Trabajo de investigacion operativa (x)

1
FACULTAD DE INGENIERÍA INDUSTRIAL Y SISTEMAS
ALUMNOS
DOCENTE:
CURSO
AULA:
 VICTOR EDUARDO ANDIA RODRIGUEZ
 MILTON CESAR SANTIAGO CELIZ CASTRO
 JEAN-CLAUDE DEL CASTILLO CORDOVA
 HAROLD CRUZ CORDOVA
 VANESSA MARICELA RUGEL ASTO
 MILAGROS ANDREA CCALLO TAIPE
 CHRISTIAN ARTURO GAMARRA CHUMBES
CACERES, JORGE ERNESTO
INVESTIGACION OPERATIVA
IG5N1

2
FACULTAD DE INGENIERIA
ASIGNATURA: INVESTIGACION OPERATIVA1
PROFESOR: MG.ING. JORGE CÁCERES TRIGOSO
PRACTICA DIRIGIDA N° 1
FORMULACION DE PROBLEMAS COMO MODELOS DE
PROGRAMACION LINEAL
PROBLEMA N° 01
Cierto fabricante produce dos artículos, A y B, para lo que requiere la utilización de dos secciones
de producción: sección de montaje y sección de pintura.
El artículo A requiere una hora de trabajo en la sección de montaje y dos en la de pintura; y el
artículo B, tres horas en la sección de montaje y una hora en la de pintura.
La sección de montaje solo puede estar en funcionamiento nueve horas diarias, mientras que la
de pintura solo ocho horas cada día. El beneficio que se obtiene produciendo el artículo B es de
40 euros y el de A es de 20 euros.
SOLUCION
ARTICULO SECCION
MONTAJE
SECCION PINTURA BENEFICIO
A= X1 1 2 20 EUROS
B= X2 3 1 40 EUROS
CAPACIDAD 9 HR 8 HR
FORMULACION DEL MODELO
1° VARIABLES DE DECISIÓN:
Sea: X1: Cantidad de artículos de tipo A a producir
X2: Cantidad de artículos de tipo B a producir
2° Función Objetivo : MAXIMIZAR Z = 20 X1 + 40 X2 …………(EUROS)
3° RESTRICCIONES:
R1: RESPECTO A LA SECCIÓN DE MONTAJE: 1 X1 + 3 X2 <= 9 …… HORAS
R2: RESPECTO A LA SECCIÓN DE PINTURA: 2X1 + 1X2 <= 8 …….HORAS
4° CONDICIÓN DE NO NEGATIVIDAD : X1 >= 0 , X2>= 0
PROBLEMA N° 02
Una línea de transporte Lima-Trujillo, ofrece plazas para fumadores al precio de 150 soles y a no
fumadores al precio de 100 soles. Al no fumador se le deja llevar 50 kgs. de peso y al fumador
20 kgs. Si el autobús tiene 60 plazas y admite un equipaje de hasta 3.000 kg. ¿Cuál ha de ser la
oferta de plazas de la compañía para cada tipo de pasajeros, con la finalidad de optimizar el
beneficio?
Solución

3
Función objetivo
Z = 150x + 100y
Siendo
x: fumadores.
y: no fumadores.
x + y ≤ 60
50y + 20x ≤ 3000
El punto máximo de estas restricciones cuando graficamos es alcanzado cuando:
x = 50
y = 40
Así obtenemos una ganancia de Z = 150(50) + 100(40) = 1150
PROBLEMA N° 03
A una persona le tocan 10 millones de soles en una lotería y le aconsejan que las invierta en dos
tipos de acciones, A y B. Las de tipo A tienen más riesgo pero producen un beneficio del 10 %.
Las de tipo B son más seguras, pero producen sólo el 7% anual. Después de varias
deliberaciones decide invertir como máximo 6 millones en la compra de acciones A y por lo
menos, 2 millones en la compra de acciones B. Además, decide que lo invertido en A sea, por lo
menos, igual a lo invertido en B. ¿Cómo deberá invertir 10 millones para que le beneficio anual
sea máximo?
X: acciones de tipo A
Y: acciones de tipo B
objetivo:
F(x;y) = 0,1 X + 0,07 Y
Restricciones:
X+y ≤ 10, x ≤ 6, y  2, x  y, x  0, y  0
Determinar Vértices:
• x = y y = 2 (2,2)
• x + y = 10 x = y (5,5)
• x = 6 x + y = 10 (6,4)
• X = 6 y= 2 (6,2)

