regla de las derivadas

1. Derivadas
Derivada de funciones algebraicas.
Derivada de una función:
La derivada de una función es el límite del cociente o razón entre el incremento
de dicha función menos la función original y el incremento de la variable
independiente cuando este tiende a cero.
𝑑
𝑑𝑥
f (x) = Lim
f x+∆x −f(x)
∆x
Reglas de la derivada.
La derivada de una constante es igual a cero.
𝑑
𝑑𝑥
(c)=0
La derivada de una variable con relación a ella misma es igual a 1.
𝑑
𝑑𝑥
(x)= 1
La derivada de una suma de funciones es igual a la suma de las derivadas de dichas
funciones.
𝑑
𝑑𝑥
[f (x)+g(x)+h(x)]=
𝑑
𝑑𝑥
f (x)+
𝑑
𝑑𝑥
g (x)+
𝑑
𝑑𝑥
h(x)
La derivada de una constante por una función es igual a la constante por la
derivada de dicha función.
𝑑
𝑑𝑥
c [f (x)]= c
𝑑
𝑑𝑥
f (x)
La derivada de un producto de funciones es igual a la primera función por la
derivada de la segunda más la segunda función por la derivada de la primera.
𝑑
𝑑𝑥
[f (x).g(x)]= f (x)
𝑑
𝑑𝑥
g (x)+g (x)
𝑑
𝑑𝑥
f (x)
La derivada de la potencia de una función siendo el exponente constante es igual al
producto del exponente por la función elevada al exponente disminuido en una
unidad multiplicado esto por la derivada de la función.
𝑑
𝑑𝑥
[f (x)]n = n[f (x)n-1].
𝑑
𝑑𝑥
f (x)
Si f (x)= x entonces:
𝑑
𝑑𝑥
(x)n = n (x) n-1
La derivada de un cociente es igual al denominador por la derivada del numerador
menos el numerador por la derivada del denominador entre el cuadrado del
numerador.
𝑑
𝑑𝑥
f(x)
g(x)
=
g x
𝑑
𝑑𝑥
f x)−f (x
𝑑
𝑑𝑥
g (x)
g x 2
La derivada del cociente de una función y una constante es igual a la derivada de la
función entre la constante.
∆𝒙 → 𝟎
𝑑
𝑑𝑥
f(x)
c
=
𝑑
𝑑𝑥
f (x)
c

2. Hallar la derivada de las siguientes funciones.
y=4x4+5x3
Solución:
𝑑𝑦
𝑑𝑥
(4x4+5x3)=4(4x3)+3(5x2)
𝑑𝑦
𝑑𝑥
(4x4+5x3)=16x3 +15x2
y = 8x5+10x4 -15
Solución:
𝑑𝑦
𝑑𝑥
(8x5+10x4-15)=5(8x4)+4(10x3 -0)
𝑑𝑦
𝑑𝑥
(8x5+10x4-15)= 40x4+40x3
Si f (x)= 2x3+5x2 y g (x)= 3x4+6x, halle
𝑑
𝑑𝑥
[f (x). g(x)]
𝑑
𝑑𝑥
[f (x). g(x)]= (2x3+5x2)
𝑑
𝑑𝑥
(3x4+6x)+ (3x4+6x)
𝑑
𝑑𝑥
(2x3+5x2)
𝑑
𝑑𝑥
[f (x). g(x)]= (2x3+5x2)(12x3+6)+ (3x4+6x)(6x2+10x)
𝑑
𝑑𝑥
[f (x). g(x)]= 24x6+12x3+60x5+30x2+ 18x6+30x5+36x3+60x2
𝑑
𝑑𝑥
[f (x). g (x)]= 42x6+90x5+48x3+90x2
Si f (x)= 8x4-3x2 y g (x)= 2x2+5x, halle
𝑑
𝑑𝑥
f(x)
g(x)
𝑑
𝑑𝑥
f(x)
g(x)
=
2x2+5x
𝑑
𝑑𝑥
8x4−3x2)−(8x4−3x2 𝑑
𝑑𝑥
(2x2+5x)
(2x2+5x)2
𝑑
𝑑𝑥
f(x)
g(x)
=
2x2+5x 32x3−6x)−(8x4−3x2 (4x+5)
(2x2+5x)2
𝑑
𝑑𝑥
f(x)
g(x)
=
64x5−12x3+160x4−30x2−32x5−40x4+12x3+15x2
(2x2+5x)2
𝑑
𝑑𝑥
f(x)
g(x)
=
32x5+120x4−15x2
(2x2+5x)2
Recuerda:
Si una mente ágil quieres tener,
desarrolla el buen hábito por
los estudios.

