POTENCIA, EJE RADICAL Y SECCIÓN ÁUREA

DIBUJO TÉCNICO II. 2º BACHILLERATO
POTENCIA.
Eje radical y centro radical
Sección Áurea
Rectángulo Áureo
O1
O3
O2
A
B
P
D
C
er

EJE RADICAL
DT II. T2. POTENCIA. Eje radical y centro radical. Sección Áurea. Rectángulo Áureo.
er
O1
O2
El EJE RADICAL de dos circunferencias es una recta perpendicular a la recta que une sus centros.
Según la posición relativa de las dos circunferencias obtendremos el eje radical
por un procedimiento u otro
EJE RADICAL DE DOS
CIRCUNFERENCIAS SECANTES.
Es la recta que pasa por los puntos de
intersección de ambas, cuya potencia
respecto de cada una de ellas
tiene el mismo valor, cero.
Es perpendicular a la línea que une los
dos centros de las circunferencias dadas

EJE RADICAL
er
er
O1 O2
O2
O1
EJE RADICAL DE
DOS CIRCUNFERENCIAS
TANGENTES.
Tanto si son tangentes
interiores como si son
tangentes exteriores,
el eje radical es la
perpendicular a O1O2
que pasa por el punto común
de tangencia, cuya potencia
respecto de ambas es cero.

EJE RADICAL
EJE RADICAL DE
DOS CIRCUNFERENCIAS
EXTERIORES
1er PROCEDIMIENTO:
Se trata de conecer, como en
los casos anteriores, un punto
que tenga la misma potencia
respecto de las dos dadas.
O1
O2

EJE RADICAL
O1
O3
O2
EJE RADICAL DE
DOS CIRCUNFERENCIAS
EXTERIORES
1er PROCEDIMIENTO:
1. Para ello trazamos una
circunferencia auxiliar O3
que cortará a las dos dadas
en los puntos A,B,C y D
A
B
D
C

EJE RADICAL
O1
O3
O2
EJE RADICAL DE
DOS CIRCUNFERENCIAS
EXTERIORES
1er PROCEDIMIENTO:
2. Hallamos los ejes radicales
de cada una de las circun-
ferencias dadas con la circun-
ferencia auxiliar.
Ambos ejes radicales, e1 y e2
se cortarán en el punto P
A
B
P
D
C

EJE RADICAL
O1
O3
O2
EJE RADICAL DE
DOS CIRCUNFERENCIAS
EXTERIORES
1er PROCEDIMIENTO:
3. Unimos los centros
O1 y O2
A
B
P
D
C

EJE RADICAL
O1
O3
O2
EJE RADICAL DE
DOS CIRCUNFERENCIAS
EXTERIORES
1er PROCEDIMIENTO:
4. El eje radical solución
será la perpendicular a la
recta que une O1 O2
desde P
A
B
P
D
C
er

EJE RADICAL
EJE RADICAL DE
DOS CIRCUNFERENCIAS
EXTERIORES
2º PROCEDIMIENTO:
1. Hallamos una recta tangente
exterior, por el procedimiento
ya aprendido al estudiar las
tangentes
A
B
T1
T3
O1
O2
t1

EJE RADICAL
EJE RADICAL DE
DOS CIRCUNFERENCIAS
EXTERIORES
2º PROCEDIMIENTO:
2. Trazamos la mediatriz del
segmento que va de un punto
de tangencia al otro
A
B
T1
T3
t1
O1
O2
M

EJE RADICAL
EJE RADICAL DE
DOS CIRCUNFERENCIAS
EXTERIORES
2º PROCEDIMIENTO:
3. Trazamos una perpendicular
a O1O2 desde el punto
medio del segmento
A
B
T1
T3
t1
O1
O2
M
er

POLARIDAD
LA RECTA POLAR de un punto P (que se denomina polo) y una circunferencia
de centro O (también llamada circulo director) es el eje radical de esa circunferencia y
otra cuyo diámetro es PO.
Si el polo es interior al círculo director, la polar es una recta exterior a éste.
Si el polo pertenece al contorno del círculo director, la polar es
la tangente al círculo director por el polo.
P
Polar de P respecto a O
O

