEMOSTRACION
Sean A = Diag(a11, a22, ..., ann) y B = Diag(b11, b22, ..., bnn), entonces
A + B = Diag(a11, a22, ..., ann) + Diag(b11, b22, ..., bnn)
= Diag(a11 + b11, a22 + b22, ..., ann + bnn).
Lo cual indica que es una matriz diagonal. 
MATRICES
JOE GARCIA ARCOS
33
TEOREMA 1.2.4
El producto de dos matrices diagonales de igual orden es una matriz diagonal.
DEMOSTRACION
Sean A = Diag(a11, a22, ..., ann) y B = Diag(b11, b22, ..., bnn), se tiene entonces que
aij = ijai = ijaj y bij = ijbi = ijbj,
por tanto, la matriz producto C = AB tiene como elemento general
cij = ai1b1j + ai2b2j + … + ai kbkj
= i11jaibj + i 22jaibj + … + ikkjaibj
= ijaibj. 
TEOREMA 1.2.5
Una matriz diagonal conmuta con todas las matrices diagonales.
DEMOSTRACION
Sea A = Diag(a11, a22, ..., ann) y B = Diag(b11, b22, ..., bnn), matrices diagonales
conocidas, mediante el teorema anterior, tenemos que AB = Diag(a1b1, a2b2, ...,
anbn). Del mismo modo tenemos que BA = Diag(b1a1, b2a2, ..., bnan). Por tanto
AB = BA. 
DEFINICION 1.2.5
Se dice que una matriz T = (tij) de orden n, es tridiagonal si al menos un
elemento de la diagonal principal y la paralela situada por encima y por
debajo, es diferente de cero.
De forma general, una matriz de este tipo se expresa como
11 1 2
21 2 2 2 3
3 2 3 3
0 0
0
0 0
0 0 0 n n
t t
t t t
t t
t
 
 
 
   
 
 
 
 
T .
DEFINICION 1.2.6
Se dice que una matriz T de orden n es banda si existen enteros p y q, 1 < p,
q < n, con la propiedad de que tij = 0 siempre que i + p  j o j + q  i. El
ancho de banda para una matriz de este tipo se expresa como r = p + q – 1.
La definición de la matriz banda forzó a estas, a concentrar todos sus elementos no
nulos alrededor de la diagonal principal, es decir
1,1 1,2 1,3
21 2 2 2 3 2 4
31 3 2 3 3 3 4
4 2 4 3 4 4
0 0
0
0
0 0
0 0 0 0 n n
t t t
t t t t
t t t t
t t t
t
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
T .
Las matrices tridiagonales son un caso particular de las matrices banda.
EJEMPLO 1.2.4
Sean a y b números tales que a  b. Encuentre todas las matrices A de 2 x 2 tales que
0 0
0 0
a a
b b
   
   
   
A A .
MATRICES
JOE GARCIA ARCOS
34
SOLUCION
Haciendo que
x y
z u
 
  
 
A , entonces:
0 0
0 0
x y a a x y
z u b b z u
     
     
     

ax by ax ay
az bu bz bu
   
   
   
( ) 0 0,
( ) 0 0,
ax ax
by ay a b y y si a b
az bz a b z z si a b
bu bu

       

      
 
Por tanto
0
0
x
u
 
  
 
A . 
EJEMPLO 1.2.5
Sea D una matriz diagonal de 3 x 3 con los elementos de la diagonal principal
distintos de cero. Encuentre una matriz diagonal E tal que DE = ED = I.
SOLUCION
Sean
0 0
0 0
0 0
a
b
c
 
 
  
 
 
D y
0 0
0 0
0 0 z
x
y
 
 
  
 
 
E , entonces:
0 0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 z 0 0 1
a x
b y
c
    
    
    
    
    

1
1 , 0
1
1 , 0
1
z 1 z , 0
ax x a
a
by y b
b
c c
c

   


   


   

,
por otro lado tenemos:
0 0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 0 1 0
0 0 z 0 0 0 0 1
x a
y b
c
    
    
    
    
    

1
1 , 0
1
1 , 0
1
z 1 z , 0
xa x a
a
yb y b
b
c c
c

   


   


   

.
Por lo tanto, la matriz buscada tiene la forma siguiente:
1
0 0
1
0 0
1
0 0
a
b
c
 
 
 
   
 
 
 
 
E . 
EJEMPLO 1.2.6
Sean D una matriz diagonal y A una matriz arbitraria m x n:
a.- Si AD está definida. ¿Cuál es la relación entre A y AD?;
b.- Si DA está definida. ¿Cuál es la relación entre A y DA?
SOLUCION
a.- Como A es de m x n, entonces D debe ser de n x n, para que AD esté definida y
sea de m x n. Por lo tanto la relación entre las matrices A y AD es que tienen igual
orden, es decir son matrices rectangulares de m x n.
MATRICES
JOE GARCIA ARCOS
35
b.- Como A es de m x n, entonces D debe ser de m x m, para que DA esté
definida y sea de m x n. Por lo tanto la relación entre las matrices A y DA es que
tienen igual orden, es decir son matrices rectangulares de m x n. 
Siguiendo con las hipermatrices, en el caso de matrices cuadradas resulta
necesario, como regla general, dividirlas de manera que las submatrices
diagonales también sean cuadradas. Es fácil ver que, divididas dos matrices
cuadradas en submatrices de manera que las submatrices diagonales sean
cuadradas y que los ordenes de las submatrices diagonales correspondientes
coincidan, esta división satisface tanto las condiciones en las que es posible la
adición submatriz por submatriz, como las condiciones que son necesarias para
poder multiplicarlas como hipermatrices.
Además para poder realizar la multiplicación de una hipermatriz por sí misma es
necesario y suficiente que todas sus submatrices diagonales sean cuadradas. Toda
hipermatriz de tipo
11
22
…
…
=
… pp
 
 
 
 
  
 
A O O
O A O
A
O O A
donde A11, A22, …, App son submatrices cuadradas y O son submatrices nulas de
dimensiones adecuadas, se llama hipermatriz diagonal.
Una hipermatriz cuadrada se denomina hipermatriz triangular si todas sus
submatrices en la diagonal principal, es decir, A11, A22, ..., App son cuadradas y
todas las submatrices que se encuentran por un lado de la diagonal principal son
nulas. Además podemos decir que si A y B son dos hipermatrices triangulares con
los mismos órdenes de las correspondientes submatrices diagonales y los ceros
por un lado de la diagonal, su producto AB también será una hipermatriz
triangular con los mismos órdenes de las submatrices diagonales y los ceros por el
mismo lado de la diagonal.
PROBLEMAS
1.2.1 Pruebe con un ejemplo que para multiplicar dos
hipermatrices cuadradas es suficiente que las
submatrices diagonales sean cuadradas, con la
particularidad de que los órdenes de las correspondientes
submatrices diagonales sean iguales entre sí.
1.2.2 Demuestre que para multiplicar dos hipermatrices
cuadradas es suficiente que las submatrices diagonales
sean cuadradas, con la particularidad de que los órdenes de
las correspondientes submatrices sean iguales entre sí.
1.2.3 Una condición necesaria y suficiente para que la
matriz B de orden n conmute con una matriz diagonal A,
es que B sea una matriz diagonal. ¿Cómo tiene que ser la
matriz diagonal A para que conmute con cualquier matriz
B del mismo orden que A?
1.2.4 Sea D una matriz diagonal de 3 x 3 con los
elementos de la diagonal principal distintos de cero.
Encuentre una matriz diagonal E tal que DE = ED = I.
1.2.5 Encontrar una matriz diagonal A de 3 x 3 que
cumpla lo siguiente:
a.- 5
1 0 0
0 1 0
0 0 10
 
 
  
 
 
A ; b.- 3
1 0 0
0 10 0
0 0 1
 
 
  
 
 
A ;
c.- 4
10 0 0
0 1 0
0 0 1
 
 
  
 
 
A ; d.- 25
7 0 0
0 5 0
0 0 3
 
 
  
 
 
A .
1.2.6 Describa el producto AB si A es una matriz
diagonal de n x n y B es una matriz de n x n. Si en la
matriz diagonal A se tiene que a11 = a22 = ... = ann, ¿cómo
cambian los resultados?
1.2.7 Pruebe con un ejemplo que para realizar la
multiplicación por bloques de una hipermatriz por sí
misma es necesario y suficiente que todas sus submatrices
diagonales sean cuadradas.
MATRICES
JOE GARCIA ARCOS
36
1.2.8 Demuestre que si A y B son dos matrices
hipertriangulares con los mismos órdenes de las
correspondientes submatrices diagonales y los ceros por un
lado de la diagonal, su producto AB también será una
matriz hipertriangular con los mismos órdenes de las
submatrices diagonales y los ceros por el mismo lado de la
diagonal.
1.2.9 Demuestre que si A y B son matrices diagonales de
n x n, entonces AB = BA.
1.3 MATRIZ TRANSPUESTA
En esta sección se introduce la terminología básica y se define la matriz transpuesta, analizamos sus casos
particulares si la matriz es cuadrada, enunciamos sus correspondientes propiedades.
Sea A cualquier matriz. Considérese la matriz a partir de A intercambiando filas y
columnas, de manera que la primera columna de A se convierta en la nueva fila de
la nueva matriz, la segunda columna se convierta en la segunda fila, etc. La matriz
obtenida a partir de A intercambiando filas y columnas de este modo se denomina
transpuesta de la matriz A.
DEFINICION 1.3.1
Sea A = (aij) una matriz de n x m. Mediante la transposición se obtiene una
nueva matriz de m x n, representada por AT
= (aji) cuyos elementos se
obtienen intercambiando filas por columnas.
La transpuesta de una matriz es una aplicación de (n x m) en (m x n), determinada
mediante la regla de formación
f : (n x m)  (m x n)
A  AT
(aij)  (aij)T
= (aji), para todo i, j  .
Es decir, mediante la transposición se intercambian las filas de la matriz original por
sus columnas.
A continuación, damos algunas de las propiedades más importantes de la transpuesta
de una matriz.
TEOREMA 1.3.1
Para toda matriz A = (aij), se cumple que (AT
)T
= A.
DEMOSTRACION
Sea A = (aij) una matriz cualquiera, entonces
(AT
)T
= ((aij)T
)T
= (aji)T
= (aij)
= A. 
TEOREMA 1.3.2
Para toda matriz A = (aij) y para todo número k, se cumple que (kA)T
= kAT
.
DEMOSTRACION
Sea A = (aij) una matriz cualquiera y sea k un número, entonces
(kA)T
= (k(aij))T
= (kaij)T
= (kaji)
= k(aji)
= kAT
. 
MATRICES
JOE GARCIA ARCOS
37
TEOREMA 1.3.3
Para todo par de matrices A = (aij) y B = (bij), se cumple que
(A + B)T
= AT
+ BT
.
DEMOSTRACION
Sean A= (aij) y B = (bij) matrices de igual orden, entonces:
(A + B)T
= (aij + bij)T
= (cij)T
= (cji)
= (aji + bji)
= (aji) + (bji)
= AT
+ BT
. 
TEOREMA 1.3.4
Para todo par de matrices A = (aij) y B = (bij), compatibles para el producto,
se cumple
(AB)T
= BT
AT
.
DEMOSTRACION
Sean A = (aij) de n x k y B = (bij) de k x m. Entonces AB es de n x m y (AB)T
es de m
x n. BT
es de m x k y AT
es de k x n, así que BT
AT
también es de m x n. Para probar
que (AB)T
= BT
AT
, debemos ver que el elemento (i, j) de (AB)T
es igual al elemento
(i, j) de BT
AT
. Escribimos AT
= (a´ij) y BT
= (b´ij). Notemos que a´ij = aji y b´ij = bji. El
elemento (i, j) de BT
AT
es
1 1 1
´ ´
k k k
it tj ti jt jt ti
t t t
b a b a a b
  
   
y la última suma es exactamente el elemento (j, i) de AB. Pero éste es el elemento
(i, j) de (AB)T
. Así pues, los elementos (i, j) de BT
AT
y de (AB)T
son lo mismo; por
lo tanto, BT
AT
= (AB)T
. 
EJEMPLO 1.3.1
Si A conmuta con B, demuestre que AT
conmuta con BT
.
SOLUCION
Siendo AB = BA, debemos probar que AT
BT
= BT
AT
. Es decir:
AT
BT
= (BA)T
= (AB)T
= BT
AT
. 
EJEMPLO 1.3.2
Suponga que A es n x n y X es n x 1. Demuestre que XT
AX es de 1 x 1. Si X = BY,
demuestre que XT
AX = YT
(BT
AB)Y.
SOLUCION
Conocemos que A es de n x n y X es de n x 1. Entonces XT
AX es (1 x n)(n x n)(n x
1) = 1 x 1. Como X = BY entonces
XT
AX = (BY)T
A(BY) = (YT
BT
)A(BY) = YT
(BT
AB)Y. 
% TRANSPUESTA DE UNA MATRIZ
clc;clear;
fprintf('n TRANSPUESTA DE UNA MATRIZ n')
fil=input('Ingrese el numero de filas: ');
col=input('Ingrese el numero de columnas: ');
%Ingreso de elementos
for f=1:fil
for c=1:col
fprintf('Ingrese el elemento (%d,%d)',f,c)
A(f,c)=input(' :');
end
end
fprintf(' LA MATRIZ A ES:n')
A
end
MATRICES
JOE GARCIA ARCOS
38
fprintf(' LA MATRIZ A ES:n')
B=A.'
end
DEFINICION 1.3.2
Una matriz cuadrada A se denomina simétrica, si se cumple que esta matriz
es igual a su transpuesta, es decir: A = AT
.
Es claro que una matriz simétrica debe ser cuadrada; es simétrica con respecto a la
diagonal principal, es decir que, una reflexión en la diagonal principal deja a la
matriz sin cambio. Una matriz simétrica de n x n no tiene sus n2
elementos arbitrarios
puesto que aij = aji, ambos uno encima y otro debajo de la diagonal principal.
El número de elementos de arriba de la diagonal principal es
2
2
n n
. Los elementos
de la diagonal son también arbitrarios. Entonces, el número total de elementos
arbitrarios en una matriz simétrica de n x n es
2
( 1)
2 2
n n n n
n
 
  .
EJEMPLO 1.3.3
Dadas dos matrices simétricas A, B de orden n. ¿Cuándo es el producto AB
simétrico?
SOLUCION
Si A = AT
y B = BT
, entonces AB = (AB)T
= BT
AT
= BA. Por lo tanto el producto AB
es simétrico, cuando es conmutativo, es decir AB = BA. 
TEOREMA 1.3.5
Para toda matriz cuadrada A, siempre es posible encontrar una matriz
simétrica S mediante A + AT
.
DEMOSTRACION
Como A es una matriz cuadrada y S = A + AT
, entonces debemos probar que ST
= S.
Es decir
ST
= (A + AT
)T
= AT
+ (AT
)T
= AT
+ A
= A + AT
= S. 
EJEMPLO 1.3.4
Si A y B son matrices reales arbitrarias de n x n y A es simétrica, entonces BT
AB es
simétrica.
SOLUCION
Debemos probar que (BT
AB)T
= BT
AB, conociendo que A = AT
:
(BT
AB)T
= BT
AT
(BT
)T
= BT
AT
B = BT
AB. 
EJEMPLO 1.3.5
Dadas las matrices n x n simétricas A y B, entonces A + B es simétrica.
SOLUCION
Si A = AT
y B = BT
, entonces debemos probar que (A + B)T
= A + B:
(A + B)T
= AT
+ BT
= A + B. 
EJEMPLO 1.3.6
Si A y B son matrices reales arbitrarias de n x n, entonces ABT
+ BAT
es simétrica.
SOLUCION
Debemos probar que (ABT
+ BAT
)T
= ABT
+ BAT
. Es decir:
MATRICES
JOE GARCIA ARCOS
39
(ABT
+ BAT
)T
= (ABT
)T
+ (BAT
)T
= (BT
)T
AT
+ (AT
)T
BT
= BAT
+ ABT
= ABT
+ BAT
. 
EJEMPLO 1.3.7
Para cualquier matriz A muestre que los productos AAT
y AT
A están definidos y son
matrices simétricas.
SOLUCION
Si A es n x m, entonces AT
es m x n. Por lo tanto AAT
es n x n, AT
A es m x m y los
productos están definidos. Además debemos probar que AAT
= (AAT
)T
y AT
A =
(AT
A)T
:
(AAT
)T
= (AT
)T
AT
= AAT
y (AT
A)T
= AT
(AT
)T
= AT
A. 
EJEMPLO 1.3.8
Dada la matriz
2
a a b a c
a b b a b
b c b c c
  