3. Derivada de funciones trigonométricas.
1.
𝑑
𝑑𝑥
(Sen x)= cos x
Demostración:
𝑑
𝑑𝑥
(Sen x)= Lim
𝑠𝑒𝑛 𝑥+∆𝑥 −𝑠𝑒𝑛 𝑥
∆𝑥
𝑑
𝑑𝑥
(Sen x)= Lim
𝑠𝑒𝑛 𝑥.𝑠𝑒𝑛 ∆𝑥+cos 𝑥.𝑠𝑒𝑛 ∆𝑥−𝑠𝑒𝑛 𝑥
∆𝑥
𝑑
𝑑𝑥
(Sen x)= Lim
𝑐𝑜𝑠 𝑥.𝑠𝑒𝑛 ∆𝑥−(𝑠𝑒𝑛 𝑥 )(1−cos ∆𝑥)
∆𝑥
𝑑
𝑑𝑥
(Sen x)=Lim cos x
𝑠𝑒𝑛 ∆𝑥
∆𝑥
− sen x
(1−cos ∆𝑥)
∆𝑥
𝑑
𝑑𝑥
(Sen x)= Cos x Lim
𝑠𝑒𝑛 ∆𝑥
∆𝑥
− sen x Lim
(1−cos ∆𝑥)
∆𝑥
𝑑
𝑑𝑥
(Sen x)= Cos x (1)- sen x (0)
𝑑
𝑑𝑥
(Sen x)= Cos x
Demostración:
2.
𝑑
𝑑𝑥
(Cos x) = -Sen x
𝑑
𝑑𝑥
(Cos x) = Lim
𝑐𝑜𝑠 𝑥+∆𝑥 −𝑐𝑜𝑠 𝑥
∆𝑥
𝑑
𝑑𝑥
(Cos x) = Lim
𝑐𝑜𝑠 𝑥.𝑐𝑜𝑠 ∆𝑥 − 𝑠𝑒𝑛 𝑥.𝑠𝑒𝑛 ∆𝑥−cos 𝑥
∆𝑥
𝑑
𝑑𝑥
(Cos x) = Lim
−cos 𝑥+𝑐𝑜𝑠 𝑥.𝑐𝑜𝑠 ∆𝑥 − 𝑠𝑒𝑛 𝑥.𝑠𝑒𝑛 ∆𝑥
∆𝑥
𝑑
𝑑𝑥
(Cos x) = − cos 𝑥 Lim
(1−𝑐𝑜𝑠 ∆𝑥)
∆𝑥
− sen x Lim
(𝑠𝑒𝑛 ∆𝑥)
∆𝑥
𝑑
𝑑𝑥
(Cos x) = − cos 𝑥 (0) − sen x (1)
𝑑
𝑑𝑥
(Cos x) = − sen x
∆𝑥 0
∆𝑥 0
∆𝑥 0
∆𝑥 0
∆𝑥 0
→
→
→
→
→ ∆𝑥→ 0
Debemos tener en
cuenta que:
Lim
𝑠𝑒𝑛 ∆𝑥
∆𝑥
=1 y
Lim
(1−cos ∆𝑥)
∆𝑥
= 0
∆𝑥→0
∆𝑥 →0
∆𝑥 →0
∆𝑥 → 0
∆𝑥 →0
∆𝑥 → 0 ∆𝑥 → 0

4. 3.
