- Factores de pago único (F/P Y P/F) - Factores de valor presente y de recuperación de capital en series uniformes (P/A Y A/P) - Interpolación en tablas de interés. - Factores de gradiente aritmético (P/G Y A/G) - Cálculos de tasas de interés desconocidas.

1. REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
INSTITUTO UNIVERSITARIO POLITÉCNICO
“SANTIAGO MARIÑO”
SEDE BARCELONA
INGENIERÍA INDUSTRIAL
PROFESORA:
ANABEL BENAVIDES
BACHILLER:
MACHADO GIOMAL

2. Los factores económicos constituyen la consideración estratégica en la mayoría de las
actividades de la ingeniería. La economía pertenece a las disciplinas sociales que tiene como
objetivo el estudio del hombre. Esto significa que la economía estudia la forma como los
recursos están localizados y como se asignan para las satisfacciones de las necesidades
materiales del hombre.
El denominador común aplicable en las comparaciones económicas es el valor
expresado en términos monetarios. La mayoría de las otras medidas que parecen en varias
actividades tales como tiempo, distancia y cantidad pueden a menudo convertirse en términos
monetarios. Para que una organización perdure, su eficiencia (producto dividendo por insumos)
debe exceder la unidad.
Es evidente que la ganancia total obtenida por una organización comercial es la suma de
los éxitos de todas las actividades llevadas a cabo. También el éxito de la actividad primordial es
la suma de los éxitos de las actividades menores que la conforman.
La extensión de los éxitos de cada actividad depende de su ingreso potencial menor el costo de
buscarlo. Al nivel de la empresa, el éxito se mide mediante la suma de los éxitos netos las varias
aventuras realizadas durante un periodo de tiempo. Este, con frecuencia se reporta cada año en
el estado de pérdidas y ganancias en la empresa

3. El factor clave en I.E. es el que determina la cantidad de dinero
F que se acumula después de n años (o períodos), a partir de un valor
único presente P con interés compuesto una vez por año (o por
período).
)1(1
1
iPF
PiPF


2
2
2
2
112
)1(
)1()1()1(
iPF
iiiPiiPiPF
iFFF



3
3
2
3
2223
)1(
)1()1(
)1(
iPF
iiPF
iFiFFF



AÑO 1 AÑO 2 AÑO 3

4. Año n n
iPF )1(  Donde (1+i)n se conoce como “
factor de cantidad compuesta de pago
único (FCCPU), o factor F/D ”
Año n







 n
i
FP
)1(
1 Donde [1/(1+i)n] se conoce como
“ factor de valor presente de pago
único (FVPPU), o factor P/F ”
Luego:

5. En resumen:
NOTACIÓN NOMBRE
ENCONTRAR
/DADO
ECUACIÓN
EN NOTACIÓN
ESTÁNDAR
ECUACIÓN CON
FORMULA DE
FACTOR
FUNCIONES
EXCEL
(F/P,i,n)
Cantidad
compuesta
pago único
F/P F=P (F/P,i,n) F=P(1+i)n FV(i%,n,P)
(P/I,i,n)
Valor
presente
pago único
P/F P=F (P/F,i,n) P=F[1/(1+i)n] PV(i%,n,P)

6. Las notaciones estándar para estos dos factores son:
1. (P/F, i%, n)
2. (F/P, i%, n)
Ejemplo:
Si i% = 5% y n = 10 años, ¿Cuál será el factor (P/F, i%, n)?
Solución:
El factor (P/F, 5%, 10), de la tabla 10, sugiere que (P/F, 5%, 10) = 0,6139
Con este factor encontraremos el valor presente
equivalente a 5% anual, para cualquier cantidad F que
ocurra de manera uniforme desde el año 1 hasta el 10

7. El valor presente, P, equivalente a una serie uniforme
de flujo de efectivo al final del período, A, se representa en
el esquema siguiente:

8. a) P de una serie uniforme
b) A para un valor presente
Casos de diagrama de flujo de efectivo:

9. El valor presente, P, equivalente a una serie uniforme de flujo
de efectivo al final del período, A, se representa en el esquema
siguiente:
Aplicando el “ factor de valor presente de pago único (FVPPU),
en cada período, derivamos el factor P/A”




























  nn
i
A
i
A
i
A
i
AP
)1(
1
)1(
1
)1(
1
)1(
1
121


10. Reagrupando, nos queda:


































  nn
iiii
AP
)1(
1
)1(
1
)1(
1
)1(
1
121

Al multiplicar ambos miembros de la ecuación por
(1+i)n , “factor de cantidad compuesta de pago único”



































  nn
iiiii
A
i
P
)1(
1
)1(
1
)1(
1
)1(
1
)1()1( 121




































 132
)1(
1
)1(
1
)1(
1
)1(
1
)1( nn
iiii
A
i
P

A fin de hallar una expresión general, precedemos a
construir una progresión geométrica. Recordemos

