Tema 1. introducción a la inv. operaciones y modelación

1. UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL
“FRANCISCO DE MIRANDA”
AREA DE TECNOLOGIA
DEPARTAMENTO DE GERENCIA
UNIDAD CURRICULAR: INVESTIGACION DE OPERACIONES
PROFESOR: LCDO. WILFREDO DIAZ
TEMA 1:
INTRODUCCION A LA INVESTIGACION DE OPERACIONES Y MODELACION.
Con el advenimiento de la Revolución Industrial, se incremento el tamaño y
complejidad de las organizaciones, al hacerse más complejas también se complico el
proceso de toma de decisiones y comenzaron múltiples problemas; en la búsqueda de
herramientas o métodos adecuados para resolverlos, surge la Investigación de
Operaciones con un enfoque sistemático y científicamente bien soportado que
permitía “tomar decisiones”, administrar recursos escasos y cumplir con los objetivos
de las organizaciones.
Ahora bien, la Investigación de Operaciones es la aplicación, por grupos
interdisciplinarios del método científico a problemas relacionados con el control de las
organizaciones o sistemas (hombre-máquina) a fin de que se produzcan soluciones que
mejor sirvan a los objetivos de toda la organización y, esto se logra a través del uso de
las matemáticas y las computadoras, porque la evaluación de alternativas puede ser un
proceso lento y difícil por la cantidad y/o complejidad de la información a ser
procesada.

2. Características de la Investigación de Operaciones (I.O.)
 Usa el método científico para investigar el problema en cuestión.
 Adopta un punto de vista organizacional sistémico global.
 Su meta es identificar el mejor curso de acción posible (óptimo).
 Requiere de un enfoque multidisciplinario.
 Se enfoca en la construcción y resolución de modelos.
ORIGEN Y ANTECEDENTES DE LA I.O.
El surgimiento formal fue durante la Segunda Guerra Mundial cuando había una gran
necesidad de administrar los recursos escasos. Por esto, las administraciones militares
americana e inglesa hicieron un llamado a un gran número de científicos para que
aplicaran el método científico a este y a otros problemas tácticos y estratégicos. Fue así
como, la fuerza aérea británica formo el primer grupo que desarrollaría métodos
cuantitativos para resolver estos problemas y bautizo a sus esfuerzos como
“investigación operacional”.
Después de la guerra, los administradores de la industria reconocieron el valor de
aplicar técnicas similares a sus complejos problemas de decisión y al comenzar la
década de 1950, ya se había introducido el uso de la Investigación de Operaciones en la
industria, los negocios y el gobierno. Los primeros esfuerzos de la IO se enfocaron a
desarrollar modelos y procedimientos adecuados y, estos procedimientos se hicieron
posibles con el advenimiento de los computadores de alta velocidad acompañados con
paquetes de software para resolver problemas de IO.

3. CAMPOS DE APLICACIÓN DE LA IO
La Investigación de Operaciones es una poderosa herramienta que implica "hacer
investigación sobre las operaciones” y se aplica a gran variedad de problemas para
mejorar la conducción y coordinación de las operaciones o actividades dentro de las
organizaciones. La IO comprende todo tipo de actividades de planeación, tanto en el
sector público como en el privado ya sea a nivel gerencial u operacional. Además, en la
IO se usan modelos matemáticos que ayudan a los administradores a tomar decisiones
estratégicas y operacionales a largo o corto plazo y se ha aplicado de manera extensa
en áreas tan diversas como la manufactura, el transporte, las telecomunicaciones, la
planeación financiera, el cuidado de la salud, los servicios públicos, entre otros. Así, la
gama de aplicaciones es extraordinariamente amplia.
METODOLOGIA DE LA IO.
El proceso de la Investigación de Operaciones comprende las siguientes fases:
1) Formulación y definición del problema: En esta fase se busca describir la meta u
objetivo del estudio, identificar las alternativas de decisión del sistema y reconocer
las limitaciones del problema.
2) Construcción del modelo: Se decide sobre el modelo más adecuado para
representar el sistema. Deben relacionarse las variables de decisión con los
parámetros y restricciones del sistema.
3) Solución del modelo: En esta fase se busca derivar una solución matemática
empleando técnicas y métodos matemáticos para resolver problemas y ecuaciones.