4
Entonces MAXIMIZANDO y tomando la 3era opcion:
F= 0.1 (6) + 0.07 (4)
F= 0.88
Por lo tanto, la función que aporta un mayor número de beneficios es la F(C)=0,1(6)+0,07(4), lo
que nos dice que se deben invertir 6millones en acciones tipo A y 4millones en acciones tipo B.
PROBLEMA N° 04
Un estudiante dedica parte de su tiempo al reparto de propaganda publicitaria. La empresa A le
paga 5 céntimos de dólar por cada impreso repartido y la empresa B, con folletos más grandes,
le paga 7 céntimos de dólar por impreso. El estudiante lleva dos bolsas: una para los impresos
A, en la que caben 120 y otra para los impresos B, en la que caben 100. Ha calculado que cada
día es capaz de repartir 150 impresos como máximo. Lo que se pregunta el estudiante es:
¿Cuántos impresos habrá que repartir de cada clase para que su beneficio diario sea máximo?
Sean las variables de decisión:
x= n: de impresos diarios tipo A repartidos.
y= n: de impresos diarios tipo B repartidos.
La función objetivo es:
f( x , y) = 5 x + 7 y
Las restricciones:
X  0 y  0 r = x  120 s=y  120 i = x + y 150
Según las cifras aproximadas
A y = 100 x+y=150 es decir x=50 (50;100)
b x = 120 x+y=150 es decir y=30 (120;30)
Maximizando los valores
F=5 x + 7 y reemplazando valores
F=5 x 50 + 7 x 100 = 950
Debe repartir 50 impresos tipo A y 100 tipo B para una ganancia máxima diaria de 950
PROBLEMA N° 05
Un sastre tiene 80 m2 de tela de algodón y 120 m2 de tela de lana. Un traje requiere 1 m2 de
algodón y 3 m2 de lana, y un vestido de mujer requiere 2 m2 de cada una de las dos telas. Calcular
el número de trajes y vestidos que debe confeccionar el sastre para maximizar los beneficios si
un traje y un vestido se venden al mismo precio.
Solución:
Tela de algodón Tela de lana

5
sastre 80 m2 120 m2
traje 1 m2 3 m2
Vestido mujer 2 m2 2 m2
Formulación del modelo.
1.variabres de decisión.
x: Número de trajes
y: Número de vestidos
3 restricciones:
R1 respecto al traje x + 2y ≤ 80 = algodón
R2 respecto al vestido 3x + 2y ≤ 120 = lana
4.condicion de no negatividad: x ≥ 0; y ≥ 0
PROBLEMA N° 06
Un comerciante acude al mercado popular a comprar Manzanas con 5000 soles. Le ofrecen dos
tipos de manzanas: las de tipo A a 1.25 soles el kg. y las de tipo B a 1.50. el kg. Sabiendo que
sólo dispone de su camioneta con espacio para transportar 700 kg. De manzanas como máximo
y que piensa vender el kg. de manzanas tipo A a 2.50 soles y el kg. de tipo B a 2.90 soles, se
pide:
a. Formular el problema como un modelo de programación lineal.
b. ¿Cuántos kg. de manzanas de cada tipo deberá comprar para obtener máximo
beneficio?
c. ¿Cuál será ese beneficio máximo?
Solución:
manzanas A B
KILOS 1.25 Kg 1.50 Kg
VENTA 2.50 2.90
Capacidad de transporte 700k 700k
Formulación del modelo
1 variable de decisión:
Sea X1 k manzanas tipo A trasportar
X2 k manzanas tipo B transportar
2.funcion objetivo maximizar z =2.50 X1 +2.90 X2 …(soles)
3 restricciones:
R1 respecto kg 1,25 X1+1.50 X2

6
R2 respecto venta X1 2.50 + X2 2.90
4.conidcion de no negatividad: X1=> 0 Yx2>=0
PROBLEMA N° 07
Una empresa constructora va a edificar dos tipos de viviendas A y B. Dispone de 600 millones
de soles y el coste de una casa de tipo A es de 13 millones y 8 millones una de tipo B. El número
de casas de tipo A ha de ser, al menos, del 40 % del total y el de tipo B, el 20 % por lo menos.
Si cada casa de tipo A se vende a 16 millones y cada una de tipo B en 9 millones. ¿Cuántas
casas de cada tipo debe construir para obtener el beneficio máximo?
Solución:
Viviendas A B
COSTE 13 millones 8millones
Número de casas 40% 20%
Venta 16 millones 9 millones
Formulación del modelo:
X1: n: de viviendas construidas tipo A
X2: n: de viviendas construidas tipo B
2.funcion objetivo se desea maximizar z = 13 X1 +X2 8
3 restricciones:
R1 respecto numero casas x1 40% + X2 20%
R2 respecto venta X1 16 + X2 9
4.conidcion de no negatividad: X1=> 0 X2>=0
PROBLEMA N° 08
Cierta persona dispone de 10 millones de soles como máximo para repartir entre dos tipos de
inversión (A y B). En la opción A desea invertir entre 2 y 7 millones de soles. Además, quiere
destinar a esa opción, como mínimo, tanta cantidad de dinero como a la B.
a. ¿Qué cantidades debe invertir en cada una de las dos opciones? Plantear el
problema y representar gráficamente el conjunto de soluciones.
b. Sabiendo que el rendimiento de la inversión será del 9 % en la opción A y del 12
% en la B, ¿Qué cantidad debe invertir en cada una para optimizar el rendimiento
global? ?A cuánto ascenderá
Solución:
Inversión A B