11. PROGRESIÓN GEOMÉTRICA
Caso 5: Se llama progresión geométrica a toda sucesión de
términos en la cual la razón o cociente entre un término
cualquiera y el anterior a éste es constante. Esta definición
equivale a decir que una sucesión de términos constituye una
progresión geométrica, si cada término se obtiene multiplicando
el anterior por una cantidad fija
Ejemplo: Dado un primer término a y una razón r, la progresión
geométrica correspondiente para los primeros n primeros
términos estará dada por:
12
,...,,, n
ararara
      12
... n
arararaS
 
 










1
1
1
1
rna
r
r
r
a
S
n

12. Reagrupando, nos queda:



































 132
)1(
1
)1(
1
)1(
1
)1(
1
)1( nn
iiii
A
i
P



































  nn
iiii
AP
)1(
1
)1(
1
)1(
1
)1(
1
121





 )1(
)11(
)1( i
iP
P
i
P

















 
)1(
1
)1(
1
)1( 1
ii
AP
i
i
n








 n
n
ii
i
AP
)1(
1)1(
y análogamente 








1)1(
)1(
n
n
i
ii
AP

13. Los factores y su uso para encontrar P y A se resumen a
continuación
NOTACIÓN NOMBRE
ENCONTRAR
/DADO
ECUACIÓN
EN NOTACIÓN
ESTÁNDAR
ECUACIÓN CON
FORMULA DE
FACTOR
FUNCIONES
EXCEL
(P/A,i,n) Series
uniformes de
valor presente
P/A P=A(P/A,i,n) PV(i%,n,A)
(A/P,i,n) Recuperación
de capital
A/P A=P(A/P,i,n) PMT(i%,n,P)








 n
n
ii
i
AP
)1(
1)1(









1)1(
)1(
n
n
i
ii
AP

14. PARA EL USO DE LAS TABLAS
Las notaciones estándar para estos dos factores son:
1. (P/A, i%, n)
2. (A/P, i%, n)
Ejemplo:
Si i% = 15% y n = 25 años, ¿Cuál será el factor (P/A, i%, n)?
Solución:
El factor (P/A, 15%, 25), de la tabla 19, sugiere que (P/A, 15%, 25) =
6.4641
Con este factor encontraremos el valor presente equivalente a 15%
anual, para cualquier cantidad A que ocurra de manera uniforme
desde el año 1 hasta el 25

15. Cuando es necesario localizar el
valor de un factor i o n que no se
encuentra en las tablas de interés, el
valor deseado puede obtenerse en una
de dos formas:
1. Utilizando las formulas derivadas
anteriormente o
2. Interpolando linealmente entre los
valores tabulados.
d
b
a
c
d
c
b
a


















Arreglo para la interpolación lineal

16. Un gradiente aritmético es una serie de flujos de efectivo que
aumenta o disminuye en una cantidad constante. Es decir, el flujo de
efectivo (ingresos o egresos) formulación: Diagrama de una serie
gradiente aritmético con una cantidad base A, y un gradiente de G.
Las formulas desarrolladas anteriormente para una serie A tienen
cantidades al final del período de igual valor. En el caso de un gradiente
G, el flujo de efectivo de cada final de año es diferente, de manera que se
hace necesario derivar las formulas asociadas según sea el caso.
Criterio: Suponemos que el flujo de efectivo al final del año 1 no forma
parte de la serie del gradiente. Esto es conveniente porque en las
aplicaciones reales la cantidad base en general es mayor o menor que el
aumento o la disminución del gradiente.

17. Formulación: Diagrama de una serie gradiente
aritmético con una cantidad base A, y un gradiente de
G.
G=cambio aritmético constante en la magnitud de los
ingresos o desembolsos de un período al siguiente

18. Reagrupando, nos queda:


































 132
)1(
1
)1(
1
)1(
1
)1(
1
nn
iiii
GP 


































  nn
iiii
GiP
)1(
1
)1(
1
)1(
1
)1(
1
)1( 121
1

)())1(1(  iPiP






















  nn
i
n
G
ii
GiP
)1()1(
1
)1(
1
1










 nn
n
i
n
ii
i
i
G
P
)1()1(
1)1(
Luego 









 nn
n
i
n
ii
i
i
niGP
)1()1(
1)1(1
),,/(

19. Reagrupando, nos queda:










 nn
n
i
n
ii
i
i
G
P
)1()1(
1)1(
Luego 









 nn
n
i
n
ii
i
i
niGP
)1()1(
1)1(1
),,/(
Así, el factor de valor presente de gradiente aritmético, o
factor P/G, se expresa como:








 n
n
ii
ini
niGP
)1(
1)1(
),,/( 2
De igual modo, si expresamos el valor presente como una
relación de ingeniería económica, será:
),,/( niGPGP 

