Apuntes de Introducción a los polígonos y a las rectas y puntos notables de los triángulos.

1. POLÍGONOS
TRIÁNGULOS
Características Generales
Rectas y puntos notables
Circunferencias vinculadas
C
BA
b
a
c
ha hb
H
hc

2. IES Camp de Túria. Departamento de Dibujo. DIBUJO TÉCNICO I. 1º Bachillerato
POLÍGONO:
Polígono es la porción del plano limitada por
rectas que se cortan dos a dos.
Elementos de un polígono:
LADOS: Son los segmentos que lo limitan (a, b, c, d).
VÉRTICES: Son los extremos de los lados (A, B, C, D).
ÁNGULOS: Son los que forman cada dos lados
consecutivos ( a, b, g, e )
CONTORNO: Es la línea quebrada que forman sus lados.
PERÍMETRO: Es la suma de sus lados (a + b + c + d).
DIAGONAL: Es el segmento que une dos vértices no
consecutivos.
Ÿ
Ÿ
Ÿ
Ÿ
Ÿ
Ÿ
CLASIFICACIÓN DE LOS POLÍGONOS
P. EQUILÁTEROS P. EQUIÁNGULOS P. REGULARES
POLÍGONOS I. Característica Generales. Triángulos 1
POLÍGONO
A
C
D
a
a
a
g
b b b
g ge
a a
a = b = g = e a = b = g = e
a = b = c = d
e
e
g
b
b
c
d
B
lanogaid
Según el número de lados, los polígonos se llaman:
Si seguimos aumentando el número de lados conseguiremos el UNDECÁGONO (11 lados),
DODECÁGONO ( 12 lados) POLÍGONO DE TRECE LADOS, POLÍGONO DE 14 LADOS, PENTADECÁGONO...
Los que tienen todos
sus lados iguales
Los que tienen todos
sus ángulos iguales
Son equiláteros y equiángulos
a la vez. Todos los que no
son regulares son IRREGULARES
TRIÁNGULO
Tres lados
HEPTÁGONO
Siete lados
CUADRILÁTERO
Cuatro lados
OCTÓGONO
Ocho lados
PENTÁGONO
Cinco lados
ENEÁGONO
Nueve lados
HEXÁGONO
Cinco lados
DECÁGONO
Diez lados
a
c
d
d
a
b
c a c
b
b
a = b = c = d

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POLÍGONOS CÓNCAVOS Y CONVEXOS
POLÍGONO INSCRITO Y POLÍGONO CIRCUNSCRITO A UNA CIRCUNFERENCIA
POLÍGONOS CONVEXOS
POLÍGONOS CÓNCAVOS
POLÍGONO CONVEXO
es el que se encuentra
por entero en el semiplano
que define una recta que
pasa por uno cualquiera
de sus lados.
POLÍGONO CÓNCAVO
Es cóncavo si no se encuentra
por completo en el
semiplano que define
una recta que pasa por
cualquiera de sus lados.
El polígono cóncavo puede
ser cortado en más de
dos puntos por una recta.
El polígono convexo sólo
puede ser cortado en
dos puntos por una recta
coplanaria con él.
semiplano
semiplano
semiplano semiplano
semiplanosemiplano
semiplano
semiplano
P
P
P
Q
Q
S
S
R
R
P
Q Q
POLÍGONO INSCRITO
en una circunferencia es aquel
que tiene sus vértices
apoyados en la circunferencia.
A su vez, la circunferencia
es circunscrita al triángulo.
POLÍGONO CIRCUNSCRITO
a una circunferencia es aquel
cuyos lados son
tangentes a la circunferencia.
A su vez, la circunferencia
está inscrita en el triángulo.
IA CC IRN CE UR
N
E
S
F
C
N
R
U
I
C
TA
RIC
CIRCUNFERENCIA INSCRITA
POLÍGONOS I. Característica Generales. Triángulos 2