 
   
   
A .
Encuentre una matriz S simétrica.
SOLUCION
Sabemos que S es simétrica si se cumple que S = A + AT
. Es decir:
T
= + 2
2
a a b a c a a b b c
a b b a b a b b b c
b c b c c a c a b c
      
   
        
         
S A A
2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
a a a b c
a b a b c
a b c a b c c
  
 
   
     
. 
% CALCULO DE UNA MATRIZ SIMETRICA
clc;clear;
fprintf('n MATRIZ SIMETRICA MEDIANTE: A+Atn')
filcol=input('Ingrese el numero de filas y columnas: ');
%Ingreso de elementos
for f=1:filcol
for c=1:filcol
fprintf('Ingrese el elemento (%d,%d)',f,c)
A(f,c)=input(' :');
end
end
fprintf(' LA MATRIZ A ES:n')
A
end
fprintf(' LA MATRIZ TRANSPUESTA B ES:n')
B=A.'
end
fprintf(' LA MATRIZ SIMETRICA S ES:n')
S=A+A.'
end
% CALCULO DE UNA MATRIZ SIMETRICA
clc;clear;
fprintf('n MATRIZ SIMETRICA MEDIANTE: S=A*At y Q=At*A n')
fil=input('Ingrese el numero de filas: ');
col=input('Ingrese el numero de columnas: ');
MATRICES
JOE GARCIA ARCOS
40
%Ingreso de elementos
for f=1:fil
for c=1:col
fprintf('Ingrese el elemento (%d,%d)',f,c)
A(f,c)=input(' :');
end
end
fprintf(' LA MATRIZ A ES:n')
A
end
fprintf(' LA MATRIZ TRANSPUESTA B ES:n')
B=A.'
end
fprintf(' LA MATRIZ SIMETRICA S ES:n')
S=A*A.'
end
fprintf(' LA MATRIZ SIMETRICA Q ES:n')
Q=A.'*A
end
DEFINICION 1.3.3
Una matriz cuadrada A se llama antisimétrica, si se cumple que esta matriz
es igual al opuesto de la transpuesta, es decir: A = -AT
.
Una matriz antisimétrica es también una matriz cuadrada, y aij = - aji. Luego, los
elementos de la diagonal principal son cero, aii = 0, y el número de elementos
arbitrarios en una matriz antisimétrica de n x n es
( 1)
2
n n 
. Los elementos simétricos
respecto de la diagonal principal coinciden en una matriz simétrica y son opuestos en
una matriz antisimétrica.
EJEMPLO 1.3.9
Sean A y B dos matrices antisimétricas de orden n. Demuestre que AB es
antisimétrica si y sólo si BA = -AB. ¿Cuándo es simétrico el producto de dos
matrices antisimétricas?
SOLUCION
Como A y B son dos matrices antisimétricas, entonces: A = -AT
; B = -BT
y BA = -
AB. Debemos probar que (AB)T
= - (AB).
(AB)T
= BT
AT
= (- B)(- A) = BA = - (AB).
Además, dado A = - AT
; B = - BT
y AB = - (AB)T
. Debemos probar que AB = - BA.
AB = - (AB)T
= - (BT
AT
) = - (- B)(- A) = - (BA).
Dado A = - AT
y B = - BT
, debemos encontrar una condición para que (AB)T
= AB.
(AB)T
= BT
AT
= (- B)(- A) = BA.
Por lo tanto, para que el producto de dos matrices antisimétricas sea simétrico es
necesario que BA = AB. 
TEOREMA 1.3.6
Para toda matriz cuadrada A, siempre es posible encontrar una matriz
antisimétrica R mediante A - AT
.
DEMOSTRACION
Como A es una matriz cuadrada y R = A - AT
, entonces debemos probar que RT
= R.
Es decir
RT
= (A - AT
)T
= AT
- (AT
)T
= AT
– A
= - (A - AT
)
= R. 
MATRICES
JOE GARCIA ARCOS
41
TEOREMA 1.3.7
Una matriz cuadrada A puede expresarse como la adición de una matriz
simétrica S y una matriz antisimétrica B.
DEMOSTRACION
Sea S = ½ (A + AT
) y B = ½ (A - AT
), sumando las matrices S y B, obtenemos:
A = S + B
= ½ (A + AT
) + ½ (A - AT
)
= ½ A + ½ AT
+ ½ A - ½ AT
= A. 
EJEMPLO 1.3.10
Dada la matriz
= 2
a a b a c
a b b a b
b c b c c
  
 
  
   
A .
Encuentre una matriz R antisimétrica.
SOLUCION
Sabemos que R es antisimétrica si se cumple que R = A - AT
. Es decir:
T
- 2
2
a a b a c a a b b c
a b b a b a b b b c
b c b c c a c a b c
      
   
         
         
R A A
0 2
2 0 2
2 0
b a b
b a c
a b a c
 
 
   
     
. 
EJEMPLO 1.3.11
Dada una matriz simétrica A y una matriz antisimétrica B, ambas del mismo orden,
demuestre que si A y B conmutan, AB es antisimétrica.
SOLUCION
Si A = AT
; B = - BT
y AB = BA, entonces debemos probar que (AB)T
= AB.
(AB)T
= BT
AT
= (- B)(A) = - (BA) = - (AB). 
EJEMPLO 1.3.12
Si A y B son matrices antisimétricas, pruebe que A(AB + BA) – (AB + BA)A es
simétrica.
SOLUCION
Sabemos que AT
= -A, BT
= -B y S = A(AB + BA) – (AB + BA)A = A2
B – BA2
. Por
lo tanto, tenemos que mostrar que ST
= S; es decir
ST
= (A2
B – BA2
)T
= (A2
B)T
– (BA2
)T
= BT
(AT
)2
– (AT
)2
BT
= (-B)(-A)2
– (-A)2
(-B)
= -BA2
+ A2
B
= A2
B – BA2
= S.
De esta manera queda demostrado que A(AB + BA) – (AB + BA)A es simétrica.
EJEMPLO 1.3.13
Sea A una matriz antisimétrica. Demostrar que A2n
es una matriz simétrica y A2n+1
es
una matriz antisimétrica.
SOLUCION
Por demostrar que A2n
= (A2n
)T
, conociendo que AT
= -A.
n = 1: A2
= (A2
)T
MATRICES
JOE GARCIA ARCOS
42
(A2
)T
= (AA)T
= ((-AT
)(-AT
))T
= (AT
AT
)T
= ((A2
)T
)T
= A2
.
n = k: A2k
= (A2k
)T
. Hipótesis inductiva.
n = k + 1: A2k+2
= (A2k+2
)T
(A2k+2
)T
= (A2k
A2
)T
= (A2
)T
(A2k
)T
= A2
A2k
= A2k+2
.
Por demostrar que A2n+1
= -(A2n+1
)T
, conociendo que AT
= -A.
n = 1: A3
= -(A3
)T
- (A3
)T
= - (AAA)T
= - ((-AT
)(-AT
)(-AT
))T
= ((A3
)T
)T
= A3
.
n = k: A2k+1
= -(A2k+1
)T
. Hipótesis inductiva.
n = k + 1: A2k+3
= -(A2k+3
)T
- (A2k+3
)T
= - (A2k+1
A2
)T
= - (A2
)T
(A2k+1
)T
= - (AA)T
(-A2k+1
) = - ((-AT
)(-AT
)T
(-A2k+1
)
= - ((A2
)T
)T
(-A2k+1
) = (-A2
)(-A2k+1
) = A2k+3
. 
% CALCULO DE UNA MATRIZ ANTISIMETRICA
clc;clear;
fprintf('n MATRIZ ANTISIMETRICA MEDIANTE: A-At n')
filcol=input('Ingrese el numero de filas y columnas: ');
%Ingreso de elementos
for f=1:filcol
for c=1:filcol
fprintf('Ingrese el elemento (%d,%d)',f,c)
A(f,c)=input(' :');
end
end
fprintf(' LA MATRIZ A ES:n')
A
end
fprintf(' LA MATRIZ TRANSPUESTA B ES:n')
B=A.'
end
fprintf(' LA MATRIZ ANTISIMETRICA R ES:n')
R=A-A.'
end
PROBLEMAS
1.3.1 De ser posible, encuentre matrices de 2 x 2 tales que
AT
A = AAT
.
1.3.2 Si A es una matriz de n x n y X es la matriz de 1 x
n, compruebe que
T 2
1
n
ii i ij i j
i i j
a x a x x
 
  XAX .
1.3.3 Si AAT
= I y BBT
= I, demuestre que
(AB)(AB)T
= I.
1.3.4 Demuestre que una matriz simétrica de n x n tiene,
en general,
( 1)
2
n n 
elementos distintos y una
antisimétrica
( 1)
2
n n 
elementos distintos.
1.3.5 Sea A una matriz de n x n. Determine si A es
simétrica con la siguiente condición:
a.- aij = i2
+ j2
; b.- aij = i2
– j2
;
c.- aij = 2i – 2j; d.- aij = 2i2
+ 2j3
.
1.3.6 Comprobar si existe alguna matriz A de 3 x 2 tal
que AT
A = I.
1.3.7 Demuestre que si AT
A = A, entonces A es simé-
trica y A = A2
.
1.3.8 Dada la matriz
2 1 3 1 4
6 2 1 3
1 6 3
i i
i i
   
 
    
 
     
A .
a.- Exprésese la matriz A como suma de una matriz
simétrica y otra antisimétrica.
b.- Hallar dos matrices simétricas diferentes a la del
apartado a).
1.3.9 Encuentre todas las matrices reales A de 3 x 3 para
las cuales AT
A = O.
1.3.10 Demuestre que si una matriz A de n x n satisface
la ecuación A3
+ 4A2
– 2A + 7I, entonces AT
también la
satisface.
MATRICES
JOE GARCIA ARCOS
43
1.3.11 De ser posible, encuentre todos los valores de a,
b y c para los cuales A es simétrica:
3 3 5 4 2
1 4
1 1 5
a b c a b c
a b c
    
 
   
  
A .
1.3.12 Dadas las matrices siguientes:
1 2 3
1 3 0
1 2 2 2
i i
i i i
 
 
  
   
A ,
4 3
2 1 3
i
i i
 
  
  
B ,
2
4 6
3
i
i
 
 
  
  
C ,
1 2 3
6 8 4
1 3
i
i i i
 
 
  
   
D .
Determine las siguientes operaciones:
a.- (3DT
– BT
CT
)T
; b.- B(A – D)T
C;
c.- A(BT
B – CCT
).
1.3.13 Encuentre matrices antisimétricas A y B de 3 x 3,
que satisfagan la condición AB = -BA.
1.3.14 Dadas las matrices
2 4 6
+ 2 3 9
7 1 7
 
 
  
 
 
A B , T
0 0 0
+ 0 0 0
0 0 0
 
 
  
 
 
A A ,
T
0 0 0
- 0 0 0
0 0 0
 
 
  
 
 
B B .
Hállense A y B.
1.3.15 Si A es una matriz simétrica, demuestre que
2A2
– 3ª + I es simétrica.
1.4 MATRIZ TRANSPUESTA - CONJUGADA
En esta sección se introduce la terminología básica y se definen las matrices conjugadas y transpuesta -
conjugada, analizamos sus casos particulares si la matriz es cuadrada, enunciamos sus correspondientes
propiedades.
DEFINICION 1.4.1
Mediante la conjugación, una matriz cualquiera A se transforma en una
nueva matriz, representada por A , cuyos elementos se construyen mediante
la regla
:f A A
( ) ( ) ( )ij ij ija a a   i, j  .
Mediante la conjugación se cambian los signos de la parte imaginaria de A. Es decir:
Re = ReA A y Im = -ImA A .
Como casos particulares pueden encontrarse matrices tales que =A A , entonces
Im = 0A , y la matriz A en este caso recibe el nombre de matriz real. Por el
contrario, si Re = 0A , entonces =A A y, a la matriz A se le da el nombre de
matriz imaginaria pura. En este último caso la matriz A es expresable como el
producto de la unidad imaginaria, considerada como un escalar, por una matriz real.
Toda matriz puede ser expresada en la forma A = B + iC, en la cual B y C son
matrices reales, e i es la unidad imaginaria.
La conjugada de la matriz
2 1 5
1 4 4 3
i
i
 
  
 
A es
2 1 5
1 4 4 3
i
i
 
  
 
A .
TEOREMA 1.4.1
Para toda matriz A = (aij), se cumple que =A A .
DEMOSTRACION
Si A es una matriz, entonces
Matrices
Matrices
Matrices
Matrices
Matrices
Matrices
Matrices
Matrices
Matrices
Matrices
Matrices
Matrices
Matrices
Matrices
Matrices
Matrices
Matrices
Matrices
Matrices
Matrices
Matrices
Matrices
Matrices
Matrices

