Matemáticas Financieras. Teoria de rentas anuales variables en progresion aritmetica

TEORÍA DE RENTAS DISCRETAS
Rentas Variables en Progresión
Aritmética (teoría)
www.clasesuniversitarias.com
Departamento Métodos Cuantitativos
Universidad Pablo de Olavide
Profesor: Juan Antonio González Díaz

RENTAS VARIABLES EN PROG. ARITMÉTICA
VALORACIÓN DE UNA RENTA VARIABLE EN PROGRESIÓN ARITMÉTICA, DE RAZÓN “P” Y
PRIMER TÉRMINO “a”, ANUAL, INMEDIATA, POSTPAGABLE Y TEMPORAL
a1 a2 a3 …... an-1 an
0 1 2 3 n-1 n
Siendo, a1=a
a2=a+p
a3=a+2p
aK=a+(K-1)p
an=a+(n-1)p
n
n
n
n iaiaiaiaiaA −−−
−
−−−
+⋅++⋅+++⋅++⋅++⋅= )1()1()1()1()1( )1(
1
3
3
2
2
1
1 K
nn
ipnaipnaipaipaiaA −−−−−−
+⋅−+++⋅⋅−++++⋅+++⋅+++⋅= )1())1(()1())2(()1()2()1()()1( )1(321
K
Sin embargo, hasta ahora únicamente sabemos calcular el valor actualizado de las rentas constantes, por lo
que no sabríamos calcular el valor actual de esta renta al no ser constante…

a a+p a+2p …... a+(n-2)p a+(n-1)p
0 1 2 3 n-1 n
Por tanto, vamos a desglosar esta renta en una serie de rentas constantes cuyo valor actual sí sepa calcular…
a a a …... a a
0 1 2 3 n-1 n
p p …... p p
0 1 2 3 n-1 n
p …... p p
0 1 2 3 n-1 n
p p
0 1 2 3 n-1 n
p
0 1 2 3 n-1 n
R1
R2
R3
Rn-1
Rn
inaaA ¬⋅=1
1
12 )1( −
¬− +⋅⋅= iapA in
2
22 )1( −
¬− +⋅⋅= iapA in
)2(
)2(1 )1( −−
¬−−− +⋅⋅= n
innn iapA
)1(
)1( )1( −−
¬−− +⋅⋅= n
innn iapA

De tal forma que el valor actual de la renta variable en progresión aritmética será igual a la suma de los
valores actuales de cada una de las rentas constantes en que he descompuesto la primera…
nn AAAAAA +++++= −1321 ...
)1(
)1(
)2(
)2(
2
2
1
1 )1()1(...)1()1( −−
¬−−
−−
¬−−
−
¬−
−
¬−¬ +⋅⋅++⋅⋅+++⋅⋅++⋅⋅+⋅= n
inn
n
innininin iapiapiapiapaaA
)1(
))1((
)2(
))2((
2
)2(
1
)1(
)1(
)1(1
)1(
)1(1
...)1(
)1(1
)1(
)1(1 −−
−−−
−−
−−−
−
−−
−
−−
¬ +⋅
+−
⋅++⋅
+−
⋅+++⋅
+−
⋅++⋅
+−
⋅+⋅= n
nn
n
nnnn
in i
i
i
pi
i
i
pi
i
i
pi
i
i
paaA
Sustituyo la fórmula an/i por su valor…
Por simplificar, sustituyo (muy importante) por v
1
)1( −
+ i 1
)1( −
+= iv
)1(
))1((
)2(
))2((
2
)2(
1
)1(
11
...
11 −
−−
−
−−−−
¬ ⋅
−
⋅+⋅
−
⋅++⋅
−
⋅+⋅
−
⋅+⋅= n
nn
n
nnnn
in v
i
v
pv
i
v
pv
i
v
pv
i
v
paaA

Sacando factor común …
( ) ( ) ( ) ( )[ ])1())1(()2())2((2)2()1(
11...11 −−−−−−−−
¬ ⋅−+⋅−++⋅−+⋅−⋅+⋅= nnnnnnnn
in vvvvvvvv
i
p
aaA
Multiplicando los paréntesis …
( ) ( ) ( ) ( )[ ]nnnnnn
in vvvvvvvv
i
p
aaA −+−++−+−⋅+⋅= −−
¬
)1()2(2
...
( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]nnnnnnnn
in vvvvvvvvvv
i
p
aaA −+−+−++−+−⋅+⋅= −−
¬
)1()2(2
...
Reordenando….
( ) ( )[ ]nnnnnnn
in vvvvvvvvvv
i
p
aaA ++−++−+++++⋅+⋅= −
¬ ...... )1(32
( )[ ]nnn
in vnvvvvv
i
p
aaA ⋅−+++++⋅+⋅= −
¬
)1(32
...
OJO!!!

