SALGAMOS POR LA TANGENTE. EPVA 3º ESO

EPVA 3º ESO
SALGAMOS POR LA TANGENTE
TANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICAS
r T
T1
O
s
O
O1
T1
T2
s
R
R+R1
R1 T
O1
P
O
AB
1 3 5 7246
C
D
O1
O4
O2
T2
T1
T1
T2
O3
A
O1
O4
O3
O2
B
1
2
3
T1
T4T3
T2
Departamento de Dibujo del IES Camp de Túria. Pilar Cervera /Juan Díaz Almagro

O O O
r
r
B
A
t
T
EXTERIORES TANGENTES
POSICIONES RELATIVAS ENTRE UNA RECTA Y UNA CIRCUNFERENCIA
SECANTES

O1
O1
O1 O1
O2
O2
O2 O1O2 O
O1
O2
T
T
EXTERIORES INTERIORES
CONCENTRICAS TANGENTES
EXTERIORES
TANGENTES
INTERIORES
POSICIONES RELATIVAS ENTRE DOS CIRCUNFERENCIAS
SECANTES

PROPIEDADES DE LAS TANGENTES
o
r (recta TANGENTE)
o1
o2
T
T
Si dos circunferencias son tangentes,
el punto T de tangencia es un punto
que comparten ambas y está en la
recta que une sus centros
Si una recta es tangente a una circun-
ferencia, el punto de tangencia T
es el pie de la perpendicular trazada
por el centro O a la recta tangente

o
Si una recta es tangente a una circun-
ferencia, el radio en el punto de
tangencia es perpendicular a
la tangente
T (Punto de tangencia)
RECTA TANGENTE A UNA CIRCUNFERENCIA EN UN PUNTO T DE LA MISMA

o
1. Si una recta es tangente a una circunferencia, el radio en el punto de tangencia es perpendicular a la tangente
Si una recta es tangente a una circunferencia, el radio en el punto de tangencia es perpendicular a la tangente
1. Trazamos el radio OT de la
circunferencia, es decir, del
centro al punto de tangencia

o
1. Si una recta es tangente a una circunferencia, el radio en el punto de tangencia es perpendicular a la tangente
Si una recta es tangente a una circunferencia, el radio en el punto de tangencia es perpendicular a la tangente
2. Trazamos la perpendicular al radio OT
desde el punto T. Dicha recta es la
tangente la circunferencia dada

o
r (recta TANGENTE)
Si una recta es tangente a una circunferencia, el radio en el punto de tangencia
es perpendicular a la tangente

RECTAS TANGENTES A UNA CIRCUNFERENCIA PARALELAS A UNA DIRECCIÓN DADA
d
O

1. Trazamos una perpendicular
del centro O a la recta d,
prolongándola hasta cortar
a la circunferencia en dos
puntos, T1 y T2.
d
O
T1
T1

2. T1 y T2 son los puntos de tangencia
de las dos soluciones que buscamos,
las rectas t1 y t2, paralelas a d
en los puntos T1 y T2
d
O
T1
T1

r r r r
1. Situamos la escuadra, por
su lado más largo, justo sobre
el segmento
2. Colocamos el cartabón pegado
a uno de los otros dos
lados de la escuadra
3. Sujetamos muy fuerte el cartabón
y deslizamos suavemente la escuadra
sobre él hacia arriba o hacia abajo
para hacer las paralelas
correspondientes
Tenemoslarectaryqueremoshacerrectasparalelasporencimaypordebajo.Siguelospasosqueacontinuaciónseindican:
RECUERDA:
TRAZADO DE PARALELAS CON ESCUADRAY CARTABÓN

r r rr
1. Situamos la escuadra, por
su lado más largo, justo sobre
el segmento
2. Colocamos el cartabón pegado 2. Giramos la escuadra 90º
sobre el cartabóna uno de los otros dos
lados de la escuadra
4.Ahora podemos desplazar la
escuadra por el cartabón y hacer
stodas las perpendiculares que
queramos a la recta r
Tenemoslarectaryqueremoshacerrectasperpendicularesaesarecta.Siguelospasosqueacontinuaciónseindican:
TRAZADO DE PERPENDICULARES CON ESCUADRAY CARTABÓN
RECUERDA:

