2. TABLA DE CONTENIDO
Definición de Conjuntos.
Operaciones con conjuntos.
Números Reales
Desigualdades.
Definición de Valor Absoluto
Desigualdades con Valor Absoluto
3. NÚMEROS REALES
El conjunto de los números reales se define como la unión de dos tipos de
números, a saber; los números racionales, los números irracionales. A su vez,
los números racionales se clasifican en:
Números Naturales (N)
Números Enteros (Z)
Números Fraccionarios
Números Algebraicos
Números Trascendentales
4. NÚMEROS REALES
Números Naturales (N): Los que usamos para contar. Por ejemplo, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,
8, 9, 10, 11,
Números Enteros (Z): Son los números naturales, sus negativos y el cero. Por
ejemplo: -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,…
Números Fraccionarios: Son aquellos números que se pueden expresar como
cociente de dos números enteros, es decir, son números de la forma a/b con a, b
enteros y b ≠ 0
Números Algebraicos: Son aquellos que provienen de la solución de alguna
ecuación algebraica y se representan por un número finito de radicales libres o
anidados. Por ejemplo, 𝟑.
En general, todas las raíces no exactas de cualquier orden son irracionales
algebraicos. Hay números racionales que parecen irracionales, como por ejemplo 𝟐𝟓
5. NÚMEROS REALES
Números Trascendentales: Es un número que no es raíz de ninguna ecuación
algebraica con coeficientes enteros no todos nulos. Un número real trascendente
no es un número algebraico, pues no es solución de ninguna ecuación algebraica
con coeficientes racionales.
Ejemplo:
6. DEFINICIÓN DE CONJUNTOS:
Un conjunto es una colección de objetos. Los objetos son los elementos del
conjunto. Se usan las letras mayúsculas, A, B, C, X, Y, Z, etc. Para denotar
conjuntos y se usan letras minúsculas a, b, c, x, y, z, etc. Para denotar
elementos.
Si x es un elemento del conjunto A, diremos que x pertenece a A. Y
escribimos: 𝑥 𝜖 𝐴
En cambio, Si x no es un elemento del conjunto A, diremos que x no
pertenece a A. Y escribimos: 𝑥 ∉ 𝐴
7. OPERACIONES DE CONJUNTOS:
INTERSECCIÓN DE CONJUNTOS
Dados dos conjuntos A y B, el conjunto de todos los elementos que pertenecen al
conjunto A y al conjunto B simultáneamente, lo denominamos Intersección de A y B.
Esto es:
y leemos: “A intersección B es el conjunto formado por los elementos tal que
pertenece a A y pertenece a B”
8. OPERACIONES DE CONJUNTOS:
EJEMPLOS:
Los conjuntos 𝐴 = 7,8,9,10,11, 12 𝑦 𝐵 = 5,6, 9,11,13, 14
La intersección de ambos conjuntos es:
EJEMPLOS:
Los conjuntos 𝐴 = 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒 𝑦 𝐵 = 𝑒, 𝑓, 𝑔, ℎ, 𝑖
La intersección de ambos conjuntos es:
𝐴 ∩ 𝐵 = 9,11
𝐴 ∩ 𝐵 = 𝑒
9. OPERACIONES DE CONJUNTOS:
UNIÓN DE CONJUNTOS
Dados dos conjuntos A y B, el conjunto de todos los elementos que pertenecen al
conjunto A o al conjunto B, lo denominamos Unión o reunión de A y B. Esto es:
y leemos: “A unión B es el conjunto formado por los elementos tal que pertenece a A o
x pertenece a B”
10. OPERACIONES DE CONJUNTOS:
EJEMPLOS:
Los conjuntos 𝐴 = 3,4,5,8,9 𝑦 𝐵 = 5,7,8,9,10
La Unión de ambos conjuntos es:
EJEMPLOS:
Los conjuntos 𝐴 = 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒 𝑦 𝐵 = 𝑒, 𝑓, 𝑔, ℎ, 𝑖
La intersección de ambos conjuntos es:
𝐴 u 𝐵 = 3,4,5,7,8,9,10
𝐴 u 𝐵 = 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑒, 𝑓, 𝑔, ℎ, 𝑖
11. OPERACIONES DE CONJUNTOS:
CONJUNTO COMPLEMENTARIO
Sean A y B conjuntos tales que el conjunto A es subconjunto o parte del conjunto B. El
conjunto de todos los elementos que son de B pero no de A, se denomina Conjunto
Complementario del conjunto A respecto a B. Esto es:
y leemos: “A complemento es el conjunto formado por los elementos x tal que x
pertenece a B y no pertenece a A”
12. OPERACIONES DE CONJUNTOS:
DIFERENCIA DE CONJUNTOS
Dados los conjuntos A y B, se define la diferencia:
y leemos: “A menos B es el conjunto formado por los elementos x tal que x pertenece
a A y no pertenece a B”
13. DESIGUALDADES
La desigualdad matemática es aquella proposición que relaciona dos expresiones
algebraicas cuyos valores son distintos. Se trata de una proposición de relación
entre dos elementos diferentes, ya sea por desigualdad mayor, menor, mayor o
igual, o bien menor o igual. Cada una de las distintas tipologías de desigualdad
debe ser expresada con diferente signo (> o <, etcétera) y tendrá una reacción a
operaciones matemáticas diferente según su naturaleza.