4. 4) Análisis de sensibilidad: Asegurar la información adicional sobre el comportamiento
de la solución debida a cambios en los parámetros del sistema.
5) Validación del modelo: Determinar si dicho modelo puede predecir con certeza el
comportamiento del sistema.
6) Implementación de resultados: Interpretar los resultados, dar conclusiones y cursos
de acción para la optimización del sistema.
7) Revisión del modelo: Evaluar, documentar y actualizar el modelo para sus nuevas
aplicaciones.
ASPECTOS BASICOS DEL PROBLEMA DE OPTIMIZACION RESTRINGIDA
Los problemas de optimización restringida son aquellos donde las decisiones
permisibles han sido limitadas de alguna manera. Un problema de optimización
restringida comprende los siguientes elementos:
1. Variables de decisión: son las incógnitas (o decisiones) que deben determinarse
para resolver el problema.
2. Los parámetros: son los valores conocidos que ayudaran a determinar la solución.
relacionan las variables de decisión con las restricciones y la función objetivo.
3. Restricciones: representan las limitaciones implícitas y explicitas del problema.
4. Función objetivo: Es el objetivo global de un problema expresado en una forma
matemática, en términos de los datos y de las variables de decisión.
5. Optimización restringida: Es obtener el mejor resultado posible, atendiendo a las
restricciones.
6. Optimalidad: Es un concepto teórico. Una decisión óptima significa que, hay
grandes esperanzas de que sea una “buena decisión” para el problema real.

5. 7. Decisión óptima: será aquella que produzca el mejor valor de la función objetivo,
sujeta a las restricciones.
DEFINICION DE MODELOS Y DE LA PROGRAMACION LINEAL
Modelos
Un modelo es una herramienta que nos sirve para lograr una visión bien estructurada
de la realidad. Así, el propósito del modelo es proporcionar un medio para analizar el
comportamiento de los componentes de un sistema con el fin de optimizar su
desempeño. La ventaja en el uso de modelos es que permite analizar una situación sin
interferir en la operación que se realiza, ya que el modelo es como si fuera "un espejo"
de lo que ocurre.
Programación lineal
La programación lineal utiliza un modelo matemático para describir el problema. El
adjetivo lineal significa que todas las funciones matemáticas son lineales y la palabra
programación es sinónimo de planeación. Así, la programación lineal trata la
planeación de actividades para obtener un resultado óptimo. El tipo más usual
involucra la asignación de recursos a ciertas actividades y, esta asignación debe hacerse
de tal forma que se obtenga el mejor valor posible de la medida global de efectividad.
TIPOS DE MODELOS
 Probabilísticos: en los que parte de la información necesaria para obtener una
solución no se conoce con certeza, sino que más bien se comporta de una manera
probabilística.

6.  Determinísticos: en los que toda la información necesaria para obtener una
solución se conoce con certeza.
 Icónicos: en los que se representa físicamente un sistema real, a escala reducida o
aumentada.
 Simbólicos: en estos se emplean un conjunto de símbolos, letras, números y
funciones para representar un sistema (las variables y sus relaciones).
 Matemáticos: representan matemáticamente situaciones reales para tomar las
mejores decisiones, o simplemente para entender mejor la situación real.
 Optimización restringida (de programación lineal): Cuando todas las restricciones
del modelo de optimización restringida son lineales, se tendrá el importante caso
del Modelo de Programación Lineal.
CARACTERISTICAS GENERALES DE UN MODELO DE PROGRAMACION LINEAL
Todas sus funciones (restricciones y objetivo) son lineales, es decir, cumplen con las
siguientes condiciones:
 Proporcionalidad: requiere que la contribución de cada variable en la función
objetivo o su uso de los recursos sea directamente proporcional al valor de la
variable.
 Aditividad: requiere que la función objetivo sea la suma directa de las
contribuciones individuales de las variables. Análogamente, el primer miembro
de cada restricción debe ser la suma de los usos individuales de cada variable del
recurso correspondiente.

7. La forma general del modelo de programación lineal es usualmente como sigue:
Max o min Z = C1X1 + C2X2 +…. + CnXn
Sujeto a:
a11x1 + a12x2 +…. + a1nXn (≤, = o ≥) b1
a21x1 + a22x2 +…. + a2nXn (≤, = o ≥) b2
an1x1 + an2x2 + …. + annXn (≤, = o ≥) bn
x1, x2,…., Xn ≥ 0
Donde:
Z = valor de la función objetivo o de la medida global de efectividad.
Xj= variables de decisión o nivel de la actividad j (j = 1, 2,…, n)
C1, c2,…, Cn = coeficientes objetivo
b1, b2,…., bn = vector disponibilidad o cantidad de recurso disponible para asignar a las
actividades
aij = coeficiente tecnológico o cantidad de recurso i consumido por cada unidad de la
actividad j.
X1, X2,…,Xn ≥ 0 = condición de no negatividad que restringe los valores de las variables
a nulos o positivos.