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Matrices

  • 1. OBJETIVO Resolver problemas sobre matrices, utilizando definiciones, propiedades y métodos adecuados para cada tipo, en situaciones reales propias de la ingeniería y ciencias aplicadas. CONTENIDO: 1.1 ALGEBRA DE MATRICES 1.2 CLASIFICACION DE LAS MATRICES CUADRADAS 1.3 MATRIZ TRANSPUESTA 1.4 MATRIZ TRANSPUESTA - CONJUGADA 1.5 TRAZA DE UNA MATRIZ 1.6 POTENCIA DE UNA MATRIZ 1.7 CUESTIONARIO 1.1 ALGEBRA DE MATRICES En esta sección se introduce terminología básica, se define una matriz, matriz identidad y matriz escalar. Se define y establecen las operaciones que se pueden realizar entre matrices, además, enunciaremos las propiedades más importantes. Las matrices se escribirán mediante un solo símbolo, que por lo común serán letras mayúsculas como A, B, C, D, etc. Cuando no se utilicen números específicos para designar los elementos de una matriz, se utilizarán minúsculas de la forma aij. No existen restricciones sobre el número de filas o columnas que una matriz puede tener. DEFINICION 1.1.1 Una matriz es una ordenación rectangular de elementos distribuidos en n filas (horizontales) y m columnas (verticales), el elemento que está en la i-ésima fila y en la j-ésima columna se denota por aij, siendo este elemento, un número real o complejo. Formalmente lo denotamos como A = (aij). Una matriz con n filas y m columnas se llama matriz de n x m; la expresión n x m es su orden o forma y lo expresamos como 11 12 1 21 22 2 1 2 m m n n nm a a a a a a a a a              A En otras palabras, podemos decir que una matriz de n x m definida sobre el conjunto K, es una aplicación a : A x B  K que asocia a cada par (i, j) el número aij. Los
  • 2. MATRICES JOE GARCIA ARCOS 2 elementos horizontales ai1, ai2, ..., aim representan las filas de la matriz y los elementos verticales a1j, a2j, ..., anj representan las columnas. Así, la letra i representa la fila y la j representa la columna. Si n = m la matriz se denomina cuadrada y se dice que tiene orden n. Si una matriz tiene una sola fila, se le llama matriz fila y se la representa por A = (ai1 ai2 ... aim). Si una matriz tiene una sola columna, se le llama matriz columna y se representa por 1 2 j j nj a a a                A . En particular, un elemento aij puede considerarse como una matriz de una fila y una columna. Es conveniente designar a la matriz con letras mayúsculas en correspondencia, si es posible, con la letra minúscula común con la cual se designan sus elementos. A continuación se dan algunos tipos de matrices: 1 0 4 5 6 2 7 9 1            A ; 2 5 7 1 9 2        B ; 1 4 8            C ;  1 2 9 D , siendo A una matriz de 3 x 3, B de 2 x 3, C de 3 x 1 y D de 1 x 3. DEFINICION 1.1.2 Una matriz cuadrada que tiene el número 1 como elementos de la diagonal principal, y los demás elementos son ceros, se denomina matriz identidad y se denota como I = (ij), donde 1, si 0, si ij i j i j      ,  se denomina delta de Kronecker. Matrices de este tipo se dan a continuación: 2 1 0 0 1        I ; 3 1 0 0 0 1 0 0 0 1            I ; 4 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1             I ; etc. DEFINICION 1.1.3 Una matriz cuadrada que tiene el número   K diferente de cero, como elementos de la diagonal principal, y los demás elementos son ceros, se denomina matriz escalar y se denota como E = I. Este tipo de matrices tienen la siguiente forma: 2 0 1 0 0 0 1 a a a              E ; 3 0 0 1 0 0 0 0 ( ) 0 1 0 0 0 0 0 1 a b a b a b a b                       E ; etc. La definición de operaciones entre matrices es lo que determina la utilidad de ellas puesto que una matriz de por sí es solamente un arreglo de números. Veremos que aquellas definiciones que intuitivamente parecen obvias para operar con matrices son también las más útiles.
  • 3. MATRICES JOE GARCIA ARCOS 3 A continuación se explican algunas operaciones que se pueden realizar con matrices. Definidas las matrices, podemos comenzar a estudiar su álgebra. Se explicará primero el significado de la afirmación de que dos matrices A y B son iguales. Lo anterior significa que los elementos correspondientes de cada matriz son iguales, es decir aij = bij para cada i y j. Cuando las matrices son iguales, se escribe A = B. Para que dos matrices sean iguales, el número de filas de A debe ser el mismo que el número de filas de B, y el número de columnas de A debe ser el mismo que el número de columnas de B. DEFINICION 1.1.4 Dadas A = (aij), B = (bij), matrices de igual orden. Las matrices A y B se dice son iguales si y sólo si los elementos correspondientes a cada una de estas son iguales. Es decir, dadas las matrices 11 12 1 21 2 2 2 1 2 m m n n n m a a a a a a a a a                A y 11 12 1 21 2 2 2 1 2 = m m n n n m b b b b b b b b b               B por definición estas matrices son iguales si y sólo si se cumple que a11 = b11, a12 = b12, ..., anm = bnm. De manera más compacta, se escribe A = B si aij = bij, para todo i, j  . EJEMPLO 1.1.1 Sean A y B dos matrices de 2 x 3: 1 2 2a b b a b a b a b            A y 1 3 c c c i            B . ¿Cuando A y B son iguales? SOLUCION Las matrices A y B son iguales si cumplen la siguiente identidad: 1 2 2 1 3 a b b a b c a b a b c i                       lo cual implica que a – b + 1 = i, 2 + 2b – a = , b = c, a = c + , - b = 3 y a – b =  + i.  EJEMPLO 1.1.2 Determine los valores de a, b y c para que las matrices dadas sean iguales 2 4 1 6        A y 2 2 1 2 a b c a c a a b           B . SOLUCION Para que A y B sean iguales se debe cumplir por definición que sus correspondientes elementos sean iguales, es decir: 2 2 2 4 1 1 2 6 a b c a c a a b              2 2 2 4 0 2 6 a b c a c a a b             0 3 4 a b c       .  Se definirá ahora la suma de matrices, que consiste simplemente, como esperará el lector, en sumar los elementos correspondientes. Es decir, la suma C de una matriz A que tenga n filas y m columnas, y una matriz B que tenga n filas y m columnas es
  • 4. MATRICES JOE GARCIA ARCOS 4 una matriz que tiene n filas y m columnas cuyos elementos están dados por cij = aij + bij, para todo i, j. DEFINICION 1.1.5 Dadas A = (aij), B = (bij) y C = (cij), matrices de igual orden. Si se cumple que C = (aij) + (bij) = (aij + bij) = (cij), i, j  N a la matriz C se le denomina adición de A y B. Es decir; si a cada par de matrices de orden n x m le hacemos corresponder otra matriz del mismo orden cuyos elementos se obtienen sumando término a término los correspondientes a dichas matrices, se denomina adición de matrices. Dadas las matrices A y B, detalladamente podemos interpretar la adición de matrices de la siguiente manera: C = A + B 11 12 111 12 1 21 2 2 221 22 2 1 2 1 2 mm mm n n nm n n n m b b ba a a b b ba a a a a a b b b                       11 11 12 12 1 1 21 21 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 m m m m n n n n n m n m a b a b a b a b a b a b a b a b a b                     . Debemos tener muy en cuenta que la adición de las matrices A y B se puede realizar solamente cuando B tiene el mismo número de filas y el mismo número de columnas que A. De aquí que el orden de la matriz suma es la misma que la de los sumandos. EJEMPLO 1.1.3 Dadas las matrices 1 1 4 5 3 6 9 1 2 i i Sen                 A y 3 4 4 5 3 3 2 4 Tan i Cos i Tan                     B Determine A + B. SOLUCION 3 4 1 1 4 4 + 5 3 6 5 3 3 9 1 2 2 4 Tan i i i Sen Cos i Tan                               A B 1 ( 3) 1 4 ( 4 ) 2 1 04 (5 3 ) ( 5) 6 3 3 9 (1 ) 3 1 9 0 9 1 2 2 4 Tan i i i i i i i Sen Cos i Tan                                             . 
  • 5. MATRICES JOE GARCIA ARCOS 5 TEOREMA 1.1.1 Sean las matrices A = (aij), O = (oij) de igual orden, entonces A + O = O + A = A. DEMOSTRACION Sean A, O matrices de igual orden, entonces A + O = (aij) + (oij) = (aij + oij) = (oij + aij) = (aij) = A.  TEOREMA 1.1.2 Si A = (aij) y B = (bij) son matrices de igual orden, entonces la adición de matrices es conmutativa, es decir, A + B = B + A. DEMOSTRACION Sean las matrices A, B de igual orden, entonces: A + B = (aij) + (bij) = (aij + bij) = (bij + aij) = (bij) + (aij) = B + A.  TEOREMA 1.1.3 Si A = (aij), B = (bij), C = (cij) son matrices de igual orden, entonces la adición de matrices es asociativa, es decir, A + (B + C) = (A + B) + C. DEMOSTRACION Sean A, B, C matrices de igual orden, entonces: A + (B + C) = (aij) + (bij) + (cij) = (aij) + (bij + cij) = (aij + bij + cij) = (aij + bij) + (cij) = ((aij) + (bij)) + (cij) = (A + B) + C.  % CALCULAR LA SUMA DE MATRICES clc;clear; fprintf('n SUMA DE MATRICES n') fil=input('Ingrese el numero de filas de las Matrices A y B: '); col=input('Ingrese el numero de columnas de las Matrices A y B: '); %Ingreso de elementos fprintf('Matriz A:n') for f=1:fil for c=1:col fprintf('Ingrese el elemento A:(%d,%d)',f,c) A(f,c)=input(' :'); end end fprintf('Matriz B:n') for f=1:fil for c=1:col fprintf('Ingrese el elemento B:(%d,%d)',f,c) B(f,c)=input(' :'); end end fprintf(' LA MATRIZ A ES:n') A end fprintf(' LA MATRIZ B ES:n') B
  • 6. MATRICES JOE GARCIA ARCOS 6 end fprintf(' LA SUMA C ES:n') C=A+B end La siguiente operación que se considerará es la de multiplicar una matriz por un número. Esta operación recibe el nombre de multiplicación por un escalar. Para multiplicar una matriz A por un número , simplemente se multiplica cada elemento de A por . DEFINICION 1.1.6 Dada A = (aij) una matriz arbitraria y  un escalar. El producto del escalar  y la matriz A se define como la matriz C = (cij) del mismo orden que A, cuyos elementos se obtienen multiplicando el escalar por cada uno de los elementos de A. Es decir; formalmente se expresa esta operación de la siguiente manera: 11 12 1 11 12 1 21 2 2 2 21 2 2 2 1 2 1 2 = α = m m m m n n n m n n n m a a a a a a a a a a a a a a a a a a                                   C A Cada elemento de A se multiplica por el escalar . El producto A es, por consiguiente, otra matriz con n filas y m columnas, si A tiene n filas y m columnas. Es decir, la matriz resultante del producto por un escalar conserva el orden de la matriz original. EJEMPLO 1.1.4 Dada la matriz 1 4 4 1 4 Tan Cos i i Sen             A y k = 1 + i. Determine kA. SOLUCION 1 4 4(1 ) 1 4 Tan Cos k i i i Sen              A (1 ) (1 ) (1 ) 1 4 4 (1 ) (1 )(1 ) (1 ) 4 i Tan i Cos i i i i i i Sen                   1 1 1 2 1 1 2 2 i i i i i               .  TEOREMA 1.1.4 Sea A = (aij) una matriz arbitraria y k un número, entonces kA = Ak. DEMOSTRACION Sean A una matriz arbitraria y k un número, entonces:
  • 7. MATRICES JOE GARCIA ARCOS 7 kA = k(aij) = (kaij) = (aijk) = (aij)k = Ak.  EJEMPLO 1.1.5 Un fabricante de sacos los produce en color negro, azul y rojo para hombres, mujeres y niños. La capacidad de producción en miles en la planta A está dada por la matriz Hombres Mujeres Niños Negro 3 5 6 Azul 2 3 4 Rojo 5 1 3 La producción en la planta B está dada por Hombres Mujeres Niños Negro 2 3 3 Azul 4 2 5 Rojo 1 3 2 a.- Determine la representación matricial de la producción total de cada tipo de sacos en ambas plantas. b.- Si la producción en A se incrementa en un 15% y la de B en un 30%, encuentre la matriz que representa la nueva producción total de cada tipo de saco. SOLUCION a.- Para obtener la matriz de producción total, sumamos las matrices que relacionan las plantas A y B: 3 5 6 2 3 3 5 8 9 2 3 4 4 2 5 6 5 9 5 1 3 1 3 2 6 4 5                                . b.- La nueva matriz de producción total la obtenemos sumando las matrices 3 5 6 2 3 3 6.05 9.65 10.8 1.15 +1.30 1.15 2 3 4 1.30 4 2 5 7.5 6.05 11.1 5 1 3 1 3 2 7.05 5.05 6.05                                 A B .  EJEMPLO 1.1.6 El costo en dólares de comprar un boleto aéreo de la ciudad A a cada una de las cuatro ciudades B, C, D y E, está relacionado en la matriz P = (75 62 35 55). Si la directiva de la aviación civil aprueban un incremento del 12% en las tarifas. Hallar las nuevas tarifas. SOLUCION Las nuevas tarifas se obtienen multiplicando la matriz P por 1.12, es decir;    1.12 1.12 75 62 35 55 84 69,44 39,2 61,6 P .  EJEMPLO 1.1.7 Una empresa produce tres tamaños de radios en tres modelos diferentes. La producción en miles en su planta A está dada por la matriz Tamaño 1 Tamaño 2 Tamaño 3 Modelo 1 20 32 25 Modelo 2 15 15 29 Modelo 3 12 27 30 La producción en miles en su planta B está dada por la matriz
  • 8. MATRICES JOE GARCIA ARCOS 8 Tamaño 1 Tamaño 2 Tamaño 3 Modelo 1 35 42 19 Modelo 2 25 35 25 Modelo 3 12 18 21 a.- Escriba una matriz que represente la producción total de radios en ambas plantas. b.- El dueño de la empresa planea abrir una tercera planta en C, la cual tendrá una vez y cuarto la capacidad de la planta en A. Escriba la matriz que representa la producción en la planta C. c.- ¿Cuál sería la producción total de las tres plantas? SOLUCION a.- Para representar la producción total en ambas plantas, debemos sumar ambas matrices 20 32 25 35 42 19 55 74 44 15 15 29 25 35 25 40 50 54 12 27 30 12 18 21 24 45 51                                . b.- Para encontrar la matriz C, tenemos que multiplicar a la matriz A por 1.25, es decir 20 32 25 25 40 31.25 1.25 15 15 29 18.75 18.75 36.25 12 27 30 15 33.75 37.5                     . c.- Para representar la producción total de las tres plantas, debemos sumar las matrices A, B y C, es decir: 20 32 25 35 42 19 25 40 31.25 + + 15 15 29 25 35 25 18.75 18.75 36.25 12 27 30 12 18 21 15 33.75 37.5                                 A B C 80 114 75.25 58.75 68.75 90.25 39 78.75 88.5            .  EJEMPLO 1.1.8 Una compañía tiene plantas en cuatro provincias, I, II, III y IV, y cuatro bodegas en los lugares P, Q, R y S. El costo en miles de dólares de transportar cada unidad de su producto de una planta a una bodega está dado por la matriz Prov. I Prov. II Prov. III Prov. IV Bodega P 13 12 17 12 Bodega Q 19 17 13 15 Bodega R 8 9 11 13 Bodega S 19 21 9 15 a.- Si los costos de transportación se incrementan uniformemente en $500 por unidad, ¿cuál es la nueva matriz? b.- Si los costos de transportación se elevan en un 25%, escriba los nuevos costos. SOLUCION a.- Obtenemos la nueva matriz, sumándole a la matriz A la matriz de incrementos 13 12 17 12 0.5 0.5 0.5 0.5 13.5 12.5 17.5 12.5 19 17 13 15 0.5 0.5 0.5 0.5 19.5 17.5 13.5 15.5 8 9 11 13 0.5 0.5 0.5 0.5 8.5 9.5 11.5 13.5 19 21 9 15 0.5 0.5 0.5 0.5 19.5 21.5 9.5 15.5                                      . b.- Los nuevos datos los obtenemos multiplicando la matriz A por 1.25, es decir
