Matemáticas Financieras. Teoría de rentas variables en progresión geométrica

1. TEORÍA DE RENTAS DISCRETAS
Rentas Variables en Progresión
Geométrica (teoría)
www.clasesuniversitarias.com
Departamento Métodos Cuantitativos
Universidad Pablo de Olavide
Profesor: Juan Antonio González Díaz

2. RENTAS VARIABLES EN PROG. GEOMÉTRICA
VALORACIÓN DE UNA RENTA VARIABLE EN PROGRESIÓN GEOMÉTRICA, DE RAZÓN “q” Y
PRIMER TÉRMINO “a”, ANUAL, INMEDIATA, POSTPAGABLE Y TEMPORAL
a1 a2 a3 …... an-1 an
0 1 2 3 n-1 n
Siendo,
n
n
n
n iaiaiaiaiaA −−−
−
−−−
+⋅++⋅+++⋅++⋅++⋅= )1()1()1()1()1( )1(
1
3
3
2
2
1
1 K
nnnn
iqaiqaiqaiqaiaA −−−−−−−−
+⋅⋅++⋅⋅+++⋅⋅++⋅⋅++⋅= )1()1()1()1()1( 1)1(23221
K
aa =1
qaa ⋅=2
2
3 qaa ⋅=
1−
⋅= k
k qaa
1−
⋅= n
n qaa
nnnn
vqavqavqavqavaA ⋅⋅+⋅⋅++⋅⋅+⋅⋅+⋅= −−− 112322
K
Por simplificar, sustituyo (muy importante) por v
1
)1( −
+i 1
)1( −
+= iv
www.clasesuniversitarias.com

3. Sacando factor común…
RENTAS VARIABLES EN PROG. GEOMÉTRICA
VALORACIÓN DE UNA RENTA VARIABLE EN PROGRESIÓN GEOMÉTRICA, DE RAZÓN “P” Y
PRIMER TÉRMINO “a”, ANUAL, INMEDIATA, POSTPAGABLE Y TEMPORAL
( )112222
1 −−−−
⋅+⋅++⋅+⋅+⋅⋅= nnnn
vqvqvqvqvaA K
Se trata de una progresión geométrica, para cuya suma necesitamos conocer los siguientes valores:
Primer Término (PT)
Último Término (UT)
Razón (R)
Ya que la suma de la progresión geométrica es:
∑ −
−×
=
1R
PTRUT
PG
1=PT
11 −−
⋅= nn
vqUT
vqR ⋅=
=
−⋅
−⋅⋅⋅
=∑
−−
1
111
vq
vqvq
PG
nn
∑ −⋅
−⋅
=
1
1
vq
vq
PG
nn
www.clasesuniversitarias.com

4. Por lo tanto,
RENTAS VARIABLES EN PROG. GEOMÉTRICA
VALORACIÓN DE UNA RENTA VARIABLE EN PROGRESIÓN GEOMÉTRICA, DE RAZÓN “P” Y
PRIMER TÉRMINO “a”, ANUAL, INMEDIATA, POSTPAGABLE Y TEMPORAL
1
1
−⋅
−⋅
⋅⋅=
vq
vq
vaA
nn
Siempre que 1≠⋅vq
)1(1
)1(
1)1(1 1
iq
i
q
iqvq +≠⇔≠
+
⇔≠+⋅⇔≠⋅ −
)1( iq +≠
Si ocurre lo contrario, es decir, si volvemos a la fórmula anterior:1=⋅vq
( )112222
1 −−−−
⋅+⋅++⋅+⋅+⋅⋅= nnnn
vqvqvqvqvaA K
( ) nvavaA nn
⋅⋅=+++++⋅⋅= −− 122
11111 K
www.clasesuniversitarias.com

5. Tenemos, por tanto, dos fórmulas distintas para el valor actual de una renta variable en progresión
geométrica
RENTAS VARIABLES EN PROG. GEOMÉTRICA
VALORACIÓN DE UNA RENTA VARIABLE EN PROGRESIÓN GEOMÉTRICA, DE RAZÓN “P” Y
PRIMER TÉRMINO “a”, ANUAL, INMEDIATA, POSTPAGABLE Y TEMPORAL
1
1
−⋅
−⋅
⋅⋅
vq
vq
va
nn
Siempre que 1≠⋅vq )1( iq +≠
nva ⋅⋅ Siempre que 1=⋅vq )1( iq +=
=A
Esta fórmula traslada el valor de n términos anuales variables en progresión geométrica de razón q a un período antes de
efectuar el primer pago, en este caso, el año 0
Teniendo en cuenta esta interpretación, podemos aplicar esta fórmula a las rentas inmediatas prepagables y
a las diferidas postpagables y prepagables
www.clasesuniversitarias.com

6. Respecto al valor final, no vamos a estudiar una segunda fórmula, sino que capitalizaremos el valor actual
hasta el momento n para calcular el valor final de esta renta.
Por tanto…
1
)1(
)1(
1
1
)1(
−⋅
+−
⋅⋅=+⋅
−⋅
−⋅
⋅⋅=+⋅=
vq
iq
vai
vq
vq
vaiAS
nn
n
nn
n
Esta fórmula traslada el valor de n términos anuales variables en progresión aritmética de razón p al momento en el que
vence el último término, en este caso, al momento n
Teniendo en cuenta esta interpretación, podemos aplicar esta fórmula a las rentas inmediatas prepagables y
a las diferidas postpagables y prepagables
RENTAS VARIABLES EN PROG. GEOMÉTRICA
VALORACIÓN DE UNA RENTA VARIABLE EN PROGRESIÓN GEOMÉTRICA, DE RAZÓN “P” Y
PRIMER TÉRMINO “a”, ANUAL, INMEDIATA, POSTPAGABLE Y TEMPORAL
Siempre que )1( iq +≠
nn
invaiAS )1()1( +⋅⋅⋅=+⋅= Siempre que )1( iq +≠
www.clasesuniversitarias.com

