1. ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DEL LITORAL
INSTITUTO DE CIENCIAS MATEMÁTICAS
ECUACIONES DIFERENCIALES
RESOLUCION DE LA SEGUNDA EVALUACIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES
FECHA: Febrero 05 de 2010. Resuelto por: Roberto Cabrera V.
1) Una masa , esta sujeta a un resorte el cual se estira 2.5 m hasta llegar a su posición
de equilibrio. En el tiempo t=0, la masa se estira hacia abajo 1 m debajo de la posición de
equilibrio y se la suelta. En el instante . , la masa es golpeada verticalmente hacia
abajo con un martillo con una fuerza de 8 N. Determine:
a) La función que define la posición de la masa en todo instante t.
b) La posición de la masa en el instante . y en el instante .
Es un sistema masa – resorte, no existe amortiguador por lo tanto el modelo de ecuación diferencial es
el siguiente.
Donde la fuerza perturbadora está determinada por 8 2 y la constante del resorte está
dada por .
∆
Según el estiramiento de 2.5 m que sufre el resorte con la masa de 1 , se obtiene:
1 10 /
4
∆ 2.5
a) La ecuación diferencial para este problema queda definida por:
4 8 2
Aplicando transformada de Laplace a ambos lados de la ecuación diferencial y resolviendo, se obtiene:
4 8 2
0 0 4 8
Se dice que parte un metro debajo de la posición de equilibrio y luego se lo suelta, esto quiere decir que
las condiciones iniciales 0 , 0 son las siguientes:
0 1 , ó
0 0,
4 8
4 8

2. Despejando , se obtiene:
8
4 4
Aplicando transformada inversa de Laplace a ambos lados, se obtiene la solución :
8
4 4
Se obtiene la posición del objeto en cualquier instante de tiempo:
b) La posición en . y en el instante 3 :
2) Resuelva la siguiente ecuación diferencial parcial
, , , ,
, dadas las siguientes condiciones:
, , ,
Por el método de separación de variables se asume la solución como:
,
Por lo tanto:
,
Se reemplaza y en la ecuación :
Separando:
Resolviendo la ecuación diferencial , se obtiene:
0
Se asume la solución de la forma , obteniendo la siguiente ecuación característica:
0

3. , √
Por lo tanto la solución para 0 es la siguiente:
√ √
Reemplazando las condiciones iniciales ,0 0, ,2 0 en :
,0 0 ,0 0 0 0 0
,2 0 ,2 2 0 2 0
i) 0 0
√ √ 0 0
0
Por lo tanto:
√
ii) 2 0
√ 0 √ 2
0 √ 2 0, √ 2
Donde:
√
Por lo tanto:
, 1.
2
Ahora resolviendo la ecuación diferencial , se obtiene:
0
Se asume la solución de la forma , obteniendo la siguiente ecuación característica:
0
, √
2
Por lo tanto la solución para 0 es la siguiente:
, 1

4. La solución final:
,
, , 1
Multiplicando coeficientes y expresando como sumatoria:
, , 1
2 2
,
2 2
Reemplazando las otras condiciones 0, , 3, 0
i) ,
0
2 2
0
2 2
0
ii) ,
2 2
2
Donde:
2
Por lo tanto:
2
1
2

5. 1
1 2
1 2
,
3)
a) Resuelva el siguiente problema de valores iniciales usando transformada de Laplace:
; ,
Aplicando transformada de Laplace a ambos lados de la ecuación diferencial:
2 2 2 2
2
0 0 2 0 2 2 2
2
1 2
1 2 2 2
1 2
2 2 2 1
1 2
2 2 2 1
2 1 2 1
2 2 2 2 2 2
2 1 2 1
2 2 2 2 2 2

6. i) 2
ii) ?
1 2
2 2 2 2
1 2 2 2 2 2
1
2
0 1
2 0 2
2 2 2 1
2 1 2
3
2
1 1 1 3
1 2 2 2 2 2
2 2 2 2
1 1 1 3
1 2 2 2 2 2
2 2 2 2
1 2 1 1 1 1 1 3
2 2 2 2 2 2 2
1 2 1 1 1 1 1 1 2
2 2 2 2 2 1 1
1 2 1 1 1 1 1 1 1
2 2 2 2 2 1 1 1 1
1 2 1 1 1
2 2 2 2 2
1 2 1 1 1
2 2 2 2
2 2 2 2 2