Por otro lado…
in
nnnn
aiiiiivvvvv ¬
−−−−−−−
=++++++++++=+++++ )1()1(...)1()1()1(... )1(321)1(32
Por tanto…
[ ]n
inin vna
i
p
aaA ⋅−⋅+⋅= ¬¬
1
)1( −
+= ivsiendo
Esta fórmula traslada el valor de n términos anuales variables en progresión aritmética de razón p a un período antes de
efectuar el primer pago, en este caso, el año 0
Teniendo en cuenta esta interpretación, podemos aplicar esta fórmula a las rentas inmediatas prepagables y
a las diferidas postpagables y prepagables

Respecto al valor final, no vamos a estudiar una segunda fórmula, sino que capitalizaremos el valor actual
hasta el momento n para calcular el valor final de esta renta.
Por tanto…
[ ] nn
inin
n
ivna
i
p
aaiAS )1()1( +⋅





⋅−⋅+⋅=+⋅= ¬¬
1
)1( −
+= ivsiendo
Esta fórmula traslada el valor de n términos anuales variables en progresión aritmética de razón p al momento en el que
vence el último término, en este caso, al momento n
Teniendo en cuenta esta interpretación, podemos aplicar esta fórmula a las rentas inmediatas prepagables y
a las diferidas postpagables y prepagables
[ ] [ ]nnn
inin
nn
in
n
in ivnia
i
p
saivna
i
p
iaaS )1()1()1()1( +⋅−+⋅⋅+⋅=+⋅−⋅++⋅= ¬¬¬¬
[ ]ns
i
p
saS inin −⋅+⋅= ¬¬

PRIMER TÉRMINO “a”, ANUAL, DIFERIDA, POSTPAGABLE Y TEMPORAL
[ ] dn
inin ivna
i
p
aaA −
¬¬ +⋅





⋅−⋅+⋅= )1(
1
)1( −
+= ivsiendo
a+(n-2)p a+(n-1)p
d d+1 d+2 ......... d+n-1 d+n0 d-1
a+pa ........
)(
)1( nd
iAS +
+⋅=

PRIMER TÉRMINO “a”, ANUAL, INMEDIATA, PREPAGABLE Y TEMPORAL
[ ] )1( ivna
i
p
aaA n
inin +⋅





⋅−⋅+⋅= ¬¬
1
)1( −
+= ivsiendo
n
iAS )1( +⋅=
a+pa a+(n-1)p.......
0 1 2 nn-1

PRIMER TÉRMINO “a”, ANUAL, DIFERIDA, PREPAGABLEY TEMPORAL
[ ] )1(
)1( −−
¬¬ +⋅





⋅−⋅+⋅= dn
inin ivna
i
p
aaA
1
)1( −
+= ivsiendo
a+(n-1)p
d d+1 d+2 ......... d+n-1 d+n0 d-1
a+pa ........
)(
)1( nd
iAS +
+⋅=

PRIMER TÉRMINO “a”, ANUAL, INMEDIATA, POSTPAGABLE Y PERPETUA
[ ] [ ]n
ninninn
n
ininn vnLimaLim
i
p
aaLimvna
i
p
aaLimA ⋅−⋅+⋅=





⋅−⋅+⋅= ∞→¬∞→¬∞→¬¬∞→∞
a a+p a+2p …...
0 1 2 3
iii
i
Lim
i
iLim
aLim
nnn
n
inn
101)1(
1
1
)1(1
=
−
=
+
−
=
+−
=
∞→−
∞→
¬∞→
∞
∞
=
+
=+⋅=⋅ ∞→
−
∞→∞→ nn
n
n
n
n
i
n
LiminLimvnLim
)1(
)1(
Aplicando el Criterio de Stolz, según el clual, si
)1()(
)1()(
)(
)(
,
)(
)(
−−
−−
=
∞
∞
= ∞→∞→∞→
nbnb
nana
Lim
nb
na
Lim
nb
na
Lim nnn
( )[ ]
0
1
11)1(
1
)1()1(
)1(
)1( )1()1(
=
∞
=
−+⋅+
=
+−+
−−
=
+ −∞→−∞→∞→
ii
Lim
ii
nn
Lim
i
n
Lim nnnnnnn

PRIMER TÉRMINO “a”, ANUAL, INMEDIATA, POSTPAGABLE Y PERPETUA
[ ] 





−+=⋅−⋅+⋅= ∞→¬∞→¬∞→∞ 0
1
ii
p
i
a
vnLimaLim
i
p
aaLimA n
ninninn
Si la renta perpetua es además prepagable…..
Por tanto…
2
i
p
i
a
A +=∞
)1(2
i
i
p
i
a
A +⋅





+=∞
Si la renta perpetua es además diferida…..
d
i
i
p
i
a
A −
∞ +⋅





+= )1(2

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