7
millones 2 y 7 2 y7
Rendimiento 9% 12%
Formulación del modelo:
X1: cantidad invertida en acciones tipo A
X2: cantidad invertida en acciones tipo B
2.funcion objetivo se desea maximizar z = 2 y 7X1 +X2 2 y 7
3 restricciones:
R1 respecto inversión millones x1 2 y 7+ X2 2 y 7
R2 respecto rendimiento X1 9% + X2 12%
4.conidcion de no negatividad: X1=> 0 X2>=0
PROBLEMA N° 9
Una refinería de petróleo tiene dos fuentes de petróleo crudo: crudo ligero, que cuesta 35 dólares
por barril y crudo pesado a 30 dólares el barril. Con cada barril de crudo ligero, la refinería
produce 0,3 barriles de gasolina (G), 0,2 barriles de combustible para calefacción (C) y 0,3
barriles de combustible para turbinas (T), mientras que con cada barril de crudo pesado produce
0,3 barriles de G, 0,4 barriles de C y 0,2 barriles de T. La refinería ha contratado el suministro de
900000 barriles de G, 800000 barriles de C y 500000 barriles de T. Hallar las cantidades de crudo
ligero y pesado que debe comprar para poder cubrir sus necesidades al costo mínimo.
Solución:
CARROCERIA NAVE “A” NAVE “B” BENEFICIO
AUTOMÓVILES=X1 2 días-operario 3 días-operario 3000
CAMIONES=X2 7 días-operario 3 días-operario 6000
DISPONE 300 días-operario 270 días-operario
FORMULACIÓN DEL MODELO:
X1: Cantidad de barriles comprados de crudo ligero.
X2: Cantidad de barriles comprados de crudo pesado.
2° FUNCIÓN OBJETIVO:
Minimizar Z= 35x1 + 30x2………………(Dólares)
3° RESTRICIONES:

8
R1: RESPECTO A BARRILES DE GASOLINA: 0.3x1+0.3x2 >=90000……Barriles
R2: RESPECTO A BARRILES PARA CALEFACCIÓN: 0.2x1+0.4x2 >=80000…Barriles
R3: RESPECTO A BARRILES PARA TURBINAS: 0.3x1+0.2x2>=50000………Barriles
4° CONDICION DE NO NEGATIVIDAD:
x1<=0, x2<=0
PROBLEMA N° 10
Una fábrica de carrocerías de automóviles y camiones tiene 2 naves. En la nave A, para hacer
la carrocería de un camión, se invierten 7 días-operario, para fabricar la de un auto se precisan
2 días-operario. En la nave B se invierten 3 días-operario tanto en carrocerías de camión como
de auto. Por limitaciones de mano de obra y maquinaria, la nave A dispone de 300 días-operario,
y la nave B de 270 días-operario. Si los beneficios que se obtienen por cada camión son de 6 mil
dólares. .y de 3 mil dólares por cada auto. ¿Cuántas unidades de cada clase se deben producir
para maximizar las ganancias?
SOLUCIÓN:
CARROCERIA NAVE “A” NAVE “B” BENEFICIO
AUTOMÓVILES=X1 2 días-operario 3 días-operario 3000
CAMIONES=X2 7 días-operario 3 días-operario 6000
DISPONE 300 días-operario 270 días-operario
X1: Números de automóviles a fabricar.
X2: Número de camiones a fabricar.
Maximizar Z = 3000x1 + 6000x2…………………(Dólares)
3° RESTRICCIONES:
R1: RESPECTO A LA NAVE “A”: 2x1+7x2<=300……………(días-operario)
R2: RESPECTO A LA NAVE “B”: 3x1+3x2<=270……………(días-operario)
4° CONDICIÓN DE NO NEGATIVIDAD:
x1>=0, x2>=0
PROBLEMA N° 11

9
Una compañía produce dos tipos de sombreros “COWBOY”. Cada sombrero del tipo 1
requiere el doble de tiempo en mano de obra que el segundo tipo. Si todos los sombreros
son del tipo 2, la compañía puede producir un total de 500 sombreros al día. El mercado
limita las ventas diarias del tipo 1 y 2 a 150 y 250 sombreros respectivamente. Suponga
que los beneficios por cada sombrero son de $ 8 para el de tipo 1 y de $ 5 para el de
tipo 2. Determine el número de sombreros a ser producidos de cada tipo para maximizar
el beneficio.
SOLUCIÓN:
ARTICULO VENTA DIARIA BENEFICIOS
SOBRERO TIPO1= X1 150 8 DOLARES
SOMBRERO TIPO2= X2 250 5 DOLARES
PRODUCE 500
1° VARIABLES DE DECICSIÓN:
X1: Cantidad de sombreros de tipo1.
X2: Cantidad de sombreros de tipo2.
Maximizar Z= 8x1+5x2……………………(Dólares).
3° RESTRICCIONES:
R1: RESPECTO A LA VENTA DIARIA: 2x1+x2<=500……… (Sombreros diarios)
x1<=150
x2<=250
x1>=0, x2>=0
PROBLEMA 12
El taller de José se especializa en cambios de aceite del motor y regulación del sistema eléctrico.
El beneficio por cambio del aceite es $7 y de $15 por regulación. José tiene un cliente fijo con
cuya flota, le garantiza 30 cambios de aceite por semana. Cada cambio de aceite requiere de 20
minutos de trabajo y $8 de insumos. Una regulación toma una hora de trabajo y gasta $15 en
insumos. José paga a los mecánicos $10 por hora de trabajo y emplea actualmente a dos de
ellos, cada uno de los cuales labora 40 horas por semana. Las compras de insumos alcanzan un
valor de $1.750 semanales. José desea maximizar el beneficio total. Formule el problema como
un modelo de programación lineal.
FROMULACIÓN DEL MODELO:
X1: Cambios de aceite.