POLARIDAD
Los puntos donde la recta polar corta a la circunferencia, T1 y T2, son los puntos de
tangencia de las rectas tangentes de P a O
P
O
T1
T2

POLARIDAD
Una posible forma de trazar la recta polar es:
1. Trazamos la recta OP
P
O

POLARIDAD
2. Trazamos dos
secantes
simétricas a OP, que
cortan a la circunferencia
en los puntos A, B, C y D
P
A
C
DB
O

POLARIDAD
3. Unimos los puntos de
corte opuestos AD,
dando la recta que los
une el punto F al cortar
la recta OP
P
A
C
D
F
B
O

POLARIDAD
4. La perpendicular a OP
en F es la polar de P
respecto a O
P
A
C
D
F
B
O

POLARIDAD
O
P
Segunda forma de trazar la recta polar:

POLARIDAD
O
P
1. Unimos P y O
mediante una recta

POLARIDAD
O
P
M
2. Trazamos la mediatriz
de OP = M

POLARIDAD
O
P
M
A
B
3. Trazamos la circunferencia de
diámetro OP, obteniendo así A y B

POLARIDAD
O
P
M
A
B
4. Unimos A y B y obtenemos la
recta polar buscada

POLARIDAD
O
P
M
A
B
5. Podemos
comprobar que las
rectas PA y PB son
las tangentes de P a
la circunferencia O

POLARIDAD
Hallar el POLO de r respecto de la circunferencia O
O
r

POLARIDAD
Trazamos el radio OT,
siendo T uno de los puntos
de intersección entre la recta
r y la circunferencia O
O
r
T

POLARIDAD
O
r
T
Trazamos la tangente a la
circunferencia O en el punto T

POLARIDAD
O P
r
T
Trazamos la perpendicular a
la recta r que pasa por el
centro O. Dicha perpendicular
corta a la tangente en el
punto P, polo que buscamos

POLARIDAD
O
Q
r
1. Trazamos la perpendicular
a r desde O

POLARIDAD
O
r
M
2. Hallamos la mediatriz M
de OQ
Q

POLARIDAD
O
r
M
B
A
Q
3. Trazamos la circunferencia
de diámetro OQ, que corta
a la circunferencia dada en A y B

POLARIDAD
O
P
r
M
B
A
Q
3. Uniendo AB obtenemos
el eje radical de las dos circun-
ferencias, que corta a OQ en
el punto P, polo buscado

POLARIDAD
O
P
r
M
B
A
Q

Aplicando el concepto de potencia, hallar el segmento media proporcional
entre los segmentos a= 64 mm y b= 30 mm
Ejercicios de Potencia y eje radical
La media proporcional x a los segmentos a y b se obtiene
sabiendo que la potencia de un punto respecto de una
circunferencia es igual al cuadrado de la tangente trazada
desde el punto a la circunferencia, es decir,
x = a·b
a = 64
b = 30
2

a = 64
b = 30
1. Situamos el segmento a,
y en la misma recta situamos b,
haciendo coincidir uno de los
extremos de cada segmento
a
b
A C B

a = 64
b = 30
2. Se traza la circunferencia CB,
que es la diferencia de a-b.
a
b
A C B
O

a = 64
b = 30
3. Se traza la recta tangente a
la circunferencia O desde
el punto A, obteniendo así el
punto T
A
T
C B
O

a = 64
b = 30
4. El segmento AT es x, la media
proporcional entre a y b,
la solución del problema
A
T
x
C B
O

Sin utilizar una circunferencia auxiliar, determinar el eje radical de la circunferencia
de centro O1 y el punto O2
O1
O2

O1
O2
Sabemos que:
El radio de O2 es 0.
El eje radical de dos circunferencias coplanarias es una
recta cuyos puntos tienen la misma potencia respecto a
las dos circunferencias.
El eje radical de dos circunferencias es una recta
perpendicular a la recta que une sus centros.
Los puntos de tangencia T, de las rectas tangentes
trazadas desde un punto cualquiera a las circunferencias
iniciales, se encuentran en la circunferencia

O1
O2
1. Trazamos la recta
que une O1 y O2

O1
M
T1O2
2. Desde O2, dado que tiene de radio 0,
se determina la tengente a O1.
Obtenemos el punto de tangencia T1

