1. ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DEL LITORAL
Solucionario de
problemas de Ecuaciones
Diferenciales
2do Parcial (3ra versión)
• Resolución de ecuaciones diferenciales alrededor de puntos singulares
• Transformada de Laplace
• Resolución de ecuaciones diferenciales mediante la transformada de
Laplace
• Resolución de sistemas de Ecuaciones diferenciales
• Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales de segundo orden
• Series de Fourier
• Ecuaciones en Derivadas Parciales
Roberto Cabrera V.
dcabrera@fiec.espol.edu.ec
06/02/2009
Este es un solucionario de problemas de Ecuaciones Diferenciales correspondiente a la Segunda
Evaluación, donde constan ejercicios tipo examen. Esta obra ha sido elaborada por Roberto Cabrera
y Christian de La Rosa, ex – estudiante de la ESPOL, con el auspicio de la directiva A.E.F.I.E.C. de los
años 2006, 2007, 2008. Modificado y corregido dos veces por Roberto Cabrera.

2. Ecuaciones Diferenciales – II Parcial
Roberto Cabrera V.
- 2 -
Resumen de problemas resueltos de Ecuaciones Diferenciales
II Parcial
i. Resolución de ecuaciones diferenciales alrededor de puntos singulares:
Método de Frobenius
ii. Transformada de Laplace:
Teoremas
Transformada de Laplace de algunas funciones
Transformada inversa de Laplace
iii. Resolución de ecuaciones diferenciales mediante la transformada de
Laplace:
Ecuaciones diferenciales de coeficientes constantes
Ecuaciones diferenciales de coeficientes variables
Ecuaciones integro diferenciales
iv. Resolución de sistemas de Ecuaciones diferenciales:
Método de Eliminación
Método de los operadores diferenciales
Método de Laplace
Método de los valores y vectores propios.
v. Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales de segundo orden:
Aplicaciones de Sistema: Masa – Resorte – Amortiguador
Aplicaciones de circuitos eléctricos
vi. Series de Fourier
Definición de la serie de Fourier
Serie de Fourier de una función par e impar
Convergencia de una serie de Fourier
Extensiones pares o impares periódicas de una serie de Fourier
vii. Problema de la ecuación del calor
viii. Anexos:
Problemas propuestos
Tabla de transformadas de Laplace de ciertas funciones
Tabla de transformadas inversas de Laplace de ciertas funciones

3. Ecuaciones Diferenciales – II Parcial
Roberto Cabrera V.
- 3 -
Método de Frobenius
1. Determine la solución general de la ecuación diferencial:
, mediante series de potencias de x. Utilice la raíz de mayor valor de la ecuación
indicial asociada a la ecuación diferencial dada para establecer la primera solución, ésta como una
función elemental; y, luego utilice algún procedimiento conocido para definir la segunda solución
linealmente independiente e igualmente exprésela como una función elemental.
Asumiendo la solución alrededor del punto , se tiene que verificar que clase de punto es, en este
caso , entonces , por lo tanto es un punto singular.
Lugo se verifica si es singular regular.
i) (existe)
ii) (existe)
Los dos límites existen, por lo tanto es un punto singular regular.
La fórmula de la ecuación indicial indica:
, se obtiene que:
Las raíces de la ecuación indicial son: , y .
Asumiendo la solución como:
Obteniendo la 1ra y 2da derivada:
Reemplazando y, y’,y’’ en la ecuación diferencial se obtiene:
Introduciendo los coeficientes de cada sumatoria:
Se iguala las potencias de todas las sumatorias, en esta caso a , haciendo un
cambio de parámetro en alguna en la tercera sumatoria.

4. Ecuaciones Diferenciales – II Parcial
Roberto Cabrera V.
- 4 -
La nueva ecuación queda así:
Se iguala los subíndices de cada sumatoria al mayor de todas, en este caso a . Luego se
desarrollan dos términos en la primera y segunda sumatoria:
Se agrupan los coeficientes de cada sumatoria en una sola sumatoria:
Igualmente los coeficientes de
Como , se obtiene , que es la misma ecuación indicial anterior.
En este caso si puede ser igual a cero.
La ecuación de recurrencia es:
Despejando el valor de , se obtiene la fórmula de recurrencia general:
Reemplazando la raíz mayor , se obtiene la fórmula de recurrencia particular para la
primera solución:

5. Ecuaciones Diferenciales – II Parcial
Roberto Cabrera V.
- 5 -
Entonces la primera solución es, para el varlo de r=0:
Reemplazando los coeficientes en la solución
Por lo tanto , lo podemos encontrar de la siguiente forma:
=

6. Ecuaciones Diferenciales – II Parcial
Roberto Cabrera V.
- 6 -
2) Resuelva:
• ( ) 0,033 0
2
2
2
2
==+−+ xdealrededory
dx
dy
xx
dx
yd
x
singulares,0)()( 0
2
====⇒⇒⇒⇒==== xpxxp
( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) ( )
( )( )[ ] ( )
( )( )[ ] ( )
( )( )[ ] ( )( )[ ] ( )[ ]
( )( )[ ] ( )( )
( )( )[ ] ( )
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
( ) 







−
−
++−+=
∴







−
−
+++−=
=






 −
++−=
−
=
==
∫
=
∫
=
=∴





+−+−=⇒−=−=→=
=−=→=
−=−=→=
=
=≥
−
−=→=≥−=→=
≥
−+
−=→=−++−+−+
=−==→=−−→=−−
=−++−+−++−−
=−++−+−+
=++−+−+
=++−++−++
=++−+−++
∑
∑
∫ ∑∫∑
∫∫∫∫
∑
∑∑
∑∑
∑∑∑∑
∑∑∑
∞+
=
−
−
−
−
∞+
=
−
−
−
−
∞+
=
−−
−−−
∞+
=
−
−
−
−
−
−
−
−−
−
−
−
−−
−
−
∞+
=
+
−
∞+
=
+
−
∞+
=
+
∞+
=
++
∞+
=
+
∞+
=
+
∞+
=
+
∞+
=
++
∞+
=
+
+∞
=
+
+∞
=
−+
+∞
=
−+
3
2
1
2
31
2
3
2
1
2
3
3
31
233
0
3
3
2
3
3
26
3
3
26
3
1
3
2
1
)(
12
3
01
32
3
01
02
3
01
2
00
1
1
2
1
1
1
1
21210
1
10
1
1
0
0
1
0
000
1
0
00
12
0
22
2!
1
22
ln
2!
1
2
ln
2
!
1
2!
1
...
!3!2!1
1
!33
3
!22
2
!11
1
3
1;
2
11;3
1;
3
0113
13013013
011313
0113
013
0331
0331
n
nn
x
n
nn
x
n
nn
x
n
nn
x
x
x
x
x
x
x
dx
x
x
dxxp
x
1
n
n
n
n
n
nnn
n
rn
nn
r
n
rn
n
n
rn
n
n
rn
n
n
rn
n
n
rn
n
n
rn
n
n
rn
n
n
rn
n
n
rn
n
n
rn
n
n
rn
n
nn
x
x
x
ex
xy
xy
nn
xx
x
x
ex
dx
n
xx
xxexdx
n
x
exxy
dx
x
e
exdx
ex
ex
exdx
ex
e
exdx
y
e
yxy
exCxy
xxx
xCxy
CC
Cn
CC
Cn
CC
Cn
rutilizandoserásoluciónprimerala
2nparadefinidaestanon
n
C
Crn
n
C
Cr
n
rn
C
CCrnCrnrn
enterorrrrrrCrr
xCrnCrnrnxCrr
xrnCxCrnrn
xrnCxCrnrn
xCxrnCxrnCxrnrnC
xCxrnCxxxrnrnCx

7. Ecuaciones Diferenciales – II Parcial
Roberto Cabrera V.
- 7 -
3) Resuelva la siguiente ecuación difrencial alrededor del punto 0x0 =
• ( ) ( ) 1132
2
2
=+−+− y
dx
dy
x
dx
yd
xx
singulares,0)()( 0
2
====⇒⇒⇒⇒==== xpxxp
( ) ( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( )[ ] ( )
( )( ) ( )[ ] ( )
[ ] ( )( ) ( )[ ] ( )[ ]
[ ]
( )( ) ( )[ ] ( )
( )( ) ( )[ ]
( )
( ) [ ] ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
( )
11
ln
1
1
)(
11
ln
1
1
ln)(
11
1
11)(
lnln1
1
ln1)(
1
1
1
1
1
ln
1
1
1
ln
1
1
)(
1
ln
1
1
)(
1
ln1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
...13
2
1
0
0;0
0;
1
131
1131
00
01131
01131
0131
0311
0131
21
2211
2
2
1
2
2
2
2
1
2
22
2211
21
122
21
22
13
2
1
)(
12
01
320
0103
02
01
11
211
2
210
2
0
1
2
0
2
1
1
2
0
0
12
0
00
1
00
1
0
00
1
0
22
2
−
+
−
+
−
=
−
=
−
−





−
+−=+=
−=−=−





−






−
==
+−==−





−






−
−=−=
−
=
−
−
−−
−−=→+=
−
+
−
=
−
=→
−
=






−
−
−
=
∫
−
=
∫
=
−
=∴++++=⇒=→=
=→=
=→=
=
≥=→=
≥
++
+++−++
=→++−+++−++
==→=−
=++−+++−+++−
=++−+++−++
=+−+++−++
=++−++−++−−++
=++−+−++−
∫∫∫
∫∫∫
∫∫∫∫
∑
∑∑
∑∑
∑∑∑∑∑
∑∑∑
−−−
−
−−
+
++
∞+
=
+
+
∞+
−=
+
+
∞+
=
+
∞+
=
−+
∞+
=
+
∞+
=
+
∞+
=
−+
∞+
=
+
∞+
=
−+
∞+
=
+
+∞
=
+
+∞
=
−+
+∞
=
−+
x
x
x
x
k
x
kxy
x
x
x
x
x
x
xxxyuyuxy
xdxdxxx
xxx
dx
W
yxg
u
xxxdxxdxxx
x
x
xx
dx
W
yxg
u
xx
xxx
x
x
x
x
xWyuyuxy
x
x
k
x
kxy
x
x
Cxydx
xx
dx
x
xx
x
dx
ex
e
x
dx
y
e
yxy
x
CxyxxxxCxyCCn
CCn
CCn
rutilizandoserásoluciónprimerala
nCCr
n
rn
Crnrnrn
CCrnCrnrnrn
rrCr
xCrnCrnrnrnxCr
xCrnxCrnrnrn
xCrnxCrnrnrn
xCxrnCxrnCxrnrnCxrnrnC
xCxrnCxxrnrnCxx
p
p
h
x
dx
xx
x
dxxp
1
nn
n
nnn
n
rn
nn
r
n
rn
n
n
rn
n
n
rn
n
n
rn
n
n
rn
n
n
rn
n
n
rn
n
n
rn
n
n
rn
n
n
rn
n
n
rn
n
n
rn
n

8. Ecuaciones Diferenciales – II Parcial
Roberto Cabrera V.
- 8 -
Transformada de Laplace
Halle:
• ( ) ( ){ }ttsenteL t
2cos24364 35
+−+
Por la propiedad de linealidad tenemos que:
( ) ( ){ }
( ) ( ){ } { } { } ( ){ } ( ){ }
{ } { } ( ){ } ( ){ }
4
2
16
1236
5
4
4
2
16
4
3
!3
6
5
1
4
2cos24364
2cos243642cos24364
2cos24364
224
224
35
3535
35
+
+
+
−+
−
=
+
+
+
−+
−
=
+−+=
+−++=+−+
+−+
s
s
sss
s
s
sss
tLtsenLtLeL
tLtsenLtLeLttsenteL
ttsenteL
t
tt
t
Halle
• ( ) ( ){ }teetL tt
2cosh2 42 −
++
Por la propiedad de linealidad tenemos que:
( ) ( ){ }
( ) ( ){ } ( ){ } ( ){ }
( ){ } ( ){ }
{ } { } { } ( ){ }
{ } { } { } ( ){ }teLeLteLetL
teLeLteLetL
teLettL
teLetLteetL
teetL
tttt
tttt
tt
tttt
tt
2cosh44
2cosh44
2cosh44
2cosh22cosh2
2cosh2
42
42
42
4242
42
−
−
−
−−
−
+++=
+++=
+++=
++=++
++
Aplicando el primer teorema de la traslación:
{ } { } { } ( ){ }
{ } { } { } ( ){ }
( ) ( ) ( )
( ) ( )( )621
20219295
44
4
1
1
4
1
1
4
1
!2
2cosh44
2cosh44
3
234
223
42
42
++−
+−++
=
−+
+
+
−
+
−
+
−
=+++
+++
−
−
sss
ssss
s
s
sss
teLeLteLetL
teLeLteLetL
tttt
tttt

9. Ecuaciones Diferenciales – II Parcial
Roberto Cabrera V.
- 9 -
Demuestre:
• Demuestre el primer teorema de la traslación
( ){ } ( ) ( ){ } ( )
( ){ } ( ) ( )
( ){ } ( )
( )
( )
( ) ( ) ( )asFsFdttfe
asssidttfe
dttfeetfeL:Entonces
sFdttfetfLTenemos
asFtfeLentoncessFtfLSi
ts
tas
atstat
st
at
−===
−=→=
=
==
−==
∫
∫
∫
∫
∞
−
∞
−−
∞
−
∞
−
0
0
0
0
:
,
Halle:
• ( ) ( ){ }ttsenhL cos23
Por la propiedad de linealidad tenemos que:
( ) ( ){ }
( ) ( ){ } ( )
( ) ( ){ }
( ){ } ( ){ } ( ){ } ( ){ }[ ]
( ){ } ( ){ } ( ){ } ( ){ }[ ]teLteLteLteL
teLteLteLteL
teeeeL
t
ee
LttsenhL
ttsenhL
tttt
tttt
tttt
tt
coscos3cos3cos
8
1
coscos3cos3cos
8
1
cos33
8
1
cos
2
cos2
cos2
6226
6226
6226
322
3
3
−−
−−
−−
−
−+−=
−++−+=
−+−=