𝑑
𝑑𝑥
(Tan x)= Sec2 x
Demostración:
Tan x =
𝑠𝑒𝑛 𝑥
cos 𝑥
𝑑
𝑑𝑥
(Tan x)=
𝑐𝑜𝑠 𝑥
𝑑
𝑑𝑥
𝑠𝑒𝑛 𝑥 −𝑠𝑒𝑛 𝑥
𝑑
𝑑𝑥
(cos 𝑥)
(cos 𝑥)
𝑑
𝑑𝑥
(Tan x)=
𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑥 −𝑠𝑒𝑛 𝑥 (−sen 𝑥)
cos 2 𝑥
𝑑
𝑑𝑥
(Tan x)=
cos 2 𝑥+𝑠𝑒𝑛2 𝑥
cos 2 𝑥
𝑑
𝑑𝑥
(Tan x)=
1
cos 2 𝑥
𝑑
𝑑𝑥
(Tan x)= Sec2 x
4.
𝑑
𝑑𝑥
(Cot x)=
𝑐𝑜𝑠 𝑥
sen 𝑥
Demostración:
Cot x=
𝑐𝑜𝑠 𝑥
sen 𝑥
𝑑
𝑑𝑥
(Cot x)=
𝑠𝑒𝑛 𝑥
𝑑
𝑑𝑥
𝑐𝑜𝑠 𝑥 −𝑐𝑜𝑠 𝑥
𝑑
𝑑𝑥
(sen 𝑥)
(sen 𝑥)
𝑑
𝑑𝑥
(Cot x)=
𝑠𝑒𝑛 𝑥 −𝑠𝑒𝑛 𝑥 −𝑐𝑜𝑠 𝑥 (cos 𝑥)
sen 2 𝑥
𝑑
𝑑𝑥
(Cot x)=
−sen 2 𝑥−cos 2 𝑥
sen 2 𝑥
𝑑
𝑑𝑥
(Cot x)=
−(1−cos 2 𝑥)−cos 2 𝑥
sen 2 𝑥
𝑑
𝑑𝑥
(Cot x)=
−1+cos 2 𝑥−cos 2 𝑥
sen 2 𝑥
𝑑
𝑑𝑥
(Cot x)=
−1
sen 2 𝑥
𝑑
𝑑𝑥
(Cot x)= −cosc2 x
2
2

5. 5.
𝑑
𝑑𝑥
(sec x)= Sec x .Tan x
Demostración:
Sec x =
tan x
sen x
𝑑
𝑑𝑥
(Sec x)=
𝑠𝑒𝑛 𝑥
𝑑
𝑑𝑥
𝑇𝑎𝑛 𝑥 −𝑇𝑎𝑛 𝑥
𝑑
𝑑𝑥
(Sen 𝑥)
(sen x)2
𝑑
𝑑𝑥
(Sec x)=
Sen x Sec 2x −Tan x ( 𝐶𝑜𝑠 𝑥)
sen 2 𝑥
𝑑
𝑑𝑥
(Sec x)=
Sen x
1
𝐶𝑜 𝑠2 𝑥
−Sen 𝑥
sen 2 𝑥
𝑑
𝑑𝑥
(Sec x)=
𝑆𝑒𝑛 𝑥
𝐶𝑜 𝑠2 𝑥
−Sen 𝑥
sen 2 𝑥
𝑑
𝑑𝑥
(Sec x)=
𝑆𝑒𝑛 𝑥−𝐶𝑜 𝑠2 𝑥(𝑆𝑒𝑛𝑥 )
𝐶𝑜 𝑠2 𝑥
sen 2 𝑥
𝑑
𝑑𝑥
(Sec x)=
𝑆𝑒𝑛 𝑥 (1−𝐶𝑜 𝑠2 𝑥)
𝐶𝑜 𝑠2 𝑥
sen 2 𝑥
𝑑
𝑑𝑥
(Sec x)=
𝑆𝑒𝑛 𝑥.𝑆𝑒𝑛 2 𝑥
𝐶𝑜 𝑠2 𝑥
sen 2 𝑥
𝑑
𝑑𝑥
(Sec x)=
Sen 𝑥.𝑆𝑒 𝑛2 𝑥
Cos 2 𝑥
÷
Sen 2 x
1
𝑑
𝑑𝑥
(Sec x)=
Sen 𝑥.𝑆𝑒 𝑛2 𝑥
Cos 2 𝑥.𝑆𝑒𝑛2 𝑥
𝑑
𝑑𝑥
(Sec x)=
1
Cos 𝑥
.
