Modelos simulacion.doc

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CORPORACIÓN UNIVERSITARIA REMINGTON

MEDIOS Y MEDIACIONES INSTITUCIONALES

Módulo de asignatura

Área: Matemáticas
Unidad académica: Posgrados
Código: 8287
Créditos: 2

Objetivos
 Representar mediante modelos matemáticos situaciones problémicas
para su validación mediante simulaciones computacionales que definan
horizontes de predictibilidad de las mismas.
 Desarrollar habilidades en el manejo de herramientas computacionales
para hacer validaciones de modelos matemáticos que apoyen los
procesos de toma de decisiones.

Competencias a desarrollar

 Capacidad para interpretar la realidad y sus situaciones problémicas y
representarla mediante modelos matemáticos.
 Capacidad para argumentar la adopción de un modelo matemático que
permita comprender una situación problémicas.
 Capacidad para proponer alternativas de análisis que representen el
comportamiento de un sistema en diferentes escenarios mediante
procesos de simulación computacional.

Contenido

Unidad 1: El Modelamiento
Tema Ventajas de la Modelación
1:
La cantidad y calidad de la información contenida en los modelos varía de
manera notable, aunque todos ellos tienen la característica común de ayudar a
evaluar el resultado de una decisión del mundo real sin llegar a tomar
efectivamente la misma. Puesto que un modelo es una representación de un
sistema, permite evaluar decisiones o acciones sin que se lleven a cabo
experimentos reales.

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Algunas de las ventajas importantes de la utilización de modelos matemáticos
son:
• El modelo posibilita una mayor y mejor manipulación que el sistema
real.
• Facilita el análisis
• Con el modelo matemático se describe el problema de una forma más
concisa que, por ejemplo, con una descripción verbal.
• Permite controlar mejor las fuentes de variación que lo que permitiría el
estudio directo del sistema.
• Generalmente son menos costosos que experimentar con sistema real.
• Permite a los modeladores la organización del conocimiento y las
observaciones sobre el sistema, así como las posibles deducciones lógicas que
se puedan tener de esta organización.

Para el proceso de modelación de una situación problémica se puede tener en
cuenta los siguientes pasos:
• Formulación o definición del problema.
• Formulación del modelo (Desarrollo de un modelo matemático y
recolección de datos).
• Solución del modelo matemático.
• Prueba del modelo y evaluación de la solución.
• Ejecución y control de la solución.

FORMULACIÓN DEL
PROBLEMA

CONSTRUCCIÓN DEL RESOLUCIÓN DEL SOLUCIÓN DEL
MODELO MATEMATICO MODELO MODELO
MATEMATICO

¿ES
MODELO MODIFICADO No VALIDA LA
SOLUCIÓN


IMPLEMENTACIÓN
DEL MODELO

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Figura 1. Esquematización de los pasos del proceso de modelamiento.

Tema Formulación o definición del problema
2:


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Siempre que se quiera llevar a cabo una investigación a través de la utilización
de métodos cuantitativos para solucionar problemas. Primero debemos ser
capaces de identificar, comprender y describir, en términos precisos el
problema y formularlo de tal manera que sea factible someterlo a una
investigación. Las condiciones mínimas para que exista una situación
problemática son las siguientes:
• Debe existir un individuo (I) a quien se le pueda atribuir el problema. El
individuo ocupa un medio ambiente (N).
• El individuo debe tener al menos dos posibles cursos de acción que
pueda seguir, es decir, debe tener la posibilidad de hacer una selección ( C1 y
C2)
• Deben existir, por lo menos dos resultados posibles de su selección, de
los cuales el prefiere uno en vez del otro, es decir, debe existir, al menos un
resultado que el quiera, un objetivo (R1 y R2).
• Los cursos de acción disponibles deben ofrecer cierta oportunidad de
lograr su objetivo, pero no pueden dar la misma oportunidad a ambos. De otra
manera, su selección no tendría importancia. Así podríamos decir cual es la
probabilidad de que se de un resultado si se eligió una alternativa inicialmente.

Podríamos decir que alguien tiene una situación problemática si quiere algo,
tiene múltiples formas de perseguir ese algo, pero debe tener planes claros
para encontrarlo. Para formular un problema entonces es bueno tener en
cuenta aspectos como:
• Identifique las variables de entrada controlables (de decisión) y las
variables no controlables (perturbaciones).
• Cuál o cuáles son sus objetivos que se busca al solucionar la situación,
de éstos se deriva una medida de la eficiencia para evaluar los cursos
alternativos de acción.
• Determine las restricciones que se encuentran sujetos al objetivo de
interés.
• Aspectos del medio, comprendiendo o nó a los humanos, que puedan
afectar los resultados de las selecciones disponibles (variables no
controlables).

La formulación exitosa de una situación problémica para modelar un sistema
aunque hay pautas generales, también necesita que el modelador tenga
creatividad, ciertas competencias interpretativa, argumentativa y propositiva
sobre todo. Inicialmente la situación problémica se define de una manera vaga

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y los objetivos se establecen en términos cualitativos. El modelador debe
traducir esos objetivos cualitativos en términos operacionales que pueden
relacionarse con los criterios de evaluación del sistema (traducirlos en
ecuaciones y desigualdades). Seguidamente se deben identificar las variables
relevantes del sistema y debe separar esas variables en dos clases: aquellas
que pueden controlarse por quien toma las decisiones y aquellas que no
pueden manipularse. El objetivo desde el punto de vista del modelador es
predecir el comportamiento de las variables incontrolables y escoger aquellos
niveles de las variables controlables de tal forma que se logre el objetivo
establecido.


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Tema Construcción de modelos y tipos de modelos
3:
Una de las razones básica para el desarrollo de un modelo es la de descubrir
cuales son las variables importantes o pertinentes. El descubrimiento de estas
variables va estrechamente asociado con la relación que existe entre ellas.
Para esto se utiliza técnicas cuantitativas como la estadística y la simulación
las cuales permiten investigar las relaciones que hay entre las muchas
variables que contiene un modelo. Los modelos pueden clasificarse por las
dimensiones, funciones, propósitos, temas o grado de abstracción. Los
modelos más comunes son: mentales, descriptivos, icónico, análogos,
simbólico o matemático y modelos de simulación.

 Modelos mentales. Son modelos heurísticos o intuitivos que sólo existen
en nuestras mentes. Son imprecisos, difusos y difíciles de comunicar. A
diferencia de los animales, el ser humano es capaz de acumular
experiencia que puede servir como un modelo mental. La habilidad para
realizar operaciones aritméticas y el proceso de decisión en una
situación no muy compleja, son ejemplos de modelos mentales. La
introspección de estos modelos conduce frecuentemente a los modelos
simbólicos.
 Modelos Descriptivos: Estos modelos no contienen variables
controlables. Estos modelos tienen muchas limitaciones y la principal
consiste en que el método de predicción es interno, y no puede
comunicarse fácilmente o replicarse; la principal ventaja del modelo
descriptivo es que el costo de tomar la decisión es bajo.
 Modelos Icónicos: Es una representación física de algunos objetos o de
cualquier sistema real ya sea en forma idealizada o en escala distinta.
En otras palabras una representación es un modelo Icónico hasta el
grado en que las propiedades sean las mismas que tiene lo que
representa, los modelos Icónicos son muy adecuados para describir
acontecimientos en un momento específico del tiempo. Por ejemplo, una
fotografía es un buena imagen de una fabrica, mientras que las
operaciones reales de una fabrica construida es termino de un pequeño
modelo que funcione puede ser demasiado costosos para construir y
modificar a fin de estudiar sus posibles mejoras. Otras características de
un modelo Icónico la constituye sus dimensiones, dos dimensiones
(fotografía, plano y mapa) o tres dimensiones (globo, automóvil y


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avión). Cuando un modelo sobrepasa la tercera dimensión es imposible
construirlo físicamente, entonces pertenece a otra categoría de modelos
llamados matemáticos (simbólicos).
 Modelos Análogos: Son modelos en las que una propiedad del sistema
real se puede sustituir por una propiedad diferente que se comporta de
manera similar. Los modelos Análogos Pueden representar situaciones
dinámicas y se usan más que los icónicos, porque pueden mostrar las
características del acontecimiento que se estudia. Estos modelos son
adecuados para representar relaciones cuantitativas entre las
propiedades de objetos de varias clases. Estas propiedades se pueden
transformar en propiedades análogas.