7. VALORACIÓN DE UNA RENTA VARIABLE EN PROGRESIÓN GEOMÉTRICA, DE RAZÓN “P” Y
PRIMER TÉRMINO “a”, ANUAL, DIFERIDA, POSTPAGABLE Y TEMPORAL
d d+1 d+2 ......... d+n-1 d+n0 d-1
........
RENTAS VARIABLES EN PROG. GEOMÉTRICA
2−n
aq 1−n
aqaqa
d
nn
i
vq
vq
va −
+⋅
−⋅
−⋅
⋅⋅ )1(
1
1 Siempre que 1≠⋅vq )1( iq +≠
d
inva −
+⋅⋅⋅ )1(
Siempre que 1=⋅vq )1( iq +=
=A
n
iAS )1( +⋅=
www.clasesuniversitarias.com

8. VALORACIÓN DE UNA RENTA VARIABLE EN PROGRESIÓN GEOMÉTRICA, DE RAZÓN “P” Y
PRIMER TÉRMINO “a”, ANUAL, INMEDIATA, PREPAGABLE Y TEMPORAL
.......
0 1 2 nn-1
RENTAS VARIABLES EN PROG. GEOMÉTRICA
2−n
aq 1−n
aqaqa
)1(
1
1
i
vq
vq
va
nn
+⋅
−⋅
−⋅
⋅⋅ Siempre que 1≠⋅vq )1( iq +≠
)1( inva +⋅⋅⋅
Siempre que 1=⋅vq )1( iq +=
=A
n
iAS )1( +⋅=
www.clasesuniversitarias.com

9. VALORACIÓN DE UNA RENTA VARIABLE EN PROGRESIÓN GEOMÉTRICA, DE RAZÓN “P” Y
PRIMER TÉRMINO “a”, ANUAL, DIFERIDA, PREPAGABLEY TEMPORAL
d d+1 d+2 ......... d+n-1 d+n0 d-1
........
RENTAS VARIABLES EN PROG. GEOMÉTRICA
2−n
aq 1−n
aqaqa
)1(
)1(
1
1 −−
+⋅
−⋅
−⋅
⋅⋅ d
nn
i
vq
vq
va Siempre que 1≠⋅vq )1( iq +≠
)1(
)1( −−
+⋅⋅⋅ d
inva
Siempre que 1=⋅vq )1( iq +=
=A
n
iAS )1( +⋅=
www.clasesuniversitarias.com

10. VALORACIÓN DE UNA RENTA VARIABLE EN PROGRESIÓN GEOMÉTRICA, DE RAZÓN “P” Y
PRIMER TÉRMINO “a”, ANUAL, INMEDIATA, POSTPAGABLE Y PERPETUA
0 1 2 3
RENTAS VARIABLES EN PROG. GEOMÉTRICA
aqa 2
aq
1
1
−⋅
−⋅
⋅⋅∞→
vq
vq
vaLim
nn
n
Siempre que 1≠⋅vq )1( iq +≠
nvaLimn ⋅⋅∞→
Siempre que 1=⋅vq )1( iq +=
ALimA n ∞→∞ =
∞=⋅⋅∞→ nvaLimn
1
1
)1(
1
1
1
1
−⋅
−
+
⋅⋅=
−⋅
−⋅
⋅⋅=
−⋅
−⋅
⋅⋅
∞→
∞→
∞→
vq
i
q
Lim
va
vq
vqLim
va
vq
vq
vaLim
n
n
nnn
n
nn
n
=
+
∞→ n
n
n
i
q
Lim
)1(
Si ∞=
+
→+ ∞→ n
n
n
i
q
Limiq
)1(
)1(f
Si 0
)1(
)1( =
+
→+ ∞→ n
n
n
i
q
Limiq p
www.clasesuniversitarias.com

11. VALORACIÓN DE UNA RENTA VARIABLE EN PROGRESIÓN GEOMÉTRICA, DE RAZÓN “P” Y
PRIMER TÉRMINO “a”, ANUAL, INMEDIATA, POSTPAGABLE Y PERPETUA
RENTAS VARIABLES EN PROG. GEOMÉTRICA
∞= Siempre que )1( iq +f
∞=
Siempre que )1( iq +=
ALimA n ∞→∞ =
Por tanto,
qi
a
iq
a
i
iq
i
a
i
q
i
a
vq
av
vq
va
vq
i
q
Lim
vaLim
n
n
n
n
−+
=
+−
−
=
+
+−
+
−
=
−
+
+
−
=
−⋅
−
=
−⋅
−
⋅⋅=
−⋅
−
+
⋅⋅=
∞→
∞→
1)1(
)1(
)1(
)1(
1
)1(
)1(
11
10
1
1
)1(
qi
a
−+
=
1
Siempre que )1( iq +p
www.clasesuniversitarias.com

12. VALORACIÓN DE UNA RENTA VARIABLE EN PROGRESIÓN GEOMÉTRICA, DE RAZÓN “P” Y
PRIMER TÉRMINO “a”, ANUAL, INMEDIATA, POSTPAGABLE Y PERPETUA
Si la renta perpetua es además prepagable…..
Por tanto…
)1(
1
i
qi
a
A +⋅
−+
=∞
Si la renta perpetua es además diferida…..
d
i
qi
a
A −
∞ +⋅
−+
= )1(
1
RENTAS VARIABLES EN PROG. GEOMÉTRICA
qi
a
A
−+
=∞
1
Si )1( iq +p
www.clasesuniversitarias.com