O1
M
T1
P
O2
3. El eje radical, er, se obtiene trazando
por el punto medio P, de esta tangente,
la perpendicular a la recta que une los
centros O1 O2

O1
M
T1
P
O2
3. El eje radical, er, se obtiene trazando
por el punto medio P, de esta tangente,
la perpendicular a la recta que une los
centros O1 O2
er

O1
M
T1
T2
P
Q
O2
er
El valor de la potencia de un punto
cualquiera Q, perteneciente al eje radical
er, respecto a la circunferencia de centro
O2, es igual al cuadrado del segmento
tomado sobre una de las tangentes
trazadas desde Q cuyos extremos son Q y
el punto de tangencia T2, es decir, QT2 = K.
La potencia de dicho punto Q respecto a la
circunferencia de centro O2 y radio 0 es el
cuadrado de la distancia entre los puntos
Q y O2
K
K

Calcular el punto P, situado por encima de la recta O1O2, que tiene la misma
potencia respecto de las dos circunferencias dadas y desde el que el segmento O1O2
se ve bajo un ángulo de 30º
O1
O2

O1
O2
Sabemos que:
El arco capaz de un segmento O1O2 bajo un ángulo a es el conjunto de puntos desde los cuales se
ve el segmento O1O2 bajo un ángulo a.
El eje radical de dos circunferencias coplanarias es una recta, lugar geométrico de los puntos del
plano que tienen la misma potencia respecto a ambas.
El eje radical de dos circunferencias es una recta perpendicular a la recta que une sus centros.
Un punto del eje radical tiene igual potencia respecto a las circunferencias dadas.
Los puntos de tangencia T, de las rectas tangentes trazadas desde un punto cualquiera a las
circunferencias iniciales, se encuentra en una circunferencia

O1
O2
1. Se traza la recta que
une los centros O1 y O2

O1
O
O2
2. Se traza el arco
capaz (centro O) del
segmento O1O2 bajo el
ángulo de 30º
30º

O1
O
O2
3. Trazamos una
tangente exterior
cualquiera a las dos
circunferencias, que
nos da los puntos de
tangencia T1y T2
30º
T1
T2
RO2-RO1

O1
O
O2
30º
T1 M T2
4. Hallamos el punto
medio M del
segmentoT1T2

O1
O
T1 M T2
O2
30º
5. Trazamos la
perpendicular a la recta
que une O1 y O2 desde
el punto M, y obtenemos
el eje radical er de las
dos circunferencias
er

O1
O
T1 M T2
O2
6. El eje radical er corta
al arco capaz en el punto
P que buscamos.
Este punto tiene la misma
potencia K respecto de
las dos circunferencias
dadas y desde el que el
segmento O1O2 se ve
bajo un ángulo de 30º
30º
er
P

O1
O
30º
T1 M T2
O2
P que buscamos.
segmento O1O2 se ve
30º
er
P

O1
O
T1
T3
T4
M T2
O2
P que buscamos.
segmento O1O2 se ve
30º
er
P
K
K

Hallar el centro radical de las circunferencias de centros O1 y O2 y la recta r
O1
r
O2

O1
C
O2
r
1. Hallamos el eje radical
e1 de las circunferencias
O1 y O2, como ya se ha
estudiado anteriormente,
mediante una
circunferencia auxiliar OA

O1
P
C
O2
r
mediante una
circunferencia auxiliar C

O1
P
e1
C
O2
r
mediante una
circunferencia auxiliar C

O1
P
e1
C
O2
r= e2
2. En segundo lugar,
buscamos el eje radical
e2, entre O1 y la recta
dada. Como ya se ha
estudiado al comenzar el
tema, el eje radical entre
una circunferencia y
una recta está en la
propia recta, que es una
circunferencia con centro
en el infinito.