 Modelos Matemáticos o simbólicos: Son aquellos en las que se utiliza un
conjunto de símbolos (letras, números y otros) en lugar de una entidad
física para representar a la realidad. Para construir un modelo
matemático inicialmente. Formamos un modelo abstracto en nuestra
mente y luego se registran como modelo simbólico.

Un tipo de modelo matemático o simbólico que se utiliza comúnmente es una
ecuación ya que esta es precisa, concisa y fácil de comprender. Sus símbolos
no sólo son muchos más fácil de manipular que las palabras, si no que se
escriben más rápidamente, y permiten ser mejor manipuladas por las
computadoras.
Tema Tipos de Modelos matemáticos
4:
Los modelos matemáticos o cuantitativos, generalmente se expresan con
ecuaciones que tienen una estructura fundamental muy sencilla:

U=F(x, y)
G(x, y)>=0

En donde:

U representa la utilidad o valor de la ejecución del sistema.
X=(X1,X2.....Xn) es el conjunto de variables controlables
Y= (Y1,Y2......Yn) es el conjunto de variables no controlables
F es la función entre U, X y Y.


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G(x, y) es un conjunto de ecuaciones o desigualdades que indican el hecho de
que algunas de las variables controlables o todas solamente puede manejarse
dentro de cierto limites.

Las variables controlables también se denominan a menudo como variables de
decisión, y son aquellas cuyo valor se puede controlar y es necesario
determinar para solucionar un problema de decisión. Las ecuaciones y
desigualdades son restricciones o limitaciones sobre los valores de las variables
en un modelo matemático típicamente impuestos por condiciones externas.

Una vez construido un modelo se puede usar para encontrar los mejores
valores posibles para las variables de decisión, la cual se conoce como solución
óptima o aproximaciones a los valores óptimos lo cual se conoce como:
soluciones satisfacientes.

El siguiente gráfico ilustra los tipos de soluciones de un modelo matemático

Solución óptima.

Solución satisfaciente

Solución factible
Solución no factible

Figura 2. Tipos de soluciones de un modelo matemático.
Tema Validez de un modelo
5:
En la construcción de un modelo se busca una representación válida de la
realidad. Para que un modelo sea útil es necesario que incluya dos aspectos
muy importantes que son el realismo y la simplicidad. Tengamos en cuenta
que, al tratarse de una representación formal, un modelo constituye

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necesariamente una abstracción. Cuando se considera un gran numero de
detalles del sistema, el modelo refleja con mayor exactitud la realidad, sin
embargo puede tener por consecuencia mayor complejidad para encontrar una
solución.

Un modelo requiere de una alta correlación entre lo que predice y lo que
actualmente ocurre en el sistema de tal modo que los datos generados por el
modelo se ajusten lo mejor posible con los datos observados en el sistema.

Uno de los tantos métodos que existen para constatar la validez de un modelo
es:

• Reexaminar la formulación del problema para detectar posibles errores y
defectos
• Determinar si todas las expresiones matemáticas son dimensionalmente
consistentes.
• Variar las condiciones iniciales (entradas) y analizar si la salida del
modelo se comporta de manera plausible.
• Utilizar datos históricos para reconstruir el pasado y determinar lo bien
que se habría comportado la solución resultante si se hubiera utilizado.

Otro aspecto importante, previo a la validación, es la verificación del modelo.
Esta permite asegurar que el modelo se construye de acuerdo con ciertas
especificaciones, eliminar errores en la estructura, en el algoritmo y en la
implementación en el ordenador si se da el caso. La comprobación de que el
modelo es correcto tiene que ver con la convergencia, exactitud, robustez y
transcripción. Destaquemos la robustez la cual permite determinar el grado de
influencia en la solución del modelo cuando existe una variación en los
parámetros. Cambiando las condiciones bajo la cual se construyó el modelo, se
pueden identificar los parámetros de entrada críticos que afecten de forma
notable a la solución. Esto permitirá predecir cambios drásticos en el
comportamiento y establecer un procedimiento sistemático de control.
Tema Construcción de un modelo matemático
6:
La mejor forma para iniciar la construcción de un modelo consiste en detallar
todos los componentes que contribuirán a la efectividad de la operación del
sistema. Una vez que se ha completado la lista de elementos componentes, el


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paso siguiente consiste en determinar si deben usarse esos componentes, lo
que es difícil de hacer, porque es casi imposible controlar el comportamiento
de una sola variable debido a su relación funcional con otras. En ocasiones una
variable que se abandona porque se le consideró insignificante, puede resultar
importante más tarde para obtener una solución correcta. Se recomienda que
todos los datos disponibles se prueben experimentalmente o con algún método
estadístico para evitar es dificultad. El paso adicional de experimentación antes
de escoger los elementos críticos, aumenta la probabilidad de tener un modelo
correcto.

Una vez que se han escogido lo elementos importantes, pueden ser
conveniente combinarlos o dividirlos. Por ejemplo, los costos de recepción se
combinan con la compras de materias primas y con el costo de los fletes.

Es necesario determinar si cada elemento del modelo es fijo o variable (no
controlable o controlable). Después de esa descomposición, el siguiente paso
consiste en asignar un símbolo a cada elemento. Podemos construir una sola
ecuación o una serie de ellas para expresar la eficacia del proceso o sistema.
La(s) fórmula(s) resultante(s) es (son) un modelo simbólico o matemático de
los elementos que se estudian, lo que nos permite valorar los resultados
variando ciertos elementos dentro de las restricciones. Muchas veces el
modelo matemático final es bastante refinado.
Al modelar un sistema, se debe diferenciar entre dos tipos de datos: Los que
permanecen sin cambio a través del tiempo y se conocen como ¨parámetros¨,
y los que presentan cambios a través del tiempo y se conocen como
¨variables¨.

La variabilidad que presenta el segundo tipo de datos debe modelarse con
ecuaciones matemáticas que sean capaces de reproducirla; en la mayoría de
los casos dicha variabilidad puede clasificarse dentro de alguna distribución de
probabilidad. Así pues, uno de los pasos más importantes de todo el proceso
de modelado estocástico es la búsqueda de información y su análisis
estadístico posterior basado principalmente en la clasificación de cada serie de
datos dentro de alguna distribución de probabilidad.
Tema Consideraciones sobre la formulación de un modelo
7:
• La primera consideración que entra en la formulación del modelo es la


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cuestión de cuantas variables hay que incluir en el modelo. Generalmente no
se encuentra mucha dificultad en determinar las variables endógenas
(dependientes), ya que éstas son definidas al formular los objetivos del
problema. La principal dificultad está en la escogencia de las variables
exógenas (variables independientes) que afectan las variables endógenas.
Demasiadas variables exógenas pueden hacer que la solución sea un poco
compleja de obtener por técnicas matemáticas razón por la cual se debe
recurrir a programas matemáticos.
• El modelo no debe ser tan complejo que requiera demasiado tiempo
para su solución, ni tan simple que no sea realista. Lo ideal es construir
modelos matemáticos que den descripciones de los sistemas en estudio y
permitan hacer predicciones razonablemente exactas acerca del
comportamiento del sistema en el menor tiempo posible.
• Las restricciones se pueden modificar, agregar o quitar si se requiere
para simplificar el modelo.

Si es difícil resolver el modelo con restricciones, estas pueden ignorarse hasta
que se obtenga una solución. Si la solución satisface las restricciones, se puede
aceptar, si no, se pueden agregar las restricciones una a una, para
incrementar la complejidad, hasta que se obtenga una solución que las
satisfaga.
Tema Análisis de datos requeridos y estimación de parámetros y estimación
8: de los parámetros.
La construcción de un modelo puede dividirse en dos partes: la primera es el
establecimiento de la estructura del modelo y la segunda tiene que ver con la
recolección de datos para la estimación de los parámetros del modelo.

Es necesario determinar si hay datos disponibles para estimar los valores de
parámetros y los valores históricos de las variables. Es necesario encontrar las
fuentes de datos y evaluar qué tan adecuadas son. Si no hay datos
disponibles, es necesario diseñar la forma en que se debe hacer la recolección
de los mismos.