TRAZADO DE LAS RECTAS TANGENTES A UNA CIRCUNFERENCIA
DESDE UN PUNTO P EXTERIOR A ELLA
O
P

MO
P
M
r1
1. Trazamos el segmento OP
y su mediatriz

MO
P
M
T1
T2
2. Trazamos la circunferencia de
radio MO (=MP), que cortará a la
circunferencia dada en los puntos
T1 y T2, puntos de tangencia
de las rectas que buscamos

MO
P
M
T1
T2
r1
t1
t2
r2
3. Uniendo T1 y T2 con P, obtenemos
las rectas tangentes buscadas.
Para comprobar que están trazadas
correctamente, trazamos los
radios r1 y r2, que deben cortar
a t1 y t2 perpendicularmente.

TRAZADO DE LAS RECTAS TANGENTES COMUNES EXTERIORES
A DOS CIRCUNFERENCIAS DADAS
O1
O2

T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
O1
O2
r2
r1-r2
r2
r1
1.Se traza desde O1 una circunferencia de
radio igual a la diferencia entre O1 - O2

MO1
O2
2. Se unen O1 y O2 mediante una recta y
se le calcula la mediatriz.
A continuación se traza una circunferencia
con centro en M y radio M-O1,
que corta a la trazada anteriormente
en A y B.
B
O1
r1-r2
r2
r1
r2
A

M
A
B
O1
O2
r2
r1-r2
r2
r1
De esta manera estamos simplificando
el problema al caso de tangente
entre punto y circunferencia
(el punto sería O2, y la circunferencia
la de radio O1 menos O2)

M
A
B
O1
O2
la de radio O1 menos O2)

M
A
B
T1
T2
O1
O2
r2
r1-r2
r2
r1
3. Una vez realizadas estas dos tangentes
provisionales, se prolongan los radios O1A
y O1B, hasta que corten a la circunferencia
dada de centro O1. Estos dos puntos serán
T1 y T2, los puntos de tangencia de ésta
circunferencia.

M
A
B
T1
T2
T3
t1
t2
O1
O2
r2
r1-r2
r2
r1
4. Se traza el radio paralelo a O1-T1 desde
O2, así obtenemos T3 y por lo tanto la
primera solución, la recta tangente t1

M
A
B
T1
T2
T3
t1
t2
T4
O1
O2
r2
r1-r2
r2
r1
5. Se traza el radio paralelo a O1-T2 desde
O2, así obtenemos T4 y por lo tanto la
segunda solución, la recta tangente t2

TRAZADO DE LAS RECTAS TANGENTES COMUNES INTERIORES
O1
O2

O1
O2
1. Este caso es similar al anterior. también se
resuelve simplificando el problema al de
tangencia entre un punto y una
circunferencia, pero en este caso en lugar
de restar los radios de las circunferencias,
los sumamos. De esta manera, trazamos
con centro O1 una circunferencia auxiliar
O3 de radio O1-O2
r1+r2
r1
r2
=O3

M
O1
O2
2. Trazamos la mediatriz de O1(O3)-O2,
y trazamos la circunferencia MO2, que corta
a la circunferencia O3 en los puntos A y B
A
B
r1+r2
r1
r2
=O3

T8. TANGENCIAS Y Rectificaciones
M
O1
O2
A
B
r1+r2
r1
r2
=O3
la de radio O1 más O2)

M
O1
A
B
O2
r1+r2
r1
r2
T1
T2
3. Unimos el centro O1 con A y con B, y
dichas rectas cortan a la circunferencia O1
en los puntos de tangencia T1 y T2.
=O3

