1. Sobre la teor´ de la relatividad
ıa
Albert Einstein
Escaneado por C. Alado

2. Pr´logo
o
El presente librito pretende dar una idea lo m´s exacta posible de la
a
teor´ de la relatividad, pensando en aquellos que, sin dominar el aparato
ıa
matem´tico de la f´
a ısica te´rica, tienen inter´s en la teor´ desde el punto
o e ıa
de vista cient´ ıfico o filos´fico general. La lectura exige una formaci´n de
o o
bachillerato aproximadamente y —pese a la brevedad del librito— no poca
paciencia y voluntad por parte del lector. El autor ha puesto todo su empe˜o n
en resaltar con la m´xima claridad y sencillez las ideas principales, respetando
a
por lo general el orden y el contexto en que realmente surgieron. En aras de
la claridad me pareci´ inevitable repetirme a menudo, sin reparar lo m´s
o a
m´ınimo en la elegancia expositiva; me atuve obstinadamente al precepto del
genial te´rico L. Boltzmann, de dejar la elegancia para los sastres y zapateros.
o
Las dificultades que radican en la teor´ propiamente dicha creo no hab´rselas
ıa e
ocultado al lector, mientras que las bases f´ısicas emp´ıricas de la teor´ las he
ıa
tratado deliberadamente con cierta negligencia, para que al lector alejado de
la f´
ısica no le ocurra lo que al caminante, a quien los ´rboles no le dejan ver
a
el bosque. Espero que el librito depare a m´s de uno algunas horas de alegre
a
entretenimiento.
Diciembre de 1916. A. EINSTEIN
1

3. Sobre la teor´ de la relatividad especial
ıa
1. El contenido f´
ısico de los teoremas geom´tricos
e
Seguro que tambi´n t´, querido lector, entablaste de ni˜o conocimiento
e u n
con el soberbio edificio de la Geometr´ de Euclides y recuerdas, quiz´ con
ıa a
m´s respeto que amor, la imponente construcci´n por cuyas altas escalinatas
a o
te pasearon durante horas sin cuento los meticulosos profesores de la asigna-
tura. Y seguro que, en virtud de ese tu pasado, castigar´ con el desprecio
ıas
a cualquiera que declarase falso incluso el m´s rec´ndito teoremita de esta
a o
ciencia. Pero es muy posible que este sentimiento de orgullosa seguridad te
abandonara de inmediato si alguien te preguntara: “¿Qu´ entiendes t´ al
e u
afirmar que estos teoremas son verdaderos?”. Deteng´monos un rato en esta
a
cuesti´n.
o
La Geometr´ parte de ciertos conceptos b´sicos, como el de plano, pun-
ıa a
to, recta, a los que estamos en condiciones de asociar representaciones m´s oa
menos claras, as´ como de ciertas proposiciones simples (axiomas) que, sobre
ı
la base de aquellas representaciones, nos inclinamos a dar por “verdaderas”.
Todos los dem´s teoremas son entonces referidos a aquellos axiomas (es decir,
a
son demostrados) sobre la base de un m´todo l´gico cuya justificaci´n nos
e o o
sentimos obligados a reconocer. Un teorema es correcto, o “verdadero”, cuan-
do se deriva de los axiomas a trav´s de ese m´todo reconocido. La cuesti´n
e e o
de la “verdad” de los distintos teoremas geom´tricos remite, pues, a la de la
e
“verdad” de los axiomas. Sin embargo, se sabe desde hace mucho que esta
ultima cuesti´n no s´lo no es resoluble con los m´todos de la Geometr´ sino
´ o o e ıa,
que ni siquiera tiene sentido en s´ No se puede preguntar si es verdad o no
ı.
´
que por dos puntos s´lo pasa una recta. Unicamente cabe decir que la Geo-
o
metr´ eucl´
ıa ıdea trata de figuras a las que llama “rectas” y a las cuales asigna
la propiedad de quedar un´ ıvocamente determinadas por dos de sus puntos.
El concepto de “verdadero” no se aplica a las proposiciones de la Geometr´ ıa
pura, porque con la palabra “verdadero” solemos designar siempre, en ultima
´
instancia, la coincidencia con un objeto “real”; la Geometr´ sin embargo,
ıa,
no se ocupa de la relaci´n de sus conceptos con los objetos de la experiencia,
o
sino s´lo de la relaci´n l´gica que guardan estos conceptos entre s´
o o o ı.
2

4. 3
El que, a pesar de todo, nos sintamos inclinados a calificar de “verdaderos”
los teoremas de la Geometr´ tiene f´cil explicaci´n. Los conceptos geom´tri-
ıa a o e
cos se corresponden m´s o menos exactamente con objetos en la naturaleza,
a
que son, sin ning´n g´nero de dudas, la unica causa de su formaci´n. Aunque
u e ´ o
la Geometr´ se distancie de esto para dar a su edificio el m´ximo rigor l´gi-
ıa a o
co, lo cierto es que la costumbre, por ejemplo, de ver un segmento como dos
lugares marcados en un cuerpo pr´cticamente r´
a ıgido est´ muy afincada en
a
nuestros h´bitos de pensamiento. Y tambi´n estamos acostumbrados a per-
a e
cibir tres lugares como situados sobre una recta cuando, mediante adecuada
elecci´n del punto de observaci´n, podemos hacer coincidir sus im´genes al
o o a
mirar con un solo ojo.
Si, dej´ndonos llevar por los h´bitos de pensamiento, a˜adimos ahora a
a a n
los teoremas de la Geometr´ eucl´
ıa ıdea un unico teorema m´s, el de que a dos
´ a
puntos de un cuerpo pr´cticamente r´
a ıgido les corresponde siempre la misma
distancia (segmento), independientemente de las variaciones de posici´n a o
que sometamos el cuerpo, entonces los teoremas de la Geometr´ eucl´ ıa ıdea se
convierten en teoremas referentes a las posibles posiciones relativas de cuer-
pos pr´cticamente r´
a ıgidos1 . La Geometr´ as´ ampliada hay que contemplarla
ıa ı
como una rama de la f´ ısica. Ahora s´ cabe preguntarse por la “verdad” de los
ı
teoremas geom´tricos as´ interpretados, porque es posible preguntar si son
e ı
v´lidos o no para aquellos objetos reales que hemos asignado a los conceptos
a
geom´tricos. Aunque con cierta imprecisi´n, podemos decir, pues, que por
e o
“verdad” de un teorema geom´trico entendemos en este sentido su validez en
e
una construcci´n con regla y comp´s.
o a
Naturalmente, la convicci´n de que los teoremas geom´tricos son “ver-
o e
daderos” en este sentido descansa exclusivamente en experiencias harto in-
completas. De entrada daremos por supuesta esa verdad de los teoremas
geom´tricos, para luego, en la ultima parte de la exposici´n (la teor´ de la
e ´ o ıa
relatividad general), ver que esa verdad tiene sus l´ ımites y precisar cu´les
a
son ´stos.
e
2. El sistema de coordenadas
Bas´ndonos en la interpretaci´n f´
a o ısica de la distancia que acabamos de
se˜alar estamos tambi´n en condiciones de determinar la distancia entre dos
n e
puntos de un cuerpo r´
ıgido por medio de mediciones. Para ello necesitamos
1
De esta manera se le asigna tambi´n a la l´
e ınea recta un objeto de la naturaleza. Tres
puntos de un cuerpo r´ıgido A, B, C se hallan situados sobre una l´
ınea recta cuando, dados
los puntos A y C, el punto B est´ elegido de tal manera que la suma de las distancia AB
a
y BC es lo m´s peque˜a posible. Esta definici´n, defectuosa desde luego, puede bastar en
a n o
este contexto.