En el análisis de los datos es necesario determinar la clase de variables que se
encuentran en el modelo: exógenas, endógenas, de estado; y los parámetros.

Las variables exógenas incontrolables deben ser datos que se le suministren al


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modelo para representar las partes relevantes que se asumen son externas al
sistema.

El modelador debe ser capaz de coleccionar datos sobre el comportamiento de
las variables exógenas no controlables y sobre los parámetros. Además debe
ser capaz de estimar las funciones de densidad a partir de los datos históricos.
Cuando no es posible obtener estimativos adecuados para uno no más
parámetros es necesario reformular el modelo.

Luego de haber recolectado los datos apropiados, deben estimarse los valores
de los parámetros del modelo y deben estimarse la significancia estadística de
estos estimativos. Para hallar los valores de los parámetros pueden usarse los
siguientes métodos:
• Mínimos cuadrados.
• Principio de máxima verosimilitud.
• Métodos de los momentos.-
Tema Evaluación del modelo y de los estimativos del parámetro
9:
En esta etapa se debe hacer un juicio inicial sobre lo adecuado del modelo. Un
modelo debe ser probado a medida que se va construyendo. Si no se hace así,
el modelo tiende a adquirir una formalidad que hace muy difícil la evaluación
objetiva del mismo después de su terminación.

Cuando se termina el modelo, se lo debe probar como un todo. Si dicha prueba
falla se debe determinar la naturaleza de su eficiencia y corregirla. Deben
probarse además, las suposiciones y los datos de entrada. En el caso de las
características operativas que toman la forma de distribuciones de
probabilidad, deben aplicarse pruebas de bondad de ajuste para determinar
qué tan bien se ajusta esa distribución a los datos históricos a partir de los
cuales fue derivada.

También debe probarse la significancia estadística de los estimativos de los
valores esperados, varianzas y otros parámetros.

Para la evaluación del modelo se deben considerar las posibles respuestas a las
los siguientes interrogantes:


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• ¿Se han incluido variables que no son pertinentes o relevantes?
• ¿Se han dejado sin incluir una o más variables exógenas que
probablemente afecten el comportamiento de las variables del sistema?

Para determinar si una variable tiene un efecto significativo sobre la medida de
desempeño, hay disponibles varias técnicas estadísticas, de las cuales las más
comúnmente usadas son el análisis de regresión y correlación y el análisis de
varianza y covarianza.

• ¿Se ha formulado inadecuadamente una o más relaciones funcionales?
• ¿Se han estimado apropiadamente los paramentos de las características
operativas del sistema?
• ¿Son los estimativos de los parámetros del modelo estadísticamente
significativos?
• ¿Con base a los cálculos que se hayan realizado, cómo se comparan los
valores teóricos de las variables endógenas del sistema con los valores
empíricos de las mismas variables?
• ¿Son las expresiones matemáticas consistentes en cuanto a las unidades
empleadas?

Como se indicó anteriormente si las respuestas a uno o más de los
interrogantes anteriores no son satisfactorios, debe formularse de nuevo el
modelo.

El modelo general de un proceso de decisión toma la forma de: U= F(x, y)
donde x representa las variables controlables, y las variables incontrolables, y
U la utilidad esperada o costo esperado. Además pueden existir restricciones
G(x, y)>=0.

La solución del modelo se obtiene determinando el valor de x, como función de
y, para optimizar U.

Para derivar la solución se cuenta con varias técnicas analíticas tales como:
• Cálculo diferencial, para variables continuas.
• Diferencias finitas, para variables discretas.
• Multiplicadores de Lagrange, para funciones diferenciales.
• Programación lineal, cuando la función objetivo y las restricciones son
lineales.

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• Programación dinámica cuando el problema puede subdividirse en una
serie de subproblemas.
• Técnicas iterativas.
• Simulación, cuando una técnica analítica no es suficiente o eficiente para
solucionar el problema.
Actividades a realizar (ejercicios, consultas, cuestionarios, otros)
 Realizar las actividades planteadas en archivo word denominado
Actividades Unidad No 1.
Materiales de apoyo (PPT, PDF, doc, xls, video, audio, otros)
 Archivo en Word denominado Unidad 1 El modelamiento.

Unidad 2: La Simulación
Tema 1: Definiciones de simulación
La simulación se originó en los trabajos de Jhon Von Neumann y Stanislaw
Ulam a fines de la década de 1940. Unieron el análisis de Monte Carlo con una
técnica matemática para resolver problemas de blindaje nuclear, que eran
demasiado costoso para la experimentación y demasiado complejo para el
análisis. Con el advenimiento de las computadoras digitales a principio de la
década de 1950, se han hecho grandes progresos, y la simulación en
computadoras dio origen a innumerables tipos de aplicaciones.

La simulación ha sido durante mucho tiempo un instrumento importante para
el análisis y diseño de sistemas. Esta técnica cuantitativa es muy utilizada en
la toma de decisiones. Existen muchas situaciones en las cuales se puede

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experimentar con el sistema real. A través de observaciones y con la ayuda de
las herramientas estadísticas, se puede llegar a conclusiones válidas que
permitan tomar decisiones frente el funcionamiento del mismo; pero hay otras
en la cual no es fácil esta experimentación real.

La construcción de un modelo lógico-matemático descrito por medio de
expresiones matemáticas y relaciones lógicas podría ser una alternativa, ya
que este permitiría la experimentación.

El estudio, análisis, validación y verificación de este modelo puede hacerse por
medio de métodos analíticos. Por ejemplo, la solución de un sistema de
ecuaciones diferenciales que describa la evolución de una población, o por
métodos numéricos como por ejemplo utilizar un algoritmo de programación
no lineal para resolver un problema de optimización relativo al diseño de la
trayectoria de un misil. Sin embargo hay situaciones en las que los métodos
analíticos y numéricos son complejos para hallar la solución y se quiere
modelos más realistas o detallados; en esta situación utilizamos la simulación
que consiste en la construcción de un modelo lógico-matemático que describa
el funcionamiento del sistema en términos de eventos.

La simulación implica experimentar con un modelo de un sistema en el cual se
generan entradas y se observan y estudian salidas o resultados.

En los modelos de simulación generalmente se tienen dos tipos de entradas.
Las entradas controlables las cuales quedan seleccionadas por quien toma las
decisiones y las entradas probabilísticas o estocásticas las cuales se generan a
través de modelos de distribuciones de probabilidades teóricas o empíricas.
Con base en los valores de las entradas controlables y las entradas
probabilísticas, se utiliza el modelo para calcular el valor o los valores de los
resultados

Tema 2: Ventajas de la simulación
 Una vez construido, el modelo puede ser modificado de manera rápida
con el fin de analizar diferentes políticas o escenarios.
 La simulación de sistemas complejos puede ayudar a entender mejor la


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operación del sistema, detectar las variables más importantes que
interactúan en el sistema y entender mejor las interrelaciones entre
estas variables.
 La técnica de simulación puede ser usada para experimentar con nuevas
situaciones, sobre las cuales se tiene poca o ninguna información. A
través de esta experimentación se puede anticipar mejor a posibles
resultados no previstos.
 Generalmente es más barato mejorar el sistema vía simulación que
hacerlo directamente en el sistema real.
 Es más sencillo comprender y visualizar los métodos de simulación que
los métodos puramente analíticos.
 Los métodos analíticos se desarrollan casi siempre, para sistemas
relativamente sencillos donde suele hacerse un gran numero de
suposiciones o simplificaciones, mientras que con los modelos de
simulación es posible analizar sistemas de mayor complejidad o con
mayor detalle.
 La simulación permite analizar sistemas complejos para los que no están
disponibles los resultados analíticos.
 Algunas técnicas analíticas requieren de matemáticas sofisticadas tanto
para utilizarla como para entenderlas, en cambio una simulación puede
requerir poca o ninguna matemática compleja y por tanto puede ser
intuitivamente más compresible.
Tema 3: Desventajas de la simulación
 Los resultados numéricos obtenidos se basan en el conjunto específico
de números aleatorios, cuyos valores corresponden a sólo uno de los
resultados posibles. Por tanto, los valores finales reportados en una
simulación son sólo estimaciones de los valores reales que se están
buscando.
 Para obtener estimaciones más exactas y para minimizar la probabilidad
de tomar una mala decisión, debe hacer un gran número de ensayos en
cada simulación o repetir toda la simulación un gran número de veces.
 Una simulación requiere mucho tiempo para desarrollarse y validarse.
 Los modelos de simulación no dan soluciones óptimas
 La solución de un modelo de simulación puede dar al analista un falso
sentido de seguridad.


