Teoría acerca de las Rentas Variables en Progresión Aritmética. Matemáticas Financieras. Si quieres ver un vídeo explicativo de este tema, puedes hacerlo en www.jagonzalez.blogsgo.com

1. TEORÍA DE RENTAS DISCRETAS
Rentas Variables en Progresión
Aritmética (teoría)
www.jagonzalez.blogsgo.com
Departamento Métodos Cuantitativos
Universidad Pablo de Olavide
Profesor: Juan Antonio González Díaz

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VALORACIÓN DE UNA RENTA VARIABLE EN PROGRESIÓN ARITMÉTICA, DE RAZÓN “P” Y
PRIMER TÉRMINO “a”, ANUAL, INMEDIATA, POSTPAGABLE Y TEMPORAL
a1 a2 a3 …... an-1 an
0 1 2 3 n-1 n
Siendo, a1=a
a2=a+p
a3=a+2p
aK=a+(K-1)p
an=a+(n-1)p
n
n
n
n iaiaiaiaiaA )1()1()1()1()1( )1(
1
3
3
2
2
1
1 
nn
ipnaipnaipaipaiaA )1())1(()1())2(()1()2()1()()1( )1(321

Sin embargo, hasta ahora únicamente sabemos calcular el valor actualizado de las rentas constantes, por lo
que no sabríamos calcular el valor actual de esta renta al no ser constante…

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VALORACIÓN DE UNA RENTA VARIABLE EN PROGRESIÓN ARITMÉTICA, DE RAZÓN “P” Y
PRIMER TÉRMINO “a”, ANUAL, INMEDIATA, POSTPAGABLE Y TEMPORAL
a a+p a+2p …... a+(n-2)p a+(n-1)p
0 1 2 3 n-1 n
Por tanto, vamos a desglosar esta renta en una serie de rentas constantes cuyo valor actual sí sepa calcular…
a a a …... a a
0 1 2 3 n-1 n
p p …... p p
0 1 2 3 n-1 n
p …... p p
0 1 2 3 n-1 n
p p
0 1 2 3 n-1 n
p
0 1 2 3 n-1 n
R1
R2
R3
Rn-1
Rn
inaaA1
1
12 )1( iapA in
2
22 )1( iapA in
)2(
)2(1 )1( n
innn iapA
)1(
)1( )1( n
innn iapA

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VALORACIÓN DE UNA RENTA VARIABLE EN PROGRESIÓN ARITMÉTICA, DE RAZÓN “P” Y
PRIMER TÉRMINO “a”, ANUAL, INMEDIATA, POSTPAGABLE Y TEMPORAL
De tal forma que el valor actual de la renta variable en progresión aritmética será igual a la suma de los
valores actuales de cada una de las rentas constantes en que he descompuesto la primera…
nn AAAAAA 1321 ...
)1(
)1(
)2(
)2(
2
2
1
1 )1()1(...)1()1( n
inn
n
innininin iapiapiapiapaaA
)1(
))1((
)2(
))2((
2
)2(
1
)1(
)1(
)1(1
)1(
)1(1
...)1(
)1(1
)1(
)1(1 n
nn
n
nnnn
in i
i
i
pi
i
i
pi
i
i
pi
i
i
paaA
Sustituyo la fórmula an/i por su valor…
Por simplificar, sustituyo (muy importante) por v
1
)1( i 1
)1( iv
)1(
))1((
)2(
))2((
2
)2(
1
)1(
11
...
11 n
nn
n
nnnn
in v
i
v
pv
i
v
pv
i
v
pv
i
v
paaA

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VALORACIÓN DE UNA RENTA VARIABLE EN PROGRESIÓN ARITMÉTICA, DE RAZÓN “P” Y
PRIMER TÉRMINO “a”, ANUAL, INMEDIATA, POSTPAGABLE Y TEMPORAL
Sacando factor común …
)1())1(()2())2((2)2()1(
11...11 nnnnnnnn
in vvvvvvvv
i
p
aaA
Multiplicando los paréntesis …
nnnnnn
in vvvvvvvv
i
p
aaA )1()2(2
...
nnnnnnnn
in vvvvvvvvvv
i
p
aaA )1()2(2
...
Reordenando….
nnnnnnn
in vvvvvvvvvv
i
p
aaA ...... )1(32
nnn
in vnvvvvv
i
p
aaA )1(32
...
OJO!!!