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X2: Ajustes.
Maximizar Z= 7x1+15x2……...…(Dólares).
3° RESTRICCIONES:
R1: RESPECTO AL TIEMPO DE CAMBIO DE ACEITE: 20x1+60x2<=4800……… (En minutos)
R2: RESPECTO AL PRECIO DE LOS INSUMOS: 8x1+15x2<=1750…………………(Dólares)
x1>=30
x1>=0, x2>=0
PROBLEMA N° 13
Un distribuidor de ferretería planea vender paquetes de tuercas y tornillos mezclados. Cada
paquete pesa por lo menos 2 libras. Tres tamaños de tuercas y tornillos componen el paquete
y se compran en lotes de 200 libras. Los tamaños 1,2, y 3 cuestan respectivamente $ 20, $ 80
y $ 12. Además:
a) El peso combinado de los tamaños 1 y 3 debe ser al menos la mitad del peso total del
paquete
b) El peso de los tamaños 1 y 2 no debe ser mayor que 1.6 libras
c) Cualquier tamaño de tornillo debe ser al menos 10% del paquete total
d) Cuál será la composición del paquete que ocasionará el costo mínimo.
Formulación
Xj= Peso en libras de los tornillos del tamaño j-ésimo (j=1,2 y 3) en el paquete
Observe que:
20/200 es lo que vale una libra de tornillos tipo 1
Minimizar Z = 20/200 X1 + 8/200 X2 + 12/200 X3
S.A:
X1 + X3 = (X1 + X2 + X3)/2 Los tamaños 1 y 3 al menos la mitad del peso
X1 + X2 =1.6 Los tamaños 1 y 2 no deben ser mayor de 1.6 lb.
X1 = 0.1 (X1 + X2 + X3) El tamaño 1 debe ser al menos el 10% del total
X1 + X2 + X3 = 2 El paquete debe ser al menos de 2 libras
XJ =0 j = 1, 2 y 3 Condición de no negatividad

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Minimizar Z = 0,1X1 + 0,04X2 + 0,06X3
S.A:
X1 - X2 + X3 = 0
X1 + X2 = 1.6
0,9X1 -0,1X2 - 0,1X3 = 0
-0,1X1 +0,9X2 – 0,1X3 = 0
-0,1X1 –0,1X2 + 0,9X3 = 0
X1 + X2 + X3 = 2
XJ =0 j= 1, 2 y 3
Solución óptima
X1 = 0.2 Libras del tamaño 1
Z = $0.108 Costo mínimo del paquete
PROBLEMA N° 14
Un fabricante de gasolina para aviación vende dos clases de combustibles: A y B. El combustible
A tiene 25% de gasolina de grado 1, 25% de gasolina de grado 2 y 50% de grado 3. El
combustible B tiene 50% de gasolina de grado 2 y 50% de grado 3. Disponible para producción
hay 500 gal/ hr de grado 1 y 200 gal/ hr. De los de grado 2 y 3. Los costos son de 30 ctvs. ( $
0.30) por galón de grado 1, $ 0.60 por galón de grado 2 y $ 0.50 de grado 3. La clase A puede
venderse a $ 0.75 por galón, mientras que la clase B alcanza $ 0.90 / galón. ¿ Qué cantidad
puede producirse de cada combustible?.
SOLUCION:
En este caso la pregunta de Maximización o Minimización está implícita, pero se deduce que
debe ser una Maximización puesto que se tiene precios de venta y costos. Por definición:
UTILIDAD = PRECIO DEVENTA POR GALÓN - COSTO POR GALÓN.
Entonces las variables quedan definidas como
X1 = CANTIDAD DE GALONES DE GASOLINA CLASE A QUE SE DEBEN VENDER
X2 = CANTIDAD DE GALONES DE GASOLINA CLASE B QUE SE DEBEN VENDER
FUNCIÓN OBJETIVO:
MAXIMIZAR Z= (
UTILIDAD POR VENDER UN GALÓN DE GASOLINA

12
A)X1 + (
UTILIDAD POR VENDER UN GALÓN DE GASOLINA
B )X2=
(.5*30 +.25*60 +.25*40)X1 + (.75*60 +.25*40)X2 = (15 +15 +10)X1 + (45 +10)X2 = 40X1 + 55X2
PROBLEMA N° 15
El propietario del rancho Litle Dixie está realizando ensayos para determinar la mezcla correcta
de dos clases de alimentos. Ambos contienen diversos porcentajes de 4 ingredientes
esenciales. ¿Cuál es la mezcla de costo mínimo?
Ingredientes % por Lb. De alimento Requerimientos
mínimos (libras)
Alimento 1 Alimento 2
1
2
3
4
40
10
20
30
20
30
40
10
4
2
3
6
Costo ( $ / Lib) 0.5 0.3
1° VARIABLES DE DECISION
Sea X1: alimento necesario es 40 mescla con 20 de alimento
X2: alimento necesario 10 mescla con 30 de alimento
X3: alimento necesario mescla es 20 con 40 de alimento
X4: alimento necesario 30 se mescla con 20 alimento
2°FUNCION OBJETIVO
Minimizar Z= 0.5X1 + 0.3X2 = 0.8
3°RESTRICCIONES
R1: requerimientos mínimo libras.4 X1 <=4
R2: requerimiento mínimo por libras 2 X2 >= 2
R3: requerimiento mínimo por libras 3 X3>=3