4. A + B + C = 180º
A B + C
B A + C
C A + B
TRIÁNGULOS
Los triángulos son figuras planas formadas por tres puntos no
alineados y por tres segmentos que los unen dos a dos (los tres
puntos son los vértices y los tres segmentos los lados.
Los VÉRTICES se designan con letras mayúsculas.
El orden de los vértices es el contrario de
las agujas del reloj
Los ÁNGULOS se designan con letras mayúsculas oletras
griegas ( a, b, g )
Los LADOS se designan por las letras de sus extremos
o por una letra minúscula igual a la del vértice opuesto
( lado AB o c)
PROPIEDADES FUNDAMENTALES DE LOS TRIÁNGULOS
PERÍMETRO DE UN TRIÁNGULO
1. La suma de los ángulos interiores vale 180º
2. Cada lado tiene que ser menor que la suma
de los otros dos y mayor que su diferencia.
3. A mayor lado se opone mayor ángulo
La consecuencia de que la suma de ángulos de 180º es la siguiente:
El perímetro de un triángulo es la suma de todos sus lados. Se expresa por 2p.
2p = a + b + c
A
A
a
g
a
b
b
c
c
C
C
B
B
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b
g
a
A
a
c
b
2p
C´ C´´B
C
Un triángulo sólo puede tener un ángulo recto u obtuso y
entonces los otros dos han de ser agudos.
a a
a
ab b
b
g g
g
POLÍGONOS I. Característica Generales. Triángulos 3

5. TRIÁNGULOS
RECTAS Y PUNTOS NOTABLES. CIRCUNFERENCIAS VINCULADAS
BISECTRICES. INCENTRO
BISECTRICES EXTERIORES. EXINCENTROS
A
A
EB
EC
EA
I
I
B
B
C
C
ba
ab
c
bb
bc
Los tres ángulos interiores (A, B y C)
tienen sus bisectrices
correspondientes (ba , bb, bc )
que se cortan en un punto I
llamado incentro, que equidista de
los tres lados a, b y c, siendo centro
de una circunferencia tangente a ellos:
la circunferencia inscrita al triángulo.
La bisectriz como magnitud es el
segmento
de bisectriz comprendido entre el
vértice y el lado opuesto.
Las bisectrices de los ángulos
adyacentes a los interiores, se
cortan entre sí y con las bisectrices
antes descritas en tres puntos:
Ea ,Eb ,Ec que equidistan de
las tres rectas;
a estos puntos se les denomina
exincentros y son centros de
tres circunferencias exinscritas
al triángulo.
Evidentemente se verifica que:
• Cada bisectriz exterior es
perpendicular a su respectiva
interior.
• Cada exincentro pertenece a
la bisectriz interior del ángulo
que los comprende y también a
las exteriores de las otras dos.
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BASE DE UN TRIÁNGULO ÁNGULO EXTERIOR DE UN TRIÁNGULO
Base de un triángulo
Es un lado cualquiera.
A menudo se llama base al
lado horizontal sobre el
cual parece que
descansa el triángulo.
ÁNGULO EXTERIOR
Es el formado por un lado y la prolongación de otro.
Es igual a la suma de los dos interiores no adyacentes,
por tanto mayor que cualquiera de ellos.
abase
POLÍGONOS I. Característica Generales. Triángulos 4

