3. Criterios de evaluación
• Contenido
• Evaluación
• Producto
• Objetivo
• Conceptos
• ¿Cómo elegir una FS
apropiado?
• Conceptos
• Fenómenos por
flexión
3 / 59
Estos son los criterios de evaluación. El alumno debe:
Exponer claramente conceptos como:
• factor de seguridad.
• deformación
• Esfuerzo-deformación
• deformación y relación esfuerzo-deformación.
Realizar los ejercicios y ejemplos propuestos.
Participar en clase con ideas, comentarios o conceptos.
4. Producto
• Contenido
• Evaluación
• Producto
• Objetivo
• Conceptos
• ¿Cómo elegir una FS
apropiado?
• Conceptos
• Fenómenos por
flexión
4 / 59
Un examen con valor del 30 %
Examen: viernes 22 de mayo de 2015.
La bibliografía la encuentran al final de este documento.
5. Objetivo
• Contenido
• Evaluación
• Producto
• Objetivo
• Conceptos
• ¿Cómo elegir una FS
apropiado?
• Conceptos
• Fenómenos por
flexión
5 / 59
Diseñar varillas, tornillos y pernos bajo condiciones un poco más
complicadas de carga que lo visto anteriormente.
6. Conceptos
• Contenido
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• Objetivo
• Conceptos
• ¿Cómo elegir una FS
apropiado?
• Conceptos
• Fenómenos por
flexión
6 / 59
Carga permisible: Es una carga menor a la carga que lleva a
un material al punto de cedencia. Algunas veces se le conoce
como carga de trabajo o carga ed diseño.
Factor de seguridad: Es la razón entre la carga de cedencia
y la carga permisible; i. e.:
FS =
Carga de cedencia
Carga permisible
(1)
Otra forma de definir FS,
FS =
Esfuerzo de cedencia
Esfuerzo permisible
(2)
7. • Contenido
• Evaluación
• Producto
• Objetivo
• Conceptos
• ¿Cómo elegir una FS
apropiado?
• Conceptos
• Fenómenos por
flexión
7 / 59
Las ecuaciones anteriores (1 y 2) son identicas cuando existe una
combinación lineal entre la carga y el esfuerzo. Pero esta relación
termina cuando el valor del esfuerzo se aproxima al (esfuerzo) de
cedencia.
Importante: Carga permisible= Carga de funcionamiento = carga
de diseño.
8. • Contenido
• Evaluación
• Producto
• Objetivo
• Conceptos
• ¿Cómo elegir una FS
apropiado?
• Conceptos
• Fenómenos por
flexión
8 / 59
Elegir una FS es una tarea importante. A continuación daremos
algunas consideraciones.
Nótese que solamente una fracción de la la capacidad de la carga
de cedencia se usa cuando la carga permisible se aplica. La porción
restante de la capacidad de carga soportable del miembro se
mantiene en reserva para asegurar su comportamiento seguro.
9. ¿Cómo elegir una FS apropiado?
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• ¿Cómo elegir una FS
apropiado?
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• Fenómenos por
flexión
9 / 59
A continuación presentamos algunas consideraciones que se deben
usar para elegir un FS apropiado:
16. Elección del FS
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apropiado?
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flexión
16 / 59
Elegir un FS es una tarea muy importante para la ingeniería. Elegir
un FS demasiado pequeño, posibilita fallas y es inaceptable; si el
FS se elige innecesariamente grande, el resultado es un diseño
no funcional y costoso.
17. Códigos de construcción y especificaciones de diseño
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• ¿Cómo elegir una FS
apropiado?
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flexión
17 / 59
A continuación daremos algunos ejemplos de los comités que
regulan las especificiones de los materiales:
Investigar: Factor de Resistencia
18. Conceptos: Torsión, presiones y las deformaciones causa-
das
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apropiado?
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flexión
18 / 59
En esta sección consideraremos miembros y partes de las
máquinas que están sometidas a torsiones
19. Actividad en Clase
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• Conceptos
• ¿Cómo elegir una FS
apropiado?
• Conceptos
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flexión
19 / 59
Observe las siguientes simulaciones. Responda y discuta con sus
compañeros sobre los siguientes tópicos (Colocar simulación de
Physion)
1. ¿Qué tipo de esfuerzos intervienen en los fenómenos?
2. Las simulaciones estan desarrolladas en el plano, pero. . . ¿qué
sucede si imagina el mismo fenómeno en el espacio
tridimensional?
a) ¿Aparecen nuevos esfuerzos o son los mismos que en el
espacio bidimensional?
b) ¿Qué otros esfuerzos aparecen? Explíquelos.
20. • Contenido
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• Objetivo
• Conceptos
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apropiado?