8. La formulación del problema o construcción del modelo de programación lineal
implica cuatro pasos:
1. Identificación de las variables de decisión
El primer paso es identificar las variables de decisión, los valores de estas variables se
pueden controlar y proporcionan la solución al problema. Se puede elegir cualquier
nombre simbólico pero es útil seleccionar un nombre que exprese claramente la
cantidad o actividad que la variable representa, incluyendo las unidades asociadas a las
mismas (ej.: X1 = número de mesas a producir diariamente en unidades).
Se recomienda identificar las siguientes pautas: elementos que afectan los costos o las
ganancias, elementos que se pueden elegir y/o controlar libremente, decisiones a
tomar, que valores constituyen una solución para el problema.
2. Identificación de los datos del problema
Para resolver el problema se requiere conocer cierta información que ayuda a
determinar los valores de las variables. Esta información son los datos del problema y
no se pueden controlar. Son constantes determinadas por la naturaleza del problema.
3. Identificación de la función objetivo
En el siguiente paso se debe expresar el objetivo organizacional en forma matemática
usando las variables de decisión y los datos conocidos del problema. La función
objetivo, puede ser del tipo maximizar o minimizar de acuerdo al problema; por
ejemplo, en algunos casos se deseara maximizar las ganancias de cierta compañía
mientras que en otros se deseara minimizar los costos asociados a cierta actividad de la
misma.

9. 4. Identificación de las restricciones
El paso final es identificar las restricciones y escribirlas en forma matemática. Estas
restricciones por lo general surgen de: limitaciones físicas, requerimientos de la
administración, condiciones externas, relaciones entre variables, limitaciones lógicas,
entre otras. Las restricciones deben expresarse como ecuaciones o inecuaciones
matemáticas y deben identificarse (≤, ≥ o =). Acotando que, las unidades en ambos
lados deben coincidir.
MODELOS DE PROGRAMACION LINEAL (ejercicios)
Producción:
Un fabricante está tratando de decidir sobre la cantidad a producir de mesas y sillas.
Para ello cuenta con 96 unidades de material y 72 horas de mano de obra semanal.
Cada mesa requiere 12 unidades de material y 6 horas de mano de obra, por su parte,
la fabricación de cada silla requiere 8 unidades de material y 12 horas de mano de
obra. El margen de contribución a la ganancia es el mismo para ambos productos y es
de 5 dólares por unidad. Además, el fabricante se comprometió a construir al menos 2
mesas semanales. Formule un modelo de programación lineal que permita maximizar
las ganancias.
Solución:
 Identificación de las variables de decisión
Primeramente se deben identificar las variables de decisión, para ello se puede tomar
en cuenta “el objetivo del problema”, como se desea maximizar la ganancia y la misma
está relacionada directamente con dos elementos que son los productos a elaborar
(mesas y sillas), entones se definen las variables como:

10. X1 = Cantidad a producir de mesas semanalmente en unidades
X2 = Cantidad a producir de sillas semanalmente en unidades
 Identificación de la función objetivo
Para el fabricante el objetivo es maximizar la ganancia, como cada mesa produce una
ganancia de 5 dólares al igual que cada silla, en términos de las variables y los datos de
la ganancia la función objetivo sería:
Maximizar Z = 5X1 + 5X2
 Identificación de las restricciones
Ahora se deben identificar las limitantes, en este caso tendríamos 4, a saber: dos
restricciones de recursos (material y mano de obra), una de producción (mesas) y la
restricción lógica (no negatividad).
Como cada mesa (x1) requiere 12 unidades de material y las sillas (x2) 8 unidades y el
fabricante solo cuenta con 96 unidades semanales, tendríamos:
12X1 + 8X2 ≤ 96
De forma similar, se cuenta con 72 horas de mano de obra y las mesas requieren 6
horas mientras que las sillas necesitan 12 horas, nos quedaría:
6X1 + 12X2 ≤ 72
Ahora, la tercera restricción es el compromiso semanal del fabricante que es construir
al menos dos mesas (x1) y quedaría asi:
X1 ≥ 2

