Resolución de inecuaciones de segundo grado por el método de puntos de referencia.

3. ax
2
+ bx + c 0><

4. 1. Se prepara la expresión para llevar a la forma
general.
2. Se busca que los coeficientes principales sean
positivos.
3. Se identifica el método de factorización a usarse,
lego se procede con la factorización de la expresión.

5. 5. Se señala los signos de los intervalos de variación
de derecha a izquierda, se asignan en forma
alternada los signos:
... (-) (+) (-) (+)
4. Cada factor primo se iguala a cero para hallar los
puntos de referencia, los cuales se ubican en la
recta numérica.

6. 6. La solución será la unión de los intervalos (+)
cuando (>; ) o la unión de los intervalos (-) cuando
(<; ).
7. Se presenta el conjunto solución.

7. Resolver:
ax
2
+ bx + c > 0
a1
x
a2
x
(a1
x + c1
)(a2
x + c2
) > 0
Hallando los puntos de referencia:
x1
= -c1
/a1
x2
= -c2
/a2
Ubicando los puntos de referencia en
la recta numérica: y los signos de los
intervalos
−∞ +∞
−
𝒄 𝟏
𝒂 𝟏
−
𝒄 𝟐
𝒂 𝟐
+ +
-
−∞; −
𝒄 𝟏
𝒂 𝟏
−
𝒄 𝟐
𝒂 𝟐
; +∞∪C. S. =
Presentando el Conjunto Solución:
+ c1
+ c2
Factorizando:

8. Resolver:
ax
2
+ bx + c < 0
a1
x
a2
x
(a1
x + c1
)(a2
x + c2
) < 0
Hallando los puntos de referencia:
x1
= -c1
/a1
x2
= -c2
/a2
−∞ +∞
−
𝒄 𝟏
𝒂 𝟏
−
𝒄 𝟐
𝒂 𝟐
+ +
-
C. S. =
Presentando el Conjunto Solución:
+ c1
+ c2
−
𝒄 𝟏
𝒂 𝟏
; −
𝒄 𝟐
𝒂 𝟐
Factorizando:
Ubicando los puntos de referencia en
la recta numérica: y los signos de los
intervalos

9. Resolver:
ax
2
+ bx + c > 0
a1
x
a2
x
(a1
x + c1
)(a2
x + c2
) > 0
Hallando los puntos de referencia:
x1
= -c1
/a1
x2
= -c2
/a2
−∞ +∞
−
𝒄 𝟏
𝒂 𝟏
−
𝒄 𝟐
𝒂 𝟐
+ +
-
∪C. S. =
Presentando el Conjunto Solución:
+ c1
+ c2
−∞; −
𝒄 𝟏
𝒂 𝟏
−
𝒄 𝟐
𝒂 𝟐
; +∞
Ubicando los puntos de referencia en
la recta numérica: y los signos de los
intervalosFactorizando:

10. Resolver:
ax
2
+ bx + c < 0
a1
x
a2
x
(a1
x + c1
)(a2
x + c2
) < 0
Hallando los puntos de referencia:
x1
= -c1
/a1
x2
= -c2
/a2
−∞ +∞
−
𝒄 𝟏
𝒂 𝟏
−
𝒄 𝟐
𝒂 𝟐
+ +
-
C. S. =
Presentando el Conjunto Solución:
+ c1
+ c2
−
𝒄 𝟏
𝒂 𝟏
; −
𝒄 𝟐
𝒂 𝟐
Ubicando los puntos de referencia en
la recta numérica: y los signos de los
intervalosFactorizando:

11. Resolver:
2x
2
-3x - 2 > 0
2x
x
(2x + 1) (x - 2) > 0
Hallando los puntos de referencia:
x1
= -1/2
x2
= 2
−∞ +∞
−
𝟏
𝟐
𝟐
+ +
-
−∞; −
𝟏
𝟐
𝟐; +∞∪C. S. =
Presentando el Conjunto Solución:
+ 1
- 2
Ubicando los puntos de referencia en
la recta numérica: y los signos de los
intervalos

12. Resolver:
x
2
- 3x - 4 < 0
x
x
(x - 4) (x + 1) < 0
Hallando los puntos de referencia:
x1
= -1
x2
= 4
−∞ +∞−𝟏 𝟒
+ +
-
C. S. =
Presentando el Conjunto Solución:
- 4
+ 1
−𝟏; 𝟒
Ubicando los puntos de referencia en
la recta numérica: y los signos de los
intervalos