• Conceptos
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flexión
20 / 59
3. Puedes proponer otros fenómenos en los que sucedan
esfuerzos nuevos, ¿cuáles? Explíquelos.
4. Piensa en los fenómenos de tracción y en los de torsión,
¿Cuál es la diferencia?
5. Piensa en los fenómenos de
compresión y en los de torsión, ¿Cuál es la diferencia?
21. Introducción
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apropiado?
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flexión
21 / 59
En la siguiente sección vamos a trabajar sobre torsión
¿Cuál es la dirección de la torsión?
23. Propiedad de los Ejes circulares
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apropiado?
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flexión
23 / 59
“Cuando un eje circular se somete a torsión, cada sección
transversal permanece plana y sin deformar”
Esta propiedad te permitirá determinar: “la distribución de esfuerzos
de cizallamiento en un eje circular y concluir que el esfuerzo de
cizallamiento varia linealmente con la distancia desde el eje axial del
eje circular ”
24. Representaciones de torsión
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apropiado?
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flexión
24 / 59
25. Esfuerzos en una flecha (eje)
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flexión
25 / 59
Consideremos la siguiente imagen:
T ′ es el torque opuesto al e
igual en magnitud al torque
interno, T .
El diagrama de cuerpo libre es:
donde,
dF es el diferencial de la fuerza
de cizallamiento ρ es la distancia
perpendicular desde la fuerza
hasta el eje de la flecha.
26. El cizallamiento no puede ser en un plano. . .
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apropiado?
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flexión
26 / 59
En esta figura mostramos un elemento de la flecha que ilustra el
esfuerzo de cizallamiento en las caras perpendiculares a los ejes de
la flecha. También, señalamos los esfuerzos iguales en los planos
que contienen los ejes de la flecha.
27. Representación matemática de los conceptos Físicos
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apropiado?
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flexión
27 / 59
Torque T = τ = r × F. Vamos a usar ρ para etiquetar el radio,
usaremos negrillas o una flecha sobre la cantidad física que sean
cantidades vectoriales (letra). Y ahora definimos que las cantidades
vectoriales son perpendiculares, por esa razón, escribimos:
ρdF = T (3)
pero, sabemos que F = τA, donde τ es la tensión. Expresando
como una derivada dF = τdA. Por lo que, podemos escribir:
ρ(τdA) = T (4)
28. Descripción de las deformaciones por cizallamiento
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apropiado?
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flexión
28 / 59
Consideremos esta figura (a)
donde la flecha ha sido girada
un ángulo φ. Separemos un
cilindro de radio ρ y
consideremos un cuadrado
mostrado en rojo (b). Veamos
como el cuadrado se deforma,
convirtiéndose en un rombo,
después de someter la flecha
a una carga (c).
29. Descripción de las deformaciones por cizallamiento
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apropiado?
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flexión
29 / 59
La deformación por
cizallamiento en un elemento
está dado por el cambio en los
ángulos formados por los
lados del elemento.
30. Descripción de las deformaciones por cizallamiento
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apropiado?
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flexión
30 / 59
Notemos que las líneas que
forman los dos círculos
permanecen sin cambiar; por
lo que la deformación por
cizallamiento debe ser igual al
ángulo entre las líneas AB y
A′B.
31. Descripción de las deformaciones por cizallamiento
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apropiado?
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flexión
31 / 59
Veamos las fig. c; podemos
definir el arco AA′ = Lγ y
observando la cara de la
flecha, tenemos: AA′ = ρφ;
por lo que igualando estas
ecuaciones, obtenemos:
Lγ = ρφ (5)
γ =
ρφ
L
(6)
γ y θ medidos en radianes, ρ
y L en unidades de longitud.
32. Conclusión
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flexión
32 / 59
las deformaciones por cizallamiento en una flecha circular cambia
linealmente con la distancia del eje de la flecha.
En forma general, definimos:
γmáx =
cφ
L
(7)
y, obtenemos,
γ =
ρ
c
γmáx (8)
33. La ley de Hooke
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flexión
33 / 59
Recordando que la ley de Hooke la expresamos: esfuerzo normal de
tensión o de compresión y el modulo de tensión de elasticidad del material
(alargamiento) de la pieza que se está probando
σ = E ǫ (9)
deformación
El modulo de Elasticidad (E) (modulo de Young) tiene las misma unidades
que el esfuerzo de tensión (o tensión).
Usamos los nuevos símbolos:
τ = Gγ (10)
donde σ → τ, E → G y ǫ → γ.
34. Esfuerzo de cizallamiento
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flexión
34 / 59
Usando las ecuaciones anteriores, obtenemos:
τ =
ρ
c
τmáx (11)
y concluimos que el esfuerzo de cizallamiento en una flecha varia
linealmente con la distancia ρ desde el eje de la flecha.