O1
P
e1
C
Cr
O2
r= e2
3. El Centro Radical de
O1, O2 y r es la
intersección entre los
ejes radicales e1 y e2

O1
P
e1
C
Cr
O2
T2
T1
T4
T3 r= e2
Si trazamos tangentes
del Cr a las dos
circunferencias podremos
trazar una circunferencia
con centro en Cr que
pasará por todos los
puntos de tangencia

Hallar el centro radical de las circunferencias de centros O1 y O2 y del punto O3
O1
O3
O2

Sabemos que:
El radio de la circunferencia de centro O3 es 0
El eje radical de dos circunferencias coplanarias es una recta, lugar geométrico de los puntos del plano que tienen la
misma potencia respecto a ambas.
El eje radical de dos circunferencias es una recta perpendicular a la recta que une sus centros.
Un punto del eje radical tiene igual potencia respecto a las circunferencias dadas.
Los puntos de tangencia T, de las rectas tangentes trazadas desde un punto cualquiera a las circunferencias iniciales,
se encuentra en una circunferencia.
El centro radical de tres circunferencias es el punto del plano que tiene la misma potencia respecto de las tres
circunferencias y se obtiene hallando el punto de intersección de los tres ejes radicales, tomando las circunferencias de
dos en dos
O1
O3
O2

1. Comenzamos trazando el eje radical
e1, de las circunferencias O1 y O3. En
primer lugar unimos ambos centros
O1
O3
O2

2. Desde O3, que es una circunferencia
de radio 0, trazamos la tangente a O1.
El punto de tangencia es R
O1
R
O3
O2

3. Trazando por el punto medio de la
tangente RO3, punto Q, una
perpendicular a la recta que une O1 y
O2, obtenemos el eje radical e1
O1
R
Q
e1
O3
O2

4. En segundo lugar, hallamos el eje
radical e2, entre las circunferencias
O1 y O2.
Para ello, comenzamos uniendo O1 y
O2
O1
R
Q
e1
O3
O2

5. Trazamos la tangente exterior a las
dos circunferencias O1 y O2, cuyos
puntos de tangencia respectivos son
N y M
O1
R
MN
Q
e1
O3
O2
Ro2 - RO1

6. Trazando la perpendicular a O1O2
desde el punto medio P de la tangente
trazada anteriormente, obtenemos el eje
radical 2, e2
O1
R
P MN
Q
e1
e2
O3
O2
Ro2 - RO1

7. El punto Cr de intersección de los dos
ejes radicales es el centro radical que
buscamos
O1
R
P MN
Q
Cr
e1
e2
O3
O2
Ro2 - RO1

Si trazamos una circunferencia de
centro Cr y radio CrO3, dicha
circunferencia pasará por los cuatro
puntos de tangencia de las tangentes de
Cr a O1 y O2
O1
T1 T2
T3
T4
R
P MN
Q
Cr
e1
e2
O3
O2
Ro2 - RO1

El punto Cr es el centro radical de tres circunferencias de centros O1, O2 y O3.
Determina el radio de las dos últimas
O2
O3
Cr
O1

O2
O3
Cr
O1
RECUERDA: Los puntos de tangencia de las rectas tangentes trazadas
desde el centro radical a las circunferencias iniciales, se encuentran en
una circunferencia

O2
O3
Cr
O1
T1
T2
1. Desde el centro radical Cr, se trazan las
tangentes a la circunferencia O1,obteniéndose
así los puntos de tangencia T1 y T2

O2
O3
Cr
O1
T1
T2
2. T1 y T2 pertenecen a una circunferencia de
centro Cr y radio k, por tanto dicha
circunferencia pasará por los puntos de tangencia
de Cr con las otras dos circunferencias

O2
O3
Cr
O1
T1
T2
T3
T4
T5
T6
3. Hallamos los puntos de tangencia entre O2 y
O3 y la circunferencia de centro Cr

O2
O3
Cr
O1
T1
T2
T3
T4
T5
T6
4. Teniendo los puntos de tangencia,
podemos trazar las dos circunferencias que
pide el problema

Calcula el punto P, situado a la izquierda de la recta OM, cuya raiz cuadrada de la
potencia, K, respecto de la circunferencia de centro O y el punto M es igual al segmento
cuya sección áurea es el segmento x
x
O
M

x
O
M
1. Calculamos el segmento m, que tiene
por sección áurea el segmento conocido x.
Hacemos la mediatriz de x.
M
A
C

x
O
M
2. Trazamos el arco AM, obteniendo así el
punto B
M
A
B
C

x
O
M
3. Trazamos la circunferencia de radio BA
haciendo centro en B
M
B
A
C

x
O
M
4. Trazamos el segmento CB y lo
prolongamos hasta que corte a la
circunferencia anterior en D
m
A
B
M
A
C
D