  • 9. MATRICES JOE GARCIA ARCOS 9 13 12 17 12 16.25 15 21.25 15 19 17 13 15 23.75 21.25 16.25 18.75 1.25 8 9 11 13 10 11.25 13.75 16.25 19 21 9 15 23.75 26.25 11.25 18.75                         .  TEOREMA 1.1.5 Si A = (aij), B = (bij) son matrices de igual orden y k un número, entonces se cumple la ley distributiva respecto a la adición de matricial, es decir, k(A + B) = kA + kB. DEMOSTRACION Sean A, B matrices de igual orden y k un número, entonces: k(A + B) = k((aij) + (bij)) = k(aij) + bij) = (kaij + kbij) = (kaij) + (kbij) = kA + kB.  TEOREMA 1.1.6 Si A = (aij) es una matriz arbitraria y k, t números, entonces se cumple la ley distributiva con respecto a la adición de escalares, es decir, (k + t)A = kA + tA. DEMOSTRACION Sean A una matriz arbitraria y k, t números, entonces: (k + t)A = (k + t)(aij) = ((k + t)aij) = (kaij + taij) = (kaij) + (taij) = kA + tA.  % MULTIPLICACION DE UN ESCALAR Y UNA MATRIZ clc;clear; fprintf('n PRODUCTO POR UN ESCALAR n') fil=input('Ingrese el numero de filas de la Matriz A: '); col=input('Ingrese el numero de columnas de la Matriz A: '); n=input('Ingrese el escalar: '); %Ingreso de elementos for f=1:fil for c=1:col fprintf('Ingrese el elemento (%d,%d)',f,c) A(f,c)=input(' :'); end fprintf(' LA MATRIZ A ES: n') A end fprintf(' LA MATRIZ PRODUCTO B ES: n') B=A*n End La matriz opuesta de A puede obtenerse multiplicando la matriz original por el escalar –1. De acuerdo con esta definición; B = (-1)A, notándose B = -A, lo cual podemos expresarlo detalladamente como = +(- )C A A 11 12 1 11 12 1 21 2 2 2 21 2 2 2 1 2 1 2 m m m m n n n m n n n m a a a a a a a a a a a a a a a a a a                                  
  • 10. MATRICES JOE GARCIA ARCOS 10 11 11 12 12 1 1 21 21 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 m m m m n n n n n m n m a a a a a a a a a a a a a a a a a a                               . DEFINICION 1.1.7 Una matriz B = (bij) que, dada una matriz A = (aij) cumple la ecuación matricial (oij) = (aij) + (bij), para todo i, j  N recibe el nombre de matriz opuesta o negativa de A. La operación de restar una matriz B de una matriz A se define exactamente como esperará el lector: A – B es la matriz cuyos elementos son aij – bij. Se observa también que la resta puede definirse en términos de operaciones ya definidas, como A – B = A + (-B). Es decir, para restar dos matrices, restamos sus correspondientes elementos. DEFINICION 1.1.8 Dadas A = (aij), B = (bij) y C = (cij), matrices de igual orden. Si se cumple que C = A - B = (aij) - (bij) = (aij – bij) = (cij), i, j  N a la matriz C se le denomina resta de A y B. Es decir; si a cada par de matrices de orden n x m le hacemos corresponder otra matriz del mismo orden cuyos elementos se obtienen restando término a término los correspondientes a dichas matrices, se denomina resta de matrices. Dadas las matrices A y B, detalladamente podemos interpretar la resta de matrices de la siguiente manera: = -C A B 11 12 1 11 12 1 21 2 2 2 21 2 2 2 1 2 1 2 = m m m m n n n m n n n m a a a b b b a a a b b b a a a b b b                             11 11 12 12 1 1 21 21 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 m m m m n n n n n m n m a b a b a b a b a b a b a b a b a b                     . Debemos tener muy en cuenta, como lo hicimos para la adición, que la resta de las matrices A y B se puede realizar solamente cuando tienen el mismo orden. De aquí que el orden de la matriz obtenida de la resta es la misma que la de A y B. EJEMPLO 1.1.9 Dadas las matrices 13 5 12 17 6 8        A y -6 11 3 = 15 2 1       B . Determine la matriz M tal que A - 2M = 3B. SOLUCION Como A – 2M = 3B, entonces:
  • 11. MATRICES JOE GARCIA ARCOS 11 2M = A – 3B  1 = ( -3 ) 2 M A B Reemplazando los datos conocidos, obtenemos: 13 5 12 -6 11 3 13 5 12 -18 33 91 1 = -3 = - 17 6 8 15 2 1 17 6 8 45 6 32 2                                  M 31 28 31 28 0 52        .  EJEMPLO 1.1.10 Dadas las matrices 4 4 4 4 Sen Cos Cos Sen              A , 4 4 4 4 Tan Sen Sen Tan               B . Determine A - B. SOLUCION 2 2 2 1 4 4 4 4 2 2 2- 2 2 2 1 4 4 4 4 2 2 2 Sen Cos Tan Sen Cos Sen Sen Tan                                                      A B 2 1 2 2 2 2 1 2              .  EJEMPLO 1.1.11 Tres máquinas de gaseosas se localizan en un centro comercial. El contenido de estas máquinas se presenta en la siguiente matriz de inventario: Coca -Cola Fanta Sprite Maquina I 65 32 84 Maquina II 92 65 36 Maquina III 45 72 93 Los elementos indican el número de latas de cada tipo de gaseosa que contiene cada máquina. Suponga que la matriz de ventas para el día siguiente es Coca -Cola Fanta Sprite Maquina I 53 25 70 Maquina II 80 60 30 Maquina III 35 65 85 donde los elementos indican el número de latas de cada tipo de gaseosa que vende cada máquina. Hallar la matriz de inventario al final del día. SOLUCION La matriz de inventario al final del día se obtiene de la siguiente manera: 65 32 84 53 25 70 12 7 14 92 65 36 80 60 30 12 5 6 45 72 93 35 65 85 10 7 8                                . Si cada máquina se recarga con 30 latas de Coca-Cola, 20 latas de Fanta y 15 latas de Sprite, entonces la matriz de inventarios es la siguiente:
  • 12. MATRICES JOE GARCIA ARCOS 12 12 7 14 30 20 15 42 27 29 12 5 6 30 20 15 42 25 21 10 7 8 30 20 15 40 27 23                                .  EJEMPLO 1.1.12 Determínense las matrices P y Q de orden 3 x 2, tales que satisfagan el sistema de ecuaciones 2 +3 = - - =    P Q A P Q B , donde 1 3 = 2 4 1 2           A y -1 0 = -1 -3 1 -1           B . SOLUCION Multiplicando la segunda ecuación por 2, y sumandole a la primera, obtenemos las matrices P y Q. = - -3 = + 2    P A B Q A B Es decir: 1 3 -1 0 -1 -3 -3 0 2 -3 = - 2 4 -3 -1 -3 = -2 -4 - -3 -9 = 1 5 1 2 1 -1 -1 -2 3 -3 -4 1                                                   P 1 3 -1 0 1 3 -2 0 -1 3 = 2 4 + 2 -1 -3 = 2 4 + -2 -6 = 0 -2 1 2 1 -1 1 2 2 -2 3 0                                                   Q .  A continuación, dividamos una matriz A en partes mediante un sistema de rectas verticales y horizontales. Estas partes pueden ser consideradas como matrices de órdenes inferiores que forman, interpretadas como elementos, la propia matriz; se denominan bloques o submatrices de la matriz A, mientras que la propia matriz A, dividida de un modo determinado en submatrices, se denomina hipermatriz. Una misma matriz puede ser dividida en submatrices de diferentes maneras. DEFINICION 1.1.9 Se denomina hipermatriz a una ordenación rectangular de submatrices. Una submatriz derivada de una matriz A es la formada por los elementos que pertenecen simultáneamente a h filas y k columnas de A. La conveniencia de la división en submatrices consiste en que las operaciones principales sobre hipermatrices se realizan formalmente siguiendo las mismas reglas que en el caso de matrices corrientes. En efecto, supongamos una matriz A dividida de algún modo en submatrices: 11 12 1 21 22 2 1 2 n n m m mn              A A A A A A A A A A . Al multiplicar todas las submatrices por un número k multiplicaremos, al mismo tiempo, todos los elementos de la matriz A por k. Por consiguiente 11 12 1 21 22 2 1 2 n n m m mn k k k k k k k k k k              A A A A A A A A A A . Sea B una matriz dividida en el mismo número de submatrices que la matriz A
  • 13. MATRICES JOE GARCIA ARCOS 13 11 12 1 21 22 2 1 2 n n m m mn              B B B B B B B B B B . supongamos, además, que las correspondientes submatrices de las matrices A y B son del mismo número de filas y de columnas respectivamente. Para sumar las matrices A y B hay que sumar sus elementos correspondientes. Pero lo mismo ocurrirá, si sumamos las submatrices correspondientes de estas matrices. Por esto 11 11 12 12 1 1 21 21 22 22 2 2 1 1 2 2 + n n n n m m m m mn mn                   A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B . % CALCULAR LA RESTA DE MATRICES clc;clear; fprintf('n RESTA DE MATRICES n') fil=input('Ingrese el numero de filas De las Matrices A y B: '); col=input('Ingrese el numero de columnas De las Matrices A y B: '); %Ingreso de elementos fprintf('Matriz A:n') for f=1:fil for c=1:col fprintf('Ingrese el elemento A:(%d,%d)',f,c) A(f,c)=input(' :'); end end fprintf('Matriz B:n') for f=1:fil for c=1:col fprintf('Ingrese el elemento B:(%d,%d)',f,c) B(f,c)=input(' :'); end end fprintf(' LA MATRIZ A ES:n') A end fprintf(' LA MATRIZ B ES:n') B end fprintf('LA MATRIZ DIFERENCIA C ES:n') C=A-B End Como podemos ver, resulto fácil definir la igualdad, la multiplicación por un escalar, y la suma de matrices. No es tan obvio, en cambio, cómo debe definirse la multiplicación matricial. En este caso debe abandonarse, el concepto de matriz como simple arreglo de números puesto que esta idea no nos proporciona una guía para una definición propia. Ahora definiremos la operación más complicada de multiplicar dos matrices. DEFINICION 1.1.10 Dadas A = (aij) y B = (bij), matrices en las cuales el número de columnas de A es igual al número de filas de B. Se llama producto de A y B a una matriz C = (cij) cuyo orden es el número de filas de A y el número de columnas de B, denotada ( )ij ik kj k c a b          C , para todo i, j  .
  • 14. MATRICES JOE GARCIA ARCOS 14 De la propia definición se deduce que, en general, no es posible multiplicar dos matrices rectangulares, ya que se exige que el número de columnas de la primera matriz coincida con el número de filas de la segunda. Por lo tanto la condición necesaria y suficiente para que el producto AB esté definido, es que el número de columnas de A sea igual al número de filas de B. Para formar los elementos de la primera fila de la matriz AB se han multiplicado ordenadamente los elementos de la primera fila de A con los elementos de cada columna de B y, después se suman los correspondientes productos. Procediendo análogamente con cada una de las demás filas de A, se obtienen los elementos de cada una de las restantes filas de AB. La notación formal se expresa como C = AB y sus elementos se determinan de la siguiente manera: 11 12 1 11 12 1 21 2 2 2 21 2 2 2 1 2 1 2 = p m p m n n n p p p p m a a a b b b a a a b b b a a a b b b                       C AB 1 1 1 2 1 2 1 2 2 2 1 2 k k k k k k m k k k k k k k k k m k k k n k k n k k n k k m k k k a b a b a b a b a b a b a b a b a b                                      . El producto de dos matrices, en términos generales, depende del orden de los factores incluso en el caso en que el conjunto al cuál pertenecen sus elementos es conmutativo. Si se consideran matrices no cuadradas, puede ocurrir incluso que el producto de dos matrices tomadas en un orden tenga sentido y tomadas en el orden contrario, no lo tenga. EJEMPLO 1.1.13 Pruébese que si A es una matriz cuadrada y B = A + I, donde  y  son escalares, entonces AB = BA. SOLUCION Calculamos el producto matricial AB, previamente reemplazando la identidad de B y obtenemos el resultado requerido: AB = A(A + I) = A2 + AI = (A + I)A = BA.  EJEMPLO 1.1.14 Si 2 1 2 3        A y 7 6 9 8        B . Hallar matrices C y D de orden 2, tales que AC = B y DA = B. SOLUCION Para determinar matrices C y D, debemos tomar matrices de 2 x 2 cuyos elementos son desconocidos y los establecemos como sigue: 2 1 7 6 2 3 9 8 a b c d                 2 2 7 6 2 3 2 3 9 8 a c b d a c b d                 2 1 7 6 2 3 9 8 e f g h                 2 2 3 7 6 2 2 3 9 8 e f e f g h g h                 De aquí, establecemos los siguientes sistemas de ecuaciones:
  • 15. MATRICES JOE GARCIA ARCOS 15 2 7 2 3 9 a c a c         c = 8 y d = 7; 2 2 7 3 6 e f e f         19 4 f  y 33 4 e  2 6 2 3 8 b d b d         15 2 a  y 13 2 b  ; 2 2 9 3 8 g h g h         25 4 h  y 43 4 g  Solucionados ambos sistemas y obtenemos las matrices pedidas: 15 13 2 2 8 7          C y 33 19 4 4 43 25 4 4             D .  EJEMPLO 1.1.15 Determine la matriz M de modo que satisfaga la relación 3 1 5 7 = -2 2 -5 9             M . SOLUCION Para resolver este problema, debemos tomar una matriz M de 2 x 2 cuyos elementos son desconocidos y los establecemos de la siguiente manera: 3 1 5 7 2 2 5 9 a b c d                  3 2 2 5 7 3 2 2 5 9 a b a b c d c d                . Dos matrices se dice son iguales si sus correspondientes elementos son iguales, por tanto 3 2 5 2 7 a b a b         4a = 12  a = 3 y b = 2; 3 2 5 2 9 c d c d          4c = 4  c = 1 y d = 4 Por lo tanto 3 2 = 1 4       M .  EJEMPLO 1.1.16 Encontrar todas las matrices de orden dos que conmutan con la matriz Cos Sen Sen Cos           A . SOLUCION Multiplicamos a la matriz A por la izquierda y derecha por una matriz 2 x 2 de variables: a b Cos Sen Cos Sen a b c d Sen Cos Sen Cos c d                           Igualando los elementos de estas matrices, establecemos un sistema de ecuaciones: aCos bSen aCos cSen aSen bCos bCos dSen cCos dSen aSen cCos cSen dCos bSen dCos                                 ( ) 0 ( ) 0 ( ) 0 ( ) 0 b c Sen a d Sen a d Sen b c Sen                Si Sen  0, entonces: b + c = 0  b = -c y a - d = 0  a = d por lo tanto la matriz buscada es d c c d       , para todo c, d  R. 