Por lo tanto, si queremos explicar cuál es la finalidad de este concepto con el
menor número de palabras posibles diremos que; el objetivo de la desigualdad
matemática es mostrar que dos sujetos matemáticos expresan valores diferentes.
14. DESIGUALDADES
PROPIEDADES:
1. a es mayor que b y escribiremos a > b si b < a
2. a es menor o igual a b y escribiremos 𝒂 ≤ 𝒃 𝒔𝒊 𝒂 < 𝒃 𝒂 = 𝒃
3. a es mayor o igual a b y escribiremos 𝐚 ≥ 𝒃 𝒔𝒊 𝒂 > 𝒃 𝒂 = 𝒃
4. a es menor que b: y escribiremos a < b si b > a
INECUACIONES:
Una inecuación es una relación de desigualdad entre dos expresiones algebraicas en
las que aparece una o más incógnitas. Resolver una inecuación consiste en encontrar
todos los valores de la incógnita para los que se cumple la relación de desigualdad. a
< b significa "a es menor estrictamente que b".
16. DESIGUALDADES E INECUACIONES
EJEMPLOS:
5x + 3 < 25 pasamos la parte aditiva ( +3) al otro extremo a realizar la operación contraria ( restar)
5x < 25 -3 realizamos la operación
5x< 22 pasamos la parte multiplicativa (5) al otro extremo a realizar la operación contraria (dividir)
x< 22/5 la solución por lo tanto es el conjunto de todos los números x menores de veintidós quintos
2𝑥 + 7 ≤ 5𝑥 − 8 (Agregamos − 5x)
-3x+7≤ -8 (Agregamos -7)
-3x ≤-15 (Agregamos el factor de -1/3 que por ser de signo negativo obliga a cambiar de
sentido de la desigualdad de menor que a mayor que
x ≥
−15
−3
17. VALOR ABSOLUTO:
El valor absoluto de un numero real a es el numero real.
𝑥
𝑥, 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 0
−𝑥 𝑠𝑖 𝑥 < 0
O sea, el valor absoluto de un numero real es igual al mismo numero si este es 0 ó positivo
y es igual a su inverso aditivo si es negativo.
EJEMPLO:
1. 0 = 0
2. 8 = 8
3. −5 = − −5 = 5
4. 2 − 3 = − 2 − 3 = 3 − 2
18. VALOR ABSOLUTO CON DESIGUALDADES
Una desigualdad de valor absoluto es una desigualdad que tiene un signo de valor
absoluto con una variable dentro
EJEMPLO:
La desigualdad | x | < 4 significa que la distancia entre x y 0 es menor que 4.
Así, x > -4 Y x < 4. El conjunto solución es
19. VALOR ABSOLUTO CON DESIGUALDADES
EJEMPLO:
| x – 7| < 3
Para resolver este tipo de desigualdad, necesitamos descomponerla en
una desigualdad compuesta .
x – 7 < 3 y x – 7 > –3
–3 < x – 7 < 3
Sume 7 en cada expresión.
-3 + 7 < x - 7 + 7 < 3 + 7
4 < x <10
La gráfica se vería así:
20. VALOR ABSOLUTO CON DESIGUALDADES
EJEMPLO:
Separe en dos desigualdades.
Reste 2 de cada lado en cada desigualdad.
La gráfica se vería así:
21. PLANO NÚMERICO:
Se conoce como plano cartesiano, coordenadas cartesianas o sistema
cartesiano, a dos rectas numéricas perpendiculares, una horizontal y otra
vertical, que se cortan en un punto llamado origen o punto cero.
La finalidad del plano cartesiano es describir la posición o ubicación de un
punto en el plano, la cual está representada por el sistema de
coordenadas.
El plano cartesiano también sirve para analizar matemáticamente figuras
geométricas como la parábola, la hipérbole, la línea, la circunferencia y la
elipse, las cuales forman parte de la geometría analítica.