 −
=
Aplicando el primer teorema de la traslación:
( ){ } ( ){ } ( ){ } ( ){ }[ ]
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )( )( )( )371254543712
1854648
16
6
12
2
3
12
2
3
16
6
8
1
coscos3cos3cos
8
1
2222
24
2222
6226
+++++−+−
+−
=






++
+
−
++
+
+
+−
−
−
+−
−
=
−+− −−
ssssssss
ss
s
s
s
s
s
s
s
s
teLteLteLteL tttt

10. Ecuaciones Diferenciales – II Parcial
Roberto Cabrera V.
- 10 -
• Encuentre la transformada de la primera derivada de f(t)
( ){ } ( ) ( ){ } ( ) ( )
( ){ } ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
f(0)-sF(s)
lexponenciaordendeestfqueasumiendoPfepero
Pfefdttfes
dttfesfPfe
dttfesetfdttfe
tfvdttfdv
dte-sdueu:partesporIntegrando
dttfedttfetf'LTenemos
fssFtf'LentoncessFtfLSi
sP
P
sP
P
st
P
stsP
P
P
stPst
P
P
st
P
st-st
P
st
P
st
=
=
+−=






+−=






+=
=→=
=→=
==
−==
−
∞→
−
∞→
∞
−
−−
∞→
−−
∞→
−
∞→
−
−
∞→
∞
−
∫
∫
∫∫
∫∫
0lim
lim0
0lim
lim'lim
'
'lim':
0,
0
0
0
0
0
00
• Encuentre la transformada de la función tf(t)
( ){ } ( ) ( ){ } ( )
( ){ } ( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
( )[ ]
( ){ } ( )sF
ds
d
ttfL
dtttfe
dttfte
dttfe
s
dttfe
ds
d
sF
ds
d
:tenemosigualdadladeladosambosDerivando
sFdttfetfLTenemos
sF
ds
d
ttfLentoncessFtfLSi
st
st
st
st
st
−=→
−=
−=
∂
∂
=
=
==
−==
∫
∫
∫
∫
∫
∞
−
∞
−
∞
−
∞
−
∞
−
0
0
0
0
0
:
,

11. Ecuaciones Diferenciales – II Parcial
Roberto Cabrera V.
- 11 -
• ( ){ }attL cos2
Por la propiedad de la derivada de la transformada tenemos que:
( ){ }
( ){ } ( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
( )
( )322
22
222
2222222
222
22
222
2
2
2
22
2
32
222
)(1cos
cos
as
ass
as
sasasass
as
sa
ds
d
as
s
ds
d
sF
ds
d
attL
attL
+
−
=








+
−+−+−
=








+
−
=






+
=
−=

12. Ecuaciones Diferenciales – II Parcial
Roberto Cabrera V.
- 12 -
Halle:
•
( )






t
t
L
cos
Usando la propiedad de la transformada de la derivada
( )
( ) ( ) ( )
{ } ( )
( ) ( ){ }
( ) ( ){ }
( )
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ){ }
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) s
2
1
s
2
3
s
2
3
2
3
n
n
n
e
s
e
2s
s
t
t
L
e
2s
ss
s2s
ssss
tsenL
ttt
t
ttt
ttsen
n
t
tsenquesabemospotenciasdeseriePor
tsendedatransformalaEncuentro
tsenLs
t
t
L
tsensL
t
t
L
fssFtfL
0f(0)además
t
t
(t)f'entonces,tsentfSi
t
t
L
4
1
4
1
4
1
3
2
2
2
2
2
9
2
7
2
5
2
3
2
7
2
5
2
3
2
1753
0
2
12
2
cos
...
!3
2
1
!2
2
1
2
1
1
....
!7
2
9
!5
2
7
!3
2
5
2
3
....
!7!5!3
....
!7!5!3
!12
1
2
cos
2
cos
)0()('
,
2
cos
cos
−−
−
∞+
=
+
==






=










+−+





−=
+
Γ
−
Γ
+
Γ
−
Γ
=
+−+−=+−+−=
+
−
=
=






=






−=
===






∑
ππ
π
π

13. Ecuaciones Diferenciales – II Parcial
Roberto Cabrera V.
- 13 -
• Encuentre la transformada de la integral de f(t)
( ){ } ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ){ } ( ){ }
( ){ } ( )
( ) ( ){ } ( )
s
sF
s
tfL
duufL
:quetenemosDespejando
duufLstfL
gtgLstgL
:quesabemosEntonces
0g(0)yf(t)(t)g'entonces,duuftgSi
s
sF
duufLentoncessFtfLSi
t
t
t
t
==












=
−=
===
=






=
∫
∫
∫
∫
0
0
0
0
)0('
,
• Encuentre la transformada f(t)/t
( ){ } ( ) ( ) ( )
( ) ( )
{ } { }
{ } { }
{ } ( ) ( )
( ) ( )∫
∫∫
∫
∞
∞
∞
∞
=






=−=
−=
=
==
=






=
s
s
s
s
duuf
t
tf
L
duufduuf(t)gL
:quetenemosladosambosIntegrando
(t)gL
ds
d
(t)fL
g(t)tL(t)fL
:quesabemosEntonces
g(t)t(t)fentonces,
t
tf
tgSi
duuF
t
tf
LentoncessFtfLSi ,

14. Ecuaciones Diferenciales – II Parcial
Roberto Cabrera V.
- 14 -
Halle:
• ( )






∫
−
θθ
θ
θ
dseneteL
t
t
0
44
3
1
( )
( ){ } ( )
( )
( ){ }
( ) ( )
( ){ }
( ){ }
( )
( ){ }
( )
( ) ( )
( ) ( )( ) ( )( ) ( )222
0
44
222
2
22
4
4
4
0
4
0
4
4
0
44
4
3
arctan
254844
3
42
43
1
3
4
arctan
258
3
23
4
arctan
2
1
)(
3
4
arctan
2
1)(
3
4
arctan
23
4
arctan
258
3
)(
258
3
94
3
3)(
3)(
)(
3
1
)(,
)(
3
1
)(
,3
1
4
3
1
−






−
+−+−−
+
−
=−=











 +
−
++
+=
















 +
−−==











 +
−==





 +
−=




 +
=
++
==





=
++
=
++
==
=
=





=






==






=
−=






−=






∫
∫∫
∫
∫
∫
∫
−
∞∞∞
−
−
∞
−−
−
−
s
s
ssss
sGdseneteL
s
s
ssss
s
sds
d
thtLsG
s
ss
sM
H(s)
su
du
uu
duuX
)x(
LM(s)
uuu
seneLuX
:estraslacióndeteoremaprimerelporqueseneLuX
duuX
)x(
LM(s)hallamosdondeDe
seneLsMsi
s
sM
dseneLH(s)Encuentro
sH
ds
d
thtL
:quesabemosdatransformaladederivadaladeteoremaelpor
dsenetLesqueG(s)encontrarDebo
sGtgeL
:quetenemostraslaciónladeteoremaprimerelPor
dseneteL
t
t
sss
s
t
t
t
t
t
π
θθ
θ
ππ
π
π
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θθ
θ
θθ
θ
θθ
θ
θ
θ
θ
θθ
θ
θ

15. Ecuaciones Diferenciales – II Parcial
Roberto Cabrera V.
- 15 -
• Demuestre el segundo teorema de la traslación
( ){ } ( ) ( ) ( ){ } ( )
( ) ( ){ } ( ) ( )
( ) ( ){ } ( )
( ) ( ){ } ( )
( )
( ) ( ){ } ( ) ( )sFeduufeeatfa-tL
duufeatfa-tL
uty0uatCuando
dudtya-tuautSi
dtatfeatfa-tL:Entonces
dtatfa-teatfa-tLTenemos
sFeatfa-tLentoncessFtfLSi
assuas
aus
a
st
st
as
−
∞
−−
∞
+−
∞
−
∞
−
−
==−
=−
∞=→∞==→=
==→+=
−=−
−=−
=−=
∫
∫
∫
∫
0
0
0
:
,
µ
µ
µ
µµ
µ
• Encuentre la transformada ( ) ,....3,2,1,0
2212;0
122;2
=




+<<+
+<<
=
−
n
ntn
ntne
tf
t
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]
{ }
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }
( )
( )
{ }




 +





+
=





+=
+
=












+
=





−=
−+−+−=−+−+−=
−+−+−=






+=
−+−+−=
+
+
∞+
=
−−−−
−−−−
−
∑
1
2
12
1
11
1
1111
)(
...1
1
...
1
)(
...)(
2
1
....
2
1
2
1
0
432
432
543210
543210
2
s
s
s
s
s
n
n
s
ssss
ssss
t
es
e
sGf(t)L
es
e
e
ses
sG
eeee
ss
e
s
e
s
e
s
e
s
sG
ttttttLsG
sGf(t)LquetenemostraslaciónladeteoremaprimerelPor
ttttttetf
µµµµµµ
µµµµµµ

16. Ecuaciones Diferenciales – II Parcial
Roberto Cabrera V.
- 16 -
• ( ) ( ) ( )






+ t
t
tsen
ttsenL δµπ
3
)(
4
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) 3
1
1
2
23
)(
3)3(1
3
lim
3
1
1
2
2
1
1
12
2
)(
4
)(
4
cos
2
2
)(
44
cos
2
2
44
cos
2
2
4
cos
444
cos
44
)()(
4
3
)(
3
)(
3
)(
2
4
4
0
0
2
4
22
4
444
4
4
44
4
+





+
+
=






+
===












+
+
=





+
+
+
=




















−+












−=


















−+





−












−+





−=











−+











−=





+−
=












−






+






=






+






+
−
→
−
−−
−
s
s
et
t
tsen
ttsenL
t
tsen
et
t
tsen
L
:impulsofunciónlautilizodatransformasegundalaaraP
s
s
e
ss
s
e
ttsenLttLttsentL
tsenttsensenttsen
:escalónalmultiplicaquefunciónladesplazardeboPero
sFettfL
:traslaciónladeteoremasegundoelutilizodatransformaprimeralaaraP
t
t
tsen
LttsenLt
t
tsen
ttsenL
t
t
tsen
ttsenL
s
t
s
ss
s
π
π
ππ
πππ
π
π
ππ
π
δµ
δ
µ
π
µ
π
µ
ππ
ππππππππ
µ
π
δµδµ
δµ

17. Ecuaciones Diferenciales – II Parcial
Roberto Cabrera V.
- 17 -
• Encuentre la transformada de la siguiente gráfica
Tenemos que encontrar la transformada de una función periódica:
( )
( ){ }
( ){ }
( )
( ) ( )
( )
( ){ } ( )
( ){ }
( )( )11
1
1
1
1
1
1
)cos()(
1
1
:Re
1
)cos()(
)(
)cos()()(1
)()()cos()(
)()cos(
)cos()cos()(
)cos()(
)(
1
1
)(
1
1
20
0)(
222
0
22
2
2
0
2
2
0
2
+−
=






+
+
−
=






+
−−
−
=
+
−−
=
−−=+
+−−=
=→=
−=→=
−−=
−=→=
−=→=
−
=
−
=



<<
<<
=
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
∫
∫
∫∫
∫∫
∫
∫
ses
e
e
tgL
s
ttsense
e
tgL
emplazando
s
ttsense
dttsene
ttsensedttsenes
dttsenestsenesetdttsene
tsenvdttdv
esdueu:partesporIntegro
dttesetdttsene
tvdttsendv
esdueu:partesporIntegro
dttsene
e
tgL
dttge
e
tgL
2periodoconenteperiodicamextendida
t
ttsen
tg
s
s
s
st
s
st
st
st-st
st-st-st-st
st-st-
st-st-st
st-st-
st
s
st
s
π
π
π
π
π
π
π
π
π
π
ππ
π

18. Ecuaciones Diferenciales – II Parcial
Roberto Cabrera V.
- 18 -
• Demuestre el teorema de la convolución
{ } { } { }
{ } { }
dtduutgufeSdonde
SdtduutgufedtduutgufeduutgufL
:queloporg(t)LG(s)f(t)LF(s)donde
sGsFduutgufL
tgtfduutgufsGsFLentoncestgG(s)LytfF(s)LSi
M
t
t
u
st
M
M
M
t
t
u
st
t
ut
st
t
t
t
1-1-
∫ ∫
∫ ∫∫∫∫
∫
∫
= =
−
∞→
∞
= =
−
=
∞
=
−
−=
=−=






−=






−
==
=






−
=−===
0 0
0 0000
0
0
)()(
lim)()()()()()(
,
)()()()(
)(*)()()()()(),()(
La región en el plano en donde se llevará a cabo la integración es:
Luego de hacer el cambio t-u=v la región cambia, por lo que el integral se transforma en:
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
{ }{ } )()()()()()(
),(,),(
0
)()(
)()(
1
11
01
,
,
,
,
)()()()(
00
0 0
0 00 0
0 0
sGsFdvvgeduufedvduvgufe
dvduvuKSlimentoncesdvduvuKS
Mvu
Mvuvgufe
v)K(u,funciónotraDefinamos
dvduvgufeSdondeDe
v
t
u
t
v
u
u
u
vu
tu
J
:escióntransformaladeJacobianoelDonde
dvdu
vu
tu
vgufedtduutgufeS
svsu
v u
vus
v u
M
M
M
v
M
u
M
vus
M
v
vM
u
vus
M
R
vus
R
st
M
uvtu
===
==