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R4: requerimiento mínimo por libras 6 X4 >=6
4° CONDICION DE NO NEGATIVIDAD
X1>=0, X2>=0
PROBLEMA N° 16
Un agente vendedor distribuye dos productos y no espera vender más de 10 unidades / mes del
producto 1 ó 39 unidades / mes del producto 2. Para evitar una multa debe vender al menos 24
unidades del producto. Recibe una comisión de 10% sobre todas las ventas y debe pagar sus
propios gastos, que se estiman en $ 1.50 por hora gastada en hacer visitas. Trabaja sólo
una parte del tiempo hasta un máximo de 80 horas / mes.
El producto 1 se vende en $ 150 por unidad y requiere un promedio de 1.5 horas por cada
visita; la probabilidad de hacer una venta es 0.5. El producto 2 se vende en $ 70 por unidad
y requiere un promedio de 30 minutos por cada visita; la probabilidad de hacer una venta
es 0.6. ¿ Cuántas visitas mensuales debe hacer a los clientes de cada producto?
Solución:
¿Qué es lo que vamos a Maximizar?
DEFINIR LAS VARIABLES
x1 = Q de visitas del producto 1
x2 = Q de visitas del producto 2
2) REALIZAR CUADRO DE EXPLICACION
Z(max)= maximizar la utilidad
Descripción derestricciones Tiposde productos Disponibilidad o requerimiento
A B
Ventas del producto 1 / mes 0.5 ≤ 10
Ventas del producto 2/ mes 0.6 ≤ 39
Ventas del producto 2/ mes 0.6 ≥ 24
Horas / mes 1,5 0,5 ≤ 80
UTILIDAD 5,25 3,45
PRODUCTO 1
P. VTAS*COMISIONES*PVp1-COSTO HORA *TIEMPO APLI
150*0.10*0.5-(1.50*1.50)=5.25
PRODUCTO 2
P. VTAS*COMISIONES*PVp1-COSTO HORA *TIEMPO APLI
70*010*0.60-(1.50*0.5)=3.45
Z(MAX)= 5,25X₁ + 3,45X₂
Sujeto a:
0.5X₁ ≤ 10

14
0.6 X₂ ≤ 39
0.6 X₂ ≥ 24
1,5X₁ + 0,5X₂ ≤ 80
X₁ ; X₂ ≥ 0
PROBLEMA N° 17
Una compañía de transporte de carga tiene 10 camiones con capacidad de 40,000 lbs y 5
camiones de 30,000 lbs. de capacidad. Los camiones grandes tienen costos de operación
de $ 0.30 / mil y los más pequeños de $ 0,25 / mil. La próxima semana, la compañía debe
transportar 400,000 lbs., de malta para un recorrido de 800 millas. La posibilidad de otros
compromisos impone que por cada dos camiones pequeños mantenidos en reserva debe
quedarse por lo menos uno de los grandes. Se pregunta: ¿ Cuál es el número óptimo de
camiones de ambas clases que deben movilizarse para transportar la malta? . (ignorar el
que la respuesta deba darse en números enteros?.
CAMIONES(10) CAMIONES(5)
TOTAL, CAMIONES
(15)
COMPAÑÍA DE TRANSPORTE
COSTODE
OPERACIÓN RESERVA RECORRIDO
X1=CAMION GRANDE 0.30 1 800 millas
X2=CAMION PEQUEÑO 0.25 2 800 millas
CAPACIDAD 40.000 30.000
TOTAL, A TRANSPORTAR4000.000
Sea X1: Cantidad de camiones grandes a movilizarse
X2: Cantidad de camiones pequeños a movilizarse
2°FUNCION OBJETIVO
Minimizar Z= 0.30X800X1 + 0.25X800X2
3°RESTRICCIONES
R1: Respecto a los dos camiones pequeños mantenidos en reserva.2X1-X2<=15
R2: Respecto a los 10 camiones X1<=10
R3: Respecto a los 5 camiones X2<=5
R4: Respecto al transporte 40.000x1 + 30.000x2>=400000
X1>=0, X2>=0
PROBLEMA N° 18.
Un pastelero fabrica dos tipos de tartas T1 y T2, para lo que usa tres ingredientes A, B y C.
Dispone de 150 kgs. de A, 90 kgs. de B y 150 kgs. de C. Para fabricar una tarta T1 debe mezclar

15
1 kgs. de A, 1 kgs. de B y 2 kgs. de C, mientras que para hacer una tarta T2 se necesitan 5 kgs.
de A, 2 kgs. de B y 1 kgs. de C.
a. Si se venden las tartas T1 a 1.000 u.m. la unidad y las T2 a 2.300 u.m.. ¿Qué cantidad
debe fabricar de cada clase para maximizar sus ingresos?
b. Si se fija el precio de una tarta del tipo T1 en 1.500 u.m.. ¿Cuál será el precio de una
tarta del tipo T2 si una solución óptima es fabricar 60 tartas del tipo T1 y 15 del tipo T2?
Sea X1= Cantidad de Tarta T1
Sea X2=Cantidad de Tarta T2
2° FUNCION OBJETIVO
Maximizar Z= 1.000X1 + 2.300X2
3°RESTRICCIONES
R1= Respecto a la mezcla de ingredientes (A) 1X1+5X2<=150
R2= Respecto a la mezcla de ingredientes (B) 1X1+2X2<=90
R3= Respecto a la mezcla de ingredientes (C) 2X1+1X2<=150
X1>=0, X2>=0
INGREDIENTE
S
A B C
TARTAS MEZCLA
PRECIO X
UNIDAD
ELABORA
R
T1 = X1 1 kg 1Kg 2Kg 1.000 60
T2 = X2 5Kg 2Kg 1Kg 2.3 15
Disponibilidad 150 90 150