Introduciendo la ecuación (11) en (4), obtenemos:
T =
τmáx
c
ρ2
dA (12)
donde Es el momento de Inercia: J.
35. Ecuaciones de torsión elásticas
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flexión
35 / 59
Haciendo un poco de álgebra, podemos obtener:
τmáx =
T c
J
(13)
y
τ =
T ρ
J
(14)
las ecuaciones (13) y (14) son conocidas como: ecuaciones de
torsión elástica.
36. Ejercicios
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flexión
36 / 59
1. En el Sistema Internacional (SI) y de EE.UU. ¿Cuáles son las
unidades de T, J y τ?
2. Calcule el momento de inercia de un círculo de radio ρ.
3. Calcule el momento de inercia de una flecha cuya sección
transversal tiene un hoyo, el radio interno es c1 y el externo es
c2.
4. Solucione y explíque el ejemplo 3.01 de la página 150.
5. Solucione y explíque el problema ejemplo 3.1 de la página 152.
6. Ejercicio para casa: Solucione y explíque el problema ejemplo
3.2 de la página 153. Lo revisaremos en la siguiente clase.
37. Ejercicio en Clase
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flexión
37 / 59
Considere un sistema como el que se muestra en la siguiente figura:
Considerando que el esfuerzo
de cizallamiento permisible es
de(τ) 8 500 psi, la magnitud
del torque en el punto C (TC)
es 5 kip · in; (kip = klb) y ade-
más el ensamble está en equi-
librio. Determinar el diámetro
de la flecha a) BC y b) EF.
38. Solución
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flexión
38 / 59
Usando la Fig. P325, que muestra un sistema con dos ejes y dos
engranes que forman un engranaje. Objetivos: Calcular los
diámetros de las dos flechas que funcionan como ejes de los
engranes.
Conocemos: τ = 8 500 psi = 8,5 ksi; TC = 5 kip · in; y que el
sistema está en equilibrio i Fi = 0.
Análisis: Los ejes tienen sección transversal circular y ya
conocemos su momento de inercia: J = π c4
2 .
39. Resultados
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apropiado?
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flexión
39 / 59
a) Resultados:
τmáx =
T c
J
τmáx =
T c
π c4
2
τmáx =
2T
π c3
despejando,
c = 3
2T
πτmáx
entonces,
dBC = 2c = 2 3
2T
πτmáx
40. • Contenido
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apropiado?
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flexión
40 / 59
b)
FA − FD = 0
TC
cA
=
TF
cD
cD
cA
TC = TF
Obtenemos TF y lo introducimos en:
dEF = 2 3
2TF
πτmáx
41. Ángulo de Torsión
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flexión
41 / 59
El ángulo de torsión φ es pro-
porcional al torque aplicado en
la flecha.
La flecha debe ser homogénea;
es decir, G debe ser constante,
sección transversal uniforme y la
carga debe ser colocada en su
extremo.
Esta figura muestra el ángu-
lo de giro φ. Podemos hacer
uso de la ley de Hooke y de la
ecuación que describe las de-
formaciones por cizallamiento
(7); esto es:
γmáx =
c φ
L
y
γmáx =
τmáx
G
=
T c
J G
;
combinándolas obtenemos:
φ =
T L
J G
(15)
42. Flecha con sección transversal circular variable
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apropiado?
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flexión
42 / 59
Considerando la figura
podemos expresar la ecuación
para el ángulo de torsión:
φ =
L
0
T dx
J G
(16)
43. Ángulo relativo de Torsión
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apropiado?
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flexión
43 / 59
Cada flecha tiene un módulo de
rigidez G. Aplicando un torque
T se aplica en E; las dos flechas
giran. Nótese que en D, la flecha
AD está fija; el ángulo AD se mide
por el ángulo de Torsión φA en el
fin de A.
Por otro lado, veamos que am-
bos extremos de la flecha BE
rotan; el ángulo de torsión BE
is igual a la diferencia entre los
ángulo de torsión φB y φE; es
decir, el ángulo de giro es igual
a el ángulo por el cual el extre-
mo E rota con respecto al ex-
tremo B. Llamemos a este án-
gulo relativo de torsión de la si-
guiente forma:
φE/B = φE − φB =
T L
J G
Realizar el problema muestra 3., pág.165.
44. ¡Importante!
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• ¿Cómo elegir una FS
apropiado?
• Conceptos
• Fenómenos por
flexión
44 / 59
Es importante señalar que lo que hemos trabajado permanece en el
límite elástico: “Un material se dice se comporta elásticamente, si
las deformaciones causadas en un material de prueba por la
aplicación de una carga dada, desaparecen cuando la carga se
remueve.”
45. Fenómenos por flexión
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apropiado?