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Tema 4: Clasificación de los sistemas
El diseño de un modelo de simulación depende del sistema que se desea
simular.
Los sistemas a modelar pueden ser: sistema de eventos discretos en los cuales
el estado del sistema cambia sólo en ciertos puntos en el tiempo. Por ejemplo
en el modelado de un banco, el estado del sistema se describe mediante el
número de clientes en la fila y cuál de los pagadores está en ese momento
ocupado. El estado de este sistema cambia sólo en aquellos puntos en el
tiempo en los que un nuevo cliente llega o un cliente deja de ser atendido y
sale del banco. Los sistemas de eventos continuos en los cuales el estado
cambia continuamente en el tiempo, es decir a cada instante. Por ejemplo, al
simular el vuelo de un avión. El estado del sistema se describe mediante su
posición, rapidez, aceleración etc. estas características están cambiando
continuamente.
Tema 5: Tipos de simulación
Simulación continua: es utilizada para modelar sistemas que pueden ser
considerados como un flujo continúo de información. En la simulación continua,
generalmente el reloj de simulación se incremente a intervalos fijo de tiempos.

Simulación discreta: En la simulación discreta al analista le interesa lo que le
sucede a entidades individuales del sistema. Está orientada hacia el tiempo y
los eventos, por consiguiente el reloj de la simulación en simulación discreta,
se incrementa cada vez que ocurre un evento. Los modelos de simulación
discreta pueden desarrollarse a través de tres enfoques:
 Enfoque de eventos.
 Enfoque de actividades.
 Enfoque de procesos.
Tema 6: Etapas para realizar un estudio de simulación
Definición del sistema: cada estudio debe comenzar con una descripción del
problema o sistema de tal manera que exista una correcta identificación del
objetivo, de las variables de decisión, las restricciones, la medida de
efectividad, las variables no controlables y su comportamiento estadístico.

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Análisis del sistema: deben describirse las interacciones lógicas entre las
variables de decisión, de tal suerte que se optimice la medida de efectividad en
función de las variables no controlables, sin olvidar las restricciones del
sistema. Con el fin de analizar un sistema es indispensable definir algunos
términos: el estado de un sistema es el conjunto de variables que definen al
sistema en cualquier instante. Una actividad representa el tiempo requerido
para llevar a cabo una operación y se puede definir como cualquier proceso
que ocasione cambio en el sistema. Una entidad es cualquier objeto de interés
dentro del sistema, esta entidad puede ser estática o dinámica, en este último
caso se denota como una transacción y su principal característica es su
movimiento a través de las entidades estáticas del sistema. Las entidades
contienen propiedades llamada atributos que permiten crear diferencias entre
ellas es decir denotan una propiedad de una entidad. Por ejemplo si definimos
al sistema como una celda flexible de manufactura, las transacciones son los
pallets que se mueven a traves del sistema transportando el material dentro
de la celda, los atributos pueden ser el tipo de pieza en el pallets, las
actividades son las operaciones de procesamiento y transporte, las entidades
estática son las maquinas de control numérico o robots, los eventos son la
llegada o salida de un pallet de cada estación de la celda. Finalmente, las
variables de estado son el número de pallets que esperan en cada estación o el
número de estaciones ocupadas. El término estado del sistema es empleado
para expresar una descripción de todas la entidades, actividades y atributos en
la forma como existen en un momento cualquiera. El proceso del sistema es
estudiado siguiendo los cambios en el estado del sistema. Un sistema se
mueve de un estado a otro a medida que sus entidades se comprometen en
actividades que cambian su estado. Un evento representa un acontecimiento
instantáneo que modifica el estado del sistema. Los eventos indican el
comienzo, la terminación o la modificación de una actividad. El
comportamiento del sistema es simulado por los cambios de estados que
ocurren cuando sucede un evento. Cuando ocurre un evento puede cambiar el
estado del sistema en tres formas: alterando el valor de uno o más atributos
de las entidades, creando o destruyendo una entidad, es decir cambiando el
número de entidades del sistema; y comenzando, terminando o modificando
una actividad. Los eventos al igual que las entidades, tienen atributos. Cada
evento debe tener un evento que defina el tiempo en que va ocurrir. Otros
atributos normalmente asociados con los eventos describen el tipo de evento y
a veces, las entidades y los atributos de las entidades afectadas por los

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eventos. En la tabla 1, se muestran algunos sistemas, entidades, atributos,
actividades.

Sistemas Entidades Atributos Actividades
Tráfico Carro Velocidad Conducción
Distancia
Banco Clientes Balance de estado Depositar,
de crédito retirar
Comunicaciones Mensajes Longitud, prioridad Transmisión
Supermercado Consumidores Lista de compra Pagar
Empresa Departamento de Tipo de cantidades Proceso de
ordenes productos ordenes
Tabla 1. Ejemplos de sistemas, entidades, atributos y actividades.

El objeto de estudio de la simulación es reproducir las actividades en que se
comprometen las entidades de un sistema y obtener información acerca del
comportamiento y desempeño potencial del sistema. Para estudiar el sistema
el concepto clave es el de la descripción del estado del sistema. Si un sistema
puede caracterizarse por un conjunto de variables, con cada combinación de
los valores de las variables representando un estado único del sistema,
entonces la manipulación de las variables simula el movimiento del sistema de
un estado a otro. En consecuencia la simulación implica un conjunto de
actividades a saber: la identificación de las entidades y los atributos, la
codificación de los valores de los atributos para poder caracterizar los estados
del sistema.

La formulación del modelo: una vez que están definidos con exactitud los
resultados que se esperan obtener del estudio, el siguiente paso es definir y
construir el modelo con el cual se obtendrán los resultados deseados. En la
formulación del modelo es necesario definir todas las variables que forman
parte de él, sus relaciones lógicas y los diagramas de flujos que describen en
forma completa al modelo. Formular un modelo consiste también en generar

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un código lógico-matemático que defina en forma exacta las interacciones
entre las variables, debe ser una definición sencilla pero completa del sistema.
Al generar las interacciones es importante tener en cuenta que se va a llevar a
cabo a través del tiempo y que el uso de listas o cadenas de eventos darán la
pauta en el manejo de las variables. Una lista es un arreglo en el que se van
ordenando las transacciones de acuerdo con la secuenciación de eventos en el
tiempo. Existen dos tipos de listas, las llamadas de eventos futuros donde la
secuencia depende del tiempo de ocurrencia de los eventos y la de eventos
actuales cuya secuenciación depende de la ocurrencia de otro evento.

Colección de datos: es posible que la facilidad de obtención de algunos datos o
la dificultad de conseguir otros puedan influenciar el desarrollo y formulación
del modelo. Por consiguiente es muy importante que se definan con claridad y
exactitud los datos que el modelo va a requerir para producir los resultados
deseados. Normalmente la información requerida por un modelo se puede
obtener de registros contables, de ordenes de compra, de opiniones de
expertos y si no hay otro remedio por experimentación. Antes de diseñar los
detalles de una simulación por computadora, es decisivo tener una clara
compresión de los objetivos del estudio en la forma de salidas numéricas
específicas, con las salidas identificadas, el siguiente paso es identificar las
entradas que son valores numéricos necesarios para determinar las salidas.
Las entradas tienen tres categorías:
 Condiciones iniciales: son todos aquellos valores que expresan el estado
del sistema al principio de la simulación.
 Datos determinísticos: son valores conocidos necesarios para calcular las
salidas de una simulación.
 Datos probabilísticas: son magnitudes numéricas cuyos valores son
inciertos pero necesarios para obtener las salidas de la simulación.