M
O1
A
B
O2
r1+r2
r1
r2
T1
T2
T3
t1
4. Si trazamos una paralela a O1T1 desde
O2, pero en este caso por el lado contrario
del centro O2, obtendremos el punto de
tangencia T3
=O3

M
O1 =O3
A
B
O2
r1+r2
r1
r2
T1
T2
T3
T4
t1
t2
5. Si trazamos una paralela a O1T2 desde
O2, También por el lado contrario del centro
O2, obtendremos el punto de tangencia T4, y
uniendo T2 y T4 obtendremos la recta
tangente t2

TRAZADO DE LAS CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A UNA RECTA s EN UN
PUNTO DE ELLA T, CONOCIDO EL RADIO DE LAS SOLUCIONES
r
T
R

r
T
O1
O2
R
R

r
T
O1
O2
R
R
R
R

TRAZADO DE LA CIRCUNFERENCIA TANGENTE A UNA RECTA r EN UN PUNTO
T DE ELLA Y QUE PASA POR UN PUNTO P DADO
r
T
P

TRAZADO DE LA CIRCUNFERENCIA TANGENTE A UNA RECTA r EN UN PUNTO
T DE ELLA Y QUE PASA POR UN PUNTO P DADO
r
T
P
o

CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A UNA RECTA r, QUE PASAN POR UN PUNTO P
Y QUE TIENEN UN RADIO DADO
r
P
R

r
P
R
R

r
R
R
P
O1 O2
R

r
R
R
P
O1
T1 T2
O2
R

r
P
O1
T1 T2
O2
R
R
R

CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A DOS RECTAS r Y s QUE SE CORTAN,
CONOCIDO EL RADIO R DE LAS SOLUCIONES
s
r
R

s
r
R
R
R

s
O1
O2
O3
O4
r
R
R
R
R
R
R
R

s
O1
T1
T8
T7
T6
T5
T4
T3
T2
O2
O3
O4
r
R
R
R
R
R
R
R

ENLACES
Se llama enlace o empalme, en los trazados
geométricos, a la unión de rectas con curvas
o de curvas entre sí, efectuadas por medio de
su punto de tangencia.
Este punto común es el que permite la transición
suave de unas a otras sin brusquedades
de ningún tipo.
r T
T1
O
s
O
O1
T1
T2
s
R
R+R1
R1
T
O1
P
O

ENLACES
ENLACE ENTRE DOS RECTAS r Y s, PERPENDICULARES ENTRE SÍ,
CONOCIENDO EL PUNTO DE TANGENCIA T EN LA RECTA r
r T
s

ENLACES
r T
s
Sabemos que el arco que buscamos
será tangente a r en T, por tanto su
centro estará en la perpendicular a r
trazada desde T

ENLACES
r T
O
s
También sabemos que el centro de un arco
tangente a dos rectas que se cortan se
encuentra en la bisectriz del ángulo
que dichas rectas forman

ENLACES
r T
T1
O
s
Para hallar el punto de tangencia en s,
trazamos la perpendicular a s desde O

ENLACES
r T
T1
O
s
Teniendo O, T y T1, podemos
trazar el arco que enlaza r y s

ENLACES
R
r
s
ENLACE ENTRE DOS RECTAS r Y s OBLICUAS ENTRE SÍ,
CONOCIENDO EL RADIO R DEL ARCO QUE LAS ENLAZA
POR LA PARTE EN LA QUE SE APROXIMAN UNA A LA OTRA

ENLACES
R
r
s
El centro de un arco
tangente a dos rectas que se cortan se
que dichas rectas forman

ENLACES
R
O
r
r
r
s
El arco de radio R será tangente a las rectas
r y s en aquellos puntos donde dos de sus
radios sean perpendiculares a r y s
respectivamente, por tanto el centro O
estará a distancia R de las dos rectas,
es decir, en la unión de las paralelas
a r y s a la distancia R