>+
≤+
=
=
==
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
=
∂
∂
=−=
∫∫∫ ∫
∫ ∫∫ ∫
∫ ∫
∫∫∫∫
∞
−
∞
−
∞
=
∞
=
+−
∞
=
∞
=
∞→
= =
+−
=
−
=
+−
+−−
0 M 0 M
t-u=v

19. Ecuaciones Diferenciales – II Parcial
Roberto Cabrera V.
- 19 -
Halle:
•
( ) 







+
−
222
1
as
s
L
( )
( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
a
atsent
a
atsen
at
aa
atatsent
atsen
a
a
at
at
aa
atsent
atsen
a
du
ausen
at
a
du
au
atsen
a
duauausenat
a
duauatsen
a
duausenatauatsenau
a
du
a
utasen
au
asas
s
L
atsen
a
at
asas
s
L
:quetenemosnconvoluciódeintegralelUsando
as
s
L
tt
tt
t
t
2
2
cos
1
2
cos
2
1
4
2cos1
cos
1
4
2
2
1
2
2
cos
1
2
2cos11
coscos
1
cos
1
coscoscos
1
cos
1
1
*cos
1
2
00
00
2
0
0
2222
1
2222
1
222
1
=






−





+=





 −
−





+=
−




 +
=
−=
−=
−
=






++
=






++








+
∫∫
∫∫
∫
∫
−
−
−

20. Ecuaciones Diferenciales – II Parcial
Roberto Cabrera V.
- 20 -
Resolución de ecuaciones diferenciales mediante las transformada de
Laplace
Encuentre la solución de la siguiente ecuación diferencial:
• ( ) 3)0(''0)0(')0(,cos102'5''4''' ====+++ yyytyyyy
{ } { } { } { } ( ){ }
{ }
{ }
{ }
{ }
( ){ }
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
{ }
( )
)(2)cos(22)(
1
2
1
2
1
2
2
1
)()(
1
2
1
2
1
2
2
1
)(
2121211113103
1112211
3103
)(
1
3103
)(21
1
103)(254
1
10)(2)(5)(43)(
Re
1
cos
)(
)()0()('
)()0(')0()(''
3)()0('')0(')0()('''
cos102'5''4'''
2
22
11
22
222222
2222
2
2
2
2
2
23
2
23
2
22
323
tsentteeety
s
s
sss
LsYLty
s
s
sss
sY
2E-1,D-2,C2,B-1,AdondeDe
32E2C2BA
105E2DC3B2A
34E5D2C3B2A
0E4DC3B2A
0DBA
:ecuacionesdesistemasiguienteelTenemos
2E2C2BAs5E2DC3B2As4E5D2C3B2AsE4DC3B2AsDBA310s3s
ssEDsssCsssBssAss
s
EDs
s
C
s
B
s
A
sss
ss
sY
s
ss
sYss
s
s
sYsss
s
s
sYssYsYssYs
:dastransformalasemplazando
s
s
tL
sYyL
ssYyssYyL
sYsysysYsyL
sYsysyyssYsyL
:necesariasdastransformalasEncuentro
tLyLyLyLyL
LaplacededatransformalaAplicando
ttt
2342
+−−+−=








+
+−
+
+
−
+
+
+
−
==
+
+−
+
+
−
+
+
+
−
=
=====
=+++
=++++
=++++
=++++
=++
+++++++++++++++++++++=++
+++++++++++++=++→
+
+
+
+
+
+
+
+
=
+++
++
=
+
++
=++
+
=−+++
+
=+++−
+
=
=
=−=
=−−=
−=−−−=
=+++
−−−
−−

21. Ecuaciones Diferenciales – II Parcial
Roberto Cabrera V.
- 21 -
Encuentre la solución de la siguiente ecuación diferencial:
• ( ) ( ) ( ) ( ) 00',20,
2;0
20;84
,42
2
==



>
<<+−
==+ yy
t
tt
thdondethy
dt
yd
π
ππ
{ } { } ( ){ }
{ }
{ }
( ){ } ( )( ){ } ( )( ){ } ( )( ){ }
( ){ }
( )
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )( )





 −
−−+++−=






+
−+
+
+
+−=
−====
=
=
=+
=+
+++++=
+++++=
+
+
++=
+
•
====
−=
=
=+
=+
+++++=−+
+++++=−+
+
+
++=
+
−+
•
+
+
+
−+
=
+
−+
=+
++
−
=+−
++
−
=
−++−=+−−=
=
−=−−=
=+
−
−
−
−
−
2
22
2)(
2
)2(
)2cos()(
4
11
4
11
)(
1,00Re
44
04
0
0
444
444
44
4
1,Re
44
84
0
2
44482
44482
44
482
4
4
4
482
)(
4482
)(4
1
4
84
)(42)(
:Re
1
4
84
2)(484)(84)()(
)(
2)()0(')0()(''
4''
2
22
2
22
23
222
2222
233
2223
2222
3
22
2
22
3
2
2
2
3
2
2
2
2
2
2
2
2
2020
22
π
πµππ
ππ
ππ
π
π
π
π
π
π
π
π
πµπµπµµ
π
π
π
π
π
π
ππ
tsen
tt
tsen
t2-2t2ty
ss
e
s
s2-2
ss
2
sY
DC1,B,A:quetenemossistemaelsolviendo
B
A
DB
CA
BsAsDBsCA
sDCssBsAs
s
DCs
s
B
s
A
ss
D2-2C-1,B,2A:quetenemossistemaelsolviendo
B
A
DB
CA
BsAsDBsCAss
sDCssBsAsss
s
DCs
s
B
s
A
ss
ss
:parcialesfraccionesEncuentro
ss
e
ss
ss
sY
s
e
s
ss
sYs
s
e
ss
sYssYs
emplazando
s
e
ss
thL
ttLttLtttLthL
sYyL
ssYsysysYsyL
:necesariasdastransformalasEncuentro
thLyLyL
LaplacededatransformalaAplicando
s
s
s
s
s

22. Ecuaciones Diferenciales – II Parcial
Roberto Cabrera V.
- 22 -
• Determinar la solución del siguiente problema de valor inicial:
Primero se expresa en términos de funciones escalones de la siguiente manera:
Se reemplaza en la ecuación diferencial y se procede a resolverla usando transformadas de Laplace:
Despejando Y(S):
Encontrando la solución mediante transformada inversa de Laplace:
i)
ii)
iii) Entonces
iv)

23. Ecuaciones Diferenciales – II Parcial
Roberto Cabrera V.
- 23 -
Encuentre la solución de la siguiente ecuación integro - diferencial:
• ( )t
t
tyduutyuy
t
δ−+=−∫ 6
)(2)()(
3
0
{ } ( ){ }
{ }
{ }
( ){ }
ttty
s
sY
ttty
s
sY
s
ss
s
s
sY
s
s
sYsY
s
sYsY
emplazando
tL
ss
t
L
sYtyL
sYtytyLduutyuyL
:necesariasdastransformalasEncuentro
tL
t
LtyLduutyuyL
LaplacededatransformalaAplicando
t
t
−=→−=
+=→+=
+−
±
=







 −
−±
=
=






 −
+−
−+=
=
==






=
==








−
−






+=








−
∫
∫
)()(
1
1)(
)()(
1
1)(
2
444
2
2
1
442
)(
0
1
)(2)(
1
1
)(2)(
:Re
1
1
6
!3
6
)()(
)()(*)()()(
6
)(2)()(
222
121
4
44
4
4
2,1
4
4
2
4
2
44
3
2
0
3
0
δ
δ
δ
δ

24. Ecuaciones Diferenciales – II Parcial
Roberto Cabrera V.
- 24 -
Encuentre la solución de la siguiente ecuación diferencial de coeficientes variables:
• ( ) 2)0(',1)0(,02'21'' ===−−+ yyyytty
{ } ( ){ } { }
{ } { } [ ]
( ){ } { } { } ( ) [ ]
( ){ } ( ) ( ) ( )
{ }
( ) ( )( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
t
t
ety
KKey
Kety
s
K
sY
KssY
s
ds
sY
sY
ss
s
sY
sY
ssYsYss
ssYsYss
sYsssYss
sYsYsssYssYsYs
emplazando
sYyL
sYsssYssYsYssYytL
yssY
ds
d
yssYtyLyLytL
ssYsYsysysYs
ds
d
yL
ds
d
tyL
:necesariasdastransformalasEncuentro
yLytLtyL
LaplacededatransformalaAplicando
2
)0(2
2
2
2
22
)(
11)0(
)(
2
)(
)ln(2ln)(ln
2)(
)('
2)(
)('
)()('2
0)()('2
0)(222)('2
0)(21)(2)('21)(2)('
:Re
)(
1)(2)('2)(')(21)('21
)0()(2)0()('2''21
1)(2)(')0(')0()(''''
02'21''
=
=→==
=→
−
=
+−−=
−
−=
−−
=
=−−
=−−−
=−++−++−
=−−++++−−
=
−++=++−=−
−+−=−=−
+−−=−−−=−=
=−−+
∫ ∫

25. Ecuaciones Diferenciales – II Parcial
Roberto Cabrera V.
- 25 -
Encuentre la solución de la siguiente ecuación diferencial de coeficientes variables:
• ( ) 13'2'' −=++− tyytty
{ } ( ){ } { } {} {}
{ } { } [ ]
( ){ } { } { } [ ] ( )
( ){ } ( ) ( ) ( )
{ }
{} {}
( ) ( )( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( ) ( ) ( )( )
( )( ) { }
( )( ) ( )( )
( )( ) ( )( ) { }
( )( ){ } ( )( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )( ) tkduut
u
ek
tytkt
t
ek
ty
t
s
Ltg
t
ek
tfek
ss
k
Lttf
ss
sk
Lss
ds
d
LttfssLtf
tgtfsGsFL
s
ssL
s
ss
L
s
k
L
s
ss
L
s
k
s
ss
Lty
sYLty
s
k
s
ss
sY
ksskskssYs
ds
s
k
s
ds
ss
sks
sYs
ds
ss
sks
susYsu
seesu
ss
sks
sY
s
sY
s
sks
sYssYss
s
s
kksYsssYss
s
s
sYksYsssYkssYsYs
emplazando
s
s
ss
LtL
sYyL
ksYsssYssYsYkssYytL
yssYyssY
ds
d
yLtyLytL
kssYsYsysysYs
ds
d
yL
ds
d
tyL
:necesariasdastransformalasEncuentro
LtLyLytLtyL
LaplacededatransformalaAplicando
t ut
t
t
kk
k
k
kk
k
k
s
ds
s
2
0
1
2
1
2
1
1
1
11
113131
1
2
31
2
3
1
2
21
2
3
1
2
2
2
3
1
1
2
2
2
3
2
3
21
2
1
2
12
3
2
1
2ln2
2
3
2
1
2
2
1
211
2
211
2
22
11
1
22
13
)(*
13
)(
1
)(
13
)(13
1
)1(
3
)(
)1(
113
1ln)(1ln)(
)(*)()()(
1
1ln
1ln
1ln1ln
)(
)()(
1ln
)(
1ln1ln3ln)(
1
1
3
1
1
31
)(
1
31
)(
1
31
)(
2
)('
31
)(14)('1
1
2)(3122)('
1
)(32)(12)(')(2)('
:Re
111
1
)(
2)(12)(')(')()(2'2
)0()(2)0()('2''2
)(2)(')0(')0()(''''
13'2''
11
1
1
11
1
1
+−
+−
=→+
+−
=
=






=
+−
=→+−=











+
−
−=






−
−+
−=






−−=→−=
==






−=







 −






+







 −
=








+
−
=
=→+
−
=
+−=+−+=






−
+=







−
++−
=








−
++−
=
===
−
++−
=+
−−
=−−−−
−
=++++−−++−
−
=+−−+−−+−−
−
=−=−
=
−−+−=+−−=+
−+−−=+=+
+−−=−−−=−=
−=++−
∫
∫∫
∫
−
−
−−−
−−−
−−−
−
∫

26. Ecuaciones Diferenciales – II Parcial
Roberto Cabrera V.
- 26 -
Método de eliminación
1) Usando el método de eliminación, resuelva el siguiente sistema de ecuaciones
diferenciales:




=+++
=−−+ −
)2(eyx2'y'x
)1(eyx'y'x2
t
t
Restando: (1)-(2);
Se obtiene:
tt
eeyxx −=−− −
23'
Despejando y :
22
3
2
' tt
eexx
y
−
−
+−=
Reemplazando y en (1):
2
e
2
e
)sentCtcosC(
2
3
tcos
2
C
sent
2
C
y
tcosCsentC'x
2
e
2
e
2
x3
2
'x
y
sentCtcosCx
ir
01r
0]1r[e
exsi
0x''x0
2
x
2
''x
e
2
e
2
e
2
x3
2
'x
x
2
e
2
e
2
'x3
2
''x
'x2
e
2
e
2
e
2
x3
2
'x
x
2
e
2
e
2
x3
2
'x
'x2
tt
21
21
21
tt
21
2,1
2
2rt
rt
t
tttt
t
tt'tt
−
−
−
−−
−
−−
−++−+−=⇒
+−=
−+−=⇒
+=⇒
±=⇒
=+⇒
=+⇒
=⇒
=+⇒=+⇒
=+−+−−++−+⇒
=





−+−−−





−+−+
tsenh
2
ee
;
2
e
2
e
tcosksentky
2
e
2
e
tcos
2
C3
2
C
sent
2
C3
2
C
y
tttt
21
tt
K
12
K
21
21
=
−
−++=⇒
−+