5. 4
un segmento (regla S) que podamos utilizar de una vez para siempre y que
sirva de escala unidad. Si A y B son dos puntos de un cuerpo r´ ıgido, su recta
de uni´n es entonces construible seg´n las leyes de la Geometr´ sobre esta
o u ıa;
recta de uni´n, y a partir de A, llevamos el segmento S tantas veces como sea
o
necesario para llegar a B. El n´mero de repeticiones de esta operaci´n es la
u o
medida del segmento AB. Sobre esto descansa toda medici´n de longitudes2 .
o
Cualquier descripci´n espacial del lugar de un suceso o de un objeto
o
consiste en especificar el punto de un cuerpo r´ ıgido (cuerpo de referencia) con
el cual coincide el suceso, y esto vale no s´lo para la descripci´n cient´
o o ıfica,
sino tambi´n para la vida cotidiana. Si analizo la especificaci´n de lugar
e o
“en Berl´ en la Plaza de Potsdam”, veo que significa lo siguiente. El suelo
ın,
terrestre es el cuerpo r´
ıgido al que se refiere la especificaci´n de lugar; sobre
o
´l, “Plaza de Potsdam en Berl´ es un punto marcado, provisto de nombre,
e ın”
con el cual coincide espacialmente el suceso 3 .
Este primitivo modo de localizaci´n s´lo atiende a lugares situados en la
o o
superficie de cuerpos r´ ıgidos y depende de la existencia de puntos distingui-
bles sobre aqu´lla. Veamos c´mo el ingenio humano se libera de estas dos
e o
limitaciones sin que la esencia del m´todo de localizaci´n sufra modificaci´n
e o o
alguna. Si sobre la Plaza de Potsdam flota por ejemplo una nube, su posici´n, o
referida a la superficie terrestre, cabr´ fijarla sin m´s que erigir en la plaza
a a
un m´stil vertical que llegue hasta la nube. La longitud del m´stil medida
a a
con la regla unidad, junto con la especificaci´n del lugar que ocupa el pie
o
del m´stil, constituyen entonces una localizaci´n completa. El ejemplo nos
a o
muestra de qu´ manera se fue refinando el concepto de lugar:
e
a) Se prolonga el cuerpo r´
ıgido al que se refiere la localizaci´n, de modo
o
que el cuerpo r´
ıgido ampliado llegue hasta el objeto a localizar.
b) Para la caracterizaci´n del lugar se utilizan n´meros, y no la nomen-
o u
clatura de puntos notables (en el caso anterior, la longitud del m´stil
a
medida con la regla).
c) Se sigue hablando de la altura de la nube aun cuando no se erija un
m´stil que llegue hasta ella. En nuestro caso, se determina —mediante
a
fotograf´ de la nube desde diversos puntos del suelo y teniendo en
ıas
2
Se ha supuesto, sin embargo, que la medici´n es exacta, es decir, que da un n´mero en-
o u
tero. De esta dificultad se deshace uno empleando escalas subdivididas, cuya introducci´n o
no exige ning´n m´todo fundamentalmente nuevo.
u e
3
No es preciso entrar aqu´ con m´s detenimiento en el significado de “coincidencia
ı a
espacial”, pues este concepto es claro en la medida en que, en un caso real, apenas habr´ ıa
divisi´n de opiniones en torno a su validez
o

6. 5
cuenta las propiedades de propagaci´n de la luz— qu´ longitud habr´
o e ıa
que dar al m´stil para llegar a la nube.
a
De estas consideraciones se echa de ver que para la descripci´n de lugares
o
es ventajoso independizarse de la existencia de puntos notables, provistos de
nombres y situados sobre el cuerpo r´ ıgido al que se refiere la localizaci´n, y
o
utilizar en lugar de ello n´meros. La f´
u ısica experimental cubre este objetivo
empleando el sistema de coordenadas cartesianas.
Este sistema consta de tres paredes r´ ıgidas, planas, perpendiculares entre
s´ y ligadas a un cuerpo r´
ı ıgido. El lugar de cualquier suceso, referido al
sistema de coordenadas, viene descrito (en esencia) por la especificaci´n de o
la longitud de las tres verticales o coordenadas (x, y, z)(cf. Fig. 2, p. ) que
pueden trazarse desde el suceso hasta esas tres paredes. Las longitudes de
estas tres perpendiculares pueden determinarse mediante una sucesi´n de o
manipulaciones con reglas r´ ıgidas, manipulaciones que vienen prescritas por
las leyes y m´todos de la Geometr´ euclidiana.
e ıa
En las aplicaciones no suelen construirse realmente esas paredes r´ ıgidas
que forman el sistema de coordenadas; y las coordenadas tampoco se deter-
minan realmente por medio de construcciones con reglas r´ ıgidas, sino indirec-
tamente. Pero el sentido f´ ısico de las localizaciones debe buscarse siempre en
concordancia con las consideraciones anteriores, so pena de que los resultados
ısica y la astronom´ se diluyan en la falta de claridad4 .
de la f´ ıa
La conclusi´n es, por tanto, la siguiente: toda descripci´n espacial de
o o
sucesos se sirve de un cuerpo r´ ıgido al que hay que referirlos espacialmente.
Esa referencia presupone que los “segmentos” se rigen por las leyes de la
Geometr´ eucl´
ıa ıdea, viniendo representados f´ ısicamente por dos marcas sobre
un cuerpo r´ ıgido.
3. Espacio y tiempo en la Mec´nica cl´sica
a a
Si formulo el objetivo de la Mec´nica diciendo que “la Mec´nica debe
a a
describir c´mo var´ con el tiempo la posici´n de los cuerpos en el espacio”,
o ıa o
sin a˜adir grandes reservas y prolijas explicaciones, cargar´ sobre mi con-
n ıa
ciencia algunos pecados capitales contra el sagrado esp´ ıritu de la claridad.
Indiquemos antes que nada estos pecados.
No est´ claro qu´ debe entenderse aqu´ por “posici´n” y “espacio”. Su-
a e ı o
pongamos que estoy asomado a la ventanilla de un vag´n de ferrocarril que
o
lleva una marcha uniforme, y dejo caer una piedra a la v´ sin darle ning´n
ıa, u
impulso. Entonces veo (prescindiendo de la influencia de la resistencia del
4
No es sino en la teor´ de la relatividad general, estudiada en la segunda parte del
ıa
libro, donde se hace necesario afinar y modificar esta concepci´n.
o

7. 6
aire) que la piedra cae en l´ ınea recta. Un peat´n que asista a la fechor´ des-
o ıa
de el terrapl´n observa que la piedra cae a tierra seg´n un arco de par´bola.
e u a
Yo pregunto ahora: las “posiciones” que recorre la piedra ¿est´n “realmente”
a
sobre una recta o sobre una par´bola? Por otro lado, ¿qu´ significa aqu´ mo-
a e ı
vimiento en el “espacio”? La respuesta es evidente despu´s de lo dicho en
e
§2. Dejemos de momento a un lado la oscura palabra “espacio”, que, pa-
ra ser sinceros, no nos dice absolutamente nada; en lugar de ella ponemos
“movimiento respecto a un cuerpo de referencia pr´cticamente r´
a ıgido”. Las
posiciones con relaci´n al cuerpo de referencia (vag´n del tren o v´
o o ıas) han
sido ya definidas expl´ ıcitamente en el ep´ıgrafe anterior. Introduciendo en lu-
gar de “cuerpo de referencia” el concepto de “sistema de coordenadas”, que
es util para la descripci´n matem´tica, podemos decir: la piedra describe,
´ o a
con relaci´n a un sistema de coordenadas r´
o ıgidamente unido al vag´n, una
o
recta; con relaci´n a un sistema de coordenadas r´
o ıgidamente ligado a las v´ ıas,
una par´bola. En este ejemplo se ve claramente que en rigor no existe una
a
trayectoria5 , sino s´lo una trayectoria con relaci´n a un cuerpo de referencia
o o
determinado.
Ahora bien, la descripci´n completa del movimiento no se obtiene sino
o
al especificar c´mo var´ la posici´n del cuerpo con el tiempo, o lo que es lo
o ıa o
mismo, para cada punto de la trayectoria hay que indicar en qu´ momento se
e
encuentra all´ el cuerpo. Estos datos hay que completarlos con una definici´n
ı o
del tiempo en virtud de la cual podamos considerar estos valores tempora-
les como magnitudes esencialmente observables (resultados de mediciones).
Nosotros, sobre el suelo de la Mec´nica cl´sica, satisfacemos esta condici´n
a a o
—con relaci´n al ejemplo anterior— de la siguiente manera. Imaginemos dos
o
relojes exactamente iguales; uno de ellos lo tiene el hombre en la ventanilla
del vag´n de tren; el otro, el hombre que est´ de pie en el terrapl´n. Cada uno
o a e
de ellos verifica en qu´ lugar del correspondiente cuerpo de referencia se en-
e
cuentra la piedra en cada instante marcado por el reloj que tiene en la mano.
Nos abstenemos de entrar aqu´ en la imprecisi´n introducida por el car´cter
ı o a
finito de la velocidad de propagaci´n de la luz. Sobre este extremo, y sobre
o
una segunda dificultad que se presenta aqu´ hablaremos detenidamente m´s
ı, a
adelante.
4. El sistema de coordenadas de Galileo
Como es sabido, la ley fundamental de la Mec´nica de Galileo y Newton,
a
conocida por la ley de inercia, dice: un cuerpo suficientemente alejado de otros
cuerpos persiste en su estado de reposo o de movimiento rectil´ ıneo uniforme.
5
Es decir, una curva a lo largo de la cual se mueve el cuerpo.

