1. TEORÍA DE RENTAS DISCRETAS
Rentas Variables en Progresión
Aritmética (teoría)
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Departamento Métodos Cuantitativos
Universidad Pablo de Olavide
Profesor: Juan Antonio González Díaz

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VALORACIÓN DE UNA RENTA VARIABLE EN PROGRESIÓN ARITMÉTICA, DE RAZÓN “P” Y
PRIMER TÉRMINO “a”, ANUAL, INMEDIATA, POSTPAGABLE Y TEMPORAL
a1 a2 a3 …... an-1 an
0 1 2 3 n-1 n
Siendo, a1=a
a2=a+p
a3=a+2p
aK=a+(K-1)p
an=a+(n-1)p
n
n
n
n iaiaiaiaiaA 


 )1()1()1()1()1( )1(
1
3
3
2
2
1
1 
nn
ipnaipnaipaipaiaA 
 )1())1(()1())2(()1()2()1()()1( )1(321

Sin embargo, hasta ahora únicamente sabemos calcular el valor actualizado de las rentas constantes, por lo
que no sabríamos calcular el valor actual de esta renta al no ser constante…

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PRIMER TÉRMINO “a”, ANUAL, INMEDIATA, POSTPAGABLE Y TEMPORAL
a a+p a+2p …... a+(n-2)p a+(n-1)p
0 1 2 3 n-1 n
Por tanto, vamos a desglosar esta renta en una serie de rentas constantes cuyo valor actual sí sepa calcular…
a a a …... a a
0 1 2 3 n-1 n
p p …... p p
0 1 2 3 n-1 n
p …... p p
0 1 2 3 n-1 n
p p
0 1 2 3 n-1 n
p
0 1 2 3 n-1 n
R1
R2
R3
Rn-1
Rn
inaaA 1
1
12 )1( 
  iapA in
2
22 )1( 
  iapA in
)2(
)2(1 )1( 
  n
innn iapA
)1(
)1( )1( 
  n
innn iapA

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PRIMER TÉRMINO “a”, ANUAL, INMEDIATA, POSTPAGABLE Y TEMPORAL
De tal forma que el valor actual de la renta variable en progresión aritmética será igual a la suma de los
valores actuales de cada una de las rentas constantes en que he descompuesto la primera…
nn AAAAAA  1321 ...
)1(
)1(
)2(
)2(
2
2
1
1 )1()1(...)1()1( 






  n
inn
n
innininin iapiapiapiapaaA
)1(
))1((
)2(
))2((
2
)2(
1
)1(
)1(
)1(1
)1(
)1(1
...)1(
)1(1
)1(
)1(1 







 







 n
nn
n
nnnn
in i
i
i
pi
i
i
pi
i
i
pi
i
i
paaA
Sustituyo la fórmula an/i por su valor…
Por simplificar, sustituyo (muy importante) por v
1
)1( 
i 1
)1( 
 iv
)1(
))1((
)2(
))2((
2
)2(
1
)1(
11
...
11 



 







 n
nn
n
nnnn
in v
i
v
pv
i
v
pv
i
v
pv
i
v
paaA

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PRIMER TÉRMINO “a”, ANUAL, INMEDIATA, POSTPAGABLE Y TEMPORAL
Sacando factor común …
        )1())1(()2())2((2)2()1(
11...11 
  nnnnnnnn
in vvvvvvvv
i
p
aaA
Multiplicando los paréntesis …
        nnnnnn
in vvvvvvvv
i
p
aaA  

)1()2(2
...
          nnnnnnnn
in vvvvvvvvvv
i
p
aaA  

)1()2(2
...
Reordenando….
    nnnnnnn
in vvvvvvvvvv
i
p
aaA  
 ...... )1(32
  nnn
in vnvvvvv
i
p
aaA  

)1(32
...
OJO!!!