  • 16. MATRICES JOE GARCIA ARCOS 16 EJEMPLO 1.1.17 Dadas las matrices A, B, ¿en qué condiciones son válidas las siguientes ecuaciones? a.- (A + B)2 = A2 + 2AB + B2 ; b.- (A + B)(A - B) = (A - B)(A + B) = A2 - B2 . SOLUCION a.- (A + B)2 = (A + B)(A + B) = AA + AB + BA + BB si AB = BA = A2 + 2AB + B2 . b.- (A + B)(A - B) = AA - AB + BA - BB si AB = BA = A2 - B2 (A - B)(A + B) = AA + AB - BA - BB si AB = BA = A2 - B2 .  EJEMPLO 1.1.18 Dadas las matrices A, B, C, D, suponga que todas las operaciones están definidas; demuestre entonces, a partir de la definición de multiplicación de matrices, que: (A + B)(C + D) = A(C + D) + B(C + D) = AC + AD + BC + BD. Bajo qué hipótesis están definidas todas las operaciones? SOLUCION Realizamos el producto (A + B)(C + D) = AC + AD + BC + BD = (AC + AD) + (BC + BD) = A(C + D) + B(C + D) Las matrices A y B deben ser de orden m x n y las matrices C + D de orden n x p.  EJEMPLO 1.1.19 Si A, B, C son tres matrices tales que AC = CA y BC = CB, pruébese que: (AB ± BA)C = C(AB ± BA). SOLUCION Tenemos como hipótesis que tanto A y C como B y C son conmutativas para el producto, entonces: (AB ± BA)C = ABC ± BAC = ACB ± BCA = CAB ± CBA = C(AB ± BA).  EJEMPLO 1.1.20 Dadas las matrices 1 0 2 0 1 1 2 0 2            A , 1 3 0 0 4 1 2 3 0            B , 6 5 7 2 2 4 3 3 6            C . Muestre que AC = BC, sin embargo, A  B. SOLUCION Primero realizamos el producto AC y luego BC: 1 0 2 6 5 7 12 11 19 0 1 1 2 2 4 5 5 10 2 0 2 3 3 6 18 16 26                           AC ; 1 3 0 6 5 7 12 11 19 0 4 1 2 2 4 5 5 10 2 3 0 3 3 6 18 16 26                            BC . De esta manera queda demostrado que AC = BC sin que A = B.  EJEMPLO 1.1.21 Muestre que A y B conmutan si y sólo si A - I y B - I conmutan para un cierto escalar unidad. SOLUCION Realizamos los productos correspondientes a (A - I)(B - I) y (B - I)(A - I): (A - I)(B - I) = (B - I)(A - I)
  • 17. MATRICES JOE GARCIA ARCOS 17 AB - AI - IB + 2 II = BA - BI - IA + 2 II AB - A - B + 2 I2 = BA - B - A + 2 I2 AB = BA.  EJEMPLO 1.1.22 Sea a b c d        A una matriz de 2 x 2 con ad – bc  0. Encuentre una matriz B tal que AB = BA = I. SOLUCION Realizamos los productos AB = I y BA = I, luego resolvemos los sistemas de ecuaciones lineales generados por cada uno de ellos: 1 0 0 1 a b x y c d z u                 AB  1 0 0 1 ax bz cx dz ay bu cy du             ; ; d c x z ad bc ad bc b a y u ad bc ad bc             1 0 0 1 x y a b z u c d                 BA  1 0 0 1 ax cy bx dy az cu bz du             ; ; d c x z ad bc ad bc b a y u ad bc ad bc             . Por lo tanto la matriz B tiene la forma siguiente: d b ad bc ad bc c a ad bc ad bc              B .  EJEMPLO 1.1.23 Demuestre que si AB = O y B  O, no existe ninguna matriz C tal que CA = I. SOLUCION Si A = O por ser B  O, la no existencia de la matriz C para que CA = I, es obvia. Si A  O y B  O, entonces A  O, CA  CO, CA  O para que CA = I necesariamente la matriz C debe ser la inversa de A, en caso contrario no podemos obtener CA = I.  EJEMPLO 1.1.24 Sea A una matriz de n x n. Suponga que AB = B para toda matriz B de n x n. Pruebe que A = I. SOLUCION Tenemos que: AB = B  AB – B = O  (A – I)B = O. Por hipótesis B  O, entonces A – I = O, de donde A = I.  EJEMPLO 1.1.25 Encuentre un ejemplo para probar que existen matrices no cuadradas A y B, tales que AB = I. Específicamente, pruebe que existe una matriz A de m x n y una matriz B de n x m, tales que AB es la matriz identidad de m x m. Demuestre que BA no es la matriz identidad de n x n. Pruebe en general que, si m  n, entonces AB y BA no pueden ser ambas matrices identidad. SOLUCION Sea 1 3 1 4 2 1        A y a b c d e f            B , entonces:
  • 18. MATRICES JOE GARCIA ARCOS 18 1 3 1 3 3 1 0 4 2 1 4 2 4 2 0 1 a b a c e b d f c d a c e b d f e f                                   AB . Igualando las matrices, obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones: (1) 3 1 (2) 4 2 0 (1) (2) 5 5 1 (3) 3 0 (3) (4) 5 5 1 (4) 4 2 1 a c e a c e a c b d f b d b d f                        5 5 1 5 5 1 a b a c c d b d e f                   B . Como comprobación, podemos escoger la matriz B de la siguiente manera: 3 3 5 10 1 3 1 1 02 1 4 2 1 0 15 2 8 6 5 5                            AB . Con esto queda demostrado que existen matrices no cuadradas, tales que el producto AB es la matriz I. A continuación, vamos a demostrar que el producto BA no es la matriz I: 3 3 3 6 9 5 10 5 5 10 1 0 0 1 3 12 1 8 1 9 0 1 0 4 2 15 2 5 5 10 0 0 1 8 6 16 12 14 5 5 5 5 5                                                       BA .  EJEMPLO 1.1.26 Suponga que la tercera columna de B es la suma de las primeras dos columnas. ¿Qué se puede decir sobre la tercera columna de AB? ¿Por qué? SOLUCION La tercera columna de AB es la suma de las primeras dos columnas de AB. He aquí por qué. Denotemos las primeras tres columnas de B por b1, b2, b3. Si b3 = b1 + b2, entonces la tercera columna de AB es Ab3 = Ab1 + Ab2, por una propiedad de la multiplicación de matrices.  EJEMPLO 1.1.27 Un comerciante de radios, tiene 10 radios de tamaño I, 15 de tamaño II y 8 de tamaño III. Los radios de tamaño I se venden a $60 cada uno los de tamaño II en $47 cada uno y los de tamaño III se venden a $40 cada uno. Calcular el precio de venta de su existencia de radios. SOLUCION Construimos una matriz A en la cual constan la cantidad de radios de cada uno de los tamaños y, una matriz B de precios por tamaño. Realizamos el producto de AB para obtener el precio de venta de la existencia de radios   60 10 15 8 47 $1625 40           .  EJEMPLO 1.1.28 Una empresa utiliza tres tipos de materias primas P1, P2 y P3 en la elaboración de tres productos Q1, Q2 y Q3. El número de unidades de P1, P2 y P3 usados por cada unidad de Q1 son 4, 3 y 2 respectivamente, por cada unidad de Q2 son 5, 3 y 4,
  • 19. MATRICES JOE GARCIA ARCOS 19 respectivamente, y por cada unidad de Q3 son 2, 5 y 3 respectivamente. Suponga que la empresa produce 28 unidades de Q1, 18 unidades de Q2 y 39 unidades de Q3 a la semana. a.- ¿Cuál es el consumo semanal de materia prima? b.- Si los costos por unidad para P1, P2 y P3 son 60, 52 y 18, respectivamente, ¿cuá- les son los costos de las materias primas por unidad de Q1, Q2 y Q3? c.- ¿Cuál es la cantidad total gastada en materias primas a la semana en la produc- ción de Q1, Q2 y Q3? SOLUCION a.- Para obtener el consumo semanal de la materia prima, construimos la matriz A de unidades por producto y una matriz B de cantidad de materia prima por producto y luego realizamos el producto AB     4 3 2 28 18 39 5 3 4 280 333 245 2 5 3            AB . b.- Los costos de materia prima por unidad de cada producto lo calculamos de la siguiente manera: a la matriz B del inciso anterior le multiplicamos la matriz C de costos por unidad para cada tipo de materia prima, es decir 4 3 2 60 432 5 3 4 52 528 2 5 3 18 434                           BC . c.- Si sumamos los tres tipos de materia prima, obtenemos la cantidad total gastada a la semana en la producción de los tres productos P1 + P2 + P3 = 280 + 333 + 245 = 858.  EJEMPLO 1.1.29 Demostrar que la igualdad AB – BA = I es imposible. SOLUCION Sea 11 12 1 21 22 2 1 2 ... ... ... ... ... ... n n n n nn a a a a a a a a a              A , 11 12 1 21 22 2 1 2 ... ... ... ... ... ... n n n n nn b b b b b b b b b              B , 1 1 1 2 1 1 1 1 2 1 2 2 2 1 1 1 1 2 1 1 1 ... ... ... ... ... ... n n n k k k k k kn k k k n n n k k k k k kn k k k n n n nk k nk k nk kn k k k a b a b a b a b a b a b a b a b a b                                            AB , 1 1 1 2 1 1 1 1 2 1 2 2 2 1 1 1 1 2 1 1 1 ... ... ... ... ... ... n n n k k k k k kn k k k n n n k k k k k kn k k k n n n nk k nk k nk kn k k k b a b a b a b a b a b a b a b a b a                                            BA . Entonces la suma de los elementos diagonales de la matriz AB es igual a
  • 20. MATRICES JOE GARCIA ARCOS 20 1 1 n n ik ki i k a b    , que es exactamente igual a la suma de los elementos diagonales para la matriz BA. Por consiguiente, la suma de los elementos diagonales de la matriz AB – BA es igual a cero, y la igualdad AB – BA = I es imposible.  TEOREMA 1.1.7 Sean A = (aij), B = (bij) y C = (cij), matrices compatibles para el producto, entonces (AB)C = A(BC). DEMOSTRACION Sean A, B, C matrices compatibles para el producto y D = BC, entonces para todo i, j natural 1 ( ) m ij ik kj k d b c          . Sea E = AD, entonces para todo i, j natural 1 1 1 1 1 ( ) m m m m m ij ir rj ir rk kj ir rk kj r r k r k e a d a b c a b c                                  . Por otra parte, sea F = AB, entonces para todo i, j natural 1 ( ) m ij ik kj k f a b          . Sea G = FC, entonces para todo i, j natural 1 1 1 1 1 ( ) m m m m m ij ir rj ik kr rj ik kr rj r r k r k g f c a b c a b c                                  . Obtenemos E = G y, por tanto (AB)C = A(BC).  De este teorema se deduce que el producto de varias matrices dispuestas en un orden determinado no depende de cómo se coloquen los paréntesis. Por esto podemos hablar no sólo sobre el producto de dos matrices, sino también sobre el producto de un número mayor de matrices. TEOREMA 1.1.8 Sean A = (aij), B = (bij) y C = (cij), matrices compatibles para el producto y suma respectivamente, entonces A(B + C) = AB + AC. DEMOSTRACION Sea D = B + C, entonces (dij) = (bij + cij). Si E = AD, entonces 1 ( ) m ij i k k j k e a d          1 ( ) m i k k j i k k j r a b a c          1 1 m m i k k j i k k j r r a b a c                  = +AB AC .  TEOREMA 1.1.9 Sean A = (aij), B = (bij) y C = (cij), matrices compatibles para la suma y el producto respectivamente, entonces (B + C)A = BA + CA. DEMOSTRACION Sea D = B + C, entonces (dij) = (bij + cij). Si E = DA, entonces
  • 21. MATRICES JOE GARCIA ARCOS 21 1 1 1 1 ( ) ( ) + m m m m ij ik kj ik ik kj ik kj ik kj k r r r e d a b c a b a c a                                      BA CA .  De las propiedades 1.1.8 y 1.1.9 se desprende directamente la siguiente regla general: para multiplicar una suma de matrices por otra hay que multiplicar cada matriz de la primera suma por cada matriz de la segunda suma y sumar los productos obtenidos. Si las operaciones indicadas en uno de los miembros son posibles, las operaciones indicadas en el otro miembro también son posibles y los resultados obtenidos en ambos miembros coinciden. TEOREMA 1.1.10 Sean A = (aij), I = (ij) matrices cuadradas de igual orden. En las matrices cuadradas es posible definir un elemento neutro respecto del producto matricial, llamado matriz unidad o identidad, representado por I, que cumple AI = IA = A. DEMOSTRACION Si D = AI, entonces 1 ( ) ( ) ( ) m ij ik kj ij jj ij r d a a a             Si E = IA, entonces 1 ( ) ( ) ( ) m ij ik kj ii ij ij r e a a a             Por tanto, D = E = A.  TEOREMA 1.1.11 Sean A = (aij), B = (bij) matrices compatibles para el producto. En general, el producto de dos matrices no es conmutativo, y, por tanto AB  BA. DEMOSTRACION Si D = AB, entonces 1 ( ) m ij ik kj r d a b          Si E = BA, entonces 1 ( ) m ij ik kj r e b a          Claramente observamos que D  E y, por tanto, en general el producto de matrices no es conmutativo.  EJEMPLO 1.1.30 Demuestre que AB  BA dadas las matrices 2 4 3 7 6 9 1 i i i i i          A , 8 4 5 6 2 3 2 4 5 i i i i i            B . SOLUCION 8 4 5 2 4 3 42 21 6 4 6 2 7 6 9 1 97 25 27 24 3 2 4 5 i i i i i i i i i i i i i i                           AB ; 8 4 5 20 35 38 1 9 8 2 4 3 6 2 12 8 42 6 6 2 7 6 9 1 3 2 4 5 32 42 83 19 7 4 i i i i i i i i i i i i i i i i i i i                                    BA .
  • 22. MATRICES JOE GARCIA ARCOS 22 Por tanto AB  BA.  EJEMPLO 1.1.31 Dadas las matrices 4 4 4 4 Sen Cos Cos Sen              A , 4 4 4 4 Tan Sen Sen Tan               B . Demuestre que AB = BA. SOLUCION Realizamos el producto AB: 4 4 4 4 4 4 4 4 Sen Cos Tan Sen Cos Sen Sen Tan                        AB 2 2 2 2 1 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 1 1 2 2 2 2 2                                  . También efectuamos el producto BA: 4 4 4 4 4 4 4 4 Tan Sen Sen Cos Sen Tan Cos Sen                        BA 2 2 2 2 1 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 1 1 2 2 2 2 2                                  . Por tanto AB = BA.  % CALCULAR LA MULTIPLICACION DE MATRICES clc;clear; fprintf('n PRODUCTO ENTRE MATRICES n') fil1=input('Ingrese el numero de filas de la matriz A : '); col1=input('Ingrese el numero de columnas de la matriz A: '); fil2=input('Ingrese el numero de filas de la matriz B : '); col2=input('Ingrese el numero de columnas de la matriz B: '); if (col1==fil2) %Ingreso de elementos fprintf('Matriz A:n') for f=1:fil1 for c=1:col1 fprintf('Ingrese el elemento A:(%d,%d)',f,c) A(f,c)=input(' :'); end end fprintf('Matriz B:n') for f=1:fil2 for c=1:col2 fprintf('Ingrese el elemento B:(%d,%d)',f,c) B(f,c)=input(' :'); end end fprintf(' LA MATRIZ A ES:n')
  • 23. MATRICES JOE GARCIA ARCOS 23 A fprintf(' LA MATRIZ B ES:n') B fprintf(' LA MATRIZ PRODUCTO C ES:n') C=A*B else fprintf('n Las dimensiones no coincidenn') end A continuación damos de forma general, la multiplicación de hipermatrices. Consideremos las matrices 11 12 1 21 22 2 1 2 p p m m mp                A A A A A A A A A A y 11 12 1 21 22 2 1 2 n n p p pn              B B B B B B B B B B . divididas en submatrices Aik y Bkj de manera que el número de columnas de la submatriz Aik sea igual al número de filas de la submatriz Bkj. En estas condiciones las expresiones Cij = Ai1B1j + Ai2B2j + ... + AipBpj tienen sentido. Por tanto 1 1 1 2 1 2 1 2 2 2 1 2 k k k k k km k k k k k k k k km k k k nk k nk k nk km k k k                                      A B A B A B A B A B A B AB A B A B A B es decir, las matrices divididas de manera adecuada en submatrices pueden ser multiplicadas de la forma corriente. DEFINICION 1.1.11 Si A y B son dos hipermatrices cuyas submatrices son (Aik), (Bkj), para todo i, j, k  , respectivamente, la hipermatriz producto C = AB se define como ( )ij ik kj k c          C A B , para todo i, j, k  . EJEMPLO 1.1.32 Determine AB, dadas las matrices 4 3 5 2 1 0 4 6 3 8 1 2 3 6 2 1 2 5 6 7 1 0 3 5 1                 A y 0 3 9 1 1 3 6 3 2 4 6 8 1 4 6 3 2 4 8 5                 B . SOLUCION El producto AB se establece de la siguiente manera: 11 11 12 12 11 12 12 2 2 11 12 21 2221 11 2 2 21 21 12 2 2 2 2 + + = = + +             A B A B A B A B C C AB C CA B A B A B A B 11 2 4 6 4 3 0 3 9 5 2 1 1 4 6 0 4 1 3 6 6 3 8 2 4 8                        C