8. 7
Este principio se pronuncia no s´lo sobre el movimiento de los cuerpos, sino
o
tambi´n sobre qu´ cuerpos de referencia o sistemas de coordenadas son per-
e e
misibles en la Mec´nica y pueden utilizarse en las descripciones mec´nicas.
a a
Algunos de los cuerpos a los que sin duda cabe aplicar con gran aproximaci´n o
la ley de inercia son las estrellas fijas. Ahora bien, si utilizamos un sistema de
coordenadas solidario con la Tierra, cada estrella fija describe, con relaci´n a
o
´l y a lo largo de un d´ (astron´mico), una circunferencia de radio enorme,
e ıa o
en contradicci´n con el enunciado de la ley de inercia. As´ pues, si uno se
o ı
atiene a esta ley, entonces los movimientos s´lo cabe referirlos a sistemas
o
de coordenadas con relaci´n a los cuales las estrellas fijas no ejecutan mo-
o
vimientos circulares. Un sistema de coordenadas cuyo estado de movimiento
es tal que con relaci´n a ´l es v´lida la ley de inercia lo llamamos “sistema
o e a
de coordenadas de Galileo”. Las leyes de la Mec´nica de Galileo-Newton s´lo
a o
tienen validez para sistemas de coordenadas de Galileo.
5. El principio de la relatividad (en sentido restringido)
Para conseguir la mayor claridad posible, volvamos al ejemplo del vag´n o
de tren que lleva una marcha uniforme. Su movimiento decimos que es una
traslaci´n uniforme (“uniforme”, porque es de velocidad y direcci´n constan-
o o
tes; “traslaci´n”, porque aunque la posici´n del vag´n var´ con respecto a la
o o o ıa
v´ no ejecuta ning´n giro). Supongamos que por los aires vuela un cuervo
ıa, u
en l´ınea recta y uniformemente (respecto a la v´ No hay duda de que el
ıa).
movimiento del cuervo es —respecto al vag´n en marcha— un movimiento
o
de distinta velocidad y diferente direcci´n, pero sigue siendo rectil´
o ıneo y uni-
forme. Expresado de modo abstracto: si una masa m se mueve en l´ ınea recta
y uniformemente respecto a un sistema de coordenadas K, entonces tambi´n e
se mueve en l´ ınea recta y uniformemente respecto a un segundo sistema de
coordenadas K , siempre que ´ste ejecute respecto a K un movimiento de
e
traslaci´n uniforme. Teniendo en cuenta lo dicho en el p´rrafo anterior, se
o a
desprende de aqu´ lo siguiente:
ı
Si K es un sistema de coordenadas de Galileo, entonces tambi´n lo ese
cualquier otro sistema de coordenadas K que respecto a K se halle en un
estado de traslaci´n uniforme. Las leyes de la Mec´nica de Galileo-Newton
o a
valen tanto respecto a K como respecto a K.
Demos un paso m´s en la generalizaci´n y enunciemos el siguiente prin-
a o
cipio: Si K es un sistema de coordenadas que se mueve uniformemente y
sin rotaci´n respecto a K, entonces los fen´menos naturales transcurren con
o o
respecto a K seg´n id´nticas leyes generales que con respecto a K. Esta
u e
proposici´n es lo que llamaremos el “principio de relatividad” (en sentido
o
restringido).

9. 8
Mientras se mantuvo la creencia de que todos los fen´menos naturales se
o
pod´ representar con ayuda de la Mec´nica cl´sica, no se pod´ dudar de la
ıan a a ıa
validez de este principio de relatividad. Sin embargo, los recientes adelantos
a ´
de la Electrodin´mica y de la Optica hicieron ver cada vez m´s claramente
a
que la Mec´nica cl´sica, como base de toda descripci´n f´
a a o ısica de la natura-
leza, no era suficiente. La cuesti´n de la validez del principio de relatividad
o
se torn´ as´ perfectamente discutible, sin excluir la posibilidad de que la so-
o ı
luci´n fuese en sentido negativo. Existen, con todo, dos hechos generales que
o
de entrada hablan muy a favor de la validez del principio de relatividad. En
efecto, aunque la Mec´nica cl´sica no proporciona una base suficientemente
a a
ancha para representar te´ricamente todos los fen´menos f´
o o ısicos, tiene que
poseer un contenido de verdad muy importante, pues da con admirable preci-
si´n los movimientos reales de los cuerpos celestes. De ah´ que en el campo de
o ı
la Mec´nica tenga que ser v´lido con gran exactitud el principio de relativi-
a a
dad. Y que un principio de generalidad tan grande y que es v´lido, con tanta
a
exactitud, en un determinado campo de fen´menos fracase en otro campo es,
o
a priori, poco probable.
El segundo argumento, sobre el que volveremos m´s adelante, es el si-
a
guiente. Si el principio de relatividad (en sentido restringido) no es v´lido,
a
entonces los sistemas de coordenadas de Galileo K, K , K , etc., que se mue-
ven uniformemente unos respecto a los otros, no ser´n equivalentes para la
a
descripci´n de los fen´menos naturales. En ese caso no tendr´
o o ıamos m´s re-
a
medio que pensar que las leyes de la naturaleza s´lo pueden formularse con
o
especial sencillez y naturalidad si de entre todos los sistemas de coordena-
das de Galileo eligi´semos como cuerpo de referencia uno (K0 ) que tuviera
e
un estado de movimiento determinado. A ´ste lo calificar´
e ıamos, y con raz´n o
(por sus ventajas para la descripci´n de la naturaleza), de “absolutamente
o
en reposo”, mientras que de los dem´s sistemas galileanos K dir´
a ıamos que
son “m´viles”. Si la v´ fuese el sistema K0 , pongamos por caso, entonces
o ıa
nuestro vag´n de ferrocarril ser´ un sistema K respecto al cual regir´ le-
o ıa ıan
yes menos sencillas que respecto a K0 . Esta menor simplicidad habr´ que ıa
atribuirla a que el vag´n K se mueve respecto a K0 (es decir, “realmente”).
o
En estas leyes generales de la naturaleza formuladas respecto a K tendr´ ıan
que desempe˜ar un papel el m´dulo y la direcci´n de la velocidad del vag´n.
n o o o
Ser´ de esperar, por ejemplo, que el tono de un tubo de ´rgano fuese distinto
ıa o
cuando su eje fuese paralelo a la direcci´n de marcha que cuando estuviese
o
perpendicular. Ahora bien, la Tierra, debido a su movimiento orbital alrede-
dor del Sol, es equiparable a un vag´n que viajara a unos 30 km por segundo.
o
Por consiguiente, caso de no ser v´lido el principio de relatividad, ser´ de
a ıa
esperar que la direcci´n instant´nea del movimiento terrestre interviniera en
o a
las leyes de la naturaleza y que, por lo tanto, el comportamiento de los siste-

10. 9
mas f´ısicos dependiera de su orientaci´n espacial respecto a la Tierra; porque,
o
como la velocidad del movimiento de rotaci´n terrestre var´ de direcci´n en
o ıa o
el transcurso del a˜o, la Tierra no puede estar todo el a˜o en reposo res-
n n
pecto al hipot´tico sistema K0 . Pese al esmero que se ha puesto en detectar
e
una tal anisotrop´ del espacio f´
ıa ısico terrestre, es decir, una no equivalencia
de las distintas direcciones, jam´s ha podido ser observada. Lo cual es un
a
argumento de peso a favor del principio de la relatividad.
6. El teorema de adici´n de velocidades seg´ n la Mec´nica cl´sica
o u a a
Supongamos que nuestro tan tra´ y llevado vag´n de ferrocarril viaja
ıdo o
con velocidad constante v por la l´
ınea, e imaginemos que por su interior cami-
na un hombre en la direcci´n de marcha con velocidad w. ¿Con qu´ velocidad
o e
W avanza el hombre respecto a la v´ al caminar? La unica respuesta posible
ıa ´
parece desprenderse de la siguiente consideraci´n:
o
Si el hombre se quedara parado durante un segundo, avanzar´ respecto
ıa,
a la v´ un trecho v igual a la velocidad del vag´n. Pero en ese segundo
ıa, o
recorre adem´s, respecto al vag´n, y por tanto tambi´n respecto a la v´
a o e ıa,
un trecho w igual a la velocidad con que camina. Por consiguiente, en ese
segundo avanza en total el trecho
W =v+w
respecto a la v´ M´s adelante veremos que este razonamiento, que expresa el
ıa. a
teorema de adici´n de velocidades seg´n la Mec´nica cl´sica, es insostenible
o u a a
y que la ley que acabamos de escribir no es v´lida en realidad. Pero entre
a
tanto edificaremos sobre su validez.
7. La aparente incompatibilidad de la ley de propagaci´n de la luz
o
con el principio de la relatividad
Apenas hay en la f´ ısica una ley m´s sencilla que la de propagaci´n de
a o
la luz en el espacio vac´ Cualquier escolar sabe (o cree saber) que esta
ıo.
propagaci´n se produce en l´
o ınea recta con una velocidad de c = 300,000
km/s. En cualquier caso, sabemos con gran exactitud que esta velocidad es
la misma para todos los colores, porque si no fuera as´ el m´
ı, ınimo de emisi´n
o
en el eclipse de una estrella fija por su compa˜era oscura no se observar´
n ıa
simult´neamente para los diversos colores. A trav´s de un razonamiento si-
a e
milar, relativo a observaciones de las estrellas dobles, el astr´nomo holand´s
o e
De Sitter consigui´ tambi´n demostrar que la velocidad de propagaci´n de la
o e o
luz no puede depender de la velocidad del movimiento del cuerpo emisor. La