5. El segmento CD es m, segmento del
cual es sección áurea x
x
O
M
m=k
m
B
M
A
C
D

6. Con ayuda de una circunferencia auxiliar de centro C que pasa por M y es
secante a la circunferencia dada O, calculamos el eje radical er. Primero
trazamos la circunferencia auxiliar que pasa por M
x
O
C
M
m=k
m
B
M
A
C
D

x
O
C
M
m=k
m
7. Trazamos el eje radical e1 de C y O, que está
en la intersección de ambas
e1
B
M
A
C
D

x
O
C
M
e1
e2
m=k
m
8. Trazamos el eje radical e2 de C y M, que está
en la tangente a C en el punto M. La intersección de e1 y e2
produce el centyro radical Cr
B
M
A
C
D Cr

x
O
Cr
C
M
e1
e2
e3
m=k
m
9. Uniendo O y M por una recta y trazando una perpendicular
a la misma desde Cr obtenemos e3, el tercer eje radical que
buscamos.
B
M
A
C
D

x
O
C
M
P
e1
e2
e3
m=k
m = k
m
10. Trazando un arco desde M con la distancia m de radio, obtenemos
el punto P, que pertenece a e3 y dista la distancia m de M
B
M
A
C
D Cr

Hallar el centro radical Cr de las circunferencias de centros O1, O2 y O3.
Determinar gráficamente la raiz cuadrada de la potencia, K, del centro radical
respecto de las tres circunferencias
O2
O3
O1

1. Trazamos la circunferencia auxiliar de
centro C, secante a las tres circunferencias
dadas.
O2
O3
O1
C

2. Hallamos el eje radical e1
entre O1 y O2
O2
O3
O1
e1
C

3. Hallamos el eje radical e2, entre O1 y O3.
En la intersección de O1 y O2 estará el
centro radical Cr
O2
O3
O1
Cr
e1
e2
C

O2
O3
O1
T
Cr
e1
e2
C
4. La raiz cuadrada de la potencia, K, del centro radical
respecto de las tres circunferencias es el segmento CrT,
siendo T el punto de tangencia entre Cr y O1

El punto Cr es el centro radical del punto O y de dos circunferencias de centros
O1 y O2. Calcula el radio de esta última.
O1
Cr
O2
O

O1
Cr
O2
O
1. El segmento CrO es K, raiz cuadrada
de la potencia del punto Cr respecto de
las dos circunferencias O1 y O2
K

O1
Cr
O2
O
T
2. Desde O2 trazamos una tangente a la circunferencia
trazada desde Cr
K

O1
Cr
O2
O
T
3. el punto de tangencia T pertenece a la circunferencia
que buscamos, por tanto ya podemos trazarla
K

Sección áurea del segmento AB
y el segmento del cual es sección áurea el segmento AB
A B

A B
a AB desde uno de sus
extremos

A M B
2. Trazamos la mediatriz de AB

A M B
C
½ AB
3. Se traza el arco BM, que
corta a la primera perpendi-
cular trazada en el punto C

A M B
½ AB
C
4. Unimos A con C mediante
una recta

A M B
D
½ AB
C
5. Trazamos el arco CB,
que corta a la recta
anteriormente trazada
en el punto D

A M B
D
½ AB
C
BAaeruánóicces
6. El segmento AD es la
SECCIÓN ÁUREA de AB.