Implementación del modelo en la computadora: con el modelo definido el
siguiente paso es decidir cual lenguaje de programación utilizar, es importante
utilizar el lenguaje que mejor se adecue a las necesidades de la simulación.

Codificación del modelo: consiste en generar las instrucciones o códigos
computacionales necesarios para lograr que el modelo pueda ser ejecutado en
algún tipo de computadora. La duración de este proceso está directamente
ligada con el lenguaje seleccionado.
Validación del modelo: es el proceso que tiene como objetivo determinar la

21



habilidad que tiene un modelo para representar la realidad. La validación se
lleva a cabo mediante la comparación estadística entre los resultados del
modelo y los resultados reales. Las formas más comunes de validar un modelo
son: la opinión de expertos sobre los resultados de la simulación, la exactitud
con que se predicen los datos históricos (back testing), la exactitud en la
predicción del futuro, la comprobación de falla del modelo de simulación al
utilizar datos que hacen fallar el sistema real y la aceptación y confianza en el
modelo de la persona que hará uso de los resultados que arroje el experimento
de simulación.

Experimentación: en este paso se determinan las diversas alternativas que
pueden ser evaluadas, seleccionando las variables de entrada y sus diferentes
niveles con la finalidad de optimizar las variables de respuesta del sistema real.
En este proceso de experimentación se generan los datos deseados y se
realizan análisis de sensibilidad de los índices requeridos. El uso de técnicas
como diseño de experimentos, superficies de respuesta, simplex EVOP;
permiten llevar a cabo este procedimiento en forma estructurada. La
experimentación permite generar los datos deseados y realizar análisis de
sensibilidad de los índices requeridos.

Interpretación: en esta etapa del estudio, se interpretan los resultados que
arroja la simulación y con base en ellos, se toma una decisión. Es obvio que los
resultados que se obtienen de un estudio de simulación ayudan a tomar
decisiones de tipo semi-estructurado, es decir, la computadora en si no toma
decisiones, si no que la información que proporciona ayuda a tomar mejores y
por consiguiente sistemáticamente a obtener mejores resultados.

Implantación: una vez seleccionada la mejor alternativa es importante llevarla
a la práctica. Para esto se recomienda llevar a cabo un proceso de animación
que permita visualizar el comportamiento de la variable en el sistema. Existen
en el mercado aplicaciones computacionales que permiten hacer en poco
tiempo este proceso.

Monitoreo y control: no hay que olvidar que los sistemas son dinámicos y con
el transcurso del tiempo es necesario modificar el modelo de simulación, ante
los nuevos cambios del sistema real, con el fin de llevar a cabo actualizaciones
periódicas que permitan que el modelo siga siendo una representación del
sistema.

22



Documentación: dos tipos de documentación son requeridos para hacer mejor
uso del modelo de simulación. La primera se refiere a la documentación de tipo
técnico, es decir a la parte de procesamiento de datos que debe tener el
modelado. La segunda se refiere al manual del usuario, con el cual se facilita la
interacción y el uso del modelo desarrollado a través de una terminal de
computadora.

 Archivo en Word denominado Unidad 2 La simulación.

Unidad 3: Variables Aleatorias
Tema 1: Distribución de una variable aleatoria
Una variable aleatoria es una variable que toma valores numéricos
determinados por el resultado de un experimento aleatorio (no hay que
confundir la variable aleatoria con sus posibles valores) como por ejemplo el
número de caras al lanzar 6 veces una moneda (valores: 0, 1, 2…), el número
de de llamadas que recibe un teléfono en una hora, el tiempo que esperan los
clientes para pagar en un supermercado, etc.

Las variables aleatorias se clasifican en discretas o continuas:
• Discretas: el conjunto de posibles valores es numerable, es decir, el
resultado del experimento aleatorio es un conjunto finito.
• Continuas: el conjunto de posibles valores es no numerable, es decir, el
resultado del experimento aleatorio es un conjunto infinito.

Por ejemplo el número de páginas de un libro es una variable aleatoria
discreta, el tiempo que tarda en fundirse una bombilla es una variable aleatoria
continua, el número de preguntas en una clase de una hora es una variable
aleatoria discreta, la cantidad de agua consumida en un mes es una variable
aleatoria continua.

Sea x una variable aleatoria discreta. Su distribución viene dada por los valores

23



que puede tomar, x1, x2, x3, …, xk, y las probabilidades de que aparezcan p1,
p2, p3, …, pk. Estas cantidades pi  P{x  xi } reciben el nombre de función
de probabilidad o función de densidad (masa).

Por ejemplo sea la variable aleatoria x = número de caras al lanzar tres veces
una moneda. Los posibles valores de la variable aleatoria x son 0, 1, 2 y 3. El
espacio muestral o conjunto solución sería, en donde S es caer sello y C es
caer cara:

E = {CCC, CCS, CSC, SCC, SSC, SCS, CSS, SSS}

Los posibles valores de la variable aleatoria x serían:
Toma valor 0 cuando ocurre el suceso {SSS}
Toma valor 1 cuando ocurre el suceso {SSC, SCS, CSS}
Toma valor 2 cuando {CCS, CSC, SCC}
Toma valor 3 cuando {CCC}

Con base en lo anterior, se puede definir la función de probabilidad de la
variable aleatoria x de la siguiente manera:

p0  P{x  0}  1 / 8  0,125
p1  P{x  1}  3 / 8  0,375
p2  P{x  2}  3 / 8  0,375
p3  P{x  3}  1 / 8  0,125
La gráfica de la función de probabilidad de la variable aleatoria x sería:


24



0.40

0.35

0.30

0.25

0.20

0.15

0.10
0 1 2 3

Con base en lo anterior se podrían responder preguntas como:

¿Cuál será la probabilidad, denotada por P, de que salgan al menos dos caras?,
cuya respuesta se puede encontrar mediante la siguiente expresión:

P{x  2}  P{x  0}  P{x  1}  P{x  2}  0,125  0,375  0,375
 0,875
¿Cuál sería la probabilidad, denotada por P, de que el número de caras esté
entre 1 y 2?, cuya respuesta se puede encontrar mediante la siguiente
expresión:

P{1  x  2}  P{x  1}  P{x  2}  0,375  0,375  0,75
En general la probabilidad de que una variable aleatoria x tome un valor entre
dos cantidades a y b sería:

P{a  x  b}  P{x  a}  P{x  a  1}... P{x  b  1}  P{x  b}
b
  P{x  xi }
xi  a
Toda función de probabilidad debe las siguientes dos condiciones (en donde P
es la notación para la probabilidad y p es la notación para su valor):


25



pi  P{x  xi }  0
k k


i 1
pi   P{x  xi }  1
i 1

La función de distribución probabilidad acumulada representa en cada punto x0
la probabilidad de que la variable tome un valor menor o igual que dicho
punto, es decir, P{x  x0 } .
Por ejemplo, para la variable aleatoria definida por el número de caras que se
obtienen al lanzar tres veces una moneda, la función de distribución de
probabilidad acumulada se podría calcular de la siguiente manera:

P{x  0}  P{x  0}  0,125
P{x  1}  P{x  0}  P{x  1}  0,125  0,375  0,5
P{x  2}  P{x  0}  P{x  1}  P{x  2}  0,5  0,375  0,875
P{x  3}  P{x  0}  P{x  1}  P{x  2}  P{x  3}  0,875  0,125  1
La gráfica de la función de distribución de probabilidad acumulada de la
variable x sería la siguiente:

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

0.0
0 1 2 3


26



Lo anterior es válido para variables aleatorias discretas, para una variable
aleatoria continua, su distribución de probabilidad tiene muchos valores y su
probabilidad asociada es prácticamente nula, es decir, la función de
distribución es continua. En este caso se usa en concepto de función de
densidad de probabilidad que indica la densidad o concentración de
probabilidad en cada intervalo de clase de un histograma, es decir, indica las
probabilidades por áreas en el histograma y sus valores más altos
corresponden a intervalos en los cuales es más probable que aparezcan
resultados del experimento aleatorio.
Tema 2: Media o valor esperado de una variable aleatoria.
La media o esperanza de una variable aleatoria discreta, se denota por E(x) y
por mx, y está dado por la siguiente expresión, en donde xi es el valor de la
variable aleatoria y pi su valor de probabilidad asociado:

k
E ( x )  mx  x1 p1  x2 p2 ... xk pk   xi pi
i 1

Por ejemplo, sea la variable aleatoria x el resultado de lanzar un dado
(x=resultado de lanzar un dado.). La distribución de probabilidad de x está
dada por:

p1  P{x  1}  1 / 6
p2  P{x  2}  1 / 6
.
.
.
p6  P{x  6}  1 / 6
Con base en lo anterior, el valor esperado de x está dado por:

k
1 1 1 1 1 1
mx   xi pi  1   2   3   4   5   6   3,5
i 1 6 6 6 6 6 6


27



Para una variable aleatoria continua, el concepto de media o esperanza de una
variable es equivalente pero su cálculo, dada su variabilidad continúa, requiere
emplear el concepto de integral. La media de una variable aleatoria puede
interpretarse como el valor esperado o medio que toma dicha variable o como
el valor central de dicha distribución y posee las siguientes propiedades:
 Si x e y son dos variables aleatorias se cumple que:
mx  y  mx  my
 Si a y b son constantes se cumple que:
max b  amx  b
Tema 3: Desviación estándar de una variable aleatoria
La desviación estándar de una variable aleatoria es una medida de dispersión
de la distribución alrededor de una medida de tendencia central que en general
es la media. Los valores pequeños indican concentración de la distribución
alrededor de la esperanza y los valores grandes corresponden a distribuciones
más dispersas. El concepto de desviación típica es equivalente en variables
aleatorias discretas y continuas, aunque en estas últimas su cálculo requiere
del uso del concepto de integral. Si x es una variable aleatoria discreta su
desviación típica se denota por σx o por DT(x), mediante la siguiente expresión
en la cual xi son los valores de la variable aleatoria, mx es su valor esperado o
media y pi es el valor de la probabilidad de cada valor xi:

k k
2 2 2
 x  DT ( x )   x
i 1
i  mx  pi  x
i 1
i pi  mx

A partir de la desviación estándar es posible calcular la varianza, denotada por
σ2x o por V(x) de una variable aleatoria mediante la siguiente expresión:

k k
2
  V ( x )    xi  mx  pi   xi2 pi  mx  mx 2 mx
2
x
2 2

i 1 i 1

La varianza tiene las siguientes propiedades:
 Si a y b son constantes se cumple que:
 axb  a  x

28



 axb  a 2 x2
2

 Si x e y son dos variables aleatorias independientes se cumple que:
 x y   x2   y
2 2
y
2 2
 x y   x   y
Situación problémica 2.
Se lanza tres veces una moneda. Sea x la variable aleatoria que expresa el
número de caras en los tres lanzamientos.

 Hallar y representar la función de probabilidad de x. El espacio muestral
E es el siguiente:
E = {CCC, CCS, CSC, SCC, SSC, SCS, CSS, SSS}
x = 0 → {SSS} p0  P{x  0}  1 / 8  0,125
x = 1 → {SSC, SCS, CSS} p1  P{x  1}  3 / 8  0,375
x = 2 → {CCS, CSC, SCC} p2  P{x  2}  3 / 8  0,375
x = 3 → {CCC} p3  P{x  3}  1 / 8  0,125
 ¿Calcular el número esperado de caras al lanzar la moneda. ¿Era
previsible el resultado?
k
mx   xi pi  0  0,125  1  0,375  2  0,375  3  0,125  1,5
i 1
Sí, ya que en cada lanzamiento P(C) = 1/2 y al lanzar tres veces se tiene
que 3  1 / 2  1,5 .
 Hallar la desviación estándar de x.
k
2 (0  1,5) 2  0,125  (1  1,5) 2  0,375
x   x  m 
i 1
i x pi  2
 (2  1,5)  0,375  (3  1,5)  0,125 2
 0,866

o bien:
k
x  x 2
i
2
pi  mx  0 2

 0,125...32  0,125  1,52  0,866
i 1

La desviación estándar es una medida de dispersión que depende de las


29



unidades de medida de la variable, en consecuencia es usual calcular el
coeficiente de variación, CVx; para evitar dicha dependencia que puede afectar
la interpretación de la desviación estándar; su calculo se realiza mediante la
siguiente expresión:
x
CVx 
mx

 Archivo en Word denominado Unidad 3 Variables Aleatorias
URL`s de apoyo al Concepto de Variables Aleatorias:
•
http://www.ucm.es/info/genetica/Estadistica/estadistica_basica%201.ht
m
• http://www.itson.mx/dii/atorres/apuntes.html
• http://www.edustatspr.com/Materiales/probabilidad/3.1.VAdiscretas.PDF
http://www.dm.uba.ar/materias/probabilidades_estadistica_C/2004/2/P
yEC03.pdf
Video sobre conceptos de Variables aleatorias discretas:
• http://www.youtube.com/watch?v=O0nRrdHph-o&feature=related

Unidad 4: Números Pseudoaleatorio
Tema 1: Métodos para generar números pseudoaleatorios
Se enuncian los principales métodos para la generación de números
pseudoaleatorios. Tales como:
Métodos Manuales: son los métodos más simples y lentos, ejemplo de estos
métodos son lanzamientos de monedas, dados, cartas y ruletas. Los números
producidos por estos métodos cumplen las condiciones estadísticas
mencionadas anteriormente, pero es imposible reproducir una secuencia
generadas por estos métodos.

Tablas de números aleatorios: estos números se pueden generar por medio
de una hoja de cálculo o por cualquier generador de cualquier lenguaje de

30



programación razón por la cual su comportamiento es totalmente
determinístico.

Mediante el computador digital: existen tres métodos para producir
números aleatorios mediante un computador:
• Provisión externa.
• Generación interna a través de un proceso físico aleatorio.
• Generación por medio de una regla de recurrencia.

Tema 2: Métodos aritméticos para generar números pseudoaleatorios
Se enuncian los principales métodos aritméticos para la generación de
números pseudoaleatorios tales como:
Métodos de Cuadrados Medios: el procedimiento de obtención de números
pseudoaleatorios con este tipo de generador es el siguiente:
• Se define una semilla.
• Se eleva la semilla al cuadrado.
• Dependiendo de la cantidad de dígitos que se desea tenga el número
pseudoaleatorio, se toman de la parte central del número resultante en el paso
anterior el número de dígitos requeridos. Si no es posible determinar la parte
central, se completa el número agregando ceros al principio o al final.
• Debe tenerse en cuenta que se desean números pseudoaleatorios entre
0 y 1, en consecuencia el resultado se debe normalizar, es decir, si los
números son de dos dígitos se normaliza dividiendo por 100, si es de tres
dígitos por mil y así sucesivamente.

Ejemplo: generar 3 números aleatorios de 4 dígitos a partir de un generador
de cuadrados medios utilizando como semilla el número 445.

Como se quieren números pseudoaleatorios Ri de 4 dígitos, se tomarán los
cuatro dígitos de la parte central del cuadrado de la semilla, de la siguiente
manera:

(445)2 =198025 = 9802 luego R1= 9802 / 10000 = 0.9802
(9802)2 = 96079204 = 0792 luego R2 = 0792 / 10000 = 0.0792
(792)2 = 627264 = 2726 luego R3 = 2726 / 10000 = 0.2726


31



Observación: como los números pseudoaleatorios deben estar entre 0 y 1 y
son de 4 dígitos, se normaliza dividiendo entre 10000.

Método de Producto medio: este método es un poco similar al anterior pero
se debe comenzar con dos semillas cada una con k dígitos, el número
resultante se toma como las cifras centrales del producto de los dos números
anteriores. Por ejemplo, tomando como semillas a X0 =13 y X1 =15 el método
sería el siguiente:
X2 = (13*15)= 0195 = 19, luego R2 =19 / 100 = 0.19.
X3 = (15*19) = 0285 = 28, luego R3 = 28 / 100 = 0.28.
X4 = (19*28) = 0532 = 53, luego R4=53 / 100 = 0.53.