11. 10
hip´tesis de que esta velocidad de propagaci´n depende de la direcci´n “en
o o o
el espacio” es de suyo improbable.
Supongamos, en resumen, que el escolar cree justificadamente en la sen-
cilla ley de la constancia de la velocidad de la luz c (en el vac´ ¿Qui´n dir´
ıo). e ıa
que esta ley tan simple ha sumido a los f´ ısicos m´s concienzudos en grand´
a ısi-
mas dificultades conceptuales? Los problemas surgen del modo siguiente.
Como es natural, el proceso de la propagaci´n de la luz, como cualquier
o
otro, hay que referirlo a un cuerpo de referencia r´ ıgido (sistema de coorde-
nadas). Volvemos a elegir como tal las v´ del tren e imaginamos que el aire
ıas
que hab´ por encima de ellas lo hemos eliminado por bombeo. Supongamos
ıa
que a lo largo del terrapl´n se emite un rayo de luz cuyo v´rtice, seg´n lo
e e u
anterior, se propaga con la velocidad c respecto a aqu´l. Nuestro vag´n de
e o
ferrocarril sigue viajando con la velocidad v, en la misma direcci´n en que se
o
propaga el rayo de luz, pero naturalmente mucho m´s despacio. Lo que nos
a
interesa averiguar es la velocidad de propagaci´n del rayo de luz respecto al
o
vag´n. Es f´cil ver que el razonamiento del ep´
o a ıgrafe anterior tiene aqu´ apli-
ı
caci´n, pues el hombre que corre con respecto al vag´n desempe˜a el papel
o o n
del rayo de luz. En lugar de su velocidad W respecto al terrapl´n aparecee
aqu´ la velocidad de la luz respecto a ´ste; la velocidad w que buscamos, la
ı e
de la luz respecto al vag´n, es por tanto igual a:
o
w =c−v
As´ pues, la velocidad de propagaci´n del rayo de luz respecto al vag´n
ı o o
resulta ser menor que c.
Ahora bien, este resultado atenta contra el principio de la relatividad
expuesto en §5, porque, seg´n este principio, la ley de propagaci´n de la
u o
luz en el vac´ como cualquier otra ley general de la naturaleza, deber´ ser
ıo, ıa
la misma si tomamos el vag´n como cuerpo de referencia que si elegimos
o
las v´ lo cual parece imposible seg´n nuestro razonamiento. Si cualquier
ıas, u
rayo de luz se propaga respecto al terrapl´n con la velocidad c, la ley de
e
propagaci´n respecto al vag´n parece que tiene que ser, por eso mismo, otra
o o
distinta. . . en contradicci´n con el principio de relatividad.
o
A la vista del dilema parece ineludible abandonar, o bien el principio de
relatividad, o bien la sencilla ley de la propagaci´n de la luz en el vac´
o ıo.
El lector que haya seguido atentamente las consideraciones anteriores espe-
rar´ seguramente que sea el principio de relatividad —que por su naturalidad
a
y sencillez se impone a la mente como algo casi ineludible— el que se man-
tenga en pie, sustituyendo en cambio la ley de la propagaci´n de la luz en el
o
vac´ por una ley m´s complicada y compatible con el principio de relativi-
ıo a
dad. Sin embargo, la evoluci´n de la f´
o ısica te´rica demostr´ que este camino
o o

12. 11
era impracticable. Las innovadoras investigaciones te´ricas de H. A. Lorentz
o
sobre los procesos electrodin´micos y ´pticos en cuerpos m´viles demostra-
a o o
ron que las experiencias en estos campos conducen con necesidad imperiosa
a una teor´ de los procesos electromagn´ticos que tiene como consecuencia
ıa e
irrefutable la ley de la constancia de la luz en el vac´ Por eso, los te´ricos de
ıo. o
vanguardia se inclinaron m´s bien por prescindir del principio de relatividad,
a
pese a no poder hallar ni un solo hecho experimental que lo contradijera.
Aqu´ es donde entr´ la teor´ de la relatividad. Mediante un an´lisis de
ı o ıa a
los conceptos de espacio y tiempo se vio que en realidad no exist´ ninguna
ıa
incompatibilidad entre el principio de la relatividad y la ley de propagaci´n de
o
la luz, sino que, ateni´ndose uno sistem´ticamente a estas dos leyes, se llegaba
e a
a una teor´ l´gicamente impecable. Esta teor´ que para diferenciarla de
ıa o ıa,
su ampliaci´n (comentada m´s adelante) llamamos “teor´ de la relatividad
o a ıa
especial”, es la que expondremos a continuaci´n en sus ideas fundamentales.
o
8. Sobre el concepto de tiempo en la F´
ısica
Un rayo ha ca´ en dos lugares muy distantes A y B de la v´ Yo a˜ado la
ıdo ıa. n
afirmaci´n de que ambos impactos han ocurrido simult´neamente. Si ahora te
o a
pregunto, querido lector, si esta afirmaci´n tiene o no sentido, me contestar´s
o a
con un “s´ contundente. Pero si luego te importuno con el ruego de que me
ı”
expliques con m´s precisi´n ese sentido, advertir´s tras cierta reflexi´n que
a o a o
la respuesta no es tan sencilla como parece a primera vista.
Al cabo de alg´n tiempo quiz´ te acuda a la mente la siguiente respuesta:
u a
“El significado de la afirmaci´n es claro de por s´ y no necesita de ninguna
o ı
aclaraci´n; sin embargo, tendr´ que reflexionar un poco si se me exige de-
o ıa
terminar, mediante observaciones, si en un caso concreto los dos sucesos son
o no simult´neos”. Pero con esta respuesta no puedo darme por satisfecho,
a
por la siguiente raz´n. Suponiendo que un experto meteor´logo hubiese ha-
o o
llado, mediante agud´ ısimos razonamientos, que el rayo tiene que caer siempre
simult´neamente en los lugares A y B, se plantear´ el problema de compro-
a ıa
bar si ese resultado te´rico se corresponde o no con la realidad. Algo an´logo
o a
ocurre en todas las proposiciones f´ ısicas en las que interviene el concepto
de “simult´neo”. Para el f´
a ısico no existe el concepto mientras no se brinde
la posibilidad de averiguar en un caso concreto si es verdadero o no. Hace
falta, por tanto, una definici´n de simultaneidad que proporcione el m´todo
o e
para decidir experimentalmente en el caso presente si los dos rayos han ca´ ıdo
simult´neamente o no. Mientras no se cumpla este requisito, me estar´ en-
a e
tregando como f´ ısico (¡y tambi´n como no f´
e ısico!) a la ilusi´n de creer que
o
puedo dar sentido a esa afirmaci´n de la simultaneidad. (No sigas leyendo,
o
querido lector, hasta concederme esto plenamente convencido.)

13. 12
Tras alg´n tiempo de reflexi´n haces la siguiente propuesta para constatar
u o
la simultaneidad. Se mide el segmento de uni´n AB a lo largo de la v´ y se
o ıa
coloca en su punto medio M a un observador provisto de un dispositivo (dos
espejos formando 900 entre s´ por ejemplo) que le permite la visualizaci´n
ı, o
o
´ptica simult´nea de ambos lugares A y B. Si el observador percibe los dos
a
rayos simult´neamente, entonces es que son simult´neos.
a a
Aunque la propuesta me satisface mucho, sigo pensando que la cuesti´n o
no queda aclarada del todo, pues me siento empujado a hacer la siguiente
objeci´n: “Tu definici´n ser´ necesariamente correcta si yo supiese ya que la
o o ıa
luz que la percepci´n de los rayos transmite al observador en M se propaga
o
con la misma velocidad en el segmento A → M que en el segmento B → M
Sin embargo, la comprobaci´n de este supuesto s´lo ser´ posible si se
o o ıa
dispusiera ya de los medios para la medici´n de tiempos. Parece, pues, que
o
nos movemos en un c´ ırculo l´gico”.
o
Despu´s de reflexionar otra vez, me lanzas con toda raz´n una mirada al-
e o
go despectiva y me dices: “A pesar de todo, mantengo mi definici´n anterior,
o
porque en realidad no presupone nada sobre la luz. A la definici´n de simul-
o
taneidad solamente hay que imponerle una condici´n, y es que en cualquier
o
caso real permita tomar una decisi´n emp´o ırica acerca de la pertinencia o no
pertinencia del concepto a definir. Que mi definici´n cubre este objetivo es
o
innegable. Que la luz tarda el mismo tiempo en recorrer el camino A → M
que el B → M no es en realidad ning´n supuesto previo ni hip´tesis sobre la
u o
naturaleza f´ısica de la luz, sino una estipulaci´n que puedo hacer a discreci´n
o o
para llegar a una definici´n de simultaneidad”.
o
Est´ claro que esta definici´n se puede utilizar para dar sentido exacto al
a o
enunciado de simultaneidad, no s´lo de dos sucesos, sino de un n´mero arbi-
o u
trario de ellos, sea cual fuere su posici´n con respecto al cuerpo de referencia6 .
o
Con ello se llega tambi´n a una definici´n del “tiempo” en la F´
e o ısica. Imagine-
mos, en efecto, que en los puntos A, B, C de la v´ (sistema de coordenadas)
ıa
existen relojes de id´ntica constituci´n y dispuestos de tal manera que las
e o
posiciones de las manillas sean simult´neamente (en el sentido anterior) las
a
mismas. Se entiende entonces por “tiempo” de un suceso la hora (posici´n o
de las manillas) marcada por aquel de esos relojes que est´ inmediatamente
a
contiguo (espacialmente) al suceso. De este modo se le asigna a cada suceso
un valor temporal que es esencialmente observable.
6
Suponemos adem´s que cuando ocurren tres fen´menos A, B, C en lugares distintos y
a o
A es simult´neo a B y B simult´neo a C (en el sentido de la definici´n anterior), entonces
a a o
se cumple tambi´n el criterio de simultaneidad para la pareja de sucesos A − C. Este
e
supuesto es una hip´tesis f´
o ısica sobre la ley de propagaci´n de la luz; tiene que cumplirse
o
necesariamente para poder mantener en pie la ley de la constancia de la velocidad de la
luz en el vac´ıo.