−+





−−=
−−
−
Pero
443442144 344 21
Solución:



++=
+=
senhttcosksentky
sentCtcosCx
21
21

27. Ecuaciones Diferenciales – II Parcial
Roberto Cabrera V.
- 27 -
2) Utilice el método de eliminación para encontrar la solución general del sistema lineal
dado, donde x´, y´, z´ denotan diferenciación con respecto a t.
1
2
De la primera ecuación despejamos y;
Reemplazando y en la segunda ecuación:
Multiplicando la ecuación por 3;
Obtenemos una ecuación diferencial de coeficientes constantes:
Resolviendo la ecuación 3 con x=ert
;
Ecuación Característica
Ahora encontremos y:
( ) ( )'
3
1
3
2
xxy −=
tt
eCeCx −
+= 2
4
1
tt
eCeCx −
−= 2
4
14'
x2y
dt
dy
y3x2
dt
dx
−−−−====
−−−−====
3
´x
x
3
2
y
dt
dx
3
1
)x2(
3
1
y
−−−−====⇒⇒⇒⇒
−−−−====⇒⇒⇒⇒
x2
3
´x
x
3
2
3
´´x
´x
3
2
3
´´x
´x
3
2
dt
dy
−−−−−−−−====−−−−⇒⇒⇒⇒
−−−−====⇒⇒⇒⇒
0x4´x3´´x
x6´xx2´´x´x2
====−−−−−−−−⇒⇒⇒⇒
−−−−−−−−====−−−−⇒⇒⇒⇒
[[[[ ]]]] 04r3re 2rt
====−−−−−−−−⇒⇒⇒⇒
;ececx
ex,ex
1r,4r
0)1r)(4r(
04r3r
t
2
t4
1
t
2
t4
1
21
2
−−−−
−−−−
++++====⇒⇒⇒⇒
========⇒⇒⇒⇒
−−−−========⇒⇒⇒⇒
====++++−−−−
====−−−−−−−−⇒⇒⇒⇒

28. Ecuaciones Diferenciales – II Parcial
Roberto Cabrera V.
- 28 -
⇒ Reemplazando x, y x’ en y:
⇒ [ ] [ ]tttt
eCeCeCeCy −−
−−+= 2
4
12
4
1 4
3
1
3
2
tt
eCeCy −
+−= 2
4
1
3
2
* Encuentre la solución particular del problema anterior dado:
x (0)=8, y (0)=3
Del ejercicio anterior:
tt
eCeCx −
+= 2
4
1
tt
eCeCy −
+−= 2
4
1
3
2
Como x (0)=8, entonces:
8= C1+C2 1
Como y (0)=3, entonces:
21
3
2
3 CC +−= 2
Con 1 y 2 se obtiene un sistema de 2 ecuaciones con dos incógnitas; resolviendo el
sistema se obtiene:
C2=5, C1=3
⇒ La solución particular es: tt
eex −
+= 53 4
tt
eey −
+−= 52 4

29. Ecuaciones Diferenciales – II Parcial
Roberto Cabrera V.
- 29 -
Método de los operadores diferenciales
1) Usando el método de las operaciones diferenciales resuelva el siguiente sistema de
ecuaciones diferenciales:



=+++−
=+++−
t
2
2
1
2
2
2
1
2
ex)4D4D(x)D2D(
tx)D2D(x)4D4D(



=++−
=++−
t
2
2
1
21
2
ex)2D(x)2D(D
tx)2D(Dx)2D(
Encontrando )t(x1 usando la regla de Kramer se obtiene que:
( )[ ]
[ ]
( )( )
( )
[ ]
;cex''
;cebx'
;cebtax
:ular xión partico la solucEncontrand
;eCeC)t(x
;2r;04r
;04re
;e)t(x
;0)t(x4)t(''x
ogénea:homióno la solucEncontrand
;e
4
3
t1)t(x4)t(''x
;e
4
3
t1)t(x)4D(
;e3t44)t(x)4D(4
;
)4D(4
e3t44
)t(x
)4D(4
e3t44
)4D(4
e2t42e2
D4D)4D(
et212D
)t(x
D)2D)(2D()2D)(2D(
Det)2D(2D
)2D(D)2D(D)2D()2D(
e)2D(Dt)2D(
)2D()2D(D
)2D(D)2D(
)2D(e
)2D(Dt
)t(x
t
1p
t
1p
t
1p
1p
t
2
t2
1h1
2,1
2
2rt
rt
1
11
t
11
t
1
2
t
1
2
2
t
1
2
t
2
tt
222
t
1
2
t
22
t2
2
2
2t
1
=
+=
++=
+=
±==−
=−
=
=−
+−−=−
+−−=−
−+=−−
−−
−+
=
−−
−+
=
−−
−++−
=
−−−
−++
=
−−+−+
−++
=
−+−+−
+−+
=
+−
+−
+
+
=
−
( )
;e
4
3
t1ce3bt4a4
;e
4
3
t1cebta4ce
tt
ttt
+−−=−−−
+−−=++−
+−−=− :obtienese,e
4
3
t1(t)4x(t)''xendoReemplazan t
11

30. Ecuaciones Diferenciales – II Parcial
Roberto Cabrera V.
- 30 -
[ ] ( )
( )
( )
;
12
e
8
1
eCeC)t(x
;
12
e
8
1
x
;
8
1
a;
12
1
b
;a4be3
;bea4be
;be''x
;be'x
;beax
;eCeC)t(x
;2r
;
2
1
4
e
)t(x4)t(''x
;
2
1
4
e
)t(x)4D(
;2e)t(x)4D(4
;
)4D(4
2e
)4D(4
2e2e
)4D(4
1e)2D(
)t(x
)4D(4
1e2e)2D(
)4D(4
Dte)2D()2D(
)4D(4
t)2D(De)2D(
)2D()2D(D
)2D(D)2D(
e)2D(D
t)2D(
)t(x
:),t(
t
t2
2
t2
12
t
p2
t
tt
t
p2
t
p2
t
p2
t2
2
t2
1h2
2,1
t
22
t
2
2
t
2
2
2
t
2
tt
2
t
2
2
tt
2
t
2
t2
2
2
t
2
2
+++=
+=
==
−−=−−
−−=+−
−−=−
=
=
+=
+=
±=
−−=−
−−=−
+=−−
−−
+
=
−−
++−
=
−−
−−−
=
−−
−−−
=
−−
−−−
=
−−
−−−
=
+−
+−
−
−
=
−
−
2
1
4
e
2
1
4
e
:
2
1
4
e
(t)4x(t)''xenxdoReemplazan
:particularsoluciónlaoEncontrand
KramerdereglalausandoxsoluciónlaencontraraprocedeseAhora
t
t
t
222p
2
La solución es:






+++=
−+++=
−
−
;
12
e
8
1
eCeC)t(x
;e
4
1
t
4
1
4
1
eCeC
t
t2
2
t2
12
tt
2
t2
1(t)x1

31. Ecuaciones Diferenciales – II Parcial
Roberto Cabrera V.
- 31 -
2.-) Usando el método de los operadores diferenciales resuelva el sistema:



=++−
−=−++
)2(tcos4)x)(2D()x)(3D(
)1(sent)x)(1D()x)(2D(
21
21
( )
( ) ( )
;senttcosCex
;senttcosx
;9AB8
;7BA8
;sent7tcos9tcosAB8sentBA8
;0BsenttcosAtcosBAsent8
;0xx8
;tcosBAsent'x
;BsenttcosAx
;Cex
;
8
1
r
;01r8
;re'x
;ex
;0xx8
;sent7tcos9xx8
tcos9sent7xx8
tcos9sent7x)1D8(
tcos8tsentsent3tcosx)4D4D(x)3D4D(
cot)4)(2D(x)2D(x)3D)(2D(
)sent)(3D(x)3D)(1D(x)3D)(2D(
)2D(por2)3D(por1Multiplico
t
8
1
2
p2
2
'
2
2
2
t
8
1
2
rt
2
rt
2
2
'
2
2
'
2
2
'
2
2
2
2
2
2
2
2
1
21
++=
+=
==



=+
−=+−
−=+++−
=+++−
=+
+−=
+=
=
−=
=+
=
=
=+
−=+
−=−−
−=−−
−++−=++−+−
+=++−+
−
−−=−−+−+
+∧−
−
−
:esparticularsoluciónLa
1,B1,A
:sistemaeloResolviend

32. Ecuaciones Diferenciales – II Parcial
Roberto Cabrera V.
- 32 -
Ahora procedemos a encontrar 1x del sistema de ecuaciones:





++=
+−=
+−=
−−







++=
−−=
−−=−
=++−
−=−++



=++−
−=−++
−
−
−
−
;senttcosCex
;sent2tcosCe3x
;sent2tcosCe3x
t;cos4sentsenttcosCe3x
t;cos4sentx3x
;tcos4sentx3x5
tcos4x2'xx3'x
;sentx'xx2'x
)2(tcos4)x)(2D()x)(3D(
)1(sent)x)(1D()x)(2D(
t
8
1
2
t
8
1
1
t
8
1
1
t
8
1
1
21
21
2211
2211
21
21
:essistemadelsoluciónLa
:obtienese(2),y(1)Restando
(2)
(1)

33. Ecuaciones Diferenciales – II Parcial
Roberto Cabrera V.
- 33 -
Método de Laplace
1) Utilice el método de las transformadas de Laplace para resolver el problema de valor
inicial dado. Aquí x’, y’, etc. denotan diferenciación con respecto a t.



=−−
=+−
;cos'4
;2'3'
tyyx
sentyxx
;0)0(
;0)0(
=
=
y
x
Aplicando transformada de Laplace a las dos ecuaciones:






+
=−−−
+
=+−−
;
1
)()0()()(4
;
1
1
)(2)(3)0()(5
2
2
s
s
syyssysx
s
sysxxsx






+
=+−
+
=+−
−
−
1
)()1()(4
1
1
)(2)()3(
)3(
)4(
2
2
s
s
syssx
s
sysxs
s
Sumo 1 y 2, entonces se obtiene:
[ ]
1
43
)()1)(3(8 2
2
+
−−
=+−+−
s
ss
syss
[ ] 1
)1)(4(
)(52 2
2
+
+−
=+−−
s
ss
syss




+
+
+
+−
+
−=
++−
−−
−=⇒
152)1)(52(
)43(
)( 2222
2
s
DCs
ss
BAs
sss
ss
sy
)1)(52(
)5()52()2())((
)1)(52(
43
22
23
22
2
++−
+++−+−+++
=
++−
−−
⇒
sss
DBsCDAsCDBsCA
sss
ss







−=+
−=+−
=−+
=+
⇒
4D5B
3C5D2A
1C2DB
0CA
Resolviendo el sistema:







−=
−=
−=
=
;10/7D
;10/11C
;2/1B
;10/11A










+
−−
+
+−
−
−=
1s
10
7
s
10
11
5s2s
2
1
s
10
11
)s(y 22






+
−
=+−−−
+
−=−−−
≈
;
1
)3(
)()1)(3()()3(4
;
1
4
)(8)()3)(4(
2
2
s
ss
sysssxs
s
sysxs
L [ ]'x -3 L [ ]x +2 L [ ]y = L [ ]sent
L [ ]x4 - L [ ]'y - L [ ]y = L [ ]tcos
1
2
1
2

34. Ecuaciones Diferenciales – II Parcial
Roberto Cabrera V.
- 34 -
( )[ ] 1s
10
7
s
10
11
41s
s
10
11
2
1
)s(y 22
+
+
+
+−
−
=
( )[ ] ( )[ ] 1s
1
10
7
1s
s
10
11
41s
s
10
11
41s
1
2
1
)s(y 2222
+
⋅+
+
⋅+
+−
⋅−
+−
⋅=
( )[ ]
( )
( )[ ] 1s
1
10
7
1s
s
10
11
41s
11s
10
11
41s
2
4
1
)s(y 2222
+
⋅+
+
⋅+
+−
+−
⋅−
+−
⋅=
( )[ ]
( )
( )[ ] ( )[ ] 1s
1
10
7
1s
s
10
11
41s
2
20
11
41s
1s
10
11
41s
2
4
1
)s(y 22222
+
⋅+
+
⋅+
+−
⋅−
+−
−
⋅−
+−
⋅=
Aplicando transformada inversa de Laplace a y(s):
[ ] )()(1
tysyL =−
;
( )[ ]
( )
( )[ ] ( )[ ] 



+
+



+
+





+−
−





+−
−
−





+−
= −−−−−
1s
1
L
10
7
1s
s
L
10
11
41s
2
L
20
11
41s
1s
L
10
11
41s
2
L
4
1
)t(y 2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
( ) ( ) ( ) ( ) ( )tsen
10
7
tcos
10
11
t2sene
20
11
t2cose
10
11
t2sene
4
1
)t(y ttt
++−−= −−−
( ) ( ) ( ) ( )tsen
10
7
tcos
10
11
t2cose
10
11
t2sene
10
3
)t(y tt
++−−= −−
De la ecuación 4x-y’-y=cos(t); podemos encontrar x(t):
4
)tcos(yy
)t(x
++′
=
( ) ( ) ( ) ( )tcos
10
7
)t(sen
10
11
]t2cose)t2(sene2[
10
11
]t2senet2cose[
10
3
)t(y tttt
+−−−−−−=′ −−−−
( ) ( )tcos
40
7
)t(sen
40
11
t2sene
8
5
)t2cos(e
5
1
4
)t(y tt
+−+=
′ −−
( ) ( )tsen
40
7
)tcos(
40
11
t2cose
40
11
)t2(sene
40
3
4
)t(y tt
++−−= −−
La solución:
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )





++−−=
+−+−=
−−
−−
tsen
10
7
tcos
10
11
t2cose
10
11
t2sene
10
3
)t(y
tcos
10
7
)t(sen
10
1
t2sene
20
11
)t2cos(e
40
3
)t(x
tt
tt

35. Ecuaciones Diferenciales – II Parcial
Roberto Cabrera V.
- 35 -
2) Resolver



=+−
=++ −
t15Y3'X4''Y
e15X3'Y''X t
con las condiciones X(0)=0, X’(0)=0, Y(0)=0, Y’(0)=0.
Aplicando la transformada de Laplace a ambas ecuaciones:
[ ] [ ]
[ ] [ ]
[ ] [ ]
[ ] [ ]
[ ] [ ]
[ ] [ ]
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )( )
( )
( )( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( ) 





+
−





+
=





+
−
=





+
−=


−






+
+





+
−
+


−
=





+
+
+
−
+
−
=






+
+
+
−
+
−
=
=====






+
+
+
+
+
+=
++
−−
=
++
−−
=
+
−−
=
+
−
−
=
++
−
+
+−
=
+−
−
+
−
=
−−
−
−
+
=






=−+−
+
=+−






=−−
+
=−+






=−−−−−
+
=−−+−−



=−−
=−+ −
222222
2
222222
222
22222
2
22
2
22
2
2224222
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
t
1s
1
1s
s
2
1s
1s2
;tcos
1s
s
;1
s
1
;
1s
s
15
1s
1s2
15
s
1
15
1s
s
1s
1s2
s
1
15
1s
s
1s
1s2
s
1
15)S(X
1s
EDs
1s
CBs
s
A
15
1s1ss
1ss15
1s1ss
15ss15
)S(X
1s
s
15ss15
1s
s
15
1
1s15
1s2s
s
15
1s
)1s(1s15
s41s
s
s15
1s
1s15
1ss4
s1s
1s
s
15
s
1s
15
)S(X
;
s
15
)s(Y1s)S(sX4
;
1s
15
)S(sY)s(X1s
;
s
15
)S(Y)S(sX4)s(Ys
;
1s
15
)S(X)S(sY)s(Xs
;
s
15
)S(Y)0(x)S(sX4)0('y)0(sy)s(Ys
;
1s
15
)S(X)0(y)S(sY)0('x)0(sx)s(Xs
t15y'x4''y
e15x'y''x
1-1-1-
1-
1-
1-1-1-1-
£££
£
£
££££x(t)
:X(S)ainversaLaplacededatransformaaplicandox(t)Obteniendo
:comoexpresamosloX(s)tantoloPor
0E1,D-1,C2,B-1,A
:sonescoeficientlosdevaloreslosqueobtieneseparcialesfraccionesdesumalacomoX(s)Expresando
:KramerdereglalaAplicando
££
££

36. Ecuaciones Diferenciales – II Parcial
Roberto Cabrera V.
- 36 -
( ) ( )( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )( ) ( )
( )
( )
( )
( ) ( )
[ ]
tcos15tcost5.7sent5.7tsent1515)t(x
tcos15
2
tcost
2
sent
tsent1515
1s
s
15
1s
1s2
15
s
1
15
2
tcost
2
sent
tsent
2
tcostsent
2
tsent
2
1s
1s2
2
tcostsent
1s
1
2
tcostsent
4
)t(sen
2
tcost
4
)t(sen
2
tcosu
4
)tu2(sen
1s
1
;du
2
)tcos()tu2cos(
du)ut(sen)u(sensent*sent
1s1s
1
1s
1
;
2
tsent
tcos*sent
1s
s
;
2
tsent
4
)tcos(
0
4
)tcos(
2
)t(tsen
tcos*sent
4
)tu2cos(
2
)u(usen
du
2
)tu2(sen)t(sen
du)utcos()u(sentcos*sent
;tcos*sent
1s1s
s
1s
s
222
22
22
t
0
22
t
0
t
02222
22
t
0
t
0
t
0
t
0
2222
++−+−=
+



+−+−=






+
+





+
−
+


−
=
+−=


 −
−



=





+
−
−
=





+
−
=
−
−−=



−
−
=





+



 −−
=−==





++
=





+
==





+
=


 −
+−−=



 −
−=


 −+
=−=
=





++
=





+
∫∫
∫∫
x(t)
£££x(t)
L
L
L
£L
L
£L
1-1-1-
1-
1-
1-
1-1-
1-
1-1-
Ahora encontremos y(t) usando una ecuación del sistema:
( )
( )



+−−−+−=
++−+−=
==
+−−−−−+−=
+−−−=
+−−−=
++−+−−++−+=
−−+−=
−=
−+−−+=
++−+−=
−−=
=++
−
−
−
−
−
−
−
∫
;45tcos45sent90tsent15tcost30e15)t(y
tcos15tcost5.7sent5.7tsent1515)t(x
,0)0(y
;Ctcos30sent60tcos15tsent15sent30tcost30e15y
sent30tcos60tcost15tsent30e15y
;sent30tcos60tcost15tsent30e15'y
;tcos15tcost5.7sent5.7tsent15153sent5.7tcost5.7tcos15tsent15e15'y
;sent5.7tcost5.7tcos15tsent15''x
;tsent5.7tcost15'x
;sent15tcos5.7tsent5.7tcos5.7sent15tcost15'x
;tcos15tcost5.7sent5.7tsent1515x
;x3''xe15'y
e15X3'Y''X
t
t
t
t
t
t
t
:essolucionLa
45;Centonces

37. Ecuaciones Diferenciales – II Parcial
Roberto Cabrera V.
- 37 -
Método de los valores y vectores propios
1) Resuelva por el método de los valores y vectores propios el siguiente sistema:
zyz
zyxy
zyxx
3'
5'
4'
−=
−+=
++−=




















−
−
−
=










z
y
x
310
151
114
'z
'y
'x










−
−
−
=
310
151
114
A det(A-λI)=0
[ ] [ ] 01)3(11)3)(5()4(
310
151
114
)IAdet( =−λ−−−+λ−−λ−λ−−=
λ−−
−λ−
λ−−
=λ−
0)3)(5)(4( =+−+ λλλ
41 −=λ 52 =λ 33 −=λ
4−=λ










=




















−
0
0
0
110
191
110
z
y
x



=−+
=+
09
0
zyx
zy ….
zx
zy
10=
−=










−=
1
1
10
1υ
5=λ










=




















−
−
−
0
0
0
810
101
119
z
y
x



=−
=+−
0
08
zx
zy
…..
zx
zy
=
= 8










=
1
8
1
2υ
3−=λ










=




















−
−
0
0
0
010
181
111
z
y
x



=−
=++−
0
0
zx
zyx
z
1
1
10
z
z
z10
z
y
x










−⇒










−⇒










z
1
8
1
z
z8
z
z
y
x










⇒










⇒










z
1
0
1
z
0
z
z
y
x










⇒










⇒











38. Ecuaciones Diferenciales – II Parcial
Roberto Cabrera V.
- 38 -
ttt
ececectx 321
332211)( λλλ
υυυ ++=
ttt
ececectx 3
3
5
2
4
1
1
0
1
1
8
1
1
1
10
)( −−










+










+










−
2) Resolver el sistema
X
012
011
203
'X










−−
−
−
=
0
12
011
203
=










−−−
−−
−−
λ
λ
λ
0)]1(21[2)]1()[3( =+−−++−− λλλλ
04634
0)23(2)1)()(3(
23
=−−−−−
=−−+++−
λλλλ
λλλλ
0674 23
=+++ λλλ
21 −=λ i212 +−=λ i213 −−=λ
Se procede a encontrar el vector propio asociado al siguiente valor:
* 21 −=λ
≈










−−
−
0
0
0
212
011
201
≈










−−
−
0
0
0
210
210
201









−
0
0
0
000
210
201
y= -2z
x= 2z










−=
1
2
2
1v
Se procede a encontrar el vector propio asociado al siguiente valor i213 −−=λ :
≈










+−−
−−
0
0
0
2130
0i21
)i22(206
≈










+−−
−−
0
0
0
2112
0i21
)i22(206
≈










+−−
+−
0
0
0
i2112
0i21
20i22










=υ
1
0
1
3

39. Ecuaciones Diferenciales – II Parcial
Roberto Cabrera V.
- 39 -
( )
( )
.alesRez
;zi21y3
;zi224x6
∈
+−=
+=
Entonces:
.
Entonces podemos concluir que el vector propio complejo asociado a este valor de
i213 −−=λ es:
( )
( ) ,i
0
2
2
3
1
2
3
i21
i22
z
y
x
v
,
z
z
3
i2
3
1
z
3
i2
3
2
z
y
x
v
ba
321321










+










−=










+−
+
=










=
=




























+−






+
=










=
:3zsiv,deformalatengaquepropiovectorunusarPodemos
Entonces procedemos a encontrar la primera solución l.i. con 21 −=λ :










−= −
1
2
2
ex t2
1
Ahora procedemos a encontrar la segunda y tercera solución l.i. con i213 −−=λ , tiene la
siguiente forma iβ+α=λ , por lo tanto las otras dos soluciones son:
( )( ) ( )( )
( )( ) ( )( );btseneatcosex
;btcoseatsenex
tt
3
tt
2
β−β=
β+β=
αα
αα
( ) ( ) ( ) ( ) ;
0
2
2
t2sene
3
1
2
t2cose
0
2
2
t2sene
3
1
2
t2cosex tttt
2










+










−=










−−










−−= −−−−
.alesRez
;z
3
i2
3
1
y
;z
3
i2
3
2
x
∈






+−=






+=

40. Ecuaciones Diferenciales – II Parcial
Roberto Cabrera V.
- 40 -
( ) ( ) ( ) ( ) ;
0
2
2
t2cose
3
1
2
t2sene
0
2
2
t2cose
3
1
2
t2senex tttt
3










+










−−=










−+










−−= −−−−
Por lo tanto la solución general es:
( ) ( ) ( ) ( ) ;
0
2
2
t2cose
3
1
2
t2seneC
0
2
2
t2sene
3
1
2
t2coseC
1
2
2
eCx
;xCxCxCx
tt
3
tt
2
t2
1
332211




















+










−−+




















+










−+










−=
++=
−−−−−

41. Ecuaciones Diferenciales – II Parcial
Roberto Cabrera V.
- 41 -
Aplicaciones de Sistema: Masa – Resorte – Amortiguador
1) Una masa de 1 kilogramo sujeta a un resorte con una constante k = 9 m/seg
se suelta del reposo 1 metro debajo de la posición de equilibrio del sistema masa-
resorte, y empieza a vibrar. Después de 2/π segundos, la masa es golpeada hacia
arriba por un martillo que ejerce un impulso de 3 newtons.
a) Determine una función que defina la posición ‘’y’’ de la masa en cualquier instante
‘’t’’.
b) Halle la posición de la masa en los tiempos t= 4/π segundos y t=π segundos.
Como no hay amortiguador C=0;
En t = 2/π segundos hay un impulso hacia arriba de 3 Newtons, por lo tanto hay una perturbación





 π
−δ−=
2
t3)t(f , el signo negativo se debe a que tomamos el eje de referencia positivo hacia abajo.
La ecuación diferencial que representa al sistema es:
;
2
t3Ky9
dt
yd
2
2





 π
−δ−=+
Para resolver esta ecuación diferencial aplicamos la transformada de Laplace a ambos lados de la ecuación:
;e3)s(y9)0('y)0(sy)s(Ys
;
2
tδ3y9
dt
yd
s
22
2
2
π
−
−=+−−












−−=





+ LL
La posición inicial del sistema es y(0)=1 metro, y la velocidad inicial es y’(0)=0:
( )
;
2
tu
2
t3sent3cos)t(y
;
9s
e3
9s
s
9s
e3
9s
s
)t(y
;
9s
e3
9s
s
9s
e3s
)s(y
;e3s)s(y9s
;e3)s(y9s)s(ys
2
s
2
22
s
2
2
2
s
2
22
2
s
22
s
2
s
2





 π
−




 π
−−=










+
−



+
=










+
−
+
=
+
−
+
=
+
−
=
−=+
−=+−
π
−
π
−
π
−
π
−
π
−
π
−
1-1-1-
LLL
)t(fKy
dt
dy
C
dt
yd
m 2
2
=++

42. Ecuaciones Diferenciales – II Parcial
Roberto Cabrera V.
- 42 -
a)






π
≥




 π
−−
π
<
=
2
t
2
t3sent3cos
2
t;t3cos
)t(y
b)
m0)1(1)2/(3sen)3cos()(y
,m
2
2
)4/3cos()4/(y
=−−−=π−π−π=π
−=π=π
2) Un sistema vibratorio compuesto de un resorte de constante m/N4k = , un
amortiguador de m/Ns6c = , tiene adherido una bola metálica de 20 Newton de peso.
Determine la forma en que vibra la masa si inicialmente esta en la posición de equilibrio
y sin velocidad inicial, y si desde el tiempo t = 0 actúa una fuerza perturbadora definida
así:
[ )
( ]