Método del producto medio modificado: consiste en usar una constante
multiplicativa en lugar de una variable. Es decir Xn+1 = (K*Xn). Debe notarse
que los métodos anteriores tienen periodos relativamente cortos, los cuales
son afectados grandemente por los valores iniciales que se escojan, además
son estadísticamente insatisfactorios. También debe tenerse en cuenta que un
generador con un periodo corto no sirve para hacer un número considerado de
ensayos de simulación.

Tema 3: Métodos congruenciales
Se han desarrollado básicamente tres métodos de congruenciales para generar
números pseudoaleatorios, los cuales se derivan del empleo de diferentes
versiones de la relación fundamental de congruencia. El objetivo de cada uno
de los métodos es la generación en un tiempo mínimo, de sucesiones de
números aleatorios con periodos máximos. Los métodos congruenciales son: el
aditivo, el multiplicativo y el mixto.

Método Congruencial Aditivo: calcula una sucesión de números
pseudoaleatorios mediante la relación Xn+1= Xn +Xn-k (mod M). Para usar este
método se necesitan k valores iniciales, siendo k entero. Las propiedades
estadísticas de la secuencia tienden a mejorarse a medida que k se
incrementa. Este es el único método que produce periodos mayores que M.

Método Congruencial Multiplicativo: calcula una sucesión Xn de enteros no
negativos, cada uno de los cuales es menor que M mediante la relación Xn+1=


32



a.Xn (mod M). Es un caso especial de la relación de congruencia en que c=0,
este método se comporta de manera satisfactoria estadísticamente, es decir,
los números generados por medio de este método están unifórmente
distribuidos, y no están correlacionados. Este método tiene un periodo máximo
menor que M, pero se pueden imponer condiciones en a y X0 de tal forma que
se obtenga el periodo máximo. Desde el punto de vista computacional es el
más rápido de todos.

Método Congruencial Mixto o Lineal: los generadores congruenciales
lineales generan una secuencia de números pseudoaleatorios en la cual el
próximo número pseudoaleatorio es determinado a partir del último número
generado, es decir, el número pseudoaleatorio Xn+1 es derivado a partir del
número pseudoaleatorio Xn La relación de recurrencia para el generador
congruencial mixto es Xn+1 =(a Xn+c) mod m, en donde
 X0 = es la semilla
 a =el multiplicador
 c = constante aditiva
 m = el modulo (m  X0, a,c)
 X0, a, c 0

Esta relación de recurrencia nos dice que Xn+1 es el residuo de dividir a Xn+c
entre el modulo. Lo anterior significa que los valores posibles de Xn+1 son
0,1,2,3 ....m-1, es decir, m representa el número posible de valores diferentes
que pueden ser generados.

 Archivo en Word de soporte denominado Unidad 4 Generación de
Números Pseudoaleatorios
URL`s de apoyo al concepto Generador de números aleatorios:

33



 http://www.lawebdefisica.com/apuntsmat/num_aleatorios/
 http://webdelprofesor.ula.ve/ingenieria/hhoeger/simulacion/PARTE5.pdf
 http://www.kriptopolis.org/construye-tu-propio-generador-de-numeros-
aleatorios
Video Generador de números aleatorios en Visual Basic
 http://www.youtube.com/watch?v=i3J1Ki5o1ZE

Unidad 5: Pruebas Estadísticas para Generadores de Números
Pseudoaleatorio
Tema 1: Prueba de Medias
También es conocida como prueba de los promedios esta prueba consiste en
verificar que los números generados provienen de un universo uniforme con
media igual a ½, de esta manera se analiza la siguiente prueba de hipótesis.
H0 :  =1/2
Hi :  1/2

Los pasos para realizar esta prueba son los siguientes:

Paso1: se calcula la media aritmética de los n números generados, por medio
de la siguiente fórmula

1 n
x   Ri
n i 1

Paso2: Se calculan los límites superior e inferior de aceptación, por medio de
las siguientes fórmulas:

1 1
Ls x   Z / 2
2 12 n

1 1
Li x   Z / 2
2 12 n
Paso3: si el valor de la media se encuentra entre el límite inferior y el superior

34



aceptamos que los números aleatorios generados tienen una media igual a ½
con un nivel de aceptación 1-

Ejemplo: realice la prueba de medias a los primeros 30 números aleatorios
entre 0 y 1 de un generador congruencial mixto con un nivel de confianza del
95%. Los números generados son los siguientes:

0.03991 0.10461 0.93716 0.16894 0.98953 0.73231
0.25593 0.34565 0.02345 0.67347 0.10987 0.25678
0.71890 0.61234 0.86322 0.94134 0.99872 0.27657
0.82345 0.12387 0.05389 0.82474 0.59289 0.36782
0.72484 0.48999 0.50502 0.39528 0.36782 0.90234

Calculamos la media con la ecuación
1 30
x   Ri
30 i 1
= 0.507.

Ahora se calculan los limites de aceptación para n = 30
1 1
Ls x   1.96 = 0.5298.
2 12 30
1 1
Li x   1.96 = 0.4701.
2 12 30

Como podemos ver la media se encuentra entre los limites, entonces se acepta
la hipótesis que los que la media de los números generados tienen una media
igual a ½.


35



Tema 2: Prueba de varianzas
Esta prueba consiste en verificar si los números aleatorios generados tienen
una varianza de 1/12 = 0.083 de tal forma que la hipótesis queda expresada
de la siguiente manera:

En donde Ho es la hipótesis nula y asume que la varianza es igual a 0.083 y Hi
que no.

Los pasos que se siguen para realizar la prueba de hipótesis anterior son los
siguientes:

Paso 1
Calcular la variancia V(x) de los n números generados mediante la siguiente
expresión:


En donde ri son los números aleatorios generados y x es el promedio de los ri
números aleatorios generados.

Paso 2
Calcular los límites superior lsv(x) e inferior liv(x) de aceptación mediante la
siguiente expresión:


36



En donde X2α/2,n-1 es la función Chi cuadrado para un valor de α igual a 1-nivel
de confianza, en general se acepta como nivel de confianza 0.95 (95%).

Paso 3
Si el valor de la varianza V(x) se encuentra entre los valores de los límites
superior lsv(x) e inferior liv(x), aceptamos la hipótesis nula y los números
aleatorios tienen una variancia estadísticamente igual a 0.083.

Ejemplo. Realice la prueba de variancia a los siguientes 30 números
pseudoaleatorios con nivel de confianza del 95%.

Aplicando la ecuación del paso 1 para calcular la varianza de los 30 números se
encuentra un valor V(X) = 0.104. Al calcular los límites de aceptación mediante
la formula del paso 2 se obtienen las siguientes expresiones:


37



Con el resultado de las expresiones anteriores se nota que el valor de la
varianza 0.104 se encuentra dentro de los valores de los límites de aceptación
(0.046 y 0.1313) por lo tanto se acepta la hipótesis nula, es decir, que la
varianza del conjunto de número pseudoaleatorios es estadísticamente igual a
0.0836.

 Archivo en Word de soporte denominado Unidad 5 Pruebas Estadísticas
Generación números

Unidad 6: Pruebas de bondad de ajuste Chi Cuadrada
Tema 1: Prueba de de bondad de ajuste Chi cuadrada
Es una prueba paramétrica que mide la discrepancia entre una distribución
observada y otra teórica propuesta para su modelamiento, se fundamenta en
el siguiente estadístico:

2
k f oi  f ei 
2

  
i 1 f ei
En donde:
foi = valor de la frecuencia absoluta del i-ésimo dato.
fei = valor de la frecuencia absoluta esperada del i-ésimo dato.
k = cantidad de intervalos de clase.

El criterio de decisión es que se rechaza la función de distribución de
probabilidad teórica propuesta (es decir la hipótesis nula H0) cuando
 2   t2;K m 1 , en caso contrario se acepta. En ésta expresión K-m-1 son los
grados de libertad (m es la cantidad de parámetro que posee la función de
distribución de probabilidad teórica propuesta) y t es el nivel de significancia

38



de la función Chi Cuadrada, dicho valor se obtiene de tablas. Cuanto más se
aproxima a cero el
Número de unidades con defecto Número de muestras
valor de chi-
0 138
cuadrado, más
1 53
ajustadas están
2 ó más 9
ambas
distribuciones.