Sen 𝑥
Cos 𝑥
𝑑
𝑑𝑥
(Sec x)= Sec x.Tan x

6. 6.
𝑑
𝑑𝑥
(Cosc x)= −Cosc x . Cotg x
Demostración:
Cosc x=
𝐶𝑜𝑡 𝑥
Cos 𝑥
𝑑
𝑑𝑥
(Cosc x)=
𝐶𝑜𝑠 𝑥
𝑑
𝑑𝑥
𝐶𝑜𝑡 𝑥 −𝐶𝑜𝑡 𝑥
𝑑
𝑑𝑥
(Cos 𝑥)
(Cos x)2
𝑑
𝑑𝑥
(Cosc x)=
𝐶𝑜𝑠 𝑥 –𝐶𝑜𝑠𝑐2 𝑥 −𝐶𝑜𝑡 𝑥 (−𝑆𝑒𝑛 𝑥)
𝐶𝑜𝑠2 𝑥
𝑑
𝑑𝑥
(Cosc x)=
−𝐶𝑜𝑠 𝑥
1
𝑆𝑒 𝑛2 𝑥
+
𝑐𝑜𝑠 𝑥
sen 𝑥
(𝑆𝑒𝑛 𝑥)
𝐶𝑜𝑠2 𝑥
𝑑
𝑑𝑥
(Cosc x)=
−𝐶𝑜𝑠 𝑥
𝑆𝑒 𝑛2 𝑥
+ 𝐶𝑜𝑠 𝑥
𝐶𝑜𝑠2 𝑥
𝑑
𝑑𝑥
(Cosc x)=
−𝐶𝑜𝑠 𝑥+𝑆𝑒 𝑛2 𝑥.𝐶𝑜𝑠 𝑥
𝑆𝑒 𝑛2 𝑥
𝐶𝑜𝑠2 𝑥
𝑑
𝑑𝑥
(Cosc x)=
−𝐶𝑜𝑠 𝑥(1−𝑆𝑒 𝑛2 𝑥)
𝑆𝑒 𝑛2 𝑥
𝐶𝑜𝑠2 𝑥
𝑑
𝑑𝑥
(Cosc x)=
−𝐶𝑜𝑠 𝑥(𝐶𝑜 𝑠2 𝑥)
𝑆𝑒 𝑛2 𝑥
𝐶𝑜𝑠2 𝑥
𝑑
𝑑𝑥
(Cosc x)=
−𝐶𝑜𝑠 𝑥.𝐶𝑜𝑠2 𝑥
𝑆𝑒 𝑛2 𝑥
÷
Cos 2 x
1
𝑑
𝑑𝑥
(Cosc x)=
−𝐶𝑜𝑠 𝑥.𝐶𝑜𝑠2 𝑥
𝑆𝑒𝑛2 𝑥.𝐶𝑜𝑠2 𝑥
𝑑
𝑑𝑥
(Cosc x)=
−𝐶𝑜𝑠 𝑥
𝑆𝑒𝑛2 𝑥
=
1
𝑆𝑒𝑛 𝑥
.
−𝐶𝑜𝑠 𝑥
𝑆𝑒𝑛 𝑥
𝑑
𝑑𝑥
(Cosc x)= −Cosc x . Cotg x
Se sustituye Cosc x por
𝐶𝑜𝑡 𝑥
Cos 𝑥
y se aplica la regla
de la derivada de un
cociente, se buscan las
derivadas de la
cotangente y del coseno,
se efectúan los productos
correspondientes en el
numerador y luego se
reducen los términos
semejantes.