14. 13
Esta definici´n entra˜a otra hip´tesis f´
o n o ısica de cuya validez, en ausencia
de razones emp´ ıricas en contra, no se podr´ dudar. En efecto, se supone que
a
todos los relojes marchan “igual de r´pido” si tienen la misma constituci´n.
a o
Formul´ndolo exactamente: si dos relojes colocados en reposo en distintos
a
lugares del cuerpo de referencia son puestos en hora de tal manera que la
posici´n de las manillas del uno sea simult´nea (en el sentido anterior) a la
o a
misma posici´n de las manillas del otro, entonces posiciones iguales de las
o
manillas son en general simult´neas (en el sentido de la definici´n anterior).
a o
9. La relatividad de la simultaneidad
Hasta ahora hemos referido nuestros razonamientos a un determinado
cuerpo de referencia que hemos llamado “terrapl´n” o “v´
e ıas”. Supongamos
que por los carriles viaja un tren muy largo, con velocidad constante v y
en la direcci´n se˜alada en la Fig. 1. Las personas que viajan en este tren
o n
hallar´n ventajoso utilizar el tren como cuerpo de referencia r´
a ıgido (sistema
de coordenadas) y referir´n todos los sucesos al tren. Todo suceso que se
a
produce a lo largo de la v´ se produce tambi´n en un punto determinado
ıa, e
del tren. Incluso la definici´n de simultaneidad se puede dar exactamente
o
igual con respecto al tren que respecto a las v´ Sin embargo, se plantea
ıas.
ahora la siguiente cuesti´n:
o
Dos sucesos (p. ej., los dos rayos A y B) que son simult´neos respecto al
a
terrapl´n, ¿son tambi´n simult´neos respecto al tren? En seguida demostra-
e e a
remos que la respuesta tiene que ser negativa.
Cuando decimos que los rayos A y B son simult´neos respecto a las v´
a ıas,
queremos decir: los rayos de luz que salen de los lugares A y B se re´nen en
u
el punto medio M del tramo de v´ A − B. Ahora bien, los sucesos A y B se
ıa
corresponden tambi´n con lugares A y B en el tren. Sea M el punto medio
e
del segmento A − B del tren en marcha. Este punto M es cierto que en el
instante de la ca´ de los rayos7 coincide con el punto M , pero, como se
ıda
indica en la figura, se mueve hacia la derecha con la velocidad v del tren. Un
observador que estuviera sentado en el tren en M , pero que no poseyera esta
7
¡Desde el punto de vista del terrapl´n!
e

15. 14
velocidad, permanecer´ constantemente en M , y los rayos de luz que parten
ıa
de las chispas A y B lo alcanzar´ simult´neamente, es decir, estos dos
ıan a
rayos de luz se reunir´ precisamente en ´l. La realidad es, sin embargo, que
ıan e
(juzgando la situaci´n desde el terrapl´n) este observador va al encuentro
o e
del rayo de luz que viene de B, huyendo en cambio del que avanza desde
A. Por consiguiente, ver´ antes la luz que sale de B que la que sale de A.
a
En resumidas cuentas, los observadores que utilizan el tren como cuerpo de
referencia tienen que llegar a la conclusi´n de que la chispa el´ctrica B ha
o e
ca´ antes que la A. Llegamos as´ a un resultado importante:
ıdo ı
Sucesos que son simult´neos respecto al terrapl´n no lo son respecto al
a e
tren, y viceversa (relatividad de la simultaneidad). Cada cuerpo de referencia
(sistema de coordenadas) tiene su tiempo especial; una localizaci´n temporal
o
tiene s´lo sentido cuando se indica el cuerpo de referencia al que remite.
o
Antes de la teor´ de la relatividad, la F´
ıa ısica supon´ siempre impl´
ıa ıcita-
mente que el significado de los datos temporales era absoluto, es decir, inde-
pendiente del estado de movimiento del cuerpo de referencia. Pero acabamos
de ver que este supuesto es incompatible con la definici´n natural de simul-
o
taneidad; si prescindimos de ´l, desaparece el conflicto, expuesto en §7, entre
e
la ley de la propagaci´n de la luz y el principio de la relatividad.
o
En efecto, el conflicto proviene del razonamiento del ep´ ıgrafe 6, que ahora
resulta insostenible. Inferimos all´ que el hombre que camina por el vag´n y
ı o
recorre el trecho w en un segundo, recorre ese mismo trecho tambi´n en e
un segundo respecto a las v´ Ahora bien, toda vez que, en virtud de las
ıas.
reflexiones anteriores, el tiempo que necesita un proceso con respecto al vag´n o
no cabe igualarlo a la duraci´n del mismo proceso juzgada desde el cuerpo de
o
referencia del terrapl´n, tampoco se puede afirmar que el hombre, al caminar
e
respecto a las v´ recorra el trecho w en un tiempo que —juzgado desde el
ıas,
terrapl´n— es igual a un segundo. Digamos de paso que el razonamiento de
e
§6 descansa adem´s en un segundo supuesto que, a la luz de una reflexi´n
a o
rigurosa, se revela arbitrario, lo cual no quita para que, antes de establecerse
la teor´ de la relatividad, fuese aceptado siempre (de modo impl´
ıa ıcito).
10. Sobre la relatividad del concepto de distancia espacial
Observamos dos lugares concretos del tren8 que viaja con velocidad v por
la l´
ınea y nos preguntamos qu´ distancia hay entre ellos. Sabemos ya que
e
para medir una distancia se necesita un cuerpo de referencia respecto al cual
hacerlo. Lo m´s sencillo es utilizar el propio tren como cuerpo de referencia
a
(sistema de coordenadas). Un observador que viaja en el tren mide la distan-
8
El centro de los vagones primero y cent´simo, por ejemplo.
e

16. 15
cia, transportando en l´ınea recta una regla sobre el suelo de los vagones, por
ejemplo, hasta llegar desde uno de los puntos marcados al otro. El n´merou
que indica cu´ntas veces transport´ la regla es entonces la distancia buscada.
a o
Otra cosa es si se quiere medir la distancia desde la v´ Aqu´ se ofrece
ıa. ı
el m´todo siguiente. Sean A y B los dos puntos del tren de cuya distancia
e
se trata; estos dos puntos se mueven con velocidad v a lo largo de la v´ ıa.
Pregunt´monos primero por los puntos A y B de la v´ por donde pasan
e ıa
A y B en un momento determinado t (juzgado desde la v´ En virtud ıa).
de la definici´n de tiempo dada en §8, estos puntos A y B de la v´ son
o ıa
determinables. A continuaci´n se mide la distancia entre A y B transportando
o
repetidamente el metro a lo largo de la v´ ıa.
A priori no est´ dicho que esta segunda medici´n tenga que proporcionar
a o
el mismo resultado que la primera. La longitud del tren, medida desde la
v´ puede ser distinta que medida desde el propio tren. Esta circunstancia se
ıa,
traduce en una segunda objeci´n que oponer al razonamiento, aparentemente
o
tan meridiano, de §6. Pues si el hombre en el vag´n recorre en una unidad
o
de tiempo el trecho w medido desde el tren, este trecho, medido desde la v´ ıa,
no tiene por qu´ ser igual a w.
e
11. La transformaci´n de Lorentz
o
Las consideraciones hechas en los tres ultimos ep´
´ ıgrafes nos muestran
que la aparente incompatibilidad de la ley de propagaci´n de la luz con el
o
principio de relatividad en §7 est´ deducida a trav´s de un razonamiento que
a e
tomaba a pr´stamo de la Mec´nica cl´sica dos hip´tesis injustificadas; estas
e a a o
hip´tesis son:
o
1. El intervalo temporal entre dos sucesos es independiente del estado
de movimiento del cuerpo de referencia.
2. El intervalo espacial entre dos puntos de un cuerpo r´
ıgido es indepen-
diente del estado de movimiento del cuerpo de referencia.
Si eliminamos estas dos hip´tesis, desaparece el dilema de §7, porque el
o
teorema de adici´n de velocidades deducido en §6 pierde su validez. Ante
o
nosotros surge la posibilidad de que la ley de la propagaci´n de la luz en
o
el vac´ sea compatible con el principio de relatividad. Llegamos as´ a la
ıo ı
pregunta: ¿c´mo hay que modificar el razonamiento de §6 para eliminar la
o
aparente contradicci´n entre estos dos resultados fundamentales de la expe-
o
riencia? Esta cuesti´n conduce a otra de ´
o ındole general. En el razonamiento
de §6 aparecen lugares y tiempos con relaci´n al tren y con relaci´n a las
o o
v´ ¿C´mo se hallan el lugar y el tiempo de un suceso con relaci´n al tren
ıas. o o

