Estrategias para derivar una función o una operación entre funciones

1. REGLAS DE DERIVACIÓN PARA UNA FUNCIÓN

2. OBJETIVO GENERAL
Conocer las reglas de derivación de las operaciones entre funciones.

3. Derivada de las principales funciones
de variable real

4. Función Derivada
1) f(x) = k, siendo k constante
d f
dx
= 0
2) f(x) = xn, siendo n un número real
d f
dx
= nxn−1
3) f(x) = ex d f
dx
= ex
4) f(x) = ax d f
dx
= ax(ln(a))
5) f(x) = ln(x)
d f
dx
=
1
x
6) f(x) = loga(x)
d f
dx
=
1
x(ln(a))

5. Ejemplos sobre derivadas de las
principales funciones de variable real

6. Función Derivada
1) f(x) = 3, donde 3 constante
d f
dx
= 0
2) f(x) = x4, siendo 4 un número real
d f
dx
= 4x3
3) f(x) = x3/4, siendo 3/4 un número real
d f
dx
= 3
4 x−1/4
4) f(x) = ex d f
dx
= ex
5) f(x) = 2x d f
dx
= 2x(ln(2))
6) f(x) = log4(x)
d f
dx
=
1
x(ln(4))

7. Derivada de las operaciones entre
Funciones

8. Derivada de una constante k por una función f(x)
d
dx
(k · f(x)) = k · f′
(x)

9. d
dx
(k · f(x)) = k · f′(x)
EJEMPLO
1 Si H(x) = 5·ln(x), entonces
d
dx
(H(x)) = 5·
1
x
2 Si H(x) = 7x5, entonces
d
dx
(H(x)) = 7· 5x4
= 35x4
3 Si H(x) = 3·(5x), entonces
d
dx
(H(x)) = 3(5x
·ln(5)) = (3·ln(5))·5x

10. Derivada de la suma ente las funciones f(x) y g(x)
d
dx
(f(x)+g(x)) = f′
(x)+g′
(x)

11. d
dx
(f(x)+g(x)) = f′(x)+g′(x)
EJEMPLO
1 Si H(x) = 4x7 +8x3, entonces
d
dx
(H(x)) = 4
7x6
+8 3x2
= 28x6
+24x2
2 Si H(x) = 4log2(x)+4
√
x+2x3/4, entonces
H(x) = 4log2(x)+4
x1/2
+2x3/4
d
dx
(H(x)) = 4
1
x·ln(2)
+4
1
2
x−1/2
+2
3
4
x−1/4
=
4
x·ln(x)
+
2
√
x
+
3
2· 4
√
x

12. Derivada de la diferencia ente las funciones f(x) y g(x)
d
dx
(f(x)−g(x)) = f′
(x)−g′
(x)

13. d
dx
(f(x)−g(x)) = f′(x)−g′(x)
EJEMPLO
1 Si H(x) = 4x −5ln(x), entonces
d
dx
(H(x)) = 4x
·ln(4)−5
1
x
2 Si H(x) = 4x2 −5x4 −20x4, entonces
d
dx
(H(x)) = 8x2
−15x2
−80x3

14. Derivada del producto ente las funciones f(x) y g(x)
d
dx
(f(x)·g(x)) = f′
(x)·g(x)+ f(x)·g′
(x)

15. d
dx
(f(x)·g(x)) = f′(x)·g(x)+ f(x)·g′(x)
EJEMPLO
1 Si H(x) = x2 −5x
·ln(x), entonces
d
dx
(H(x)) = (2x−5)·ln(x)+ x2
−5x
·
1
x
= (2x−5)·ln(x)+(x−5)
2 Si H(x) = 3x4 −2
· 4x5 −3x
, entonces
d
dx
(H(x)) = 12x3
·
4x5
−3x
+ 3x4
−2
· 20x4
−3
= 108x8
−85x5
+6

16. Derivada del cociente ente las funciones f(x) y g(x)
d
dx
f(x)
g(x)
=
f′(x)·g(x)− f(x)·g′(x)
(g(x))2

17. d
dx
f(x)
g(x)
=
f′(x)·g(x)− f(x)·g′(x)
(g(x))2
EJEMPLO
1 Si H(x) =
x4 +3x
x2 −2
d
dx
(H(x)) =
4x3 +3
· x2 −2
− x4 +3x
·(2x)
(x2 −2)
2
=
6x5 −24x3 −3x2 −6
(x2 −2)
2