  • 24. MATRICES JOE GARCIA ARCOS 24 3 21 54 14 32 50 17 53 104 4 12 24 31 68 118 35 80 142                     . 12 8 4 3 1 5 2 1 13 51 64 3 0 4 3 6 3 8 12 97 109 5                                             C . 21 1 2 3 6 2 2 4 6 0 3 9 1 2 5 6 7 1 4 6 1 3 6 1 0 3 5 1 2 4 8                              C 2 9 21 16 44 70 18 53 91 2 9 21 30 72 122 32 81 143 0 3 9 13 36 56 13 39 65                                 . 22 1 2 3 6 2 8 7 52 59 1 1 2 5 6 7 3 7 93 100 3 1 0 3 5 1 5 1 44 45                                                               C . 17 53 104 64 35 80 142 109 = 18 53 91 59 32 81 143 100 13 39 65 45                 AB .  EJEMPLO 1.1.33 Dada =       O I A B O donde las submatrices O, I, B son de k x k. Determine A2 y A4 . SOLUCION Realizamos el producto AA y luego A2 A2 y obtenemos los resultados correspondientes: 2 + + = = = = + +                      O I O I O IB OI IO B O A AA B O B O BO OB BI O O B ; 2 2 4 2 2 2 2 + + = = = = + +                       B O B O B O BO OB B O A A A O B O B OB BO O B O B .  Las propiedades entre hipermatrices son las mismas que estudiamos anteriormente. PROBLEMAS 1.1.1 Multiplicar las matrices: a.- 1 2 1 2 3 1 1 2 1 0 1 2 1 1 0 0 1 2 3 1 1 1 2 1 3 1 1                    ; b.- 1 1 1 1 1 1 a b c a c c b a b b c a                . 1.1.2 Pruebe que si A es una matriz de n x n y B = aA + bI, siendo a, b números reales, entonces A y B son conmutativas. 1.1.3 Hallar todas las matrices de segundo orden, cuyos cubos son iguales a la matriz nula. 1.1.4 Pruebe que las matrices A y B son conmutativas, si y solamente si C = aA + bB y D = cA + dB lo son, donde a, b, c, d son números reales.
  • 25. MATRICES JOE GARCIA ARCOS 25 1.1.5 Dadas las matrices 1 2 3            A , 1 0 2            B , 1 4 4            C , 0 0 1            D . a.- Encuentre escalares a y b tales que C = aA + bB; b.- Demuestre que no existen escalares a y b tales que D = aA + bB; c.- Encuentre escalares no nulos a, b, c tales que aA + bB + cC = O. 1.1.6 Hallar todas las matrices se segundo orden, cuyos cuadrados son iguales a la matriz nula. 1.1.7 Hallar todas las matrices conmutativas con la siguiente matriz: a.- 1 2 4 1       ; b.- 1 2 2 1       ; c.- 1 1 1 1       ; d.- 2 1 1 1       ; e.- 3 4 5 1       ; f.- 2 3 2 4       ; g.- 1 4 3 2       ; h.- 3 8 3 1       ; i.- 1 4 2 8       . 1.1.8 Hallar todas las matrices conmutativas con la siguiente matriz: a.- 1 1 1 1 1 1 1 1 1           ; b.- 0 1 4 3 2 1 1 1 3          ; c.- 5 1 3 2 1 1 1 1 3          ; d.- 4 5 1 1 3 0 2 0 1           ; e.- 1 3 0 2 1 3 5 2 1          ; f.- 1 1 7 2 3 1 1 4 1           . 1.1.9 Encuentre matrices A y B de 2 x 2 tales que AB = O pero BA  O. 1.1.10 Hallar todas las matrices de tercer orden, cuyos cuadrados son iguales a la matriz nula. 1.1.11 Hallar todas las matrices de tercer orden, cuyos cuadrados son iguales a la matriz identidad. 1.1.12 Suponga que la última columna de AB es completamente cero pero B misma no tiene ninguna columna de ceros. ¿Qué se puede decir sobre las columnas de A? 1.1.13 Demuestre que si el producto AB es de n x n, entonces el producto BA está definido. 1.1.14 Demuestre que si A es una matriz de m x n, n > m, entonces existe un vector columna no nulo para el cual Av = O. 1.1.15 Encuentre una matriz B tal que ABC = D dado que 3 7 2 1 5 3            A , 2 5 4 9 6 2        C , 9 3 5 7 2 4 7 5 0            D . 1.1.16 Demuestre que si A es una matriz de n x n tal que Av = v para cualquier vector columna, entonces A = I. 1.1.17 Hallar todas las matrices de segundo orden, cuyos cuadrados son iguales a la matriz identidad. 1.1.18 Hallar todas las matrices reales de segundo orden, cuyos cubos son iguales a la matriz identidad. 1.1.19 Hallar todas las matrices reales de segundo orden, cuyas cuartas potencias son iguales a la matriz identidad. 1.1.20 Hállese la familia de matrices de la forma 0 0 0 0 a b c d e            A tales que A2 = I. 1.1.21 Encontrar una matriz A de 4 x 4 cuyos elementos cumplan la condición siguiente: a.- aij = i – j; b.- aij = mín{i, j}; c.- aij = j1+ j ; d.- aij = i - j; e.- aij = máx{i, j}; f.- 1 si 1 1 si 1ij i j a i j         . 1.1.22 Pruebe con un ejemplo que si B tiene una columna de ceros, entonces AB tiene una columna correspondiente de ceros. 1.1.23 Encuentre una matriz A tal que: a.- 3 1 2 4 0 3 1 0 0 3            A ; b.- 2 1 2 1 3 0 2 0 5 1           A ; c.- 3 2 0 0 1 3 2 1 1 1           A ; d.- 2 1 2 1 1 0 2 1 2 1           A . 1.1.24 Sean A y B matrices tales que el producto AB está definido. Demuestre que si A tiene dos columnas idénticas, entonces las dos columnas correspondientes de AB también son idénticas.
  • 26. MATRICES JOE GARCIA ARCOS 26 1.1.25 Represente como un producto de matrices las siguientes expresiones: a.- x2 + 5y2 – 4z2 + 2xy – 4xz; b.- 4x2 + y2 + z2 – 4xy + 4xz – 3yz; c.- 2x2 + 18y2 + 8z2 – 12xy + 8xz – 27yz; d.- -12x2 – 3y2 – 12z2 + 12xy – 24xz + 8yz; e.- 3x2 + 2y2 – z2 – 2u2 + 2xy – 4yz + 2yu; f.- 4x2 + y2 + 9z2 – 12xz; g.- 2x2 + 3y2 + 6z2 – 4xy – 4xz + 8yz; h.- 3x2 + 10y2 + 25z2 – 12xy – 18xz + 40yz; i.- 5x2 + 5y2 + 2z2 + 8xy + 6xz + 6yz; j.- 2x2 + 9y2 + 3z2 + 8xy – 4xz – 10yz. 1.1.26 Encuentre una matriz A de orden 2 x 2, tal que AB = I si 3 1 1 3 i i        B . 1.1.27 Comprobar que las identidades algebraicas (A + B)2 = A2 + 2AB + B2 y (A + B)(A – B) = A2 – B2 no son ciertas para las matrices de 2 x 2: 1 3 4 5        A y 0 1 2 3        B Modificar el segundo miembro de esas identidades para obtener fórmulas válidas para todas las matrices cuadradas A y B. ¿Para qué matrices A y B son válidas las identidades establecidas anteriormente? 1.1.28 Sean A y B matrices de n x n. Demuestre que si todos los elementos de la j-ésima columna de A son nulos entonces todos los elementos de la j-ésima columna de AB son nulos. 1.1.29 Hállese la familia de matrices de la forma 0 0 0 0 a b c d e            A tales que A2 = O. 1.1.30 Construya una matriz aleatoria A de 4 x 4 y compruebe si (A + I)(A – I) = A2 – I. La mejor manera de hacer esto es calcular (A + I)(A – I) – (A2 – I) y verificar que esta diferencia sea la matriz cero. Hágalo para tres matrices al azar. Luego haga la prueba para (A + B)(A – B) = A2 – B2 procediendo de la misma manera con tres pares de matrices de 4 x 4 al azar. Informe los resultados. 1.1.31 Sea 0 0 0 1        A . Demuestre que para toda ma- triz B de 2 x 2 (AB – ABA)2 = (BA – ABA)2 = O. 1.1.32 Encuentre todas las matrices de 4 x 4 que conmuten con la matriz 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1             A . 1.1.33 La matriz PARA A PARA B PARA C DE A 1.50 1.25 1.05 DE B 0.75 0.50 0.45 DE C 0.35 0.45 0.95 representa la proporción de una población de electores que cambia del partido i al partido j en una elección dada. Es decir, pij (i  j) representa la proporción de la población de electores que cambia del partido i al partido j y pii representa la proporción que permanece leal al partido i de una elección a otra. Encuentre el producto de P con sí misma. ¿Qué representa este producto? 1.1.34 Pruebe con un ejemplo que si A tiene una fila de ceros, entonces AB tiene una fila correspondiente de ceros. 1.1.35 Suponga que se quiere calcular la cantidad de dinero que se tiene al cabo de n años si invertimos $ 250 a un interés compuesto anual del, 4.5, 5, 5.5 %. Si colocamos P dólares durante un año a un interés r, entonces el valor que se tiene al final del año es Capital final = P + rP = (1 + r)P. Encuentre el monto al final del tercero y cuarto años de una inversión de $ 250 al interés de 4.5, 5 y 5.5 %, respectivamente. 1.1.36 El costo en dólares de comprar un boleto aéreo de la ciudad A a cada una de las cuatro ciudades B, C, D y E, está relacionado en la matriz P = (75 62 35 55). Si la directiva de la aviación civil aprueba un incremento del 12% en las tarifas. Hallar las nuevas tarifas. 1.1.37 Suponga que una matriz de n x n satisface la ecuación A2 – 2A + I = O. Demuestre que A3 = 3A - 2I y que A4 = 4A – 3I. 1.1.38 Demuestre que si ambos productos AB y BA están definidos, entonces AB y BA son matrices cuadradas. 1.1.39 Tres máquinas de gaseosas se localizan en un centro comercial. El contenido de estas máquinas se pre- senta en la siguiente matriz de inventario: A B C Maquina I 65 32 84 Maquina II 92 65 36 Maquina III 45 72 93
  • 27. MATRICES JOE GARCIA ARCOS 27 Los elementos indican el número de latas de cada tipo de gaseosa que contiene cada máquina. Suponga que la matriz de ventas para el día siguiente es A B C Maquina I 53 25 70 Maquina II 80 60 30 Maquina III 35 65 85 donde los elementos indican el número de latas de cada tipo de gaseosa que vende cada máquina. Hallar la matriz de inventario al final del día. 1.1.40 Un comerciante de radios, tiene 10 radios de tamaño I, 15 de tamaño II y 8 de tamaño III. Los radios de tamaño I se venden a $60 cada uno los de tamaño II en $47 cada uno y los de tamaño III se venden a $40 cada uno. Calcular el precio de venta de su existencia de radios. 1.1.41 Un fabricante de sacos los produce en color ne- gro, azul y rojo para hombres, mujeres y niños. La capa- cidad de producción en miles en la planta A está dada por la matriz Hombres Mujeres Niños Negro 3 5 6 Azul 2 3 4 Rojo 5 1 3 La producción en la planta B está dada por Hombres Mujeres Niños Negro 2 3 3 Azul 4 2 5 Rojo 1 3 2 a.- Determine la representación matricial de la producción total de cada tipo de sacos en ambas plantas. b.- Si la producción en A se incrementa en un 15% y la de B en un 30%, encuentre la matriz que representa la nueva producción total de cada tipo de saco. 1.1.42 Sean A y B dos matrices de 3 x 3. Demuestre que la ecuación matricial AB – BA = I no tiene solución. 1.1.43 Una empresa utiliza tres tipos de materias primas P1, P2 y P3 en la elaboración de tres productos Q1, Q2 y Q3. El número de unidades de P1, P2 y P3 usados por cada unidad de Q1 son 4, 3 y 2 respectivamente, por cada unidad de Q2 son 5, 3 y 4, respectivamente, y por cada unidad de Q3 son 2, 5 y 3 respectivamente. Suponga que la empresa produce 28 unidades de Q1, 18 unidades de Q2 y 39 unidades de Q3 a la semana: a.- ¿Cuál es el consumo semanal de materia prima? b.- Si los costos por unidad para P1, P2 y P3 son 60, 52 y 18, respectivamente, ¿cuáles son los costos de las materias primas por unidad de Q1, Q2 y Q3? c.- ¿Cuál es la cantidad total gastada en materias primas a la semana en la producción de Q1, Q2 y Q3? 1.1.44 Sean las matrices 2 2 3 2        A , 1 1 0 1        B , 1 0        C ,  2 1 D , 3 1        E . Encuéntrese cada uno de los productos que se piden, y compruébese el resultado mediante la multiplicación directa: a.-          A O B O O B O I ; b.-          A B A O B A I B ; c.-          A C E I D O O D ; d.-                A O O I O B O O O O O B . 1.1.45 Utilizando el programa hecho anteriormente, realice el producto por partición entre las matrices 1 1 2 3 4 5 6 2 3 0 1 3 1 2 9 0 1 6 4 5 2 7 4 81 56 92 102 15 i i i                  A y 93 67 34 0 0.5 1 4 8 3 0 8 56 71 23 41 3 1 1 6 2 9 0 0 2 1 3 4 5 6 9 6 2 1 3 i i                     B . 1.1.46 Una fábrica elabora muebles de comedor y sala en dos sitios. La matriz proporciona el costo total de manufactura de cada producto en cada lugar (suponga que solamente hay costos de mano de obra y de material): SITIO1 SITIO 2 COMEDOR 65 45 SALA 50 60 a.- Dado que la mano de obra corresponde a casi 2/5 del costo total, determine la matriz B que proporciona los costos de mano de obra para cada producto en cada sitio. b.- Encuentre la matriz C que da los costos de material para cada producto en cada sitio. 1.1.47 En un ecosistema, ciertas especies proveen de comida a otras. El elemento aij de la matriz de consumo es igual al número de unidades de la especie j consumi- das diariamente por un individuo de la especie i.
  • 28. MATRICES JOE GARCIA ARCOS 28 Construya la matriz (aij) para el siguiente ecosistema simple que consiste de tres especies: a.- Cada especie consume en promedio 1 unidad de cada una de las otras especies. b.- La especie 1 consume una unidad de la especie 2; la especie 2 consume ½ unidad de cada una de las especies 1 y 3; la especie 3 consume 2 unidades de la especie 1. c.- La especie 1 consume 2 unidades de la especie 3; la especie 2 consume 1 unidad de la especie 1; la especie 3 no consume de ninguna de las otras especies. 1.1.48 Cierta empresa cuenta con cuatro fábricas, cada una de ellas produce dos productos: FABRICA1 FABRICA 2 FABRICA 3 FABRICA 4 PRODUCTO1 125 105 95 80 PRODUCTO 2 55 60 75 60 Determine los niveles de producción que habría si ésta se incrementase en un 25 %. 1.1.49 Un agricultor cosecha dos veces al año, las cuales se distribuyen a cuatro mercados: MERCADO1 MERCADO 2 MERCADO 3 MERCADO 4 COSECHA1 125 105 95 80 COSECHA 2 55 60 75 60 La ganancia en una unidad del producto i se representa en la matriz  B 1.25 3.25 . Encuentre el producto BA y explique qué representa cada elemento de este producto. 1.1.50 La siguiente tabla, que puede ser vista como una matriz, da el costo en centavos de un kilo de cada uno de los productos en tres supermercados: CARNE PESCADO POLLO PAPAS ARROZ SUPERMERCADO1 80 35 65 25 25 SUPERMERCADO 2 85 40 70 30 30 SUPERMERCADO 3 75 45 65 35 35 Si se compran 4 kilos de carne, 4 kilos de pescado, 3 kilos de pollo, 10 kilos de papas, 10 kilos de arroz, encuentre el costo total en cada uno de los supermercados. 1.1.51 Una compañía tiene plantas en cuatro provincias, I, II, III y IV, y cuatro bodegas en los lugares P, Q, R y S. El costo en miles de dólares de transportar cada unidad de su producto de una planta a una bodega está dado por la matriz Prov. I Prov. II Prov. III Prov. IV Bodega P 13 12 17 12 Bodega Q 19 17 13 15 Bodega R 8 9 11 13 Bodega S 19 21 9 15 a.- Si los costos de transportación se incrementan uniformemente en $500 por unidad, ¿cuál es la nueva matriz? b.- Si los costos de transportación se elevan en un 25%, escriba los nuevos costos. 1.1.52 Una empresa produce tres tamaños de radios en tres modelos diferentes. La producción en miles en su planta A está dada por la matriz Tamaño 1 Tamaño 2 Tamaño 3 Modelo 1 20 32 25 Modelo 2 15 15 29 Modelo 3 12 27 30