∈−
∈
=
4,2t;t100400
2,0t;t100
)t(f
La ecuación diferencial que representa al sistema es:
);t(fKy
dt
dy
c
dt
yd
m 2
2
=++
Asumiendo que la gravedad es 2
s/m10 :
2
10
20
g
w
m === Kg.
);t(fy4
dt
dy
6
dt
yd
2 2
2
=++
Antes de resolver la ecuación diferencial aplicando la transformada de Laplace, se recomienda expresar la
función f(t) en términos de de funciones escalones multiplicadas por las funciones que se encuentran en cada
uno de los intervalos mostrados en la regla de correspondencia:
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) );4t(u4t100)2t(u2t200)t(tu100)t(f
);4t(u400)4t(u4t100)4t(u400)2t(u400)2t(u400)2t(u2t200)t(tu100)t(f
);4t(u44t100)4t(u400)2t(u400)2t(u22t200)t(tu100)t(f
);4t(tu100)4t(u400)2t(u400)2t(ut200)t(tu100)t(f
);4t(tu100)4t(u400)2t(tu100)2t(u400)2t(ut100)t(tu100)t(f
);4t(ut100400)2t(ut100400)2t(tu100)t(tu100)t(f
−−+−−−=
−+−−+−−−+−−−−−=
−+−+−−−+−+−−=
−+−−−+−−=
−+−−−−−+−−=
−−−−−+−−=
La ecuación diferencial queda expresada de la siguiente forma:
( ) ( ) );4t(u4t100)2t(u2t200)t(tu100y4
dt
dy
6
dt
yd
2 2
2
−−+−−−=++

43. Ecuaciones Diferenciales – II Parcial
Roberto Cabrera V.
- 43 -
Ahora se puede proceder a resolver la ecuación diferencial mediante la transformada de Laplace:
( ) ( )[ ]
( ) ( )[ ];)4t(u4t50)2t(u2t100)t(tu50y2
dt
dy
3
dt
yd
;)4t(u4t100)2t(u2t200)t(tu100y4
dt
dy
6
dt
yd
2
2
2
2
2
−−+−−−=





++
−−+−−−=





++
LL
LL
La posición inicial del sistema es y(0)=0 metro, y la velocidad inicial es y’(0)=0:
[ ]
[ ]
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) 





++
=
++
+
++
−
++
=
++
+
++
−
++
=
+−=++
+−=++
+−=+−+−−
−
−−
−−
−−
−−
−−
)1s(2ss
50
)t(y
;e
)1s(2ss
50
e
)1s(2ss
100
)1s(2ss
50
)s(y
;e
2s3ss
50
e
2s3ss
100
2s3ss
50
)s(y
;e
s
50
e
s
100
s
50
2s3s)s(y
;e
s
50
e
s
100
s
50
)s(y2)s(sy3)s(ys
e
s
50
e
s
100
s
50
)s(y2)0(y3)s(sy3)0('y)0(sy)s(ys
2
1
1
y
s4
2
y
s2
2
y
2
s4
22
s2
2222
s4
2
s2
22
2
s4
2
s2
22
2
s4
2
s2
22
2
)s(3)s(2)s(1
L
444 3444 21444 3444 2144 344 21
Para encontrar )t(y1 , se procede a usar el teorema de la integral de la transformada de Laplace:
Si
( )
)t(f
)1s(2s
501
=





++
−
L , entonces
( )
dud)(f
)1s(2ss
50
t
0
u
0
2
1
∫∫ θθ=





++
−
L
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )( )



=+
=+






++
+++
=





+
+
+
=





++
−−−
50B2A
0BA
;
1s2s
2s1sA
1s2s
A
)1s(2s
50 111 BB
LLL
Resolviendo el sistema de ecuaciones, se obtiene:
B = 501, A = -50;
( ) ( ) ( )
;50e50
2s
50
1s
50
)1s(2s
50 t2t11 −−−−
−=





+
−
+
=





++
LL
Entonces:
( )
( ) ;dud50e50d)(f
)1s(2ss
50
t
0
u
0
2
t
0
u
0
2
1
∫∫∫∫ θ−=θθ=





++
θ−θ−−
L

44. Ecuaciones Diferenciales – II Parcial
Roberto Cabrera V.
- 44 -
[ ] ( )[ ] [ ]
[ ] [ ] ( )[ ]
[ ] ;5.37t25e5.12e50du2525e50
;5.1250t25e5.12e50u25e5.12e50du2525e50
;du2525e50du255025e50du25e50
t2t
t
0
u2u
t2tt
0
u2u
t
0
u2u
t
0
u2u
t
0
u
0
u2u
t
0
u
0
2
−+−=++−
−−+−=+−=++−
++−=+−−+−=+−
−−−−
−−−−−−
−−−−θ−θ−
∫
∫
∫∫∫
Por lo tanto:
( )
;5.37t25e5.12e50)t(y
;5.37t25e5.12e50
)1s(2ss
50
t2t
1
t2t
2
1
−+−=
−+−=





++
−−
−−−
L
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )( )
( )
( ) ( )
( )( ) );4t(u5.374t25e5.12e50e
)1s(2ss
50
)t(y
);2t(u5.372t25e5.12e502e
)1s(2ss
50
2)t(y
e
)1s(2ss
50
2e
)1s(2ss
100
)t(y
4t24ts4
2
1
3
2t22ts2
2
1
2
s2
2
1s2
2
1
2
−−−+−=





++
=
−−−+−=





++
=






++
=





++
=
−−−−−−
−−−−−−
−−−−
L
L
LL
Ahora y(t) es:
( ) ( )
( )( )( )
( ) ( )
( )( )( );)4t(u5.374t25e5.12e50
)2t(u5.372t25e5.12e5025.37t25e5.12e50)t(y
);t(y)t(y)t(y)t(y
4t24t
2t22tt2t
321
−−−+−+
−−−+−+−+−=
++=
−−−−
−−−−−−
Se puede representar y(t) en como una función con regla de correspondencia:
( ) ( )
( ) ( )




≥−+++−++
<≤−++−+
<≤−+−
=
−−
−−
−−
;4t;350t100ee21e5.12ee21e50
;4t25.212t75e21e5.12e21e50
;2t05.37t25e5.12e50
)t(y
84t242t
4t22t
t2t

45. Ecuaciones Diferenciales – II Parcial
Roberto Cabrera V.
- 45 -
3) Una masa de 5kg se sujeta a un resorte suspendido del techo y ocasiona que el resorte se
estire 2 metros al llegar al reposo en equilibrio. Se eleva luego la masa 1 metro sobre el punto
de equilibrio y se le aplica una velocidad dirigida hacia arriba de 1/3 m/seg. Determine:
a) La ecuación del movimiento armónico simple de la masa.
b) La posición del objeto en t =
4
π
segundos
a)
Como no hay amortiguador C=0, además no existe fuerza perturbadora que se aplique al sistema por lo tanto
f(t)=0, la posición inicial de la masa es 1 metro sobre la posición de equilibrio por lo tanto si tomamos el eje de
referencia positivo hacia arriba la posición inicial de la masa sera 1 metro. Y la velocidad es 1/3 m/seg.
La ecuación diferencial que representa al sistema es:
;0ky
dt
yd
5 2
2
=+
Se debe encontrar el valor de k:
Como la masa es 5kg y si se asume la gravedad
2
m/seg10 , el peso será de 50 Newton, al sujetar el resorte la
masa se estira 2 metros, lo que me indica de manera implícita la constante del resorte que se la puede calcular
mediante:
lkF ∆= , donde F es el peso del objeto y l∆ la longitud del estiramiento. Despejando k se obtiene k=25N/m.
Para resolver esta ecuación diferencial aplicamos la transformada de Laplace a ambos lados de la ecuación:
[ ]
;0)s(y25)0('y5)0(sy5)s(Ys5
;0y25
dt
yd
5
2
2
2
=+−−
=





+ LL
)t(fKy
dt
dy
C
dt
yd
m 2
2
=++

46. Ecuaciones Diferenciales – II Parcial
Roberto Cabrera V.
- 46 -
La posición inicial del sistema es y(0)=1 metro, y la velocidad inicial es y’(0)=1/3:
Reemplazando las condiciones se obtiene:
( )
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )t5sen
15
1
t5cos)t(y
;
5s3
1
5s
s
5s3
1
5s
s
)t(y
;
5s3
1
5s
s
)s(y
3
1
s)s(y5s
3
5
s5)s(y25s5
;0)s(y25
3
5
s5)s(ys5
2222
22
2
2
2
+=






+
+





+
=





+
+
+
=
+
+
+
=
+=+
+=+
=+−−
1-1-1-
LLL
b)
La posición del objeto en 4/π segundos es:
15
28
15
16
2
2
15
1
1
2
2
2
2
15
1
2
2
4
y
4
5sen
15
1
4
5cos
4
y
−=





−=





+−=−−=




 π





 π
−




 π
=




 π

47. Ecuaciones Diferenciales – II Parcial
Roberto Cabrera V.
- 47 -
Aplicaciones de Circuitos Eléctricos
1) Un circuito LRC con R=12 ohmios, L=1, C=0.01 faradios se conecta a una batería
que transmite un voltaje de 20 voltios. Si el interruptor esta inicialmente apagado y se lo
enciende después de 10 segundos, permaneciendo conectada por un lapso de 20
segundos y luego desconectada definitivamente. Si inicialmente no hay carga en el
condensador y la corriente inicial es cero, determine:
a) La carga acumulada en el condensador en los tiempos t=5s, y t=20s.
b) La intensidad de corriente que atraviesa el circuito en los tiempos t=8s, y t=40s.
E
20
10 30 t
)(
1
''' tQ
C
RQLQ ε=++ =20u(t-10)-20u(t-30)
)]t([]Q
C
1
[]'RQ[]''LQ[ ε=++ llll





 −
=++
−−
s
ee
sQssQsQs
ss 3010
2
20)(100)(12)(






−=++
−−
s
e
s
e
sQss
ss 3010
2
20)()10012(






++
−
++
=
−−
)10012()10012(
20)( 2
30
2
10
sss
e
sss
e
sQ
ss

48. Ecuaciones Diferenciales – II Parcial
Roberto Cabrera V.
- 48 -
100
12
100
1
100
1
110012
10012
22
2
−=
−=
=
=++++⇒
++
+
+
C
B
A
CsBsAAsAs
ss
CBs
s
A






++
+
−
10012
12
100
1100
1
2
ss
s
s












++
−
++
+
−−





++
−
++
+
−= −
64)6(
6
64)6(
61
64)6(
6
64)6(
61
5
1
)( 22
30
22
10
ss
s
s
e
ss
s
s
esQ ss
[ ])()( 1
sQtQ −
= l
)t(U)30t(8sene
4
3
)30t(8cose1
5
1
)t(U)10t(8sene
4
3
)10t(8cose1
5
1
)t(Q
30
)30t(6)30t(6
10
)10t(6)10t(6






−−−−−












−−−−=
−−−−
−−−−
Cuando t=5s
0)5( =Q Condensador descargado
Cuando t=20s
)10(8
20
3
)10(8cos
5
1
5
1
)( )10(6)10(6
−−−−= −−−−
tsenetetQ tt
80
20
3
80cos
5
1
5
1
)20( 6060
seneeQ −−
−−=
)993.0(
20
3
)110.0(
5
1
5
1
)20( 6060
−−−−= −−
eeQ
coulombsxQ 25
1008.2)20( −
=

49. Ecuaciones Diferenciales – II Parcial
Roberto Cabrera V.
- 49 -
2) Un circuito LRC con R=150 ohmios, L=1 Henrio, C=0.0002 faradios en t=0 se le
aplica un voltaje que crece linealmente de 0 a 100 voltios, durante 10 segundos, para
luego cesar por tiempo indefinido. Si inicialmente no hay carga en el condensador y la
corriente inicial es cero, determine:
a) La carga en cualquier instante de tiempo
b) La corriente del circuito en t=20s.
( )
( )
4
150 0 0
1 ' 0 0
2 10
R r Q
L H Q
C F−
= =
= =
= ×
( )
( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
0 10
0 10 10 10
0 10 10
'' ' 1/
'' 150 ' 5000 10
'' 150 ' 5000 10 10 100 100
'' 150 ' 5000 10 10 10 100
LQ RQ C Q V t
Q Q Q t t t
Q Q Q t t t t t t
Q Q Q t t t t t
µ µ
µ µ µ µ
µ µ µ
+ + =
+ + = −
+ + = − + −
+ + = − − −
Encontrando la transformada:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )( ) ( )
10 10
2
2 2
2 10 10
2 2
10 10
2 2
10 10 100
0 ' 0 150 150 0 5000
10 10 100
150 5000
10 10 100
50 100
s s
s s
s s
e e
s Q s sQ Q s Q s Q Q s
s s s
s s Q s e e
s s s
s s Q s e e
s s s
− −
− −
− −
− − + − + = − −
+ + = − −
+ + = − −
( )( )2 2
1/500
3/5000010
1/1250050 100 50 100
1/50000
A
BA B C D
Cs s s s s s s
D
=
 = −
= + + + ⇒ 
=+ + + + 
 = −
V(t)
100
0 10 t

50. Ecuaciones Diferenciales – II Parcial
Roberto Cabrera V.
- 50 -
Q(20segundos)=0
( )
( )Q t
i t
t
∂
=
∂
i(20segundos)=0

51. Ecuaciones Diferenciales – II Parcial
Roberto Cabrera V.
- 51 -
Series
De Fourier
Contenido:
Definición de la serie de Fourier
Serie de Fourier de una función par.
Serie de Fourier de una función impar.
Convergencia de una serie de Fourier.
Extensiones pares e impares periódicas de una serie de
Fourier

52. Ecuaciones Diferenciales – II Parcial
Roberto Cabrera V.
- 52 -
Serie de Fourier de una función f(x)
Definición: Sea f una función continua por segmentos en el intervalo de [[[[ ]]]]p,p−−−− la serie de
Fourier de f es la serie trigonométrica:
∑∑∑∑
∞∞∞∞
====












