Ejemplo de un modelo de programación lineal para optimizar la producción

1. Lic. Héctor Fernando Castillo Rivera

2.  La Juguetería fabrica los osos de peluche Toby y Gubi, que pasan por
los departamentos de corte, armado y calidad. El departamento de
corte dispone de 600 horas maquina, semanales, el departamento de
armado de 700 horas maquina y el de calidad dispone de al menos 400
horas.
 La unidad de ventas desea que se fabriquen al menos dos Toby por
cada Gubi, pero no menos de 20 Gubis.
 Los osos Toby pasan 6 horas en corte 8 en armado y al menos 5 en
calidad.
 Los osos Gubi pasan 7 horas en corte, 6 en armado y al menos 6 en
calidad.
 El margen de contribución de los Toby es 100 quetzales y de los Gubi
80 quetzales.

3. 1. Hacer un modelo de programación Lineal.
2. Hacer la gráfica del modelo.
3. Encontrar el polígono solución.
4. Valuar el polígono solución.
5. Calcular la solución optima.

4. 1. Variables o incógnitas
2. Parámetros
3. Restricciones
4. Función Objetivo
 Son los valores desconocidos
de la función.
 Son los valores conocidos
 Son las limitaciones del
modelo.
 Es la función a maximizar o
minimizar del modelo

5.  1. Las variables son:
x= Toby, y=Gubi
 2. Los valores conocidos ( son los números)
 3. Las restricciones son las limitaciones en
 Tiempo:
 Corte 600 horas
 Armado 700 horas
 Calidad 400 horas.
 Dos Tobys por Gubi
 Al menos 20 Gubis
 4. Función Objetivo ; maximar el margen de contribución

6. Departamento Toby=x Guby=y Disponibilidad
de tiempo
corte 6 7 600
costura 8 6 700
Calidad 5 6 400
Lo que el problema nos pide es lo siguiente
Además debemos considerar, que deben hacerse dos Toby
por Cada Gubi y no menos de 20 Gubis. Y por otra parte
debe formularse el margen de utilidad.

7.  X≥2y necesitamos al menos dos Toby por cada
Gubi, siendo Toby=x y Gubi=y podemos decir que
por un Gubi hay dos Toby.
 Si en la ecuación X≥2y sustituyo y=1, o sea un
Gubi, obtenemos x= 2 o sea dos Toby.
 x ≥2(1) el mayor o igual significa que podrían
haber dos o mas Toby, siempre que esto sucede
se cumple la ecuación para cualquier valor de y,
así si y=20 x=40.

8. 1. Variables o incógnitas Parámetros
X= Toby Y= Gubi (Valores conocidos)
2. Restricciones
6x+7y≤600 I pueden tardarse 600 horas o menos
8x+6y ≤700 II pueden tardarse 700 horas o menos
5x+6y≥ 400 III pueden tardarse 400 horas o mas
y ≥ 20 IV Pueden hacer 20 Gubis o mas
x ≥2y V Pueden fabricar dos Toby o mas por cada Gubi
3. Función objetivo
z=100x+80y Se gana 100 por Toby y 80 por Gubi.

9. 2. Restricciones
6x+7y≤600 I si x=0 entonces y=85.71 si y=0 entonces x=100
8x+6y ≤700 II si x=0 entonces y=116.67 si y=0 entonces x=87.5 5x+6y≥400
III si x=0 entonces y=66.66 si y=0 entonces x=80
y ≥ 20 IV
x ≥2y V
x ≥0 y ≥0 La solución solo es posible con números enteros o sea.
en el primer cuadrante del eje de coordenadas.
3. Función objetivo
z=100x+80y Se gana 100 por Toby y 80 por Gubi.

10. Para la ecuación x ≥2y hacemos una tabla asignando
valores a la variable independiente hasta que corte las
rectas de las otras restricciones.
Valores de x Valores de y
4 2
10 5
30 15
40 20
50 25
60 30
70 35

11. 120
115
110
105
100
95
90
85
80
75
70
65
60
55
50
45 Armado
40 Calidad 8x+6y≤700 II
35 5x+6y≥400 III
30 A B
25 E Corte
20 Y=20 6x+7y≤600 I
15 D C
10
5
0
5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100

12. Armado
Calidad 8x+6y≤700 II
5x+6y≥400 III x≥2y IV
A B
E Corte
Y≥20 6x+7y≤600 I
D C

13.  El polígono solución contiene todas las soluciones
posibles del problema, pero una de todas, es la
solución optima.
 La solución optima debe encontrarse en uno de
los vértices del polígono solución, a pesar de que
a simple vista puede estimarse en cual vértice
pudiera estar, es recomendable calcular todos los
vértices.

14.  Para el punto A
En el punto A se corta la recta x≤2y con la recta de corte 6x+7y=600
sustituyendo IV en I tenemos que y =600/19= 31.57=31,
x= 63.15=63 lo cual cumple las condiciones del problema de tener al
menos dos Toby por cada Gudi.
 Para el Punto B
 Se cortan las ecuaciones I y II 6x+7y=600
 8x+6y=700
 Solución x=65, y=30

15.  Punto C
 Se corta y=20 con la ecuación II 8x+6y=700, lo que al
sustituir da como resultado x= 72.5= 72
 Punto D
 Se corta y=20 con la ecuación III 5x+6y=400 lo que al
sustituir da como resultado x = 56.66= 56
 Punto E
 Se corta x≥2y con la ecuación III 5x+6y=400 lo que al
sustituir x= 2y da como resultado Y= 25 ; X= 50

16. Punt
o
x Y z
A 63 31 8780
B 65 30 8900
C 72 20 8800
D 56 20 7200
E 50 25 7000
Nota 2 :Todos los valores se tomaron sin decimales por
ser variables discretas.
La solución óptima es hacer 65 Tobys y 30 Gudis.