16
PROBLEMA N° 19
Un hombre de negocios tiene la opción de invertir su dinero en dos planes. El plan A garantiza
que cada dólar invertido retornará 70 centavos por año, mientras que el plan B garantiza
que cada dólar invertido retornará $ 2,00 en dos años. El plan B sólo se invierte para
periodos que son múltiplos de dos años. ¿ Cómo se invertirá $ 100,000 para maximizar los
retornos al final de los 3 años?. Formule el problema como un modelo de programación
lineal.
PLANES TIEMPO(AÑO) RETORNA
PLAN A= X1 1 70 centavos
PLAN B =X2 2 2.00
INVERTIRA=100.000 3
Sea X1 = “Plan A” a invertir
X2 = Plan B a invertir
Maximizar Z= 70X1+2.00X2
3° RESTRICCIONES
R1= Respecto al retorno de cada dólar a invertir
70X1+2X2>=100.000
R2 = Respecto al tiempo
X+2X=3
4°CONDICION DE NO NEGATIVIDAD
X1>=0, X2>=0
PROBLEMA N° 20
Para una jornada de 24 horas, una cafetería está requiriendo los siguientes mozos:

17
Tiempo del día Número mínimo de mozos
2 – 6
6 – 10
10 – 14
14 – 18
18 – 22
22 – 2
4
8
10
7
12
4
Cada mozo trabaja 8 horas consecutivas por día. El objetivo es encontrar el número de
mozos que cumplan los requerimientos. Formule el problema como un modelo de
programación lineal.
SEA X1= Numero de mozos que ingresan a las 2
X2= Numero de mozos que ingresan a las 6
Minimizar Z = X1+X2+X3+X4+X5+X6……
3° RESTRICCIONES
R1= Respecto al numero de mozos requeridos en el horario 2-6 (4 mozos): X1+X6>=4...
R2= Respecto al número de mozos requeridos en el horario 6-10 (8 mozos): X1+X2>=8….
R3= Respecto al número de mozos requeridos en el horario 10-14 (10 mozos): X2+X3>=10…
R4= Respecto al número de mozos requeridos en el horario 14-18(7 mozos):X3+X4>=7….
R5= Respecto al número de mozos requeridos en el horario 18-22 (12 mozos):X4+X5>=12…
R6= Respecto al número de mozos requeridos en el horario 22-2 (12 mozos): X5+X6>=4…
X1, X2, X3, X4, X5, X6>=0
PROBLEMA N° 21
Una planta produce 2 tipos de refrigeradores, A y B. Hay 2 líneas de producción, una dedicada
a la producción de refrigeradores de tipo A y la otra dedicada a la producción de refrigeradores
de tipo B. La capacidad de producción de la Línea A es de 60 unidades por día, la capacidad de
la línea B es de 50 unidades por día. A requiere 20 minutos de Mano de Obra (MDO), mientras
que B requiere 40 minutos de MDO.. Actualmente, hay un máximo de 40 horas de MDO por día
que puede ser asignado a cada una de las líneas.

18
La contribución a las ganancias son de $20 por refrigerador de tipo A, y $30 del tipo B. Formular
el problema como un modelo de programación lineal.
Línea de producción A B
unidades 60 50
minutos 20 40
ganancias $20 $30
Sea X1 = “LP A” ganancias
X2 = LP B ganancias
Maximizar Z= 20X1+30X2
3° RESTRICCIONES
R1= respecto a las ganancias
20X1+30X2>=50
R2 = Respecto a los minutos
20X+40X=20
X1>=0, X2>=0
PROBLEMA N° 22
Un cierto producto final consiste de tres partes que pueden ser producidas en cuatro
diferentes departamentos, disponiendo cada departamento en un número limitado de horas
de producción. La tabla que aparece a continuación da las tasas para las tres partes. El
objetivo es determinar el número de horas de cada departamento a ser asignadas a cada
parte, para maximizar el número de unidades completas del producto final. Formule el
problema como un modelo de programación lineal.
Departamento Capacidad
(horas)
Tasa de producción
Parte 1 Parte 2 Parte 3
1 100 10 15 5

