Introducción a la derivada

INTRODUCCION A DERIVADA
 El primer problema de calculo diferencial, comenzó con querer saber la
pendiente de la recta tangente que pasa por un punto en una función.
 ¿Qué es la recta tangente:
Recta que tiene solo un punto en común con una curva

 La forma en la cual se resolvió este problema fue con el trazo de líneas
secantes a esta función, la cual tiene sentido porque para poder construir una
recta se necesitan como mínimo dos puntos.
 Que es la recta secante:
Recta que tiene en común dos puntos con una curva.

La recta secante
y la recta tangente
en una función
Función original
)
(x
f

La recta secante
y la recta tangente
en una función
Función original
Recta secante
1 1
( , )
x y
2 2
( , )
x y

La recta secante
y la recta tangente
en una función
Función original
Recta tangente
1 1
( , )
x y

Sabemos que una de las características
principales de una recta es su pendiente (m)
En términos muy simples la pendiente de una recta es
un valor numérico que representa la inclinación de dicha recta
1 1
( , )
x y
2 2
( , )
x y
2 1
x x

2 1
y y

2 1
2 1
y y
m
x x



Muy sencillo de obtener si
tienes dos puntos sobre una recta!

Introducción a la Derivada
Función original
Recta secante
De acuerdo a lo anterior, la obtención de la pendiente de una recta
secante en la curva de una función es:
2 1
2 1
y y
m
x x



1 1
( , )
x y
2 2
( , )
x y

Recta tangente
Pero……….. y como obtener análogamente la pendiente de una recta
tangente si solo conoce un punto?
1 1
( , )
x y
2 1
2 1
?
y y
m
x x

 


Recuerda que lo que se desea es conocer un método para encontrar
el valor de la PENDIENTE DE UNA RECTA TANGENTE
Supongamos que deseamos
conocer la pendiente de la
recta tangente en X=1
Observe que si hacemos
diversas aproximaciones de rectas
secantes, podemos hacer una
muy buena estimación de la
Pendiente de la recta tangente
tan
m

el valor de la PENDIENTE DE UNA TANGENTE
1 1
( , )
x y
2 2
( , )
x y
tan
m

1 1
( , )
x y
Observa que el punto
Cada vez se acerca
más al punto
1 1
( , )
x y
2 2
( , )
x y
2 2
( , )
x y
tan
m

1 1
( , )
x y
2 2
( , )
x y
tan
m
2 1
x x x
  
Podemos expresar :
0
x
 
Analizando dicho comportamiento,
procedemos a aplicar un límite así:
)
( 2
x
f )
( 1
x
f
-
tan
m  2 1
( ) ( )
f x f x
x


lim
0
x
 

el valor de la PENDIENTE DE UNA TANGENTE en un punto dado
1 1
( , )
x y
2 2
( , )
x y
tan
m
2 1
x x x
  
)
( 2
x
f )
( 1
x
f
-
Finalmente considerando lo siguiente:
2 1
x x x
  
La expresión nos queda así:
tan
m  lim
0
x
 
1 1
( ) ( )
f x x f x
x
  


tan
m  lim
0
x
 
1 1
( ) ( )
f x x f x
x
  

Este límite (el cual genera otra
función), representa la pendiente de
las diversas rectas tangentes a la
gráfica de una función…..
Y se le conoce comúnmente como:
Misma, que en honor a Leibniz puede ser representada así:
dx
dy Por su origen basado en
incrementos

Si se realiza el reemplazo entonces se tiene:

• Supongamos un cuadrado de lado x, al que
incrementamos el lado en una cierta cantidad h.
Su superficie se incrementará en:
f = (x + h)2 – x2 = 2xh + h2
• Si ℎ → Δ𝑥 es muy pequeño, h2 es mucho más
pequeño.
• Entonces:
2xh = 2x dx es el diferencial de la función
f(x) = x2 y se ve que f  2x dx = f '(x) dx
El error que se comete al aproximar el
incremento por la diferencial es h2.
Una aproximación geométrica al concepto
de diferencial

 Es un proceso laborioso calcular la derivada por medio de la
definición, por lo tanto se tienen las siguientes reglas de la
derivada:
REGLAS DE LAS DERIVADAS

Ejercicio:

DERIVADA FUNCIONES
TRIGONOMETRICAS

Tabla de derivadas de las funciones elementales
Función Derivada
f(x) = sen x f '(x) = cos x
f(x) = cos x f '(x) =– sen x
f(x) = tan x f '(x) =
1
Cos 2x
f(x) = arcsen x f '(x) =
1
1 – x2
f(x) = arccos x f '(x) =
–1
1 – x 2
f(x) = arctan x f '(x) =
1
1 + x 2
Función Derivada
f(x) = c (constante) f '(x) = 0
f(x) = x n
f '(x) = n x n – 1
f(x) = e x f '(x) = e x
f(x) = a
x
(a > 0) f '(x) = a
x
ln a
f(x) = ln x f '(x) =
1
x
f(x) = logax, (a > 0) f '(x) =
1
x ln a

DERIVADA FUNCIONES TRIGONOMETRICAS

REGLAS DE LA CADENA Y
POTENCIA

Derivada de una función compuesta: regla de la cadena
Se define la composición de una función f con otra función g, y se denota
por gºf a la nueva función dada por (gºf) (x) = g(f(x)).
La función h(x) = (2x – 1)2 es la composición de dos funciones: f(x) = 2x–1 y g(t) = t2
t2 = (2x–1)2
x 2x–1 = t
R R
f
R
g
x (2x–1)2
h(x) = g(f(x)) = g(2x–1) = (2x – 1)2 = (g o f)(x)
Ejemplo:
Regla de la cadena: si la función g es derivable en el punto f(a) y la función f es
derivable en a, entonces la función gºf es derivable en a y su derivada es:
(gºf)'(a) = g'(f(a)) . f '(a)
Ejemplo:
Como (gºf)(x) = g(f(x)) = (2x – 1)2 
 (gºf)'(x) = g'(f(x)) . f '(x) = 2(2x – 1) . (2x – 1)' = 2(2x – 1) . 2

Regla de la cadena: Demostración
 
)
(
'
))·
(
(
'
)
(
)
(
lim
·
)
(
)
(
))
(
(
))
(
(
lim
)
(
)
(
lim
·
)
(
)
(
))
(
(
))
(
(
lim
·
))
(
(
))
(
(
lim
))
(
(
))
(
(
lim
'
))
(
(
0
)
(
)
(
0
0
0
0
)
(
)
(
)
(
)
(
x
g
x
g
f
h
x
g
h
x
g
x
g
h
x
g
x
g
f
h
x
g
f
h
x
g
h
x
g
x
g
h
x
g
x
g
f
h
x
g
f
h
x
g
f
h
x
g
f
h
x
g
f
h
x
g
f
x
g
f
h
x
g
h
x
g
h
h
h
h
x
g
h
x
g
x
g
h
x
g
























 
















Enunciado: La derivada de la composición de funciones (fog)(x)
es: f ‘(g(x)) · g’(x)

EJERCICIOS REGLAS DE LA CADENA

Derivada de la función inversa
• Se denomina función inversa de una función f a una nueva función,
denotada por f–1, cuyo dominio es el recorrido de f, tal que f–1(f(x)) = x.
• Para que esta función esté bien definida es necesario que f cumpla:
x1  x2  f(x1)  f(x2)
Las gráficas de f y f–1 son simétricas respecto a la bisectriz del primer
cuadrante.
X
Y
f(x)
f –1
(x) • (x, f(x))
(f(x), x)
•
Sea f una función definida en un inter-
valo abierto D en el que admite fun-
ción inversa siendo f derivable. Enton-
ces se tiene que, para todo punto
x
del dominio de f-1 en el que f-1 es deri-
vable y en el que f '(f–1
(x))  0 la deri-
vada de f
–1
viene dada por:
))
(
(
'
1
)
(
)'
( 1
1
x
f
f
x
f 



http://matematicas-almudena.blogspot.com/2012/03/programa-
para-calulo-de-derivadas.html
http://calc101.com/webMathematica/derivadas.jsp

BIBLIOGRAFÍA
NOTAS DE CLASE DE LA INGENIERA GLENDA BLANC, UNIVERSIDAD Ecotec
“Cálculo Aplicado para Administración, economía y Ciencias Sociales “(Octava
edición)
Laurence D.Hoffmann, MC GRAW HILL
Matemáticas Aplicadas a la Administración y a la Economía” ( Cuarta edición),
JagdishC. Arya/Robin W. Larder PEARSON PRENTICE HALL
Aplicaciones de las derivadas, Jara Marco, Universidad Ecotec.

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