• Conceptos
• Fenómenos por
flexión
45 / 59
En las secciones anteriores estudiamos fenómenos para determi-
nar presiones de miembros sometidos a cargas axiales o de giro.
. . . Ahora estudiaremos fe-
nómenos relacionados con
flexión.
46. Algunos conceptos
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apropiado?
• Conceptos
• Fenómenos por
flexión
46 / 59
Flexión Pura: Un miembro se dice que está en flexión pura si se
somete a acoplamientos iguales y opuestos M y M′ actuando
en el mismo plano.
Plano longitudinal: Es aquel plano que divide un miembro
simétricamente (esta definición se toma para este curso y lo
aclararemos posteriormente).
Cargas axiales excéntricas: Son aquellas cargas que se aplican
fuera del eje de axial.
Cargas transversales: Son aquellas cargas que se aplican
perpendicular al aje axial.
47. Representación Pictórica y Vectorial
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apropiado?
• Conceptos
• Fenómenos por
flexión
47 / 59
Este es un ejemplo típico de
una flexión pura.
Las reacciones en las manos
del deportista deben ser
iguales y opuestas a las
cargas.
48. • Contenido
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apropiado?
• Conceptos
• Fenómenos por
flexión
48 / 59
Considerando la distancia entre CD de la figura anterior; podemos
reemplazar las cargas y las reacciones por dos iguales y opuestas
de 960 lb · in .
50. Cargas Transversales
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apropiado?
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flexión
50 / 59
Esta figura se conoce como
cantilever (miembros sujetos a
cargas transversales).
Observando el diagrama de
cuerpo libre de la fig. 4.4b;
obtenemos, el momento
flexionante M = Px.
También podemos ver la
fuerza opuesta P′.
51. Deformaciones por Flexión
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apropiado?
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flexión
51 / 59
La línea que formaba el meimbro AB, ahora tiene una curva cuyo
círculo tiene centro en C
53. Algunas ecuaciones. . .
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flexión
53 / 59
La longitud (L) del miembro no deformado es. L = ρθ y del
miembro deformado es: L′ = (ρ − y)θ y la deformación es:
δ = L′ − L; combinando las ecuaciones anteriores, obtenemos:
δ = −yθ
La deformación longitudinal de JK (ver figura anterior) se define
como: ǫx = δ
L = −y θ
ρ θ , o
ǫx = −
y
ρ
.
Relacionaremos el signo menos con la curva concava.
54. Conclusión
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apropiado?
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flexión
54 / 59
La deformación normal longitudinal ǫx varia linealmente con la dis-
tancia y de la superficie neutra; es decir la superficie donde ǫx y σx
son nulos.
La superficie neutra intersecta el plano de simetría a lo largo de un
arco de círculo DE (ver figura) y la sección transversal a lo largo de
una línea recta llamada, eje neutro.
El valor máximo que puede tomar la deformación ǫ es:
ǫm = c
ρ
y obtenemos,
ǫx = −y
c ǫm.
55. Esfuerzo normal
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apropiado?
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flexión
55 / 59
El esfuerzo normal está dado por: σ = −M y
I
donde I es el momento de inercia y S es el módulo de la sección
elástica y está dada por: S = I
c ; por lo que obtenemo: σm = M
S
Retomando la ley dev Hooke, σx = Eǫx y usando la ecuación ante-
rior para la deformación, obtenemos: σx = −y
c σm y σm denota el
valor absoluto máximo de tensión.
56. Ejemplo
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apropiado?
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flexión
56 / 59
Considere una viga de madera con una sección transversal
rectangular de lados (ancho) b y (altura) h. Obtenga el módulo de
sección elástica S. Considere que c = h/2.
Observe el resultado note la dependencia con h.
57. Otra Conclusión (resultado)
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apropiado?
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flexión
57 / 59
La deformación del miembro causado por el momento flexionante se
mide por la curvatura de la superficie neutra. La curvatura se define
como el recíproco del radio de curvatura ρ y puede ser obtenido:
1
ρ
=
ǫm
c
,
y en el rango elástico, tenemos: ǫm = σm/E; y haciendo álgebra,
obtenemos,
1
ρ
=
M
E I
59. Referencias
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• ¿Cómo elegir una FS
apropiado?
• Conceptos
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flexión
59 / 59
[1] Ferdinand P. Beer, E. Russell Johnston, John T. DeWolf, and David Mazurek. Mechanics of materials. Mc Graw Hill, 6th.
edition, 2012.
[2] Robert L. Mott. Resistencia de Materiales. Prentice Hall, 5ta edition, 2009.
[3] William A. Nash. Resistencia de Materiales. Mc Graw Hill, 1991.
[4] Sitio web, 2015. https://curiosoando.com/que-es-una-fuerza-axial.
[5] Sitio web, 2015. http://www.parro.com.ar/definicion-de-fuerza+axial.