  • 29. MATRICES JOE GARCIA ARCOS 29 La producción en miles en su planta B está dada por la matriz Tamaño 1 Tamaño 2 Tamaño 3 Modelo 1 35 42 19 Modelo 2 25 35 25 Modelo 3 12 18 21 a.- Escriba una matriz que represente la producción total de radios en ambas plantas. b.- El dueño de la empresa planea abrir una tercera planta en C, la cual tendrá una vez y cuarto la capacidad de la planta en A. Escriba la matriz que representa la producción en la planta C. c.- ¿Cuál sería la producción total de las tres plantas? 1.1.53 La siguiente tabla da el costo en centavos de un kilo de mariscos en tres diferentes supermercados: CAMARON CONCHA CALAMAR SUPERMERCADO1 0.95 1.10 0.45 SUPERMERCADO 2 0.90 0.95 0.50 SUPERMERCADO 3 0.93 1.00 0.55 Si un comprador compra 3 kilos de camarón, 2 kilos de concha y 4 kilos de calamar, encuentre el costo total en cada uno de los supermercados. 1.2 CLASIFICACION DE LAS MATRICES CUADRADAS En esta sección clasificamos y definimos las diversas partes de una matriz cuadrada, se introduce términología básica, enunciamos sus correspondientes propiedades. Las matrices cuadradas, desempeñan un papel muy importante en todos los aspectos del álgebra de matrices. Su estructura requiere un análisis particular, el cual se discutirá a continuación, de modo que no resulte incomprensible el estudio de las operaciones que pueden efectuarse sobre este particular tipo de matrices. DEFINICION 1.2.1 Sea A una matriz cuadrada de n x n. Dentro de este tipo de matrices, podemos distinguir tres regiones que se definen de la siguiente manera: a.- La diagonal principal, está formada por los elementos aij para los cuales i = j. b.- El triángulo superior, está formado por los elementos aij para los cuales i < j. c.- El triángulo inferior, está formado por los elementos aij para los cuales i > j. Es decir, la diagonal principal de una matriz cuadrada son todos los elementos que se encuentran en la línea que va del vértice superior de la izquierda al inferior de la derecha. La diagonal secundaria la forman los elementos de una matriz que se encuentran en la línea que va del vértice superior derecho al inferior izquierdo. De la definición anterior, podemos distinguir algunas matrices cuya estructura permite una clasificación bien determinada. DEFINICION 1.2.2 Se dice que una matriz T = (tij) de orden n, es triangular superior (inferior) si existen elementos tij = 0, con i > j (i < j). Este tipo de matrices se determinan, cuando los elementos situados debajo (encima) de la diagonal principal son nulos. Es decir:
  • 30. MATRICES JOE GARCIA ARCOS 30 11 12 1 2 2 20 0 0 n n n n t t t t t t                T , ti j = 0 si i > j; 11 21 2 2 1 2 0 0 0 n n n n t t t t t t                T , tij = 0 si i < j. TEOREMA 1.2.1 La adición de dos matrices triangulares, ambas superiores o inferiores, es una matriz triangular superior o inferior. DEMOSTRACION Sean A = (aij), con aij = 0, para todo i > j y B = (bij), con bij = 0, para todo i > j. A + B = (aij) + (bij) = (aij + bij) = (cij), con cij = 0, para todo i > j. Sean A = (aij), con aij = 0, para todo i < j y B = (bij), con bij = 0, para todo i < j. A + B = (aij) + (bij) = (aij + bij) = (cij), con cij = 0, para todo i < j.  TEOREMA 1.2.2 El producto de dos matrices triangulares, ambas superiores o inferiores, es una matriz triangular superior o inferior. DEMOSTRACION Sean T = (tij) con tij = 0, para todo i > j y T´ = (t´ij) con t´ij = 0, para todo i > j, las matrices triangulares superiores. C = TT´, poseerá el elemento general cij = ti1t´1j + ti2t´2j + … + ti nt´n j = 1 ´ n i k k j k t t   que en este caso se transforma en 1, ´ n ij ik kj k k j c t t     , ya que, de otra manera, algún sumando se anulará. La suma, pues, sólo estará definida para aquellos valores del índice k que cumplan i  k  j, luego, cij  0 si i  j y, cij = 0 si i > j, por tanto, C es triangular superior. De forma análoga se demuestra cuando son triangulares superior. EJEMPLO 1.2.1 Sea 3 2 A 1 3 2 2 a a b c a b c a b c b a b c b c a b c c                    Analice en qué condiciones es la matriz: a.- Triangular superior; b.- Triangular inferior. SOLUCION a.- Para que la matriz A sea triangular superior, debe resolverse el siguiente sistema de ecuaciones no homogéneo: 1 0 3 0 2 2 0 a b c b c a b c            lo cual implica que 5 3 a   , b = - 2, 2 3 c   . Por tanto la matriz buscada tiene la
  • 31. MATRICES JOE GARCIA ARCOS 31 forma siguiente: 5 7 6 3 0 2 3 2 0 0 3                   A b.- Para que la matriz A sea triangular inferior, debe resolverse el siguiente sistema de ecuaciones homogéneo: 3 0 2 0 0 a b c a b c a b c            lo cual implica que a = b = c = 0. Por tanto la matriz buscada tiene la forma siguiente: 5 0 0 3 1 2 0 2 0 0 3                 A .  DEFINICION 1.2.3 Se dice que una matriz T de n x n es estrictamente triangular, si es triangular superior (inferior) y además posee la diagonal principal nula. Este tipo de matrices se las puede visualizar a continuación: 12 13 1 2 3 2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 n n n n t t t t t t                  T , ti j = 0 si i  j; 21 11 12 13 1 2 3 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 n n n n n n n n t t t t t t t t                      T , ti j = 0 si i  j. EJEMPLO 1.2.2 Las llamadas matrices de giro de Pauli son 0 1 ( ) 1 0 x        S , 0 ( ) 0 i y i        S , 1 0 ( ) 0 1 z        S . Demuestre que S(x)S(y) = iS(z), S(y)S(x) = -iS(z), S2 (x) = S2 (y) = S2 (z) = I. SOLUCION 0 1 0 0 1 0 ( ) ( ) ( ) 1 0 0 0 0 1 i i x y i i z i i                          S S S ; 0 0 1 0 1 0 ( ) ( ) ( ) 0 1 0 0 0 1 i i y x i i z i i                            S S S ; 2 0 1 0 1 1 0 ( ) I 1 0 1 0 0 1 x                  S ;
  • 32. MATRICES JOE GARCIA ARCOS 32 2 2 2 0 0 0 1 0 ( ) I 0 0 0 10 i i i y i i i                        S ; 2 1 0 1 0 1 0 ( ) I 0 1 0 1 0 1 z                   S .  EJEMPLO 1.2.3 Las matrices M(s), N(t) y P(u) están definidas por 0 ( ) 1 0 s s s          M , 1 0 ( ) 1 t t        N , 1 ( ) 0 1 u u        P , siendo s  0. Demuestre que la condición necesaria y suficiente para que una matriz a b c d        A , pueda ponerse en la forma M(s)N(t)P(u) es a  0 y ad – bc = 1. SOLUCION Como A = M(s)N(t)P(u), entonces 0 1 0 1 1 1 0 10 s a b u c d t s                      1 s su a b t tu c d s s s              0 1 1 1 ( 1) 1 ( 1) 1 a s b b su u si a a t c t ac s b d tu d ac d cb ad bc s a a a                               Por lo tanto, a  0 y ad – bc = 1.  DEFINICION 1.2.4 Se dice que una matriz cuadrada es diagonal si, los triángulos superior e inferior son nulos. Es decir: 11 2 2 0 0 0 0 0 0 0 n n d d d                D , di j = 0 si i < j e i > j. Debido a su estructura peculiar, las matrices diagonales también pueden denotarse como Diag(a11, a22, ..., ann), en la cual debe existir algún elemento no nulo. TEOREMA 1.2.3 La adición de dos matrices diagonales es una matriz diagonal. DEMOSTRACION Sean A = Diag(a11, a22, ..., ann) y B = Diag(b11, b22, ..., bnn), entonces A + B = Diag(a11, a22, ..., ann) + Diag(b11, b22, ..., bnn) = Diag(a11 + b11, a22 + b22, ..., ann + bnn). Lo cual indica que es una matriz diagonal. 
  • 33. MATRICES JOE GARCIA ARCOS 33 TEOREMA 1.2.4 El producto de dos matrices diagonales de igual orden es una matriz diagonal. DEMOSTRACION Sean A = Diag(a11, a22, ..., ann) y B = Diag(b11, b22, ..., bnn), se tiene entonces que aij = ijai = ijaj y bij = ijbi = ijbj, por tanto, la matriz producto C = AB tiene como elemento general cij = ai1b1j + ai2b2j + … + ai kbkj = i11jaibj + i 22jaibj + … + ikkjaibj = ijaibj.  TEOREMA 1.2.5 Una matriz diagonal conmuta con todas las matrices diagonales. DEMOSTRACION Sea A = Diag(a11, a22, ..., ann) y B = Diag(b11, b22, ..., bnn), matrices diagonales conocidas, mediante el teorema anterior, tenemos que AB = Diag(a1b1, a2b2, ..., anbn). Del mismo modo tenemos que BA = Diag(b1a1, b2a2, ..., bnan). Por tanto AB = BA.  DEFINICION 1.2.5 Se dice que una matriz T = (tij) de orden n, es tridiagonal si al menos un elemento de la diagonal principal y la paralela situada por encima y por debajo, es diferente de cero. De forma general, una matriz de este tipo se expresa como 11 1 2 21 2 2 2 3 3 2 3 3 0 0 0 0 0 0 0 0 n n t t t t t t t t                   T . DEFINICION 1.2.6 Se dice que una matriz T de orden n es banda si existen enteros p y q, 1 < p, q < n, con la propiedad de que tij = 0 siempre que i + p  j o j + q  i. El ancho de banda para una matriz de este tipo se expresa como r = p + q – 1. La definición de la matriz banda forzó a estas, a concentrar todos sus elementos no nulos alrededor de la diagonal principal, es decir 1,1 1,2 1,3 21 2 2 2 3 2 4 31 3 2 3 3 3 4 4 2 4 3 4 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 n n t t t t t t t t t t t t t t t                     T . Las matrices tridiagonales son un caso particular de las matrices banda. EJEMPLO 1.2.4 Sean a y b números tales que a  b. Encuentre todas las matrices A de 2 x 2 tales que 0 0 0 0 a a b b             A A .
  • 34. MATRICES JOE GARCIA ARCOS 34 SOLUCION Haciendo que x y z u        A , entonces: 0 0 0 0 x y a a x y z u b b z u                    ax by ax ay az bu bz bu             ( ) 0 0, ( ) 0 0, ax ax by ay a b y y si a b az bz a b z z si a b bu bu                    Por tanto 0 0 x u        A .  EJEMPLO 1.2.5 Sea D una matriz diagonal de 3 x 3 con los elementos de la diagonal principal distintos de cero. Encuentre una matriz diagonal E tal que DE = ED = I. SOLUCION Sean 0 0 0 0 0 0 a b c            D y 0 0 0 0 0 0 z x y            E , entonces: 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 z 0 0 1 a x b y c                           1 1 , 0 1 1 , 0 1 z 1 z , 0 ax x a a by y b b c c c                   , por otro lado tenemos: 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 z 0 0 0 0 1 x a y b c                           1 1 , 0 1 1 , 0 1 z 1 z , 0 xa x a a yb y b b c c c                   . Por lo tanto, la matriz buscada tiene la forma siguiente: 1 0 0 1 0 0 1 0 0 a b c                   E .  EJEMPLO 1.2.6 Sean D una matriz diagonal y A una matriz arbitraria m x n: a.- Si AD está definida. ¿Cuál es la relación entre A y AD?; b.- Si DA está definida. ¿Cuál es la relación entre A y DA? SOLUCION a.- Como A es de m x n, entonces D debe ser de n x n, para que AD esté definida y sea de m x n. Por lo tanto la relación entre las matrices A y AD es que tienen igual orden, es decir son matrices rectangulares de m x n.
  • 35. MATRICES JOE GARCIA ARCOS 35 b.- Como A es de m x n, entonces D debe ser de m x m, para que DA esté definida y sea de m x n. Por lo tanto la relación entre las matrices A y DA es que tienen igual orden, es decir son matrices rectangulares de m x n.  Siguiendo con las hipermatrices, en el caso de matrices cuadradas resulta necesario, como regla general, dividirlas de manera que las submatrices diagonales también sean cuadradas. Es fácil ver que, divididas dos matrices cuadradas en submatrices de manera que las submatrices diagonales sean cuadradas y que los ordenes de las submatrices diagonales correspondientes coincidan, esta división satisface tanto las condiciones en las que es posible la adición submatriz por submatriz, como las condiciones que son necesarias para poder multiplicarlas como hipermatrices. Además para poder realizar la multiplicación de una hipermatriz por sí misma es necesario y suficiente que todas sus submatrices diagonales sean cuadradas. Toda hipermatriz de tipo 11 22 … … = … pp              A O O O A O A O O A donde A11, A22, …, App son submatrices cuadradas y O son submatrices nulas de dimensiones adecuadas, se llama hipermatriz diagonal. Una hipermatriz cuadrada se denomina hipermatriz triangular si todas sus submatrices en la diagonal principal, es decir, A11, A22, ..., App son cuadradas y todas las submatrices que se encuentran por un lado de la diagonal principal son nulas. Además podemos decir que si A y B son dos hipermatrices triangulares con los mismos órdenes de las correspondientes submatrices diagonales y los ceros por un lado de la diagonal, su producto AB también será una hipermatriz triangular con los mismos órdenes de las submatrices diagonales y los ceros por el mismo lado de la diagonal. PROBLEMAS 1.2.1 Pruebe con un ejemplo que para multiplicar dos hipermatrices cuadradas es suficiente que las submatrices diagonales sean cuadradas, con la particularidad de que los órdenes de las correspondientes submatrices diagonales sean iguales entre sí. 1.2.2 Demuestre que para multiplicar dos hipermatrices cuadradas es suficiente que las submatrices diagonales sean cuadradas, con la particularidad de que los órdenes de las correspondientes submatrices sean iguales entre sí. 1.2.3 Una condición necesaria y suficiente para que la matriz B de orden n conmute con una matriz diagonal A, es que B sea una matriz diagonal. ¿Cómo tiene que ser la matriz diagonal A para que conmute con cualquier matriz B del mismo orden que A? 1.2.4 Sea D una matriz diagonal de 3 x 3 con los elementos de la diagonal principal distintos de cero. Encuentre una matriz diagonal E tal que DE = ED = I. 1.2.5 Encontrar una matriz diagonal A de 3 x 3 que cumpla lo siguiente: a.- 5 1 0 0 0 1 0 0 0 10            A ; b.- 3 1 0 0 0 10 0 0 0 1            A ; c.- 4 10 0 0 0 1 0 0 0 1            A ; d.- 25 7 0 0 0 5 0 0 0 3            A . 1.2.6 Describa el producto AB si A es una matriz diagonal de n x n y B es una matriz de n x n. Si en la matriz diagonal A se tiene que a11 = a22 = ... = ann, ¿cómo cambian los resultados? 1.2.7 Pruebe con un ejemplo que para realizar la multiplicación por bloques de una hipermatriz por sí misma es necesario y suficiente que todas sus submatrices diagonales sean cuadradas.