A M B
D
½ AB
C
sección áurea AB
7. Abatimos AD sobre AB
para tener la sección áurea
sobre el segmento

A
A
M B
D
½ AB
C
sección áurea AB
8. Para calcular el segmento del
cual es sección áurea AB,
completamos el arco CBD
en una circunferencia

A
A
M B
D
E
½ AB
C
sección áurea AB
9. La recta que pasaba por A, D
y C, se prolonga y corta la
circunferencia trazada en el
punto E

A
A
M B
D
E
½ AB
C
sección áurea AB
segmento del que es sección áurea AB
10. El segmento AE es el
segmento del cual es sección
áurea AB

Sabiendo que el lado de un pentágono regular es sección áurea de su diagonal,
dibujar dicho polígono conocidos dos de sus vértices, A y C, no consecutivos
A
Ejercicios de Sección Áurea
C

A
C
1. Primero hallaremos la sección áurea
de AC, En primer lugar, por el punto C
levantamos una perpendicular a la
diagonal diagonal AC

A
M
C
O
2. Calculamos la mitad de AC, punto M,
y trazamos el arco CM, mediante el cual
obtenemos el punto O sobre la primera
perpendicular trazada

A
M
C
O
3. Trazamos, con centro en O, el arco
de radio OC (OC = 1/2 diámetro)

A
M
P
C
O
4. Trazamos el segmento AO, que corta
al arco anterior en el punto P

A
M
P
C
O
5. El segmento AP = l, es la sección
áurea de AC, por tanto es el lado que
buscamos

A
M
P
B
C
O
6. Haciendo centro en A y C
respectivamente, se trazan sendos
arcos de radio l (AP), que se cortarán en
el punto B, vértice del pentágono.

A
M
P
E
D
B
C
O
7. Desde A y C, y con radio igual a la
diagonal dada (AC), trazamos sendos
arcos que cortarán a los arcos trazados
anteriormente en los puntos que faltan
para completar el pentágono, D y E

A
M
P
E
D
B
C
O
8. Uniendo los vértices
A, B, C, D y E,
definimos el pentágono.

Dibujar el rectángulo áureo cuyo lado menor mide 28 mm

28 mmA
P
1. Situamos el segmento
AP de 28 mm.

28 mmA
P
N 2. Trazamos el arco PA,
que corta a la perpendicular
trazada desde P en el
punto N

28 mmA
PM
N 3. Hallamos la mitad de AP,
punto M

28 mmA
PM
N
28 mmA
P
B
M
N 4. Trazamos el arco MN, y
obtenemos, sobre la
prolongación de AP, el
punto B, segundo vértice
del rectángulo

28 mmA
PM
N
28 mmA
CD
P
B
M
N
5. Trazamos la paralela
a AB desde N, y las
perpendiculares a AB
desde dichos puntos.
Así obtenemos el
rectángulo completo

Dibujar el rectángulo áureo cuyo lado mayor es AB
A BB

A BB
a AB desde uno de sus
extremos

A M B
2. Trazamos la mediatriz de AB

A M B
C
½ AB
3. Se traza el arco BM, que
corta a la primera perpendi-
cular trazada en el punto C

A M B
½ AB
C
4. Unimos A con C mediante
una recta

A M B
D
½ AB
C
5. Trazamos el arco CB,
que corta a la recta
anteriormente trazada
en el punto D

A M B
D
½ AB
C
BAaeruánóicces
6. El segmento AD es la
SECCIÓN ÁUREA de AB.

A M B
D
½ AB
C
BAaeruánóicces
en A con medida AD
(sección áurea de AB)

A M B
D
½ AB
C
F E
BAaeruánóicces
8. Trazamos el rectángulo
ABEF

Dibujar un cuadrado equivalente al rectángulo áureo cuyo
lado mayor es el segmento dado
B Am

B A
1.El lado menor x del rectángulo áureo es sección
áurea del mayor m. A partir de m calculamos su áureo, x
m

B Am

B
x
Am

B
x
x
Am

B
DC
x
x
Am
2.Teniendo x y m, podemos trazar el rectángulo

B
D NC
x
x
x
m
Am
3. Para trazar el cuadrado equivalente al rectángulo ABCD,
debemos tener en cuenta que el lado l del cuadrado ha
de ser media proporcional de m y x

B
DC
x
x
x
m
Am
4. AN es l : lado del cuadrado que buscamos,
el cateto media proporcional entre x y m (en
este caso se ha utilizado el teorema del cateto)
N
l

B
DC
x
x
x
m
Am
5. Una vez tenemos un lado, trazamos el
resto del cuadrado
N
l

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