11. Finalmente, no se pueden elaborar cantidades negativas de ambos productos asi que
debería incluirse la condición de no negatividad:
X1, X2 ≥ 0
Así el modelo de programación lineal nos queda:
X1 = Cantidad a producir de mesas semanalmente en unidades
X2 = Cantidad a producir de sillas semanalmente en unidades
Maximizar Z = 5X1 + 5X2
12X1 + 8X2 ≤ 96
6X1 + 12X2 ≤ 72
X1 ≥ 2
X1, X2 ≥ 0
Mezcla
Una local de comida rápida acostumbra a preparar la carne para hamburguesas con
una combinación de carne molida de res y carne molida de marrano. La carne de res
contiene 80% de carne y 20% de grasa, le cuesta al local 80 bolívares por kilo. La carne
de marrano contiene 68% de carne y 32% de grasa, costando 60 bolívares el kilo. ¿Qué
cantidad de cada tipo de carne debe emplear el local en cada kilo de carne para
hamburguesas, si se desea minimizar el costo y mantener el contenido de grasa no
mayor de 25%?
Solución:

12. Como el objetivo es minimizar el costo de producción de la carne para hamburguesa y
la misma es una mezcla de dos tipos de carnes, las variables serian:
X1 = cantidad de kilogramos a mezclar de carne de res en cada kilo de carne de h.
X2 = cantidad de kilogramos a mezclar de carne de marrano en cada kilo de carne de h.
Ahora el objetivo se expresaría en función de las variables y los datos de costos dados
en el problema:
Minimizar Z = 80X1 + 60X2
Cada kilo de carne de res (X1) contiene 20% de grasa y la de marrano (X2) contiene
32%. Como se desea mantener el contenido de grasa menor al 25% en la carne de
hamburguesa, la restricción seria:
0,20X1 + 0,32X2 ≤ 0,25(X1 + X2)
Ya que se desea encontrar la combinación de ambos tipos de carne para producir un
kilo de carne para hamburguesa, tendríamos:
X1 + X2 = 1
Al no poder usar cantidades negativas de ninguna de las carnes, se presenta la
condición de no negatividad:
X1, X2 ≥ 0
El modelo quedaría así:
X1 = cantidad de kilogramos a mezclar de carne de res en cada kilo de carne de h.
X2 = cantidad de kilogramos a mezclar de carne de marrano en cada kilo de carne de h.
Minimizar Z = 80X1 + 60X2

13. 0,20X1 + 0,32X2 ≤ 0,25
X1 + X2 = 1
X1, X2 ≥ 0
Transporte
Un fabricante de plásticos tiene en existencia, en una de sus fábricas, 1.200 cajas de
envoltura transparente y otras 1.000 cajas en su segunda fábrica. El fabricante tiene
demandas para este producto por parte de tres detallistas consistente en, 1.000, 700 y
500 cajas, respectivamente. Formule un modelo de programación lineal para
determinar el plan de envió óptimo al mínimo costo, los costos unitarios de envío (en
bolívares por caja) de las fábricas a los detallistas son:
Detallista 1 Detallista 2 Detallista 3
Fabrica 1 14 13 11
Fabrica 2 13 13 12
Solución:
Primeramente identificamos las variables asociadas al problema, como en este caso se
desean minimizar los costos de envío y estos costos se relacionan con las cantidades a
enviar de las fábricas a los detallistas, entonces tendremos 6 variables, a saber:
Xij = numero de cajas a enviar de la fabrica i al detallista j (i = 1, 2) (j = 1, 2, 3)
Entonces según lo anterior tendríamos como objetivo:
Minimizar Z = 14X11 + 13X12 + 11X13 + 13X21 + 13X22 + 12X23

14. Ya que las cantidades que se enviaran de las fábricas a los detallistas no pueden
exceder la existencia, tenemos:
X11 + X12 + X13 ≤ 1200
X21 + X22 + X23 ≤ 1000
Además, las cantidades enviadas a los detallistas deberán cubrir las demandas,
entonces:
X11 + X21 ≥ 1000
X12 + X22 ≥ 700
X13 + X23 ≥ 500
Incluyendo la condición de no negatividad para que ningún envío sea negativo, el
modelo seria:
Xij = numero de cajas a enviar de la fabrica i al detallista j (i = 1, 2) (j = 1, 2, 3)
Minimizar Z = 14X11 + 13X12 + 11X13 + 13X21 + 13X22 + 12X23
X11 + X12 + X13 ≤ 1200
X21 + X22 + X23 ≤ 1000
X11 + X21 ≥ 1000
X12 + X22 ≥ 700
X13 + X23 ≥ 500
Xij ≥ 0