ENLACES
R
T1
T2
O
r
s
Para calcular los puntos de tangencia,
trazamos perpendiculares desde O a r y s
r
r

ENLACES
R
T1
T2
O
r
s
Una vez calculados los puntos de tangencia,
podemos trazar el arco de enlace entre r y s
r
r

ENLACES
T1
T1
T2
T2
O
O
r r
s s
En el problema anterior, si no conocemos el vértice
del ángulo entre r y s, trazando las paralelas
obtenemos el punto O
Si conocemos el vértice, basta con hallar la bisectriz
del ángulo y trazar una paralela a r o s a la distancia
R y obtendremos el centro O
r r
r

ENLACES
CONOCIENDO EL PUNTO T DE TANGENCIA EN LA RECTA r
r
s
T

ENLACES
r
d
d
s
T
V
Como ya sabemos, el centro de un arco
tangente a dos rectas oblicuas entre sí se
que dichas rectas forman.
En el caso que no veamos el vértice
de dicho ángulo, trazamos dos
paralelas a r y s respectivamente
a una distancia d arbitraria.
Así conseguiremos un ángulo de vértice V
cuya bisectriz coincide con la de r y s

ENLACES
r
d
d
s
T
OV
Para calcular el centro del arco
que buscamos trazamos por T
una perpendicular a la bisectriz
hallada anteriormente.
Donde dicha perpendicular corta
a la bisectriz está el centro O
del arco que buscamos

ENLACES
r
d
d
s
T
T1
OV
Trazando una perpendicular a s desde O
conseguimos el otro punto de tangencia T1

ENLACES
r
d
d
s
T
T1
OV
Trazamos el arco OT

ENLACES
r
d
d
s
T
T1
OV
El enlace es la unión de
r-arco-s

Inscribe en un cuadrado cuatro circunferencias tangentes entre sí.
1. Trazamos el CUADRADO correspondiente
A
D
B
C

2. Trazamos las DIAGONALES del cuadrado
A
D
B
C

3. Trazamos dos perpendiculares por el centro del cuadrado
desde la mitad de cada uno de los lados
A
D
B
C

4. Trazamos la BISECTRIZ del ángulo que forma el lado AB del
cuadrado con la diagonal AC, que cortará en O1 a la mediatriz
de AB
A
D
B
C
O1

5. Dibujamos la circunferencia de centro O1
A
O1
T1 T2
T3
D
B
C

6. Una vez tenemos O1, ya podemos calcular el resto de centros
de circunferencias. Haciendo centro en el centro del cuadrado
trazamos una circunferencia que corte a la mediatriz de BC y DC en
O2, O3 y O4
A
O1
O2
O3
O4
T1 T2
T3
D
B
C

7. Trazamos el resto de circunferencias
A
O1
O2
O3
O4
T1 T2
T3
D
B
C

Traza circunferencias de radio 15 cm. tangentes a las circunferencias del dibujo
O1
O2

1. Trazamos las circunferencias concéntricas a las dadas
aumentando sus radios 15 mm.
O1
O2 r2 + 15
r1 + 15
r2
r1

2. Los puntos donde se cortan dichas circunferencias son los
centros de las circunferencias tangentes buscadas
O1
O4
O3
O2

3. Unimos los centros de las circunferencias dadas con
los de las circunferencias tangentes, así obtenemos los
puntos de tangencia T1, T2, T3 y T4, fundamentales para
trazar las circunferencias resultado
O1
O4
O3
T1 T2
T4
T3
O2

4. Trazamos las circunferencias O1 y O2, tangentes a las
circunferencias dadas.
O1
O4
O3
O2
T1 T2
T4
T3

Reproduce la siguiente pieza a escala 1:1. La medidas están expresadas en mm.
12
28
56
46
12