  • 36. MATRICES JOE GARCIA ARCOS 36 1.2.8 Demuestre que si A y B son dos matrices hipertriangulares con los mismos órdenes de las correspondientes submatrices diagonales y los ceros por un lado de la diagonal, su producto AB también será una matriz hipertriangular con los mismos órdenes de las submatrices diagonales y los ceros por el mismo lado de la diagonal. 1.2.9 Demuestre que si A y B son matrices diagonales de n x n, entonces AB = BA. 1.3 MATRIZ TRANSPUESTA En esta sección se introduce la terminología básica y se define la matriz transpuesta, analizamos sus casos particulares si la matriz es cuadrada, enunciamos sus correspondientes propiedades. Sea A cualquier matriz. Considérese la matriz a partir de A intercambiando filas y columnas, de manera que la primera columna de A se convierta en la nueva fila de la nueva matriz, la segunda columna se convierta en la segunda fila, etc. La matriz obtenida a partir de A intercambiando filas y columnas de este modo se denomina transpuesta de la matriz A. DEFINICION 1.3.1 Sea A = (aij) una matriz de n x m. Mediante la transposición se obtiene una nueva matriz de m x n, representada por AT = (aji) cuyos elementos se obtienen intercambiando filas por columnas. La transpuesta de una matriz es una aplicación de (n x m) en (m x n), determinada mediante la regla de formación f : (n x m)  (m x n) A  AT (aij)  (aij)T = (aji), para todo i, j  . Es decir, mediante la transposición se intercambian las filas de la matriz original por sus columnas. A continuación, damos algunas de las propiedades más importantes de la transpuesta de una matriz. TEOREMA 1.3.1 Para toda matriz A = (aij), se cumple que (AT )T = A. DEMOSTRACION Sea A = (aij) una matriz cualquiera, entonces (AT )T = ((aij)T )T = (aji)T = (aij) = A.  TEOREMA 1.3.2 Para toda matriz A = (aij) y para todo número k, se cumple que (kA)T = kAT . DEMOSTRACION Sea A = (aij) una matriz cualquiera y sea k un número, entonces (kA)T = (k(aij))T = (kaij)T = (kaji) = k(aji) = kAT . 
  • 37. MATRICES JOE GARCIA ARCOS 37 TEOREMA 1.3.3 Para todo par de matrices A = (aij) y B = (bij), se cumple que (A + B)T = AT + BT . DEMOSTRACION Sean A= (aij) y B = (bij) matrices de igual orden, entonces: (A + B)T = (aij + bij)T = (cij)T = (cji) = (aji + bji) = (aji) + (bji) = AT + BT .  TEOREMA 1.3.4 Para todo par de matrices A = (aij) y B = (bij), compatibles para el producto, se cumple (AB)T = BT AT . DEMOSTRACION Sean A = (aij) de n x k y B = (bij) de k x m. Entonces AB es de n x m y (AB)T es de m x n. BT es de m x k y AT es de k x n, así que BT AT también es de m x n. Para probar que (AB)T = BT AT , debemos ver que el elemento (i, j) de (AB)T es igual al elemento (i, j) de BT AT . Escribimos AT = (a´ij) y BT = (b´ij). Notemos que a´ij = aji y b´ij = bji. El elemento (i, j) de BT AT es 1 1 1 ´ ´ k k k it tj ti jt jt ti t t t b a b a a b        y la última suma es exactamente el elemento (j, i) de AB. Pero éste es el elemento (i, j) de (AB)T . Así pues, los elementos (i, j) de BT AT y de (AB)T son lo mismo; por lo tanto, BT AT = (AB)T .  EJEMPLO 1.3.1 Si A conmuta con B, demuestre que AT conmuta con BT . SOLUCION Siendo AB = BA, debemos probar que AT BT = BT AT . Es decir: AT BT = (BA)T = (AB)T = BT AT .  EJEMPLO 1.3.2 Suponga que A es n x n y X es n x 1. Demuestre que XT AX es de 1 x 1. Si X = BY, demuestre que XT AX = YT (BT AB)Y. SOLUCION Conocemos que A es de n x n y X es de n x 1. Entonces XT AX es (1 x n)(n x n)(n x 1) = 1 x 1. Como X = BY entonces XT AX = (BY)T A(BY) = (YT BT )A(BY) = YT (BT AB)Y.  % TRANSPUESTA DE UNA MATRIZ clc;clear; fprintf('n TRANSPUESTA DE UNA MATRIZ n') fil=input('Ingrese el numero de filas: '); col=input('Ingrese el numero de columnas: '); %Ingreso de elementos for f=1:fil for c=1:col fprintf('Ingrese el elemento (%d,%d)',f,c) A(f,c)=input(' :'); end end fprintf(' LA MATRIZ A ES:n') A end
  • 38. MATRICES JOE GARCIA ARCOS 38 fprintf(' LA MATRIZ A ES:n') B=A.' end DEFINICION 1.3.2 Una matriz cuadrada A se denomina simétrica, si se cumple que esta matriz es igual a su transpuesta, es decir: A = AT . Es claro que una matriz simétrica debe ser cuadrada; es simétrica con respecto a la diagonal principal, es decir que, una reflexión en la diagonal principal deja a la matriz sin cambio. Una matriz simétrica de n x n no tiene sus n2 elementos arbitrarios puesto que aij = aji, ambos uno encima y otro debajo de la diagonal principal. El número de elementos de arriba de la diagonal principal es 2 2 n n . Los elementos de la diagonal son también arbitrarios. Entonces, el número total de elementos arbitrarios en una matriz simétrica de n x n es 2 ( 1) 2 2 n n n n n     . EJEMPLO 1.3.3 Dadas dos matrices simétricas A, B de orden n. ¿Cuándo es el producto AB simétrico? SOLUCION Si A = AT y B = BT , entonces AB = (AB)T = BT AT = BA. Por lo tanto el producto AB es simétrico, cuando es conmutativo, es decir AB = BA.  TEOREMA 1.3.5 Para toda matriz cuadrada A, siempre es posible encontrar una matriz simétrica S mediante A + AT . DEMOSTRACION Como A es una matriz cuadrada y S = A + AT , entonces debemos probar que ST = S. Es decir ST = (A + AT )T = AT + (AT )T = AT + A = A + AT = S.  EJEMPLO 1.3.4 Si A y B son matrices reales arbitrarias de n x n y A es simétrica, entonces BT AB es simétrica. SOLUCION Debemos probar que (BT AB)T = BT AB, conociendo que A = AT : (BT AB)T = BT AT (BT )T = BT AT B = BT AB.  EJEMPLO 1.3.5 Dadas las matrices n x n simétricas A y B, entonces A + B es simétrica. SOLUCION Si A = AT y B = BT , entonces debemos probar que (A + B)T = A + B: (A + B)T = AT + BT = A + B.  EJEMPLO 1.3.6 Si A y B son matrices reales arbitrarias de n x n, entonces ABT + BAT es simétrica. SOLUCION Debemos probar que (ABT + BAT )T = ABT + BAT . Es decir:
  • 39. MATRICES JOE GARCIA ARCOS 39 (ABT + BAT )T = (ABT )T + (BAT )T = (BT )T AT + (AT )T BT = BAT + ABT = ABT + BAT .  EJEMPLO 1.3.7 Para cualquier matriz A muestre que los productos AAT y AT A están definidos y son matrices simétricas. SOLUCION Si A es n x m, entonces AT es m x n. Por lo tanto AAT es n x n, AT A es m x m y los productos están definidos. Además debemos probar que AAT = (AAT )T y AT A = (AT A)T : (AAT )T = (AT )T AT = AAT y (AT A)T = AT (AT )T = AT A.  EJEMPLO 1.3.8 Dada la matriz 2 a a b a c a b b a b b c b c c              A . Encuentre una matriz S simétrica. SOLUCION Sabemos que S es simétrica si se cumple que S = A + AT . Es decir: T = + 2 2 a a b a c a a b b c a b b a b a b b b c b c b c c a c a b c                               S A A 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a a a b c a b a b c a b c a b c c                .  % CALCULO DE UNA MATRIZ SIMETRICA clc;clear; fprintf('n MATRIZ SIMETRICA MEDIANTE: A+Atn') filcol=input('Ingrese el numero de filas y columnas: '); %Ingreso de elementos for f=1:filcol for c=1:filcol fprintf('Ingrese el elemento (%d,%d)',f,c) A(f,c)=input(' :'); end end fprintf(' LA MATRIZ A ES:n') A end fprintf(' LA MATRIZ TRANSPUESTA B ES:n') B=A.' end fprintf(' LA MATRIZ SIMETRICA S ES:n') S=A+A.' end % CALCULO DE UNA MATRIZ SIMETRICA clc;clear; fprintf('n MATRIZ SIMETRICA MEDIANTE: S=A*At y Q=At*A n') fil=input('Ingrese el numero de filas: '); col=input('Ingrese el numero de columnas: ');
  • 40. MATRICES JOE GARCIA ARCOS 40 %Ingreso de elementos for f=1:fil for c=1:col fprintf('Ingrese el elemento (%d,%d)',f,c) A(f,c)=input(' :'); end end fprintf(' LA MATRIZ A ES:n') A end fprintf(' LA MATRIZ TRANSPUESTA B ES:n') B=A.' end fprintf(' LA MATRIZ SIMETRICA S ES:n') S=A*A.' end fprintf(' LA MATRIZ SIMETRICA Q ES:n') Q=A.'*A end DEFINICION 1.3.3 Una matriz cuadrada A se llama antisimétrica, si se cumple que esta matriz es igual al opuesto de la transpuesta, es decir: A = -AT . Una matriz antisimétrica es también una matriz cuadrada, y aij = - aji. Luego, los elementos de la diagonal principal son cero, aii = 0, y el número de elementos arbitrarios en una matriz antisimétrica de n x n es ( 1) 2 n n  . Los elementos simétricos respecto de la diagonal principal coinciden en una matriz simétrica y son opuestos en una matriz antisimétrica. EJEMPLO 1.3.9 Sean A y B dos matrices antisimétricas de orden n. Demuestre que AB es antisimétrica si y sólo si BA = -AB. ¿Cuándo es simétrico el producto de dos matrices antisimétricas? SOLUCION Como A y B son dos matrices antisimétricas, entonces: A = -AT ; B = -BT y BA = - AB. Debemos probar que (AB)T = - (AB). (AB)T = BT AT = (- B)(- A) = BA = - (AB). Además, dado A = - AT ; B = - BT y AB = - (AB)T . Debemos probar que AB = - BA. AB = - (AB)T = - (BT AT ) = - (- B)(- A) = - (BA). Dado A = - AT y B = - BT , debemos encontrar una condición para que (AB)T = AB. (AB)T = BT AT = (- B)(- A) = BA. Por lo tanto, para que el producto de dos matrices antisimétricas sea simétrico es necesario que BA = AB.  TEOREMA 1.3.6 Para toda matriz cuadrada A, siempre es posible encontrar una matriz antisimétrica R mediante A - AT . DEMOSTRACION Como A es una matriz cuadrada y R = A - AT , entonces debemos probar que RT = R. Es decir RT = (A - AT )T = AT - (AT )T = AT – A = - (A - AT ) = R. 
  • 41. MATRICES JOE GARCIA ARCOS 41 TEOREMA 1.3.7 Una matriz cuadrada A puede expresarse como la adición de una matriz simétrica S y una matriz antisimétrica B. DEMOSTRACION Sea S = ½ (A + AT ) y B = ½ (A - AT ), sumando las matrices S y B, obtenemos: A = S + B = ½ (A + AT ) + ½ (A - AT ) = ½ A + ½ AT + ½ A - ½ AT = A.  EJEMPLO 1.3.10 Dada la matriz = 2 a a b a c a b b a b b c b c c             A . Encuentre una matriz R antisimétrica. SOLUCION Sabemos que R es antisimétrica si se cumple que R = A - AT . Es decir: T - 2 2 a a b a c a a b b c a b b a b a b b b c b c b c c a c a b c                                R A A 0 2 2 0 2 2 0 b a b b a c a b a c               .  EJEMPLO 1.3.11 Dada una matriz simétrica A y una matriz antisimétrica B, ambas del mismo orden, demuestre que si A y B conmutan, AB es antisimétrica. SOLUCION Si A = AT ; B = - BT y AB = BA, entonces debemos probar que (AB)T = AB. (AB)T = BT AT = (- B)(A) = - (BA) = - (AB).  EJEMPLO 1.3.12 Si A y B son matrices antisimétricas, pruebe que A(AB + BA) – (AB + BA)A es simétrica. SOLUCION Sabemos que AT = -A, BT = -B y S = A(AB + BA) – (AB + BA)A = A2 B – BA2 . Por lo tanto, tenemos que mostrar que ST = S; es decir ST = (A2 B – BA2 )T = (A2 B)T – (BA2 )T = BT (AT )2 – (AT )2 BT = (-B)(-A)2 – (-A)2 (-B) = -BA2 + A2 B = A2 B – BA2 = S. De esta manera queda demostrado que A(AB + BA) – (AB + BA)A es simétrica. EJEMPLO 1.3.13 Sea A una matriz antisimétrica. Demostrar que A2n es una matriz simétrica y A2n+1 es una matriz antisimétrica. SOLUCION Por demostrar que A2n = (A2n )T , conociendo que AT = -A. n = 1: A2 = (A2 )T
  • 42. MATRICES JOE GARCIA ARCOS 42 (A2 )T = (AA)T = ((-AT )(-AT ))T = (AT AT )T = ((A2 )T )T = A2 . n = k: A2k = (A2k )T . Hipótesis inductiva. n = k + 1: A2k+2 = (A2k+2 )T (A2k+2 )T = (A2k A2 )T = (A2 )T (A2k )T = A2 A2k = A2k+2 . Por demostrar que A2n+1 = -(A2n+1 )T , conociendo que AT = -A. n = 1: A3 = -(A3 )T - (A3 )T = - (AAA)T = - ((-AT )(-AT )(-AT ))T = ((A3 )T )T = A3 . n = k: A2k+1 = -(A2k+1 )T . Hipótesis inductiva. n = k + 1: A2k+3 = -(A2k+3 )T - (A2k+3 )T = - (A2k+1 A2 )T = - (A2 )T (A2k+1 )T = - (AA)T (-A2k+1 ) = - ((-AT )(-AT )T (-A2k+1 ) = - ((A2 )T )T (-A2k+1 ) = (-A2 )(-A2k+1 ) = A2k+3 .  % CALCULO DE UNA MATRIZ ANTISIMETRICA clc;clear; fprintf('n MATRIZ ANTISIMETRICA MEDIANTE: A-At n') filcol=input('Ingrese el numero de filas y columnas: '); %Ingreso de elementos for f=1:filcol for c=1:filcol fprintf('Ingrese el elemento (%d,%d)',f,c) A(f,c)=input(' :'); end end fprintf(' LA MATRIZ A ES:n') A end fprintf(' LA MATRIZ TRANSPUESTA B ES:n') B=A.' end fprintf(' LA MATRIZ ANTISIMETRICA R ES:n') R=A-A.' end PROBLEMAS 1.3.1 De ser posible, encuentre matrices de 2 x 2 tales que AT A = AAT . 1.3.2 Si A es una matriz de n x n y X es la matriz de 1 x n, compruebe que T 2 1 n ii i ij i j i i j a x a x x     XAX . 1.3.3 Si AAT = I y BBT = I, demuestre que (AB)(AB)T = I. 1.3.4 Demuestre que una matriz simétrica de n x n tiene, en general, ( 1) 2 n n  elementos distintos y una antisimétrica ( 1) 2 n n  elementos distintos. 1.3.5 Sea A una matriz de n x n. Determine si A es simétrica con la siguiente condición: a.- aij = i2 + j2 ; b.- aij = i2 – j2 ; c.- aij = 2i – 2j; d.- aij = 2i2 + 2j3 . 1.3.6 Comprobar si existe alguna matriz A de 3 x 2 tal que AT A = I. 1.3.7 Demuestre que si AT A = A, entonces A es simé- trica y A = A2 . 1.3.8 Dada la matriz 2 1 3 1 4 6 2 1 3 1 6 3 i i i i                    A . a.- Exprésese la matriz A como suma de una matriz simétrica y otra antisimétrica. b.- Hallar dos matrices simétricas diferentes a la del apartado a). 1.3.9 Encuentre todas las matrices reales A de 3 x 3 para las cuales AT A = O. 1.3.10 Demuestre que si una matriz A de n x n satisface la ecuación A3 + 4A2 – 2A + 7I, entonces AT también la satisface.
  • 43. MATRICES JOE GARCIA ARCOS 43 1.3.11 De ser posible, encuentre todos los valores de a, b y c para los cuales A es simétrica: 3 3 5 4 2 1 4 1 1 5 a b c a b c a b c               A . 1.3.12 Dadas las matrices siguientes: 1 2 3 1 3 0 1 2 2 2 i i i i i            A , 4 3 2 1 3 i i i         B , 2 4 6 3 i i           C , 1 2 3 6 8 4 1 3 i i i i            D . Determine las siguientes operaciones: a.- (3DT – BT CT )T ; b.- B(A – D)T C; c.- A(BT B – CCT ). 1.3.13 Encuentre matrices antisimétricas A y B de 3 x 3, que satisfagan la condición AB = -BA. 1.3.14 Dadas las matrices 2 4 6 + 2 3 9 7 1 7            A B , T 0 0 0 + 0 0 0 0 0 0            A A , T 0 0 0 - 0 0 0 0 0 0            B B . Hállense A y B. 1.3.15 Si A es una matriz simétrica, demuestre que 2A2 – 3ª + I es simétrica. 1.4 MATRIZ TRANSPUESTA - CONJUGADA En esta sección se introduce la terminología básica y se definen las matrices conjugadas y transpuesta - conjugada, analizamos sus casos particulares si la matriz es cuadrada, enunciamos sus correspondientes propiedades. DEFINICION 1.4.1 Mediante la conjugación, una matriz cualquiera A se transforma en una nueva matriz, representada por A , cuyos elementos se construyen mediante la regla :f A A ( ) ( ) ( )ij ij ija a a   i, j  . Mediante la conjugación se cambian los signos de la parte imaginaria de A. Es decir: Re = ReA A y Im = -ImA A . Como casos particulares pueden encontrarse matrices tales que =A A , entonces Im = 0A , y la matriz A en este caso recibe el nombre de matriz real. Por el contrario, si Re = 0A , entonces =A A y, a la matriz A se le da el nombre de matriz imaginaria pura. En este último caso la matriz A es expresable como el producto de la unidad imaginaria, considerada como un escalar, por una matriz real. Toda matriz puede ser expresada en la forma A = B + iC, en la cual B y C son matrices reales, e i es la unidad imaginaria. La conjugada de la matriz 2 1 5 1 4 4 3 i i        A es 2 1 5 1 4 4 3 i i        A . TEOREMA 1.4.1 Para toda matriz A = (aij), se cumple que =A A . DEMOSTRACION Si A es una matriz, entonces