17. 16
cuando se conocen el lugar y el tiempo del suceso con respecto a las v´ ıas?
¿Esta pregunta tiene alguna respuesta de acuerdo con la cual la ley de la pro-
pagaci´n en el vac´ no contradiga al principio de relatividad? O expresado
o ıo
de otro modo: ¿cabe hallar alguna relaci´n entre las posiciones y tiempos de
o
los distintos sucesos con relaci´n a ambos cuerpos de referencia, de manera
o
que todo rayo de luz tenga la velocidad de propagaci´n c respecto a las v´
o ıas
y respecto al tren? Esta pregunta conduce a una respuesta muy determinada
y afirmativa, a una ley de transformaci´n muy precisa para las magnitudes
o
espacio-temporales de un suceso al pasar de un cuerpo de referencia a otro.
Antes de entrar en ello, intercalemos la siguiente consideraci´n. Hasta
o
ahora solamente hemos hablado de sucesos que se produc´ a lo largo de la
ıan
v´ la cual desempe˜aba la funci´n matem´tica de una recta. Pero, siguien-
ıa, n o a
do lo indicado en el ep´ ıgrafe 2, cabe imaginar que este cuerpo de referencia
se prolonga hacia los lados y hacia arriba por medio de un andamiaje de
varillas, de manera que cualquier suceso, ocurra donde ocurra, puede loca-
lizarse respecto a ese andamiaje. An´logamente, es posible imaginar que el
a
tren que viaja con velocidad v se prolonga por todo el espacio, de manera
que cualquier suceso, por lejano que est´, tambi´n pueda localizarse respecto
e e
al segundo andamio. Sin incurrir en defecto te´rico, podemos prescindir del
o
hecho de que en realidad esos andamios se destrozar´ uno contra el otro
ıan
debido a la impenetrabilidad de los cuerpos s´lidos. En cada uno de estos
o
andamios imaginamos que se erigen tres paredes mutuamente perpendicula-
res que denominamos “planos coordenados” (“sistema de coordenadas”). Al
terrapl´n le corresponde entonces un sistema de coordenadas K, y al tren
e
otro K . Cualquier suceso, dondequiera que ocurra, viene fijado espacialmen-
te respecto a K por las tres perpendiculares x, y, z a los planos coordenados,
y temporalmente por un valor t. Ese mismo suceso viene fijado espacio-
temporalmente respecto a K por valores correspondientes x , y , z , t , que,
como es natural, no coinciden con x, y, z, t. Ya explicamos antes con detalle
c´mo interpretar estas magnitudes como resultados de mediciones f´
o ısicas.
Es evidente que el problema que tenemos planteado se puede formular
exactamente de la manera siguiente: Dadas las cantidades x, y, z, t de un
suceso respecto a K, ¿cu´les son los valores x , y , z , t del mismo suceso
a
respectoa K ? Las relaciones hay que elegirlas de tal modo que satisfagan la
ley de propagaci´n de la luz en el vac´ para uno y el mismo rayo de luz (y
o ıo
adem´s para cualquier rayo de luz) respecto a K y K . Para la orientaci´n
a o
espacial relativa indicada en el dibujo de la figura , el problema queda resuelto

18. 17
por las ecuaciones:
x − vt
x =
v2
1− c2
y = y
z = z
vx
t− c2
t =
v2
1− c2
Este sistema de ecuaciones se designa con el nombre de “transformaci´n
o
9
de Lorentz ”.
Ahora bien, si en lugar de la ley de propagaci´n de la luz hubi´semos
o e
tomado como base los supuestos impl´ıcitos en la vieja mec´nica, relativos al
a
car´cter absoluto de los tiempos y las longitudes, en vez de las anteriores
a
ecuaciones de transformaci´n habr´
o ıamos obtenido estas otras:
x = x − vt
y = y
z = z
t = t
sistema que a menudo se denomina “transformaci´n de Galileo”. La transfor-
o
maci´n de Galileo se obtiene de la de Lorentz igualando en ´sta la velocidad
o e
de la luz c a un valor infinitamente grande.
9
En el Ap´ndice se da una derivaci´n sencilla de la transformaci´n de Lorentz
e o o

19. 18
El siguiente ejemplo muestra claramente que, seg´n la transformaci´n de
u o
Lorentz, la ley de propagaci´n de la luz en el vac´ se cumple tanto respecto al
o ıo
cuerpo de referencia K como respecto al cuerpo de referencia K . Supongamos
que se env´ una se˜al luminosa a lo largo del eje x positivo, propag´ndose
ıa n a
la excitaci´n luminosa seg´n la ecuaci´n
o u o
x = ct
es decir, con velocidad c. De acuerdo con las ecuaciones de la transformaci´n
o
de Lorentz, esta sencilla relaci´n entre x y t determina una relaci´n entre x
o o
y t . En efecto, sustituyendo x por el valor ct en las ecuaciones primera y
cuarta de la transformaci´n de Lorentz obtenemos:
o
(c − v)t
x =
v2
1− c2
v
1− c
t
t =
v2
1− c2
de donde, por divisi´n, resulta inmediatamente
o
x = ct
La propagaci´n de la luz, referida al sistema K , se produce seg´n esta
o u
ecuaci´n. Se comprueba, por tanto, que la velocidad de propagaci´n es tam-
o o
bi´n igual a c respecto al cuerpo de referencia K ; y an´logamente para rayos
e a
de luz que se propaguen en cualquier otra direcci´n. Lo cual, naturalmente,
o
no es de extra˜ar, porque las ecuaciones de la transformaci´n de Lorentz
n o
est´n derivadas con este criterio.
a
12. El comportamiento de reglas y relojes m´viles
o
Coloco una regla de un metro sobre el eje x de K , de manera que un
extremo coincida con el punto x = 0 y el otro con el punto x = 1. ¿Cu´l a
es la longitud de la regla respecto al sistema K? Para averiguarlo podemos
determinar las posiciones de ambos extremos respecto a K en un momento
determinado t . De la primera ecuaci´n de la transformaci´n de Lorentz, para
o o
t = 0, se obtiene para estos dos puntos:
v2
xorigen de la escala = 0 · 1−
c2
v2
xextremo de la escala = 1 · 1− 2
c