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PRIMER TÉRMINO “a”, ANUAL, INMEDIATA, POSTPAGABLE Y TEMPORAL
Por otro lado…
in
nnnn
aiiiiivvvvv 

 )1()1(...)1()1()1(... )1(321)1(32
Por tanto…
 n
inin vna
i
p
aaA  
1
)1( 
 ivsiendo
Esta fórmula traslada el valor de n términos anuales variables en progresión aritmética de razón p a un período antes de
efectuar el primer pago, en este caso, el año 0
Teniendo en cuenta esta interpretación, podemos aplicar esta fórmula a las rentas inmediatas prepagables y
a las diferidas postpagables y prepagables

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PRIMER TÉRMINO “a”, ANUAL, INMEDIATA, POSTPAGABLE Y TEMPORAL
Respecto al valor final, no vamos a estudiar una segunda fórmula, sino que capitalizaremos el valor actual
hasta el momento n para calcular el valor final de esta renta.
Por tanto…
  nn
inin
n
ivna
i
p
aaiAS )1()1( 





 
1
)1( 
 ivsiendo
Esta fórmula traslada el valor de n términos anuales variables en progresión aritmética de razón p al momento en el que
vence el último término, en este caso, al momento n
Teniendo en cuenta esta interpretación, podemos aplicar esta fórmula a las rentas inmediatas prepagables y
a las diferidas postpagables y prepagables
   nnn
inin
nn
in
n
in ivnia
i
p
saivna
i
p
iaaS )1()1()1()1(  
 ns
i
p
saS inin  

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PRIMER TÉRMINO “a”, ANUAL, DIFERIDA, POSTPAGABLE Y TEMPORAL
  dn
inin ivna
i
p
aaA 
 





 )1(
1
)1( 
 ivsiendo
a+(n-2)p a+(n-1)p
d d+1 d+2 ......... d+n-1 d+n0 d-1
a+pa ........
)(
)1( nd
iAS 


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PRIMER TÉRMINO “a”, ANUAL, INMEDIATA, PREPAGABLE Y TEMPORAL
  )1( ivna
i
p
aaA n
inin 





 
1
)1( 
 ivsiendo
n
iAS )1( 
a+pa a+(n-1)p.......
0 1 2 nn-1

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PRIMER TÉRMINO “a”, ANUAL, DIFERIDA, PREPAGABLEY TEMPORAL
  )1(
)1( 
 





 dn
inin ivna
i
p
aaA
1
)1( 
 ivsiendo
a+(n-1)p
d d+1 d+2 ......... d+n-1 d+n0 d-1
a+pa ........
)(
)1( nd
iAS 


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PRIMER TÉRMINO “a”, ANUAL, INMEDIATA, POSTPAGABLE Y PERPETUA
   n
ninninn
n
ininn vnLimaLim
i
p
aaLimvna
i
p
aaLimA 





 
a a+p a+2p …...
0 1 2 3
iii
i
Lim
i
iLim
aLim
nnn
n
inn
101)1(
1
1
)1(1















 

 nn
n
n
n
n
i
n
LiminLimvnLim
)1(
)1(
Aplicando el Criterio de Stolz, según el clual, si
)1()(
)1()(
)(
)(
,
)(
)(





 
nbnb
nana
Lim
nb
na
Lim
nb
na
Lim nnn
  
0
1
11)1(
1
)1()1(
)1(
)1( )1()1(








 
ii
Lim
ii
nn
Lim
i
n
Lim nnnnnnn

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PRIMER TÉRMINO “a”, ANUAL, INMEDIATA, POSTPAGABLE Y PERPETUA
  





  0
1
ii
p
i
a
vnLimaLim
i
p
aaLimA n
ninninn
Si la renta perpetua es además prepagable…..
Por tanto…
2
i
p
i
a
A 
)1(2
i
i
p
i
a
A 






Si la renta perpetua es además diferida…..
d
i
i
p
i
a
A 
 





 )1(2