19
2
3
4
150
80
200
15
20
10
10
5
15
5
10
20
SEA X1= capacidad de horas departamento sea 100
X2= Número de horas por departamentos 150
X3= Numero horas por departamentos 80
X4= Número de horas por departamentos 200
Minimizar Z = X1+X2+X3+X4……
3° RESTRICCIONES
R1= respecto a tasa de producción 10 + 15 + 5 >= 30
R2= respecto a tasa de producción 16 + 10 + 5 >= 31
R3 = respecto a tasa de producción 20 + 5 +10 >= 35
R4 = respecto a tasa de producción 10 + 15 + 20 >= 45
X1, X2, X3, X4 >=0
PROBLEMA N° 23
Un granjero está engordando cerdos para el mercado y desea determinar las cantidades
de los tipos de alimentos que debe darse a cada cerdo para satisfacer ciertos
requerimientos de nutrición a costo mínimo. En la tabla siguiente se da el número de
unidades de cada tipo de ingrediente nutritivo básico contenido en un kilogramo de cada
tipo de alimento, junto con los requerimientos diarios respecto a la nutrición y los costos
de alimento.
Ingrediente
nutritivo
Kilogramo de
maíz
Kilogramo de
residuos de
grasas
Kilogramo de
alfalfa
Requerimiento
diario mínimo
Carbohidratos
Proteína
Vitaminas
90
30
10
20
80
20
40
60
60
200
180
150
Costo © 21 18 15
Formúlese el modelo de programación lineal para este problema
SEA X1= costo primario 21
X2= costo primario 28

20
X3= costo primario 15
Minimizar Z = 21 X1 +18 X2 +15 x3
3° RESTRICCIONES
R1= respecto a tasa de nutrición 90 + 20 + 40 >= 200 carbohidratos
R2= respecto a tasa de producción 30 + 80 + 60>= 180 proteínas
R3 = respecto a tasa de producción 10 + 20 +60>=150 vitaminas
X1, X2, X3,>=0
PROBLEMA N° 24
Un fabricante de automóviles tiene un contrato para exportar 400 automóviles de modelo A y
500 del modelo B. El automóvil modelo A ocupa un volumen de 12 metros cúbicos, y el modelo
B ocupa un volumen de 15 metros cúbicos. Se dispone de tres barcos para transportar los
automóviles. Estos llegarán al puerto de destino, a principios de enero, mediados de febrero
y fines de marzo, respectivamente. El primer barco sólo transporta automóviles modelo a a un
costo de $ 450 por automóvil. El segundo y tercer barco transportan ambos modelos a un
costo de $ 35 y $ 40 por metro cúbico respectivamente. El primer barco sólo puede acomodar
200 automóviles y el segundo y el tercer barco tienen disponibles volúmenes de 4500 y
6000 metros cúbicos. Si el fabricante se ha comprometido a entregar al menos 250 del
modelo A y 200 del modelo B para mediados de febrero , y el resto para fines de marzo, ¿
cuál es el diagrama de embarques para minimizar el costo total. Formule el problema como
un modelo lineal.

21
PROBLEMA N° 25
Un inversionista tiene oportunidad de realizar las actividades Ay B al principio de cada uno de
los próximos años (llámense años 1 a 5). Cada dólar invertido en A al principio de cualquier año
retribuye $ 1,40 (una ganancia de $0,40) dos años después (a tiempo para la reinversión
inmediata).
Cada dólar invertido en B al principio de cualquier año retribuye $1.70, tres años después.
Además, las actividades C y D estarán disponibles para inversión una sola vez en el futuro. Cada
dólar invertido en C al principio del año 2 da $1.90 al final del año 5. Cada dólar invertido en D al
principio del año 5 retribuye $1.30 al final de ese año. El inversionista tiene $60 000 para iniciar
y desea saber cuál plan de inversión maximiza la cantidad de dinero acumulada al principio del
año 6. Formule el modelo de programación lineal para este problema.
XA1
XA2
XD1 XA3
XA4
XB1
XB2
XB3
xC2
XD5

22
1.- Objetivo: Maximizar utilidades al final del quinto año.
Variables: Xij : cantidad invertida de tipo "i" (i=A..D) al inicio del año "j" (j=1..5)
Zj : excedente no invertido al inicio del año "j" (j=1..4).
2.- Función Objetivo: Max
3 Restricciones
1) 600001111  ZXXX BDA (Inversiones al inicio del año 1)
2) 112222 31 ZX.ZXXX DCBA  (Inversiones al inicio del año 2)
3) 21333 41 ZX.ZXX ABA  (Inversiones al inicio del año 3)
4) 31244 7141 ZX.X.ZX BAA  (Inversiones al inicio del año 4)
5) 4235 7141 ZX.X.X BAD  (Inversiones al inicio del año 5
4.- Naturaleza de las variables
0jij Z,X
PROBLEMA N° 26
Una empresa energética dispone de tres plantas de generación para satisfacer la demanda
eléctrica de cuatro ciudades. Las plantas 1, 2 y 3 pueden satisfacer 35, 50 y 40 millones de [kWh]
respectivamente. El valor máximo de consumo ocurre a las 2 PM y es de 45, 20, 30 y 30 millones
de [kWh] en las ciudades 1, 2, 3 y 4 respectivamente. El costo de enviar 1 [kWh] depende de la
distancia que deba recorrer la energ³a. La siguiente tabla muestra los costos de env³o unitario
desde cada planta a cada ciudad. Formule un modelo de programación lineal que permita
minimizar los costos de satisfacción de la demanda máxima en todas las ciudades.
Desde
Hasta
Ciudad 1 Ciudad 2 Ciudad 3 Ciudad 4 Oferta
(Millones
Kwh)
Planta 1 8 6 10 9 35
Planta 2 9 12 13 7 50
Planta 3 14 9 16 5 40
Demanda
(millones de
Kwh)
45 20 30 30
OFERTA
8 15 6 10 9 35/15/0
9 20 20 13 7 50/20/0
14 10 12 16 30 40/30/0
45/30/10/0 9 30 5
20/0 30/0 30/0 125/125
VARIABLES DE DECISIÓN