20. 19
estos dos puntos distan entre s´ 1 − v 2 /c2 . Ahora bien, el metro se mueve
ı
respecto a K con la velocidad v, de donde se deduce que la longitud de
una regla r´ ıgida de un metro que se mueve con velocidad v en el sentido
de su longitud es de 1 − v 2 /c2 metros. La regla r´ ıgida en movimiento es
m´s corta que la misma regla cuando est´ en estado de reposo, y es tanto
a a
m´s corta cuando m´s r´pidamente se mueva. Para la velocidad v = c ser´
a a a ıa
1−v 2 /c2 = 0 para velocidades a´ n mayores la ra´ se har´ imaginaria.
u ız ıa
De aqu´ inferimos que en la teor´ de la relatividad la velocidad c desempe˜a
ı ıa n
el papel de una velocidad l´ ımite que no puede alcanzar ni sobrepasar ning´n u
cuerpo real.
A˜adamos que este papel de la velocidad c como velocidad l´
n ımite se si-
gue de las propias ecuaciones de la transformaci´n de Lorentz, porque ´stas
o e
pierden todo sentido cuando v se elige mayor que c.
Si hubi´semos procedido a la inversa, considerando un metro que se halla
e
en reposo respecto a K sobre el eje x, habr´ ıamos comprobado que en relaci´n o
a K tiene la longitud de 1 − v 2 /c2 , lo cual est´ totalmente de acuerdo con el
a
principio de la relatividad, en el cual hemos basado nuestras consideraciones.
A priori es evidente que las ecuaciones de transformaci´n tienen algo que
o
decir sobre el comportamiento f´ ısico de reglas y relojes, porque las cantidades
x, y, z, t no son otra cosa que resultados de medidas obtenidas con relojes y
reglas. Si hubi´semos tomado como base la transformaci´n de Galileo, no
e o
habr´ ıamos obtenido un acortamiento de longitudes como consecuencia del
movimiento.
Imaginemos ahora un reloj con segundero que reposa constantemente en
el origen (x = 0) de K . Sean t = 0 y t = 1 dos se˜ales sucesivas de este
n
reloj. Para estos dos tics, las ecuaciones primera y cuarta de la transformaci´n o
de Lorentz dar´n: a
t = 0
1
t =
v2
1− c2
Juzgado desde K, el reloj se mueve con la velocidad v; respecto a este
cuerpo de referencia, entre dos de sus se˜ales transcurre, no un segundo, sino
n
1/ 1 − v 2 /c2 segundos, o sea un tiempo algo mayor.
Como consecuencia de su movimiento, el reloj marcha algo m´s despacio
a
que en estado de reposo. La velocidad de la luz c desempe˜a, tambi´n aqu´
n e ı,
el papel de una velocidad l´ımite inalcanzable.

21. 20
13. Teorema de adici´n de velocidades. Experimento de Fizeau
o
Dado que las velocidades con que en la pr´ctica podemos mover relojes y
a
reglas son peque˜as frente a la velocidad de la luz c, es dif´ que podamos
n ıcil
comparar los resultados del ep´ıgrafe anterior con la realidad. Y puesto que,
por otro lado, esos resultados le parecer´n al lector harto singulares, voy
a
a extraer de la teor´ otra consecuencia que es muy f´cil de deducir de lo
ıa a
anteriormente expuesto y que los experimentos confirman brillantemente.
En el §6 hemos deducido el teorema de adici´n para velocidades de la
o
misma direcci´n, tal y como resulta de las hip´tesis de la Mec´nica cl´sica.
o o a a
Lo mismo se puede deducir f´cilmente de la transformaci´n de Galileo (§11).
a o
En lugar del hombre que camina por el vag´n introducimos un punto que se
o
mueve respecto al sistema de coordenadas K seg´n la ecuaci´n
u o
x = wt
Mediante las ecuaciones primera y cuarta de la transformaci´n de Galileo
o
se pueden expresar x y t en funci´n de x y t obteniendo
o
x = (v + w)t
Esta ecuaci´n no expresa otra cosa que la ley de movimiento del pun-
o
to respecto al sistema K (del hombre respecto al terrapl´n), velocidad que
e
designamos por W , con lo cual se obtiene, como en §6:
W =v+w (1)
Pero este razonamiento lo podemos efectuar igual de bien bas´ndonos en
a
la teor´ de la relatividad. Lo que hay que hacer entonces es expresar x y t
ıa
en la ecuaci´n
o
x = wt
en funci´n de x y t, utilizando las ecuaciones primera y cuarta de la trans-
o
formaci´n de Lorentz. En lugar de la ecuaci´n (1) se obtiene entonces esta
o o
otra:
v+w
W = (2)
1 + vw
c2
que corresponde al teorema de adici´n de velocidades de igual direcci´n seg´n
o o u
la teor´ de la relatividad. La cuesti´n es cu´l de estos dos teoremas resiste
ıa o a
el cotejo con la experiencia. Sobre el particular nos instruye un experimento
extremadamente importante, realizado hace m´s de medio siglo por el genial
a
f´
ısico Fizeau y desde entonces repetido por algunos de los mejores f´ ısicos
experimentales, por lo cual el resultado es irrebatible. El experimento versa

22. 21
sobre la siguiente cuesti´n. Supongamos que la luz se propaga en un cierto
o
l´
ıquido en reposo con una determinada velocidad w. ¿Con qu´ velocidad se
e
propaga en el tubo R de la figura
en la direcci´n de la flecha, cuando dentro de ese tubo fluye el l´
o ıquido con
velocidad v?
En cualquier caso, fieles al principio de relatividad, tendremos que sentar
el supuesto de que, respecto al l´ ıquido, la propagaci´n de la luz se produce
o
siempre con la misma velocidad w, mu´vase o no el l´
e ıquido respecto a otros
cuerpos. Son conocidas, por tanto, la velocidad de la luz respecto al l´ ıquido
y la velocidad de ´ste respecto al tubo, y se busca la velocidad de la luz
e
respecto al tubo.
Est´ claro que el problema vuelve a ser el mismo que el de §6. El tubo
a
desempe˜a el papel de las v´ o del sistema de coordenadas K; el l´
n ıas ıquido,
el papel del vag´n o del sistema de coordenadas K ; la luz, el del hombre
o
que camina por el vag´n o el del punto m´vil mencionado en este apartado.
o o
As´ pues, si llamamos W a la velocidad de la luz respecto al tubo, ´sta
ı e
vendr´ dada por la ecuaci´n (1) o por la (2), seg´n que sea la transformaci´n
a o u o
de Galileo o la de Lorentz la que se corresponde con la realidad.
El experimento10 falla a favor de la ecuaci´n (2) deducida de la teor´ de
o ıa
la relatividad, y adem´s con gran exactitud. Seg´n las ultimas y excelentes
a u ´
mediciones de Zeeman, la influencia de la velocidad de la corriente v sobre la
propagaci´n de la luz viene representada por la f´rmula (2) con una exactitud
o o
superior al 1 por 100.
Hay que destacar, sin embargo, que H. A. Lorentz, mucho antes de esta-
blecerse la teor´ de la relatividad, dio ya una teor´ de este fen´meno por
ıa ıa o
v´ puramente electrodin´mica y utilizando determinadas hip´tesis sobre la
ıa a o
estructura electromagn´tica de la materia. Pero esta circunstancia no merma
e
para nada el poder probatorio del experimento, en tanto que experimentum
crucis a favor de la teor´ de la relatividad. Pues la Electrodin´mica de
ıa a
10
Fizeau hall´ W = w +v(1−1/n2 ), donde n = c/w es el ´
o ındice de refracci´n del l´
o ıquido.
Por otro lado, debido a que vw/c2 es muy peque˜o frente a 1, se puede sustituir (2) por
n
W = (w + v)(1 − vw/2), o bien, con la misma aproximaci´n, w + v(1 − 1/n2 ), lo cual
o
concuerda con el resultado de Fizeau.

23. 22
Maxwell-Lorentz, sobre la cual descansaba la teor´ original, no est´ para
ıa a
nada en contradicci´n con la teor´ de la relatividad. Esta ultima ha ema-
o ıa ´
nado m´s bien de la Electrodin´mica como resumen y generalizaci´n asom-
a a o
brosamente sencillos de las hip´tesis, antes mutuamente independientes, que
o
serv´ de fundamento a la Electrodin´mica.
ıan a
14. El valor heur´
ıstico de la teor´ de la relatividad
ıa
La cadena de ideas que hemos expuesto hasta aqu´ se puede resumir
ı
brevemente como sigue. La experiencia ha llevado a la convicci´n de que, por
o
un lado, el principio de la relatividad (en sentido restringido) es v´lido, y
a
por otro, que la velocidad de propagaci´n de la luz en el vac´ es igual a una
o ıo
constante c. Uniendo estos dos postulados result´ la ley de transformaci´n
o o
para las coordenadas rectangulares x, y, z y el tiempo t de los sucesos que
componen los fen´menos naturales, obteni´ndose, no la transformaci´n de
o e o
Galileo, sino (en discrepancia con la Mec´nica cl´sica) la transformaci´n de
a a o
Lorentz.
En este razonamiento desempe˜´ un papel importante la ley de propa-
no
gaci´n de la luz, cuya aceptaci´n viene justificada por nuestro conocimiento
o o
actual. Ahora bien, una vez en posesi´n de la transformaci´n de Lorentz,
o o
podemos unir ´sta con el principio de relatividad y resumir la teor´ en el
e ıa
enunciado siguiente:
Toda ley general de la naturaleza tiene que estar constituida de tal modo
que se transforme en otra ley de id´ntica estructura al introducir, en lugar de
e
las variables espacio-temporales x, y, z, t del sistema de coordenadas original
K, nuevas variables espacio-temporales x , y , z , t de otro sistema de coor-
denadas K , donde la relaci´n matem´tica entre las cantidades con prima
o a
y sin prima viene dada por la transformaci´n de Lorentz. Formulado bre-
o
vemente: las leyes generales de la naturaleza son covariantes respecto a la
transformaci´n de Lorentz.
o
Esta es una condici´n matem´tica muy determinada que la teor´ de la
o a ıa
relatividad prescribe a las leyes naturales, con lo cual se convierte en valioso
auxiliar heur´ıstico en la b´squeda de leyes generales de la naturaleza. Si se
u
encontrara una ley general de la naturaleza que no cumpliera esa condici´n, o
quedar´ refutado por lo menos uno de los dos supuestos fundamentales de la
ıa
teor´ Veamos ahora lo que esta ultima ha mostrado en cuanto a resultados
ıa. ´
generales.