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VALORACIÓN DE UNA RENTA VARIABLE EN PROGRESIÓN ARITMÉTICA, DE RAZÓN “P” Y
PRIMER TÉRMINO “a”, ANUAL, INMEDIATA, POSTPAGABLE Y TEMPORAL
Por otro lado…
in
nnnn
aiiiiivvvvv )1()1(...)1()1()1(... )1(321)1(32
Por tanto…
n
inin vna
i
p
aaA 1
)1( ivsiendo
Esta fórmula traslada el valor de n términos anuales variables en progresión aritmética de razón p a un período antes de
efectuar el primer pago, en este caso, el año 0
Teniendo en cuenta esta interpretación, podemos aplicar esta fórmula a las rentas inmediatas prepagables y
a las diferidas postpagables y prepagables

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VALORACIÓN DE UNA RENTA VARIABLE EN PROGRESIÓN ARITMÉTICA, DE RAZÓN “P” Y
PRIMER TÉRMINO “a”, ANUAL, INMEDIATA, POSTPAGABLE Y TEMPORAL
Respecto al valor final, no vamos a estudiar una segunda fórmula, sino que capitalizaremos el valor actual
hasta el momento n para calcular el valor final de esta renta.
Por tanto…
nn
inin
n
ivna
i
p
aaiAS )1()1(
1
)1( ivsiendo
Esta fórmula traslada el valor de n términos anuales variables en progresión aritmética de razón p al momento en el que
vence el último término, en este caso, al momento n
Teniendo en cuenta esta interpretación, podemos aplicar esta fórmula a las rentas inmediatas prepagables y
a las diferidas postpagables y prepagables
nnn
inin
nn
in
n
in ivnia
i
p
saivna
i
p
iaaS )1()1()1()1(
ns
i
p
saS inin

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VALORACIÓN DE UNA RENTA VARIABLE EN PROGRESIÓN ARITMÉTICA, DE RAZÓN “P” Y
PRIMER TÉRMINO “a”, ANUAL, DIFERIDA, POSTPAGABLE Y TEMPORAL
dn
inin ivna
i
p
aaA )1(
1
)1( ivsiendo
a+(n-2)p a+(n-1)p
d d+1 d+2 ......... d+n-1 d+n0 d-1
a+pa ........
)(
)1( nd
iAS

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VALORACIÓN DE UNA RENTA VARIABLE EN PROGRESIÓN ARITMÉTICA, DE RAZÓN “P” Y
PRIMER TÉRMINO “a”, ANUAL, INMEDIATA, PREPAGABLE Y TEMPORAL
)1( ivna
i
p
aaA n
inin
1
)1( ivsiendo
n
iAS )1(
a+pa a+(n-1)p.......
0 1 2 nn-1

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VALORACIÓN DE UNA RENTA VARIABLE EN PROGRESIÓN ARITMÉTICA, DE RAZÓN “P” Y
PRIMER TÉRMINO “a”, ANUAL, DIFERIDA, PREPAGABLEY TEMPORAL
)1(
)1( dn
inin ivna
i
p
aaA
1
)1( ivsiendo
a+(n-1)p
d d+1 d+2 ......... d+n-1 d+n0 d-1
a+pa ........
)(
)1( nd
iAS

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VALORACIÓN DE UNA RENTA VARIABLE EN PROGRESIÓN ARITMÉTICA, DE RAZÓN “P” Y
PRIMER TÉRMINO “a”, ANUAL, INMEDIATA, POSTPAGABLE Y PERPETUA
n
ninninn
n
ininn vnLimaLim
i
p
aaLimvna
i
p
aaLimA
a a+p a+2p …...
0 1 2 3
iii
i
Lim
i
iLim
aLim
nnn
n
inn
101)1(
1
1
)1(1
nn
n
n
n
n
i
n
LiminLimvnLim
)1(
)1(
Aplicando el Criterio de Stolz, según el clual, si
)1()(
)1()(
)(
)(
,
)(
)(
nbnb
nana
Lim
nb
na
Lim
nb
na
Lim nnn
0
1
11)1(
1
)1()1(
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ii
Lim
ii
nn
Lim
i
n
Lim nnnnnnn

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VALORACIÓN DE UNA RENTA VARIABLE EN PROGRESIÓN ARITMÉTICA, DE RAZÓN “P” Y
PRIMER TÉRMINO “a”, ANUAL, INMEDIATA, POSTPAGABLE Y PERPETUA
0
1
ii
p
i
a
vnLimaLim
i
p
aaLimA n
ninninn
Si la renta perpetua es además prepagable…..
Por tanto…
2
i
p
i
a
A
)1(2
i
i
p
i
a
A
Si la renta perpetua es además diferida…..
d
i
i
p
i
a
A )1(2