Buena

1. UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CENTRO
DEL PERÚ
FACULTAD DE ENFERMERÍA
Mg. EMILIANO TORRES CORTEZ
MATEMÁTICA I
TEMA: Funciones en los Números Reales
Definición, determinación de dominio y rango.
Funciones especiales: constante, identidad, lineal, cuadrática, raíz, valor absoluto,
máximo entero, signo, escalón unitario.
SEMANA N° 06

2. UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CENTRO
DEL PERÚ
FACULTAD DE ENFERMERÍA
Propósito de clase /Desempeño:
Link de video de clase:
https://www.youtube.com/watch?v=tWCDyEVaSyk
Aplica procedimientos para la valoración de una función, el
dominio y el rango de acción de una función y la forma de
operacionalizar funciones.
Identifica, clasifica y representa funciones especiales: constante,
identidad, lineal, cuadrática, raíz, valor absoluto, máximo entero,
signo, escalón unitario

3. Una función implica la operación matemática para determinar el valor de una variable
dependiente (y) según el valor de una variable independiente (x). Una función es un
caso particular de las relaciones binarias, donde los primeros componentes no se
repiten
y=ƒ(x); y es función de x.
FUNCIONES
Notación funcional
Si se decide llamar f a una función y, x es una de las entradas en el dominio de f,
entonces f(x) representará el número de salida en el rango de f que corresponde a la
entrada x.
ƒ(x)= 5𝑥 − 15 ƒ(x)=
4
3𝑥−18

4. Forma gráfica
2) Si f={(0,0), (1,1), (2,4), (3,9), (-1,1), (-2,4)…} Determine la fórmula
proposicional y grafique.
Ejemplo: 1) Sea f(x) = 2x-3
x … -2 -1 0 1 2 3 …
Y=2x-3 … -7 -5 -3 -1 1 3 …
y=2(-2) - 3 = -4 -3 = -7
y=2(-1) - 3 = -2 -3 = -5
y= 2(0) - 3 = -3
y =2(1) - 3 = -1
y =2(2) - 3 = 1

5. Dominio de una función : Es el conjunto de todos los posibles valores de
la variable independiente.
Df ={x∈ 𝑨/[∃𝒚 ∈ 𝑩/𝒚 = 𝒇(𝒙)]} ⊂A
Una función está completamente determinada cuando se especifica su
Dominio y Regla o Ley de correspondencia.
Df ={x∈ 𝑨/[∃𝒚 ∈ 𝑩/(𝒙, 𝒚) ∈ 𝒇]} ⊂A
- No está permitido dividir ningún número real por 0.
- Se permiten radicales de índice par sólo si el radicando es mayor o
igual a 0.
Otras veces será la naturaleza del problema lo que restringa su
dominio; por ejemplo, un tiempo o una longitud no pueden tomar
valores negativos
Restricciones del dominio

6. Ejemplos:
f(x)=
1
𝑥
f(x)=
2(x−1)
𝑥−1
f(x)=
𝑥+1
𝑥2−1
f(x)= 𝑥 − 10

7. Rango o imagen de una función: Es el conjunto de valores
correspondientes a la variable dependiente (su valor depende del valor que le
de a "X“).
Rf = {y ∈ 𝑩/[∃x ∈ 𝑨 /𝒚 = 𝒇(𝒙)]} ⊂B
1) f(x) = x2 +1.
Ejemplos
R f =[1, +∞).
f(x)=5+x Df = ℝ Rf = ℝ

8. 3) f(x)=
4
𝑥 − 2 Df = [2, +∞[ Rf = [0, +∞[
f(x)= 𝒙 − 1
f(x) = (2x − 11)/(x+8)
f(x)= x2 + 5
f(x)= x2 -4
f(x)=
1
𝒙−𝟐

9. Recorrido
Dominio
y = f(x)
Y
X
Dominio y rango a partir de la gráfica de la función 𝑓

10. y =𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥 + 𝑏
Pendiente Cruza al eje y
Función lineal: Una función lineal es aquella que está vinculada
matemáticamente con un polinomio de grado 1, y se define como:
𝑓: ℝ → ℝ
𝒇 𝒙 = 𝒂𝒙 + 𝒃, con a ≠ 0 , a,b∈ℝ
En una función lineal x es variable independiente e y = f(x) es la
variable dependiente.
FUNCIONES ESPECIALES

11. Propiedades
1. El gráfico de una función lineal es siempre una línea recta.
2. El coeficiente a (La constante de proporcionalidad ) es la pendiente de la
recta y=ax+b y caracteriza la función
• Si a>0, la función lineal es creciente
• Si a <0, la función lineal es decreciente.
• Si a = 0 la función lineal es constante.
Función creciente
y = ax + b , a > 0 ∧ b>0
Función identidad
y = ax + b , a =1 ∧ b=0
m=1