24. 23
15. Resultados generales de la teor´
ıa
De las consideraciones anteriores se echa de ver que la teor´ de la rela-
ıa
tividad (especial) ha nacido de la Electrodin´mica y de la ´ptica. En estos
a o
campos no ha modificado mucho los enunciados de la teor´ pero ha simpli-
ıa,
ficado notablemente el edificio te´rico, es decir, la derivaci´n de las leyes, y,
o o
lo que es incomparablemente m´s importante, ha reducido mucho el n´mero
a u
de hip´tesis independientes sobre las que descansa la teor´ A la teor´ de
o ıa. ıa
Maxwell-Lorentz le ha conferido un grado tal de evidencia, que aqu´lla se ha-
e
br´ impuesto con car´cter general entre los f´
ıa a ısicos aunque los experimentos
hubiesen hablado menos convincentemente a su favor.
La Mec´nica cl´sica precisaba de una modificaci´n antes de poder armo-
a a o
nizar con el requisito de la teor´ de la relatividad especial. Pero esta modi-
ıa
ficaci´n afecta unicamente, en esencia, a las leyes para movimientos r´pidos
o ´ a
en los que las velocidades v de la materia no sean demasiado peque˜as frente
n
a la de la luz. Movimientos tan r´pidos s´lo nos los muestra la experiencia en
a o
electrones e iones; en otros movimientos las discrepancias respecto a las leyes
de la Mec´nica cl´sica son demasiado peque˜as para ser detectables en la
a a n
pr´ctica. Del movimiento de los astros no hablaremos hasta llegar a la teor´
a ıa
de la relatividad general. Seg´n la teor´ de la relatividad, la energ´ cin´tica
u ıa ıa e
de un punto material de masa m no viene dado ya por la conocida expresi´n o
v2
m
2
sino por la expresi´n
o
mc2
v2
1− c2
Esta expresi´n se hace infinita cuando la velocidad v se aproxima a la
o
velocidad de la luz c. As´ pues, por grande que sea la energ´ invertida en
ı ıa
la aceleraci´n, la velocidad tiene que permanecer siempre inferior a c. Si se
o
desarrolla en serie la expresi´n de la energ´ cin´tica, se obtiene:
o ıa e
v2 3 v2
mc2 + m + m 2 + ···
2 8 c
El tercer t´rmino es siempre peque˜o frente al segundo (el unico conside-
e n ´
rado en la Mec´nica cl´sica) cuando v 2 /c2 es peque˜o comparado con 1.
a a n
El primer t´rmino mc2 no depende de la velocidad, por lo cual no entra
e
en consideraci´n al tratar el problema de c´mo la energ´ de un punto mate-
o o ıa
rial depende de la velocidad. Sobre su importancia te´rica hablaremos m´s
o a
adelante. El resultado m´s importante de ´
a ındole general al que ha conducido

25. 24
la teor´ de la relatividad especial concierne al concepto de masa. La f´
ıa ısica
prerrelativista conoce dos principios de conservaci´n de importancia funda-
o
mental, el de la conservaci´n de la energ´ y el de la conservaci´n de la masa;
o ıa o
estos dos principios fundamentales aparecen completamente independientes
uno de otro. La teor´ de la relatividad los funde en uno solo. A continuaci´n
ıa o
explicaremos brevemente c´mo se lleg´ hasta ah´ y c´mo hay que interpretar
o o ı o
esta fusi´n.
o
El principio de relatividad exige que el postulado de conservaci´n de la
o
energ´ se cumpla, no s´lo respecto a un sistema de coordenadas K, sino res-
ıa o
pecto a cualquier sistema de coordenadas K que se encuentre con relaci´n ao
K en movimiento de traslaci´n uniforme (dicho brevemente, respecto a cual-
o
quier sistema de coordenadas “de Galileo”). En contraposici´n a la Mec´nica
o a
cl´sica, el paso entre dos de esos sistemas viene regido por la transformaci´n
a o
de Lorentz.
A partir de estas premisas, y en conjunci´n con las ecuaciones funda-
o
mentales de la electrodin´mica maxwelliana, se puede inferir rigurosamente,
a
mediante consideraciones relativamente sencillas, que: un cuerpo que se mue-
ve con velocidad v y que absorbe la energ´ E0 en forma de radiaci´n11 sin
ıa o
variar por eso su velocidad, experimenta un aumento de energ´ en la canti-
ıa
dad:
E0
v2
1− c2
Teniendo en cuenta la expresi´n que dimos antes para la energ´ cin´tica,
o ıa e
la energ´ del cuerpo vendr´ dada por:
ıa a
E0
m+ c2
c2
v2
1− c2
El cuerpo tiene entonces la misma energ´ que otro de velocidad v y masa
ıa
m + E0 /2. Cabe por tanto decir: si un cuerpo absorbe la energ´ E0 , su masa
ıa
inercial crece en E0 /c2 ; la masa inercial de un cuerpo no es una constante,
sino variable seg´n la modificaci´n de su energ´ La masa inercial de un
u o ıa.
sistema de cuerpos cabe contemplarla precisamente como una medida de su
energ´ El postulado de la conservaci´n de la masa de un sistema coincide
ıa. o
con el de la conservaci´n de la energ´ y s´lo es v´lido en la medida en que el
o ıa o a
sistema no absorbe ni emite energ´ Si escribimos la expresi´n de la energ´
ıa. o ıa
11
E0 es la energ´ absorbida respecto a un sistema de coordenadas que se mueve con el
ıa
cuerpo.

26. 25
en la forma
mc2 + E0
v2
1− c2
se ve que el t´rmino mc2 , que ya nos llam´ la atenci´n con anterioridad,
e o o
12
no es otra cosa que la energ´ que pose´ el cuerpo antes de absorber la
ıa ıa
energ´ E0 .
ıa
El cotejo directo de este postulado con la experiencia queda por ahora
excluido, porque las variaciones de energ´ E0 que podemos comunicar a un
ıa
sistema no son suficientemente grandes para hacerse notar en forma de una
alteraci´n de la masa inercial del sistema. E0 /c2 es demasiado peque˜o en
o n
comparaci´n con la masa m que exist´ antes de la variaci´n de energ´ A
o ıa o ıa.
esta circunstancia se debe el que se pudiera establecer con ´xito un principio
e
de conservaci´n de la masa de validez independiente.
o
Una ultima observaci´n de naturaleza te´rica. El ´xito de la interpreta-
´ o o e
ci´n de Faraday-Maxwell de la acci´n electrodin´mica a distancia a trav´s
o o a e
de procesos intermedios con velocidad de propagaci´n finita hizo que entre
o
los f´
ısicos arraigara la convicci´n de que no exist´ acciones a distancia ins-
o ıan
tant´neas e inmediatas del tipo de la ley de gravitaci´n de Newton. Seg´n
a o u
la teor´ de la relatividad, en lugar de la acci´n instant´nea a distancia, o
ıa o a
acci´n a distancia con velocidad de propagaci´n infinita, aparece siempre la
o o
acci´n a distancia con la velocidad de la luz, lo cual tiene que ver con el pa-
o
pel te´rico que desempe˜a la velocidad c en esta teor´ En la segunda parte
o n ıa.
se mostrar´ c´mo se modifica este resultado en la teor´ de la relatividad
a o ıa
general.
16. La teor´ de la relatividad especial y la experiencia
ıa
La pregunta de hasta qu´ punto se ve apoyada la teor´ de la relatividad
e ıa
especial por la experiencia no es f´cil de responder, por un motivo que ya
a
mencionamos al hablar del experimento fundamental de Fizeau. La teor´ de ıa
la relatividad especial cristaliz´ a partir de la teor´ de Maxwell-Lorentz de
o ıa
los fen´menos electromagn´ticos, por lo cual todos los hechos experimentales
o e
que apoyan esa teor´ electromagn´tica apoyan tambi´n la teor´ de la rela-
ıa e e ıa
tividad. Mencionar´ aqu´ por ser de especial importancia, que la teor´ de la
e ı, ıa
relatividad permite derivar, de manera extremadamente simple y en conso-
nancia con la experiencia, aquellas influencias que experimenta la luz de las
estrellas fijas debido al movimiento relativo de la Tierra respecto a ellas. Se
trata del desplazamiento anual de la posici´n aparente de las estrellas fijas
o
como consecuencia del movimiento terrestre alrededor del Sol (aberraci´n) o
12
Respecto a un sistema de coordenadas solidario con el cuerpo.