++++





++++====
1
0
2 n
nn
p
xn
senb
p
xn
cosa
a
)x(f
ππππππππ
Donde:
.n,....,,,n,Nn
dx
p
xn
sen)x(f
p
b
dx
p
xn
cos)x(f
p
a
dx)x(f
p
a
p
p
n
p
p
n
p
p
321
1
1
1
0
====∈∈∈∈∀∀∀∀






====






====
====
∫∫∫∫
∫∫∫∫
∫∫∫∫
−−−−
−−−−
−−−−
ππππ
ππππ
Series de Fourier cuando f(x) es par
Si la función f(x) es una función par se dice que:
∑
∫
∫
∞
=












+=∴
=∈∀
=






=
=
1
0
0
0
0
2
321
0
2
2
n
n
n
p
n
p
p
xn
cosa
a
)x(f
.n,....,,,n,Nn
;b
dx
p
xn
cos)x(f
p
a
dx)x(f
p
a
ππππ
ππππ
Series de Fourier cuando f(x) es impar
Si la función f(x) es una función impar se dice que:
∑∑∑∑
∫∫∫∫
∞∞∞∞
====












====∴∴∴∴
====∈∈∈∈∀∀∀∀






====
====
====
1
0
0
321
2
0
0
n
n
p
n
n
p
xn
senb)x(f
.n,....,,,n,Nn
;dx
p
xn
sen)x(f
p
b
a
a
ππππ
ππππ

53. Ecuaciones Diferenciales – II Parcial
Roberto Cabrera V.
- 53 -
1) Exprese la función f definida por



<<<<<<<<
<<<<<<<<
====
1x0,x
0x1-,
)x(f
1
como un desarrollo en series de
Fourier.
∑∑∑∑
∞∞∞∞
====












++++





++++====
1
0
2 n
nn
p
xn
senb
p
xn
cosa
a
)x(f
ππππππππ
[ ] [ ]
2
3
2
3
2
1
1
2
1
1
1
00
1
0
20
1
1
0
0
1
1
1
0
0
=⇒=+=
+=+==
=
=
−
−−
−
∫∫∫
∫
a,a
;xxxdxdxdx)x(fa
dx)x(f
p
a
p
p
p
( ) ( ) ( )
[ ]11
111
1
0
1
00
1
222222
2222
1
0
22
1
0
0
1
0
0
1
1
0
0
1
1
1
−−
π
=





π
−
π
−
=
=∈∀−=π
=∈∀=π






π
−
π
π
+





π
π
+





π
π
=






π
π
+





−
π
π
+





π
π−
−=
π
π
−





π
π
+





π
π
=
π
π
=⇒π=
=⇒=
π+π=π=





 π
=
∫
∫∫∫
∫
−
−−
−
n
n
n
n
n
n
1
n
n
p
p
n
)(
nnn
)(
a
n.1,2,3,...,nN,n,)()ncos(
n.1,2,3,...,nN,n,)n(sen
nn
)ncos(
n
)sen(n
n
)n(sen
a
n
)xncos(
n
)sen(n
n
)n(sen
a
dx
n
x)sen(n
n
x)sen(n
x
n
x)sen(n
a
n
x)sen(n
v)dxxcos(ndv
dx,duxu
dxxncosxdxxncosdxxncos)x(fa
dx
p
xn
cos)x(f
p
a

54. Ecuaciones Diferenciales – II Parcial
Roberto Cabrera V.
- 54 -
( ) ( ) ( )
π
−=
=∈∀−=π
=∈∀=π






−
π
π
+





π
π
−





π
π
−
π
−=






π
π
+





−
π
π
−





π
π
−
π
−=
π
π
+





π
π
−





π
π
−=
π
π
−=⇒π=
=⇒=
π+π=π=





 π
=
∫
∫∫∫
∫
−
−−
−
n
b
n.1,2,3,...,nN,n,)()ncos(
n.1,2,3,...,nN,n,)n(sen
n
)n(sen
n
)cos(n
n
)cos(n
n
b
n
)xn(sen
n
)cos(n
n
)cos(-n
n
b
dx
n
x)cos(n
n
x)cos(n
x
n
x)cos(n
b
n
x)cos(n
v)dxx(nsendv
dx,duxu
dxxnxsendxxnsendxxnsen)x(fb
dx
p
xn
sen)x(f
p
b
n
n
n
n
1
n
n
p
p
n
1
1
0
0
1
0
1
1
22
1
0
22
0
1
0
0
1
1
0
0
1
1
1
Convergencia de una Serie de Fourier
Teorema: Si )x(f y )x('f son funciones continuas por segmentos en el intervalo ( )p,p− ,
entonces la serie de Fourier de )x(f en dicho intervalo converge hacia )a(f en un punto de
continuidad, mientras que en un punto de discontinuidad a converge a:
)x(fLim)a(f
)x(fLim)a(f
:donde,
)a(f)a(f
ax
ax
+
−
→
+
→
−
+−
=
=
+
2
Ejemplo:



<<π−
π<<+
=
01
1
x-,x
x0,x
)x(f
En la gráfica se observa que en x=0 hay un punto de discontinuidad por lo tanto el valor a que converge la serie
de Fourier en x=0 es:
[ ] ( ) ( )∑
∞
=






π
π
−π−−
π
+=
1
22
1
11
1
4
3
n
n
xnsen
n
xncos)(
n
)x(f
1
1
0
2
11
2
==
−==
=
+−
=
+
+
−
→
+
→
−
+−
)x(fLim)a(f
)x(fLim)a(f
:donde,
)a(f)a(f
ax
ax

55. Ecuaciones Diferenciales – II Parcial
Roberto Cabrera V.
- 55 -
Extensión periódica de la función f(x)
Sea f(x) una función continua por segmentos en ( )p,p− . Entonces la Serie de Fourier de f es:
∑∑∑∑
∞∞∞∞
====












++++





++++====
1
0
2 n
nn
p
xn
senb
p
xn
cosa
a
)x(f
ππππππππ
Donde se define la frecuencia angular de las funciones coseno y seno como “w”, entonces:
T.pnTEntonces
n
p
T
f
trando, encon
p
n
πp
nπ
f
ando f:, despej
p
nπ
πf
πf,w, donde
p
nπ
w
f
f
==
====
=⇒
==
2
21
22
2
2
Por lo tanto la función f puede extenderse a una función periódica con período = 2p, de
manera talque
∑∑∑∑
∞∞∞∞
====












++++





++++====
1
0
2 n
nn
p
xn
senb
p
xn
cosa
a
)x(f
ππππππππ , y donde Rx),x(f)px(f ∈=+ 2 .
Donde la serie converge a f(x) si es que f es continua en x y converge a
2
)x(f)x(f +−
+
, si es
que f es discontinua en x.

56. Ecuaciones Diferenciales – II Parcial
Roberto Cabrera V.
- 56 -
2) Encuentre los coeficientes de la serie de Fourier: a) sólo en términos de senos de la
función f(x), b) luego sólo en términos de cosenos.



<<
<<−
=
2x10,
1x0x,1
f(x)
a) En términos de senos.
Antes de comenzar el desarrollo de este problema se recomienda graficar la función f(x)
Como se observa en la gráfica esta no es función impar ni par, por lo tanto para obtener el
desarrollo en series de Fourier sólo en términos de senos de esta función se debe proceder a
hacer una extensión periódica impar de f(x).
2pTdonde
0xp-f(-x),-
px0(x),
f(x) =



<<
<<
= ,
f
Como se observa en la gráfica ahora el periódo de la función es T=2p, donde p = 2, por lo
tanto el período T es 4.
Ahora si la función f(x) es una función impar se cumple las siguientes condiciones:
∑∑∑∑
∫∫∫∫
∞∞∞∞
====












====∴∴∴∴
====∈∈∈∈∀∀∀∀






====
====
====
1
0
0
321
2
0
0
n
n
p
n
n
p
xn
senb)x(f
.n,....,,,n,Nn
;dx
p
xn
sen)x(f
p
b
a
a
ππππ
ππππ
Encontrando los coeficientes:

57. Ecuaciones Diferenciales – II Parcial
Roberto Cabrera V.
- 57 -
( )
( )
( )
( )
[ ]





 π
π
−
π
=⇒





 π
π
−
π
=





−




 π
π
−−
π
−=⇒











 π
π
−










 π
−
π
−=⇒





 π
π
−










 π
π
−−=⇒





 π
π
−=⇒




 π
=
−=⇒−=





 π
−=





 π
+




 π
−=





 π
=




 π
=





 π
=
∫
∫
∫∫
∫∫
∫
2
42
2
42
0
2
4
10
2
2
4
2
1
2
2
2
2
2
1
2
2
2
1
2
1
2
0
2
1
222
2
2
2
22
2222
1
0
22
1
0
1
0
1
0
1
0
2
1
1
0
2
0
2
0
0
n
sen
nn
b
n
sen
nn
n
sen
nn
b
;
xn
sen
n
xn
cosx
n
b
dx
xn
cos
n
xn
cos
n
xb
;
xn
cos
n
dx
xn
sendv
;dxdu,xu
;dx
xn
senxb
dx
xn
sen.dx
xn
senxb
dx
xn
f(x)sendx
xn
f(x)senb
dx
xn
f(x)sen
p
b
n
n
n
n
n
n
n
p
n
v
Ahora la función en términos de senos es:
∑
∑∑
∞
=
∞
=
∞
=











 π











 π
π
−
π
=











 π











 π
π
−
π
=










 π
=∴
==
1
22
1
22
1
22
42
22
42
n
nn
n
xn
sen
n
sen
nn
)x(f
xn
sen
n
sen
nnp
xn
senb)x(f
0ay0,a:entonces,imparesComo 0n

58. Ecuaciones Diferenciales – II Parcial
Roberto Cabrera V.
- 58 -
b) En términos de cosenos:
Igualmente que en el caso anterior para obtener la serie de Fourier sólo en terminos de
cosenos de f(x), la función debe ser una función par, si no lo es se debe hacer una extensión
periódica de forma par. Es decir:
2pTdonde
0xp-f(-x),
px0(x),
f(x) =



<<
<<
= ,
f
Como se observa en la gráfica ahora el período de la función es T=2p, donde p = 2, por lo
tanto el período T es 4.
Ahora si la función f(x) es una función impar se cumple las siguientes condiciones:
∑
∫
∫
∞
=












+=∴
=∈∀
=






=
=
1
0
0
0
0
2
321
0
2
2
n
n
n
p
n
p
p
xn
cosa
a
)x(f
.n,....,,,n,Nn
;b
dx
p
xn
cos)x(f
p
a
dx)x(f
p
a
ππππ
ππππ
Encontrando los coeficientes 0n a,a :
( )
( )
2
1
2
1
00
2
1
1
2
1
01
2
0
1
0
21
0
0
2
1
1
0
0
2
0
0
0
0
=
=





+−−=





−=−=
+−===
=
∫
∫∫∫
∫
a
x
xdxxa
dx.dxxadx)x(fa
dx)x(f
p
a
p

59. Ecuaciones Diferenciales – II Parcial
Roberto Cabrera V.
- 59 -
( )
( )
( ) ( )
( )
[ ]











 π
−
π
=⇒











 π
−
π
=





−




 π
π
−−
π
=⇒











 π
π
−










 π
−
π
=⇒





 π
π
+










 π
π
−=




 π
−=⇒





 π
π
=⇒




 π
=
−=⇒−=





 π
−=





 π
+




 π
−=




 π
=





 π
=
∫∫
∫
∫∫∫
∫
2
1
4
2
1
4
1
2
4
00
2
2
4
2
1
2
2
2
2
2
1
2
1
2
2
2
1
2
1
2
0
2
1
2
2
22
2222
1
0
22
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
2
1
1
0
2
0
0
n
cos
n
a
n
cos
n
n
cos
nn
a
xn
cos
n
xn
senx
n
a
dx
xn
sen
n
xn
sen
n
xdx
xn
cosxa
xn
sen
n
v,dx
xn
cosdv
;dxdu,xu
;dx
xn
cosxa
dx
xn
cos.dx
xn
cosxdx
xn
cos)x(fa
dx
P
xn
cos)x(f
p
a
n
n
n
n
n
n
P
n
Como ahora f(x) es una función par, entonces 0bn =
La serie de fourier de f(x) en términos de cosenos es :
∑
∑
∞
=
∞
=





 π



















 π
−
π
+=











 π
−
π
=
=
=





 π
+=
1
22
22
0
1
0
22
1
4
4
1
2
1
4
2
1
2
2
n
n
n
n
xn
cos
n
cos
n
)x(f
n
cos
n
a
a
p
p
xn
cosa
a
)x(f

60. Ecuaciones Diferenciales – II Parcial
Roberto Cabrera V.
- 60 -
EJERCICIO DE LA ECUACIÓN DEL CALOR DE UNA VARILLA
Una varilla de longitud L coincide con el eje X en el intervalo , tal que la
temperatura en los extremos de la varilla se mantiene a 0ºC en cualquier instante y la
temperatura inicial de toda la varilla esta dada por . Determina la
temperatura , de la varilla, conociendo que el modelo matemático de este
problema viene dado por:
Para resolver esta ecuación en derivadas parciales se procede a usar el método de separación
de variables, se asume la solución de la siguiente manera:
Se obtiene las correspondientes derivadas de la ecuación, usando la solución que se asume.
Reemplazando en la ecuación en derivadas parciales se obtiene:
Separando a un lado de la ecuación todo lo que depende de la variable “x”, y al otro lado lo
de “y”.
Se obtiene dos ecuaciones diferenciales:
La solución para esta ecuación se asume como :
Se obtiene:
Como el valor de es una constante, entonces se analiza de la siguiente forma:
Para
, por lo tanto las raíces son:
Por lo tanto, para este caso la solución es:
Luego se obtiene los valores de A y B, usando los valores de frontera :
Se forma un sistema homogéneo de ecuaciones donde A=B=0, por lo tanto, la solución queda
la trivial:
, entonces
Para
, por lo tanto las raíces son:
Por lo tanto, para este caso la solución es:
Luego se obtiene los valores de A y B, usando los valores de frontera :