12. Función decreciente
y = - ax + b
a < 0 ∧ b>0
Función constante
y = b ∧ b>0
1)Hallar la pendiente y graficar si f(x) = 3x + 2
y = 3x + 2
y= mx + b

13. Altura=3
Intercepto con el eje y
Base =1
m=
𝑦2−𝑦1
𝑥2−𝑥1
=
∆𝑦
∆𝑥
=
3
1
= 𝟑
P(1;5)
𝜶
Si -3x + y - 2 =0
m= −
−3
1
= 3
𝒄𝒐𝒏 𝒂𝒙 + 𝒃y +c =0
m= −
𝑎
𝑏

14. 2) Determinar la función a partir del grafico siguiente

15. 3) Determinar la función que pasa por el punto (2,-3) y tiene una
pendiente 5/2
y=mx+b
4)Determine el valor de la pendiente de la recta que contiene a los
puntos dados.
i) (2 , 3 ) y ( 4 , 8 )
ii) ( 2 , -4 ) y ( 0 , -8 ).

16. f(x) = x 2
Función cuadrática, Es un tipo de función polinómica que se define mediante un
polinomio de segundo grado y se expresa como:
c
bx
ax
x
f 

 2
)
( con a ≠ 0; a, b, c ∈ IR

17. Si V(h,k) la función se expresa como:
f(x) = a(x - h)2 + k con a ≠ 0
a
b
h
2


Dónde: k = f(h)
1
1 2


 )
x
(
)
x
(
f
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
V(h,k)→V(-1,-1)
Dom(F) = ℝ
Ran(F) = [−1, +∞[

18. 1) f(x) = -x2 - 4x + 12
2) f(x) = 2 x2 + x – 1
Graficar la función:
3) Determinar Dominio y Rango de f(x) = – x2 + 5x - 4

19. Funciones definidas por partes
Una función está definida por partes (también conocida como función a trozos), si en
distintos intervalos del dominio la función está definida por una fórmula diferente.
Son funciones muy útiles para estudiar la continuidad. Las funciones definidas por
secciones se expresan con una notación funcional común, donde el cuerpo de
la función es una lista de expresiones matemáticas asociadas a un subdominio
(intervalo), de la forma siguiente:
f(x)=
1 𝒔𝒊 𝒙 ≤1
x 𝒔𝒊 𝟏 < 𝒙 ≤ 𝟑
-x+6 𝒔𝒊 𝟑 < 𝒙 ≤6
0 𝒔𝒊 𝟔 < 𝒙 f(x)=1
f(x)=0

20. Graficar la función seccionada definida por trozos o tramos

21. Función valor absoluto, La función del valor absoluto, está dada por
la ecuación:
𝑓 𝑥 = 𝑥
- x si x < 0 x si x ≥0
𝐱 =
𝐱, 𝐬𝐢 𝐱 ≥ 𝟎
−𝐱, 𝐬𝐢 𝐱 < 𝟎
En términos generales:
  k
h
x
a
x
f 


x
f(x)
h
k

22. Ejemplos:
  5
3 

 x
x
f
x Y= x+2 Si: x≥3
3 5 (3,5)
4 6 (4,6)
5 7 (5,7)
x Y= -x+8 Si: x<3
2 6
(3,5)
(2,6)
1 7 (1,7)
0 8 (0,8)
3 5
x
f(x)
3
5
1)

23.   2
2
3 

 x
x
f
  1
2 

 x
x
f
2)
3)

24. Para calcular el máximo entero de un número real x, se observa todos los enteros que
se encuentran a la izquierda de x (o que coinciden con x, en caso que x sea entero) y el
mayor de todos ellos es el máximo entero 𝒙 , por ejemplo:
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 x 3 4 5 6
De donde 𝒙 = 𝟐
Ejemplo: Hallar 𝟑, 𝟕𝟏 =3
MÁXIMO ENTERO

25. Si x se encuentra entre dos enteros consecutivos de la forma:
n x n+1
0
0
0
𝒙 = 𝒏 ↔ n ≤ x < n+1, n ∈ ℤ
Si 𝒙 =5 ↔ 5 ≤ 𝑥 < 6
𝒙 = - 5 ↔ −5 ≤ 𝑥 < −4
Siempre se toma el número entero más próximo a la izquierda
Por definición: 𝒙 =n↔ n≤ x < n+1, 𝒏 ∈ ℤ
↔ 𝒙 ∈ [𝒏, 𝒏 + 𝟏[, n ∈ ℤ