1. Trazamos dos ejes perpendiculares y haciendo centro en la intersección de
ambos trazamos las dos circunferencias centrales concéntricas (14 y 23 mm.
de radios, ya que sus diámetros miden 28 y 46 respectivamente)
14
23
12
28
56
46
12

2. Hallamos la situación de los centros de las circunferencias de los extremos,
a 56 mm de distancia en el eje mayor
14
23
56
12
28
56
46
12

2. Trazamos las circunferencias pequeñas ( 6mm. de radio) y los arcos de
circunferencia de los extremos (12 mm. de radio).
12
6
56
12
28
56
46
12

3. El resto del dibujo se resuelve con el procedimiento de rectas tangentes
exteriores a dos circunferencias
56
T1
T2
12
28
56
46
12

56
T1
T3
T4
T2
12
28
56
46
12

56
T1 P
Q
T3
T4
T2
T5
T6
T7
T8
12
28
56
46
12

ESPIRAL DE BASE UN SEGMENTO (DE DOS CENTROS)
AB

AB
1

AB
1
paso
2

AB
1 32

AB
1 324

AB
1 3 524

AB
1 3 5246

AB
1 3 5 7246

VOLUTA DE BASE TRIANGULAR (ESPIRAL DE TRES CENTROS)
A
C
B

A
C
B
1

A
C
B
1
2

A
C
B
1
2
3
paso

A
C
B
1
2
3
4

A
C
B
1
2
5
3
4

A
C
B
1
2
5
36
4

VOLUTA DE BASE CUADRADA (ESPIRAL DE CUATRO CENTROS)
D C
A B

D C
A B

D C
A
1
B

D C
A
1
2
B

D C
A
1
3
2
B

D C
A
1
4
3
2
B
paso

D C
A
1
5
4
3
2
B

D C
A
1
5
4
3
2 6
B

D C
A
1
5
4
3
7
2 6
B

D C
A
1
5
48
3
7
2 6
B

D C
A
1
5
9
48
3
7
2 6
B

D C
A
1
5
9
48
3
7
2 6 10
B

CONSTRUCCIÓN DEL ÓVALO CONOCIDO EL EJE MAYOR (de tres partes)
A B

A O1 O2
B
1
2
3

A O1
O4
O3
O2
B
1
2
3

A O1
T1
T4T3
T2
O4
O3
O2
B
1
2
3

A O1
O4
O3
O2
B
1
2
3
T1
T4T3
T2

T9. CURVAS TÉCNICAS. Óvalo, Ovoide, Espiral y Voluta
B
C
A
D
CONSTRUCCIÓN DEL ÓVALO DE CUATRO CENTROS CONOCIDOS LOS DOS EJES

B
C
A
d
d
D

B
O2
O1
C
D
A
d
d

B
O2
O4
C
D
A
d
d
O1

B
O2
O4
C
D
A
O1

B
O2
T2
T1
T3 T4
O4
C
D
A
O1

B
O2
O3
O4
T1
T4
T3
T2
C
D
A
O1

CONSTRUCCIÓN DEL OVOIDE CONOCIDO EL EJE MENOR
C
D

TANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICASTANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICAS
C
D
O1
O3
O2

C
D
O1
O4
O2
O3

C
D
O1
O4
O2
T2
T1
T1
T2
O3

TANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICASACTIVIDADES. PROPUESTA 1. EL TUBO Y LA PASTA DE DIENTES
Siguiendo las instrucciones que aparecen en esta hoja (y que te entregara con más claridad el/la profesor/a de la asignatura),
reproduce este dibujo realizado a base de enlaces de tangencias.

TANGENCIAS, ENLACES, ESPIRALES Y CURVAS TÉCNICASACTIVIDADES. PROPUESTA 2. EL GATO ENTANGENCIADO
En este caso, se trata de dibujar este gato realizado a partir de tangencias, enlaces, óvalos y un ovoide.
Las instrucciones en este caso aparecen dadas en las cotas (medidas) indicadas en el modelo.

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