Situación problémica 1.
Si un ingeniero de control de calidad toma una muestra de 10 neumáticos que
salen de una línea de ensamblaje y desea modelar el números de llantas con
defectos observadas en 200 días, verificar si ello se puede modelar con una
función de distribución de probabilidad binomial con n = 10 y un nivel de
significancia de 0.05. En la siguiente tabla se tiene los datos de la muestra

Lo que se quiere probar se puede enunciar de la siguiente manera:
Ho: La población es binomial
Ha: La población no es binomial

Para un nivel de significancia de t = 0.05 y 2 grados de libertad (K = 3 clases,
m = 0 la función binomial no posee parámetros, la expresión K-m-1 es igual a
2
2) se determina de tablas el valor de la función Chi cuadrada  t ; K m 1 .lo cual da
2 2
un valor de 5.99, con lo cual la zona de rechazo es {  /   5.99).


39



Para poder calcular las frecuencias esperadas fei, primero se calcula la
frecuencia relativa esperada (valores de probabilidad) utilizando la formula de
la binomial con la siguiente expresión en donde n = 10 y p = 0.05, para los
valores de x = 0 y x = 1 unidades con defecto.

n
f ( x)  P ( x)    p x (1  p ) n x
 x
 

f ( 0)   0.05
10
0
0
(1  0.05)10 0 = 0.599

f (1)   0.05
10
1
1
(1  0.05)10 1 = 0 .315

Para la probabilidad de 2 ó más se realiza el siguiente calculo: 1.0 -0.599 -0
.315 = 0.086. Ahora ya podemos encontrar las frecuencias esperadas fei se
multiplica la frecuencia relativa por el total de datos que en este caso es 200,
de la siguiente manera:
200 * (0.599) = 119.8, 200(0.315) = 63, 200 (0.086) = 17.2


40



Número de unidades con defecto Número de muestras Valor
Observadas Esperado
0 138 119,8
El 1 53 63
sigui 2 ó más 9 17,2
ente Total 200 200
paso es calcular el estadístico de la prueba mediante la siguiente expresión:

2
k f oi  f ei 
2

  
i 1 f ei

2 (138  119.8) 2 (53  63.0) 2 (9  17.2) 2
   
119.8 63 17.2 = 8.26

Como 8.26 es mayor que 5.99, se rechaza la hipótesis nula con un nivel de
significancia de 0.05. En conclusión el número de llantas defectuosas no se
puede modelar mediante una función de distribución de probabilidad binomial.

 Archivo en Word de soporte denominado Unidad & Prueba de Bondad de
ajuste Chi Cuadrada

41



Unidad 7: Pruebas de bondad de ajuste de Kolmogorov Smirnov
Tema 1: Prueba de de bondad de ajuste de Kolmogorov Smirnov
Es una prueba no paramétrica que mide la discrepancia entre una distribución
observada y otra teórica propuesta para su modelamiento con base en el
planteamiento de la siguiente prueba de hipótesis:
Ho: Los datos analizados siguen una distribución M.
H1: Los datos analizados no siguen una distribución M.

La prueba se fundamenta en el siguiente estadístico:

D  Max FO ( xi )  FE ( xi )
1i  n

En donde:
xi es el i-ésimo valor observado en la muestra (cuyos valores se han ordenado
previamente de menor a mayor).
FO(xi) es la frecuencia absoluta acumulada observada de xi .
FE(xi) es la frecuencia absoluta acumulada esperada de xi con base en una
función de distribución de probabilidad teórica propuesta.

Una forma práctica de calcular el estadístico D es determinando los valores D+
y D- con las siguientes expresiones:

En esta prueba el criterio para la toma de decisión para las hipótesis Ho y H1,
es el siguiente:

42



En donde el valor Dα (con α igual al nivel de significancia) depende del tipo de
distribución a probar y se encuentra tabulado

 Archivo en Word de soporte denominado Unidad 7 Prueba de Bondad de
ajuste de Kolmogorov Smirnov

Unidad 8: Generación de Variables Aleatorias.
Tema 1: Método de la Transformada Inversa para Distribuciones Continúas.
Este método se utiliza cuando se desea simular variables aleatorias de tipo continuo com
exponencial, Weibull, Uniforme etc. Como decíamos anteriormente el método utiliza
función acumulada F(x) de la distribución de probabilidad de la variable que se va
simular. Cabe recordar que para encontrar la distribución acumulada F(x) se debe integr
la función f(x). Como el rango de F(x) se encuentra en el intervalo [0, 1], se puede gener
un número aleatorio R para determinar el valor de la variable aleatoria cuya distribució
acumulada es igual precisamente a R. La dificultad de este método radica que en algun
veces es complicado encontrar la transformada inversa, como por ejemplo para
distribución normal.

Generación de Variables Aleatorias para una Variable Aleatoria Exponencia
recordemos que la función de densidad de una variable exponencial es:

  x para x0 
f ( x)   
 0 para otros valores
Para aplicar el método de la transformada inversa de debe encontrar la función d
distribución acumulada F(x), recordemos que esta se encuentra en integrando la función d
densidad.

43



x
x
F( X) = P( x ≤ x 0 ) = ∫ λxdx = ∫ λx dx = [λ
λ λ λx
0
]
0

A continuación se presentan expresiones finales para generar variables aleatorias con l
distribuciones continuas más usuales.

Distribución Uniforme:
x = a + (b - a) r.
a = Límite inferior de la distribución.
b = Límite superior de la distribución.
X = valor de la variable aleatoria que será entrada probabilística.
R = Número aleatorio distribuido uniformemente.
Aplicación en Excel = a + (b - a) * aleatorio ( ), o también = a + aleatorio ( ) * (b - a).

Distribución Exponencial:
Obtenida a través de el método de la transformada inversa x = (-1 / ) Ln (1 - r), en dond
1 /  es la media de la distribución exponencial y x es la variable aleatoria.

Aplicación en Excel = (-1 / ) * LN(1 - aleatorio( )), o también se puede utilizar = (-1 / )
LN aleatorio( ).

Distribución Normal:
Obtenida a partir del método de convolución

 12 
x    r  6   
 i 1 
Obtenida mediante el método directo


44



x   2 ln(1  r ) cos( 2ri 1 )  
x   2 ln(1  r ) sen(2ri 1 )  
En donde:
 = media de la distribución normal.
 = desviación estándar de la distribución normal.
x es la variable aleatoria con distribución de probabilidad normal.

A través de Excel se pueden generar variables aleatorias normales con la función
DISTR.NORM.INV(ALEATORIO( ), , )

Distribución De Erlang.
Obtenida a partir de el método de convolución

 1  k 
x    ln  r 
 
 k   i 1 
En donde:
1 /  = es el valor esperado.
k = es un parámetro de forma.
x es la variable aleatoria con distribución de probabilidad Erlang.

Distribución Weibull.
x =  + (-Ln(1 - r))1/

En donde:
 = es un parámetro de escala.
 = es un parámetro de forma.
 = es un parámetro de localización.

45



x es la variable aleatoria con distribución Weibull.

Distribución Triangular.
2r
x a , si r > ½.
c

2(1  r )
x b
c

Distribución Gamma.
Obtenida a partir de el método de convolución

 1  k 
x    ln  r 
 
 k   i 1 
En donde:
1 /  = es el valor esperado.
k = es un parámetro de forma.
x es la variable aleatoria con distribución de probabilidad Gamma.

Tema 2: Método de la Transformada Inversa para Distribuciones Discretas.
Se utiliza cuando se desea simular variables aleatorias de tipo discretos, como
distribución de Bernoulli, Binomial, Poisson, etc. El procedimiento es similar al continu
pero el valor de la función acumulada F(x) se encuentra acumulando las probabilidades d
los eventos individuales p(x). También en este caso, F(x) está definida en el intervalo [
1]; se genera un número aleatorio R y se determina el valor de la variable aleatoria cuy
distribución acumulada es igual a R. La metodología para la aplicación de este método es:

Paso 1: calcular todos los valores de p(x) para la distribución propuesta.
Paso 2: calcular la función acumulada F(x) para cada valor de x.
Paso3: generar un número aleatorio R. Verificar en F(x) a que intervalo de x pertenece
ese será el valor de la variable aleatoria generada por la distribución propuesta.


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