20. Diagrama de conversión de un gradiente aritmético a un
valor presente:
G
1 2 3 n-2 n-1 n0
2G
(n-3)G
(n-2)G
(n-1)G
i = Dada








 n
n
ii
ini
niGP
)1(
1)1(
),,/( 2
1 2 3 n-2 n-1 n0
P = ?
Clave: El gradiente comienza en el año 2 y P está
ubicado en el año 0

21. La serie anual uniforme
equivalente (A) de un gradiente
aritmético G se calcula multiplicando
el valor presente de la ecuación
P=G(P/G,i,n)
por la expresión del factor (A/ P,i,n)
Veamos:
),,/)(,,/( niPAniGPGA 
),,/( niGAGA 
Recordemos










 nn
n
i
n
ii
i
i
G
niGPGP
)1()1(
1)1(
),,/(

22. Así, tenemos que
Asimismo,










 nn
n
i
n
ii
i
i
G
PniGPGP
)1()1(
1)1(
),,/(









1)1(
)1(
),,/( n
n
i
ii
APniPA
Luego, al sustituir en
y despejando, nos queda que
),,/)(,,/( niPAniGPGA 



















1)1(
)1(
)1()1(
1)1(
n
n
nn
n
i
ii
i
n
ii
i
i
G
A 







1)1(
1
n
i
n
i
GA

23. Diagrama de conversión de un gradiente aritmético a un
valor presente:
G
1 2 3 n-2 n-1 n0
2G
(n-3)G
(n-2)G
(n-1)G
i = Dada








1)1(
1
n
i
n
i
GA
A= ?
1 2 3 n-2 n-1 n0

24. En algunos casos, se conoce la cantidad de dinero
depositado y la cantidad de dinero recibida luego de un número
especificado de años pero de desconoce la tasa de interés o tasa
de retorno.
Cuando hay involucrados un pago único y un recibo
único, una serie uniforme de pagos recibidos, o un gradiente
convencional uniforme de pagos recibido, la tasa desconocida
puede determinarse para “i” por una solución directa de la
ecuación del valor del dinero en el tiempo. Sin embargo,
cuando hay pagos no uniformes, o muchos factores, el
problema debe resolverse mediante un método de ensayo y
error, ó numérico.

25. Algunas definiciones presentadas anteriormente son esenciales en la
ingeniería económica siendo esta una aplicación de factores y criterios económicos
para evaluar alternativas que de valor económico especifica de flujos de efectivos
estimados durante un periodo de tiempo específico.
El estudio de la ingeniera económica es realmente importante en el proceso
de la solución de problemas porque contiene métodos principales que ayudan a
lograr un análisis económico que llevan a la implementación y selección de una
alternativa previamente estudiada entre otros.
Es importante destacar conceptos como; inflación la cuales se conoce como
la pérdida del valor adquisitivo de la actividad monetaria cuyo término se encuentra
muy acentuado en la actualidad y que se debe manejar con ciertas herramientas
como los tipos de interés simple y compuesto conjuntamente estudiado con
inversión inicial, los costó de operación y mantenimiento, y otros conceptos que
facilitan el análisis presente futuro en negocios sobre todo en el país.

26. Berbeo. M. E. Las Matemáticas Financieras. Bogotá Colombia. (2005).
Disponible en: http://www.redjbm.com/ingeco/index.html
Joaquín. M y Aramburu. O. Introducción al Análisis Matemática (2da edición, catalán).
Publicaciones de la UAB. (2002)
International Swaps and Derivatives Association; Lineal Interpolation (Interpolación lineal).
(2006).
Disponible en: https://www.geniolandia.com/13131870/como-interpolar-tasas-de-interés
Fabre, M. (2017). Factores: Como el Tiempo y el Interés Afectan al Dinero.
Disponible en: https://prezi.com/d4f_kle2typ3/factores-como-el-tiempo-y-el-interes-afectan-al-
dinero/
Nathalie, O.
Factores que afectan al dinero. (2016)
Disponible en: https://es.scribd.com/document/332211953/FACTORES-QUE-AFECTAN-AL-
DINERO
Luis Gerardo M
Factores de gradiente aritmético (2012)
Disponible en: https://es.scribd.com/doc/95063443/Factores-de-gradiente-aritmetico