6. TRIÁNGULOS
RECTAS Y PUNTOS NOTABLES. CIRCUNFERENCIAS VINCULADAS
ALTURAS Y ORTOCENTRO
MEDIATRICES Y CIRCUNCENTRO
A
A
P
R
Q
Mc
Mb
Ma
Ma
Md
Md
C
I
B
B
C
BA
b
a
c
ha hb
H
hc
D
D
mb
ma
md
Las tres mediatrices ma, mb y mc se cortan
en el punto C, llamado circuncentro, que
equidista de los vértices y, por tanto, es centro de
una circunferencia que pasa por los tres vértices
A, B y C: es la denominada
circunferencia circunscrita al triángulo.
• Dado que el triángulo que tienen por vértices
los pies Ma , Mb ,Md de las mediatrices tiene
sus lados respectivamente palalelos a los del
ABD (paralelas medias), resulta que el
circuncentro
de este último es ortocentro del primero.
• La circunferencia circunscrita contiene a los
respectivos arcos capaces de los ángulos interiores
del triángulo.
Ÿ Las mediatrices de los lados de todo triángulo
cortan a la circunferencia circunscrita en los
puntos medios, P,Q,R, de los respectivos arcos
que completan los capaces de sus ángulos
interiores. Por tanto, dichos
puntos pertenecen a las bisectrices interiores
del triángulo; esto es, la mediatriz de un lado y
la bisectriz de su ángulo opuesto se cortan en
un punto de la circunferencia circunscrita.
Además, las bisectrices exteriores (no dibujadas)
pasan por los diametralmente opuestos
a P,Q, R.
• Los pies (Ma , Mb , Md) de las perpendiculares
trazadas desde el circuncentro a cada uno de los
lados del triángulo, son a su vez puntos extremos
o de intersección de las medianas del
triángulo con los lados de éste .
C
Se denominan alturas a las distancias
perpendiculares de cada vértice al lado opuesto.
Se designan por h con el subíndice correspondiente
a su vértice, ha, hb , hc .
Sus pies se designan por Ha ,Hb ,Hc .
Las tres alturas se cortan en un punto H llamado
ortocentro .
Se denomina triángulo órtico o pedal al que
tiene por vértices los pies Ha ,Hb ,Hc de las alturas
del triángulo considerado. Dichas alturas
son bisectrices de su triángulo órtico y, por tanto,
el ortocentro de un triángulo acutángulo es el
incentro de su triángulo órtico.
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POLÍGONOS I. Característica Generales. Triángulos 5

7. TRIÁNGULOS
RECTAS Y PUNTOS NOTABLES. CIRCUNFERENCIAS VINCULADAS
MEDIANAS Y BARICENTRO
A
Mb Ma
Mc
B
B
C
ma
2/3
1/3
mb
mC
Llamamos medianas a los segmentos
ma, mb, mc
que unen cada uno de los vértices del triángulo
con el punto medio de su lado opuesto.
Se cortan en un punto B llamado baricentro o
centro de gravedad del triángulo.
• En las medianas de cualquier triángulo el baricentro
está a 1/3 del punto medio del lado y a 2 /3
del vértice opuesto. La recta que une los puntos
medios de dos lados es la paralela
media al tercer lado y mide la mitad de éste.
• El triángulo definido por los puntos medios
Ma, Mb ,Mc de los lados de un triángulo dado, es
semejante a dicho triángulo (TRIÁNGULO
COMPLEMENTARIO) y corta a sus medianas
en su punto medio. Es decir, las paralelas a
los lados de un triángulo por su vértice opuesto
forman un triángulo semejante al primero, cuyos
lados miden el doble y sus medianas también.
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Ejercicio de construcción de un triángulo rectángulo
Construcción de un triángulo rectángulo sabiendo que la altura sobre la hipotenusa mide 3 cm, y la proyección
de uno de sus catetos sobre la hipotenusa mide 2 cm. Una vez dibujado, determina su baricentro,
circuncentro e incentro, indicando cual es cada uno de ellos
1. Sobre una recta r, dibujamos el segmento MC = 2 cm
(proyección del cateto sobre la hipotenusa), y en el punto
M trazamos una perpendicular a r que mida 3 cm (
altura sobre la hipotenusa). Así obtenemos el vértice A
3. El punto N es el BARICENTRO, se obtiene en la
intersección de las medianas del triángulo.
El ORTOCENTRO es donde se cortan las alturas,
que en este caso coincide con el punto A (la altura de b
coincide con el lado c y la hc coincide con el lado b)
4. El CIRCUNCENTRO P se obtiene donde se cortan las
mediatrices. (En este caso coincide con el lado BC).
Y por último, el INCENTRO O donde se cortan las
bisectrices.
2. Por A trazamos una perpendicular a AC que corta a
r en el vértice B. Uniendo ABC tenemos el triángulo que
se pide.
r
r r
Mc Mb
Ma
r
M M
A
A A
A
B
B
N
hb=c
hc=b
a
ha
B P
O
B
20 mm
30mm
20 mm
C
C C
C
POLÍGONOS I. Característica Generales. Triángulos 6