61. Ecuaciones Diferenciales – II Parcial
Roberto Cabrera V.
- 61 -
Se forma un sistema homogéneo de ecuaciones donde A=B=0, por lo tanto, la solución queda
la trivial:
, entonces
Para , para indicar que es un valor negativo se pondrá el singo menos dentro del
radical.
, por lo tanto las raíces son:
Por lo tanto, para este caso la solución es:
Luego se obtiene los valores de A y B, usando los valores de frontera :
Se forma un sistema homogéneo de ecuaciones donde A =0, pero queda ,
donde el valor de B no puede ser cero para que no quede la solución trivial por lo tanto lo que
si puede suceder es que
Donde , luego se despeja
Ahora es :
Luego se obtiene la solución para la segunda ecuación diferencial que está en función de t:
Como , entonces:
Expresando en sumatoria:
Ahora se usa la condición inicial :
Donde:

62. Ecuaciones Diferenciales – II Parcial
Roberto Cabrera V.
- 62 -
Se procede a integrar por partes:
Otra vez por partes:
La solución es:

63. Ecuaciones Diferenciales – II Parcial
Roberto Cabrera V.
- 63 -
Transformada de Laplace de ciertas funciones
Transformada inversa de Laplace de ciertas funciones

64. Ecuaciones Diferenciales – II Parcial
Roberto Cabrera V.
- 64 -
Problemas propuestos
1.-) Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales alrededor del punto Xo = 0.
Determine si es posible la función a la que converge la primera solución, y luego halle
por cualquier método la segunda solución linealmente independiente.
a) ;0yx4'y''xy 3
=+−
b) ;0y)x43('xy4''yx4 22
=−+−
c) ;0y2'y3''y)1x(x =−+−
d) ;0y'y)x31(''y)1x(x =+−−−
e) ;0y2'y3''y)1x(x =+−−
f) ;0y)x26('y)x4(x''yx2
=−+−−
g) 0xy'y2''xy =−+
h) 0y)2x('xy4''yx 22
=+++
2.-) Halle:
a)
[ ]
( )[ ]
[ ]
[ ]
( )[ ];3e5
;t5senh4t5cosh3
;)tcossent(
;1t
;t5sen2sen10
2t2
2
22
−
−
−
+
L
L
L
L
L
b)
Para las siguientes funciones encuentre [ ])t(''fL :
;tcoset t2 −
( )
;t3cost2sen5
;
e
t2sent
;tcos1t2
;t2senht5
t2
3
4
3
−
−
c) Para las siguientes funciones encuentre [ ])t('fL :
( )
;)t2sentcos3(
;t2sene2
;t3cosht5senh10
;t2cost2sen5
;t2tsen3cos6
2
2t3
−
−
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
( )[ ];e2t
;t4sene2
;et
;t4cosh
;)t2(cos4
t2
t3
t32/3
2
2
+
−
L
L
L
L
L

65. Ecuaciones Diferenciales – II Parcial
Roberto Cabrera V.
- 65 -
d) Halle:
e) Halle:
( )[ ]
( )[ ]
( )[ ]
( )[ ]
;du
e
u2sen
t
;senhtt
;sentesi f(t),)t('ft
;tcost
;t2cos2t2sen3t
t
0
u2
2
3
t2
22












=
−
∫ −
−
L
L
L
L
L
f) Halle:
[ ]
;
t
tsen
;t2tsen2cost5
;
t
t3senh
;
t
btcosatcos
;
t
ee
2
2
1
btat













 −





 −
−
−−
L
L
L
L
L
g) Halle:
( )
;du
u
senu
;du
u
e1
;dueuu
t
t u
t
u2























 −






+−
∫
∫
∫
−
−
0
0
0
L
L
L
( )
( ) ;dusenhuu
;duu3cos
t
2
t
2












∫
∫
0
0
L
L
;)1t(
1t
e1
;)t(
t
t2sen
)1t(






−δ
−
−




δ
−−
L
L
;
5t2t
)t()3t(3
2
2






++
δ−+
L
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ];)5t(u)3t(
;)t(u)t(sen
;)1t(uet
;)2t(u)t(senh.te
;)t(u)t(3coste
2
t32
t2
t2
−−
π−
−
−
π−π−
−
−
L
L
L
L
L

66. Ecuaciones Diferenciales – II Parcial
Roberto Cabrera V.
- 66 -
3.-) Grafique las siguientes funciones y halle sus transformadas de Laplace:







≥
<≤
<≤
<≤
=







≥
<≤+
<≤
<≤−
=
3t,0
3t2sent;5-
2t;0
t0sent;5
g(t)
15t;0
15t10;5t
10t5;0
5t0;1t
f(t)
4.) Encuentre el período de las siguientes gráficas y halle la transformada de Laplace de
cada una de ellas:
a)
b)
c)
d)







≥
<≤−
<≤
<≤
=
9t;0
9t6;20
6t3;10
3t0;5
h(t)

67. Ecuaciones Diferenciales – II Parcial
Roberto Cabrera V.
- 67 -
5.-) Encuentre las transformadas inversas de Laplace de las siguientes funciones:
( )
( )
( )
( )( )
( )
2s3s
se
)S(F
s
e
)S(F
1s
1
)S(F
2s1s
11s15s5
)S(F
;
)3s)(2s(1s
4s2
)S(F
;
1ss
1
)S(F
;
s
1
1ln)S(F
;
as
s
)S(F
;
3s2
1
)S(F
;
3s2s
7s3
)S(F
;
16s8s
2s4
)S(F
20s4s
4s6
)S(F
;
s
1
)S(F
;
3s
1
)S(F
;
2s
s
)S(F
;
s
1
)S(F
;
9s
1
)S(F
2
s2
2
s2
5
3
2
2
23
2
222
2
2
2
2/3
2
2
4
2
++
=
=
+
=
−+
−−
=
−−+
−
=
+
=






+=
+
=
+
=
−−
+
=
++
+
=
+−
−
=
=
−
=
+
=
=
+
=
−
−
( )
( )
( )
( )( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
;
5s2ss
2
)S(F
;
1s
9s
ln)S(F
;
1s
1s
ln)S(F
);1scot(ar)S(F
;
25s6s
se4
)S(F
;
4s
36s40s3s3
)S(F
;
1s
1
)s(F
;
4s
s
)s(F
;
1s2s
1
)s(F
;
3ss
2s
)s(F
;
1ss
1
)s(F
;
bs
as
ln
s
1
)s(F
1s
2s
ln
s
1
)s(F
;
1s
2s
ln)s(F
2s2s
1s
)s(F
5s2s
e
)S(F
22
2
2
2
2
2
s2
22
23
32
22
2
5
2
3
22
22
22
2
s2
+−
=






+
+
=






−
+
=
+=
+−
=
−
+−−
=
+
=
+
=
−+
=
+
+
=






+
=






+
+
=






+
+
=






+
+
=
++
+
=
+−
=
−
−

68. Ecuaciones Diferenciales – II Parcial
Roberto Cabrera V.
- 68 -
6.-) Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales utilizando la transformada de
Laplace:
( )
2;y(0)(t)y'
y(t)
10)y(sent;-y(t)(t)y'
0;(0)y'1,y(0)y2y''ty'
2;(0)y'1,y(0)yty''y'
0)(y'1,y(0)'ty'
(0)y'y(0)y'y'
-2(0)y'1,y(0)y'y'
9(0)y'1,y(0)tey''y'
-4(0)y'5,y(0)10y7y''y'
t
0
t
0
t
0
t
==θθ−
+=θθ−θ+
=−=θθ−θ+
===+−
===+−
=π==++
==π−δ+π−=+
==π−−=+
=−==+
==+=+−
∫
∫
∫
θ−
;tde)(y2)j
;3td)t)((y)i
d)t(sen)(y)h
;2t)g
;1)f
;;0ty'ty2)e
.0);2t(e)t(u44)d
);2t(ut2sen3t2sen3)c
;25)b
;sent7tcos9)a
t
32
t2
7.-) En los siguientes problemas utilice el método de eliminación para encontrar la
solución general del sistema lineal dado, donde x’, y’, z’ denotan diferenciación con
respecto a t.
8.-) En los siguientes problemas utilice el método de los operadores diferenciales para
encontrar la solución general del sistema lineal dado:
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
0(0)y'(0)x'x(0),2y(0)
2(0)x'1,x(0):dadas
====




=++−
=−+



=++−
−=−++
==




=+++−
=+++−
;0y2Dx
;0yx2D
)c
;tcos4y2Dx3D
;senty1Dx2D
)b
;ey4D4DxD2D
;tyD2Dx4D4D
)a
2
2
t22
22
9.-) En los siguientes problemas utilice el método de la transformada de Laplace para
encontrar la solución general del sistema lineal dado:



=++−
=−+



−−=
+−=
;02''
;045''
)
;cos4'
;23'
)
yyx
yxx
e
tyxy
sentyxx
d
0;z(0)(0)y'y(0)
0;y2z''y'
===



=++
=+−− ;sentz2y2'z'y
)a
0;(0)'z'4,z(0)
2;(0)y'-1,y(0)
-1.z(0)1,y(0)




===−
==−=+−
==




=−
−=++
−
−
−
;sent'z''ty
;tcos3te''z3''y3
)c
;ez'y
;e)1t('tzzty
)b
t
t
t



=++
=−+



−=
=
1;yy'x'
;5x'y'x
)b
;yx2'y
,y3'x
)a

69. Ecuaciones Diferenciales – II Parcial
Roberto Cabrera V.
- 69 -
10.-) En los siguientes problemas utilice el método de los valores y vectores propios
para encontrar la solución general del sistema lineal dado:






−
−
=




 −
=



=−−
=++










=










−
−
=
6
10
,'X
12
36
)c
;0y3x5'y2
;0
)b
2
0
1
,X
122
212
221
)a
X(0)X
5y3x2x'
X(0)X'
APLICACIONES DE ECUACIONES DIFERENCIALES DE SEGUNDO ORDEN
1) Una masa de 100 gramos esta sujeta a un resorte de acero de longitud natural igual a 50 cm. El
resorte se alarga cuando se le agrega esta masa. Si la masa se pone en movimiento con una
velocidad de 10cm/s, determine el movimiento subsiguiente. (Desprecie la resistencia del aire)
2) Un circuito mecánico vibratorio compuesto de un resorte de constante K=4 N/m. Un
amortiguador de constante e=6 Ns/m, tiene adherido una bola metálica de 20 N de peso.
Determine la forma en que vibra la masa si inicialmente esta en la posición de equilibrio y sin
velocidad inicial, y si desde el tiempo t=0 actúa sobre una fuerza perturbadora periódica definida
así:
[
[
4).-f(tf(t)
2,4)t100t-400
0,2)t
=



∈
∈
= ;
;t100
)t(f
3) Un resorte se estira 50cm con una fuerza de 2 Newton. El resorte en referencia forma parte de un
sistema m-c-k el cual tiene una masa de 1 Kg, y un amortiguador con una constante c = 4N.m/s. Si
la masa es puesta en movimiento desde su posición de equilibrio y sin velocidad inicial con una
fuerza perturbadora de 20 Newton que actúa los primeros 5 segundos y luego cesa durante 5
segundos, y luego crece linealmente hasta 10 Newton durante 10 segundos, para nuevamente cesar
definitivamente. Determine la forma en que vibra la masa.
a) ¿Cuál es la posición de la masa a los 2 segundos y a los 8 segundos?
4) Un inductor de 0.5 henrios es conectado en serie con una resistencia de 6 ohmios y un
condensador de 0.02 faradios. Inicialmente el condensador no tiene carga. Si el sistema es
perturbado por una fuerza electromotriz de 12 voltios en el intervalo de tiempo.
2< t < 8 (seg), y luego por un voltaje instantáneo de 24 voltios en el instante t= 15 seg, determine:
a) La carga acumulada en el capacitor en el tiempo t= 6 seg.
b) La intensidad de corriente que atraviesa el circuito en el tiempo t= 10 seg.
Este documento fue creado con fines académicos, de apoyo para los estudiantes politécnicos.
Agradecimiento: Agradezco a Dios por haberme dado fuerza, paciencia para la elaboración de esta obra. A mi
profesora de esta materia, Yadira Moreno. Y a los profesores a los que colaboré en la materia como ayudante
de cátedra puesto que ellos fueron los que me dieron su confianza y apoyo para impartir las clases y compartir
el conocimiento, los cuales pongo a continuación:
Janet Valdiviezo, Eduardo Rivadeneira, Fernando Sandoya, Enrique Bayot, Félix Ramírez.
Dedicado a todos mis compañeros politécnicos.
Roberto Cabrera Velasco.

70. Ecuaciones Diferenciales – II Parcial
Roberto Cabrera V.
- 70 -
Referencias
Zill, Dennis G. (2006). Ecuaciones diferenciales con aplicaciones. Segunda edición.
Grupo Editorial Iberoamérica
Nagle Kent, Saff Edward, Zinder Arthur, Ecuaciones Diferenciales y Problemas con
Valores en la Frontera, Editorial Addison –Wesley Iberoamericana, 2001.
William E. Boyce, Richard C. DiPrima, Ecuaciones diferenciales y problemas con
valores en la frontera, 4a ed. México, Limusa, 1998