7. iii)
b) Halle:
Solución:
1 1
1 3 2
6 3 2
1 3 2
2 1 1
1 3 2
2 1 1
1 3 2
2 cos
2cos
1
1
1 1
.
1 1
1
1
1
1
1

8.
4) Resolver el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales usando el método de los valores y
vectores propios:
; ó :
Expresando el sistema de la forma: :
9 1 1
1 9 1
1 1 9
Encontrando el 0:
9 1 1
1 9 1 0
1 1 9
9 9 1 9 1 1 9 0
9 18 81 1 8 8 0
9 18 80 2 16 0
9 162 720 18 80 2 16 0
27 240 704 0
27 240 704 0
Encontrando las raíces por división sintética se obtiene:
8 11 0
, 8 11
Encontrando el espacio asociado al valor de , 8:
0
,
| , 0
0
1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0
1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 0 0
1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 0 0
1 1 1 0
0 0 0 0
0 0 0 0

9. Por lo tanto:
1 1
, ,
1 , 0
0 1
Entonces se tiene las siguientes soluciones:
1 1
1 , 0
0 1
Encontrando el espacio asociado al valor de 11:
0
| 0
0
2 1 1 0 2 1 1 0 0 3 3 0
1 2 1 0 1 2 1 0 1 2 1 0
1 1 2 0 1 1 2 0 0 3 3 0
0 3 3 0 0 1 1 0 0 1 1 0
1 2 1 0 1 2 1 0 1 0 1 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
Por lo tanto:
1
1
1
Entonces se tiene la siguiente solución:
1
1
1
Obteniendo la solución general:
1 1 1
1 0 1
0 1 1
1
Reemplazando la condición 0 0 :
1
1 1 1 1
0 1 0 1
1 0 1 1

10. 1
0 0
1 0
2
3
1 1
0
1 3
2
3
La solución particular es:
5) Halle dos soluciones linealmente independientes de la siguiente ecuación diferencial resuelta
alrededor del punto :
Se verifica que clase de punto es 0:
0 0 0
Luego se verifica si es un punto singular regular:
i) lim 3 1 3 1 0
ii) lim 1 2 1 0 1 0
Las raíces de la ecuación características son las siguientes:
, 1 í
Se asume:
, 0
1

11. Reemplazando en la ecuación diferencial la solución asumida, se obtiene:
1
Introduciendo los coeficientes dentro de cada sumatoria:
1 3
Igualando las potencias de x, de cada sumatoria a la potencia (n+r):
1 3
Igualando los subíndices de cada sumatoria:
1 3 1 3 0
Obteniendo la fórmula de recurrencia general:
1 3 0
, 1
1 3 1
2 1
, 1.
1
Reemplazando el valor de 1 en :
, 1.
Encontrando los coeficientes:
i) 1
1 1!
ii) 2
2 1 2 2!

12.
iii) 3
3 1 2 3 3!
iv) 4
4 1 2 3 4 4!
Reemplazando los coeficientes en la primera solución, para 1 :
, 1
1! 2! 3! 4!
1
1
1! 2! 3! 4! !
1
!
ln
, 1
, 1.
1
Encontrando los coeficientes:
i) 1
2
ii) 2
3 2 3
iii) 3
4 2 3 4
iv) 4
5 2 3 4 5

13. De manera general:
1
2 3 4 5 ………. 1
1, .
1
2 3 4 5 ………. 1
Aplico logaritmo natural a ambos lados para poder derivar esta fracción.
1
ln
2 3 4 5 ………. 1
ln 2 ln 2 ln 3 ln 4 ln 5 ln 1
Derivando:
1 1 1 1 1
2
2 3 4 5 1
1 1 1 1 1
2
2 3 4 5 1
1 1 1 1 1
1 2 1
1 2 3 4
1
1
1 2 3 4 ……….
1
1
!
1 1
1 2
!
Donde:
1 1
2
!
Por lo tanto:
1
!
1 1
ln 2
! !