26. Teorema 1: 𝒙 ∈ ℤ. ∀𝒙 ∈ ℝ
Teorema 2: 𝒙 = 𝒏 ↔[n ∈ ℤ ∧ 𝒏 ≤ 𝒙 < 𝒏 + 𝟏]
Teorema 3: 𝒙 = x↔ 𝒙 ∈ ℤ
Teorema 4: 𝒙 ≤ 𝒙 < 𝒙 + 𝟏, ∀𝒙 ∈ 𝑹
Teorema 5: 𝟎 ≤ 𝒙 − 𝒙 < 𝟏, ∀𝒙 ∈ 𝑹
Teorema 6: 𝒙 = 𝒙
5,85 =5 −2,97 = -3
4,9 = 4 porque 4 ≤4,9 <5 −2,9 = −3 porque -3 ≤ -2,9 < -2
9 =9 −4 =-4
−2 ≤ −𝟐 < −2 + 1
-2 ≤ −𝟐 < - 1
0≤ 5,8 − 5,8 <1
0 ≤ 𝟎, 𝟖 < 1

27. Teorema 7: 𝒔𝒊 𝒙 ≥ 𝒂 ↔ x≥ 𝒂
𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑥 por transitividad 𝑎 ≤ 𝑥 o lo que es lo
mismo x≥ 𝑎
Teorema 10: si 𝒙 < 𝒂 ↔ 𝒙 < 𝒂
Teorema 9: 𝒙 ≤ 𝒂 ↔ 𝒙 < 𝒂 + 𝟏,
∀𝒂 ∈ ℤ
Teorema 8: si 𝒙 > 𝒂 ↔ 𝒙 ≥ a + 1 ↔ 𝑥 ≥ 𝑎 + 1
3 ≥ 2 ↔ 3 ≥ 2 5,7 ≤ 5,7
7 > 𝟐 ↔ 7 ≥ 3 ↔ 7 ≥ 3
−2 ≤ 0 ↔ −2 < 0 + 1
9 < 𝟏𝟐 ↔ 9 < 12
−8 < −𝟔 ↔ −8 < −6

28. Teorema 11: si m∈ ℤ → 𝒙 + 𝒎 = 𝒙 + 𝒎
Teorema 12: ∀𝒙, 𝒚 ∈ ℝ, 𝒙 + 𝒚 ≤ 𝒙 + 𝒚
Teorema 13: ∀𝒙, 𝒚 ∈ ℝ, si 𝐱 ≤ 𝒚 ↔ 𝒙 ≤ 𝒚
5,85 + 2,15 ≤ 5,85 + 2,15
(5+2)≤8
7 ≤ 8
5 ≤ 7 ↔ 5 ≤ 7

29. 2)
𝟐𝐱−𝟏
𝟐
= −3
𝐄𝐣𝐞𝐦𝐩𝐥𝐨𝐬: hallar los valores de x que satisfacen las siguientes
ecuaciones
𝟏) 𝟖𝐱 = −4
x ∈ [−𝟓/𝟐, −𝟑/𝟒[
3) 𝟑𝐱 + 𝟏 = 2 4) −𝟖𝒙 = 𝟐 5) 𝒙 − 𝟐 = 𝟎
↔ - 4 ≤ 8x < -4+1
- 4/8 ≤ x < -3/8
x ∈ [−
𝟏
𝟐
, −
𝟑
𝟖
[
↔ - 3 ≤
2x−1
2
< -2
- 6 ≤ 2x-1< -4
- 5 ≤ 2x< -3
- 5/2 ≤ x< -3/4

30. 6)
𝒙 −𝟐
𝟑
≥ 𝟓
7) 𝟕 − 𝒙𝟐 ≥ −2
5) 𝟓𝒙 < 3
8) 𝟕 − 𝒙𝟐 ≤ −3

31. Referencias
Relaciones y funciones:
http://sf205486a14854137.jimcontent.com/download/version/1407036274/module/10
029678160/name/Relaciones_y_funciones3.1672.doc.
Blas, G. (2000). Matemática básica. Gómez, Lima
Lázaro, M. (2012) Matemática básica. A Tomo I. Editorial Moshera SRL
Figueroa, R. (2013). Matemática básica 1. Lima: Ediciones R.F.G.
Venero, A. (2012). Matemática básica. Lima: Ediciones Gemar
Precálculo
file:///D:/libros/LIBROS/Libro.Pre_Calculo_-_James_Stewar.pdf
Relaciones y funcione en R
https://www.academia.edu/36686349/Relaciones_y_funciones_de_R_en_R_Mois%C3%A9
s_L%C3%A1zaro_FREELIBROS_ORG
Relaciones y funciones
https://filadd.com/doc/5-relaciones-y-funciones-pdf-ingreso-cs-quimicas