13. Resolver:
x
2
+ x - 2 < 0
x
x
(x + 2) (x - 1) < 0
Hallando los puntos de referencia:
x1
= -2
x2
= 1
−∞ +∞
−𝟐 𝟏
+ +
-
C. S. =
Presentando el Conjunto Solución:
+ 2
- 1
−𝟐; 𝟏
Ubicando los puntos de referencia en
la recta numérica: y los signos de los
intervalos

14. Resolver:
x
2
- x - 6 > 0
x
x
(x – 3) (x + 2) > 0
Hallando los puntos de referencia:
x1
= 3
x2
= -2
−∞ +∞−𝟐 𝟑
+ +
-
∪C. S. =
Presentando el Conjunto Solución:
- 3
+ 2
−∞; −𝟐 𝟑; +∞
Ubicando los puntos de referencia en
la recta numérica: y los signos de los
intervalos

15. Resolver:
25x
2
-20x + 4 > 0
5x
5x
(5x - 2) (5x - 2) > 0
Hallando los puntos de referencia:
x1
= 2/5
x2
= 2/5
−∞ +∞𝟐
𝟓
+ +
-
C. S. =
Presentando el Conjunto Solución:
-2
-2
𝟐
𝟓
ℝ -
Ubicando los puntos de referencia en
la recta numérica: y los signos de los
intervalos

16. Resolver:
x
2
- 4x + 1 < 0
Hallando los puntos de referencia
mediante el teorema de Carnot:
−∞ +∞
+ +
-
C. S. =
Presentando el Conjunto Solución:
𝟐 − 𝟑 ; 𝟐 + 𝟑
𝑺𝒊: 𝒂𝒙 𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝟎
⇒ 𝒙 =
−𝒃 ± 𝒃 𝟐 − 𝟒𝒂𝒄
𝟐𝒂
𝒙 =
−(−𝟒) ± )−𝟒 𝟐 − 𝟒(𝟏)(𝟏
)𝟐(𝟏
𝒙 =
𝟒± 𝟏𝟔−𝟒
𝟐
=
𝟒± 𝟏𝟐
𝟐
=
𝟒±𝟐 𝟑
𝟐
𝒙 𝟏 = 𝟐 + 𝟑 𝒙 𝟐 = 𝟐 − 𝟑
𝟐 + 𝟑𝟐 − 𝟑
𝐱 = 𝟐 ± 𝟑
a = 1
b = -4
c = 1
Ubicando los puntos de referencia en
la recta numérica: y los signos de los
intervalos

17. Resolver:
x
2
-2x + 8 > 0
x
2
-2x + 1 + 7 > 0
−∞ +∞
C. S. =
Presentando el Conjunto Solución:
ℝ
(x-1)
2
+ 7 > 0
Esta expresión representa a un
número positivo y por tanto
cualquier valor real que tome “x”
siempre será un valor positivo.
Por tanto:
Ubicando los puntos de referencia en
la recta numérica: y los signos de los
intervalos

18. Resolver:
x
2
> 16
x
2
- 16 > 0
Hallando los puntos de referencia:
x1
= -4
x2
= 4
−∞ +∞−𝟒 𝟒
+ +
-
∪C. S. =
Presentando el Conjunto Solución:
−∞; −𝟒 𝟒; +∞
(x + 4)(x – 4) > 0
Ubicando los puntos de referencia en
la recta numérica: y los signos de los
intervalos

19. Resolver:
x
2
< 9
Hallando los puntos de referencia:
x1
= -3
x2
= 3
−∞ +∞
−𝟑 𝟑
+ +
-
C. S. =
Presentando el Conjunto Solución:
−𝟑; 𝟑
x
2
– 9 < 0
(x + 3)(x – 3) < 0
Ubicando los puntos de referencia en
la recta numérica: y los signos de los
intervalos

20. Resolver:
(x-3)
2
< 16
Hallando los puntos de referencia:
x1
= -1
x2
= 7
−∞ +∞
−𝟏 𝟕
+ +
-
C. S. =
Presentando el Conjunto Solución:
−𝟏; 𝟕
(x-3)
2
– 4
2
< 0
(x-3+4)(x-3–4) < 0
(x + 1)(x - 7) < 0
Ubicando los puntos de referencia en
la recta numérica: y los signos de los
intervalos

21. Resolver:
(x+4)
2
> 25
(x+4)
2
- 25 > 0
Hallando los puntos de referencia:
x1
= -9
x2
= 1
−∞ +∞−𝟗 𝟏
+ +
-
∪C. S. =
Presentando el Conjunto Solución:
−∞; −𝟗 𝟏; +∞
(x+4+5)(x+4–5) > 0
(x + 9)(x - 1) > 0
Ubicando los puntos de referencia en
la recta numérica: y los signos de los
intervalos