23
Xij donde i= 1,2,3 orígenes
j= 1,2,3,4 destinos
FUNCIÓN OBJETIVO
MIN Z = 8X11+6X12+10X13+9X14+
9X21+12X22+13X23+7X24+
14X31+9X32+16X33+5X34
RESTRICCIONES
OFERTA: X11+X12+X13+X14 <= 35
X21+X22+X23+X24 <= 50
X31+X32+X33+X34 <= 40
DEMANDA: X11+X21+X31 <= 45
X12+X22+X32 <= 20
X13+X23+X33 <= 30
X14+X24+X34 <= 30
RESTRICCIONES DE NO NEGATIVIDAD
Xij <= 0 i: 1,2,3
j: 1,2,3,4
PROBLEMA N° 27
Cierta compañía tiene tres plantas con un exceso en su capacidad de producción. Por fortuna,
la corporación tiene un nuevo producto listo para producción y las tres plantas pueden fabricarlo,
así que se podrá usar parte de este exceso de capacidad. El producto puede hacerse en tres
tamaños: grande, mediano y chico; y darán una ganancia neta de $420, $360 y $300,
respectivamente. Las plantas 1, 2 y 3 tienen capacidad de mano de obra y equipo para producir
750, 900 y 450 unidades diarias de este producto, respectivamente, sin importar el tamaño o la
combinación de tamaños de que se trate. La cantidad de espacio disponible para almacenar
material en proceso impone también una limitación en las tasas de producción del nuevo
producto. Se cuenta con 13 000, 12 000 y 5000 pies cuadrados de espacio correspondiente a
las plantas 1, 2 y 3, para los materiales en proceso de la producción diaria de este producto.
Cada unidad grande, mediana y chica que se produce requiere 20, 15 y 12 pies cuadrados,
respectivamente.
Los pronósticos de mercado indican que, si se dispone de ellas, se pueden vender 900, 1200 y
750 unidades diarias, correspondientes a los tamaños grande, mediano y chico. El gerente quiere
saber cuántas unidades de cada tamaño debe producir en cada planta para maximizar la
ganancia. Formule un modelo de programación lineal para este problema.

24
PLANTAS CAPACIDAD
UNIDAD/DIA
ESPACIO
FT2
1 700 13,000
2 900 12,000
3 450 5,000
PRODUCTO GRANDE MEDIANO CHICO
GANANCIA 420 360 300
DEMANDA 900 1200 750
Xij = unidades de tamaño i producidas por la planta j
Se ha de minimizar el coste (coste = (precio del kilo de la sustancia A) × (precio
del kilo de A) + (precio del kilo de la sustancia B) × (precio del kilo de B)):
3° RESTRICCIONES:
Grande) X31 + X32 + X33 <= 900
Mediano) X21 + X22 + X23 <= 1200
Chico) X11 + X12 + X13 <= 750
Capacidad de producción
Planta1)X31 + X21 + X11 <= 750
Planta2) X32 + X22 + X12 <= 900
Planta3) X33 + X23 + X13 <= 450
El espacio
Planta1) 20X31 + 15X21 + 12X11 <= 13 000
Planta2) 20X32 + 15X22 + 12X12 <= 12 000
Planta3) 20X33 + 15X23 + 12X13 <= 5 000
Proporcionalidad en la capacidad
x1>=0, x2>=0
PROBLEMA N° 28
Se desea obtener tres elementos químicos a partir de las sustancias A y B. Un kilo de A
contiene 8 gramos del primer elemento, 1 gramo del segundo y 2 del tercero; un kilo de B tiene
4 gramos del primer elemento, 1 gramo del segundo y 2 del tercero. Se desea obtener al menos
16 gramos del primer elemento y las cantidades del segundo y del tercero han de ser como
mucho 5 y 20 gramos, respectivamente; y la cantidad de A es como mucho el doble que la de
B. Calcula los kilos de A y los de B que han de tomarse para que el coste sea mínimo si un
kilo de A vale 2 euros y uno de B 10 euros. ¿Puede eliminarse alguna restricción?

25
Solución:
ELEMENTO1 ELEMENTO2 ELEMENTO3 COSTO
X SUSTANCIA
A
8GR 1GR 2GR 2
Y SUSTANCIA
B
4GR 1GR 2GR 10
x: kilos de la sustancia A.
y: kilos de la sustancia B.
Se ha de minimizar el coste (coste = (precio del kilo de la sustancia A) × (precio
del kilo de A) + (precio del kilo de la sustancia B) × (precio del kilo de B)):
3° RESTRICCIONES:
 x⩾0, y⩾0 (el número de kilos no puede ser negativo).
 8x+4y⩾16 (como mínimo tenemos que conseguir 16 g de la primera
sustancia).
 x+y⩽5 (como máximo tenemos que obtener 5 g de la segunda sustancia).
 2⋅x+2⋅y⩽20 (como máximo tenemos que obtener 20 g de la tercera
sustancia).
 x⩽2⋅y (la cantidad de la sustancia A es como mucho el doble de la de B)
x1>=0, x2>=0

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