1. CIRCUITOS DIGITALES – SISTEMAS DE NUMERACIÓN J. Gómez-García
Tema 1:
Sistemas de Numeración

2. CIRCUITOS DIGITALES – SISTEMAS DE NUMERACIÓN J. Gómez-García
• Método para representar cantidades numéricas mediante
símbolos (dígitos) y sus combinaciones.
• Utilizan un conjunto finito de símbolos o dígitos para
representar un conjunto infinito de números, ya sean naturales,
enteros, racionales o reales.
• Algunos son bastante conocidos...
SISTEMA UNARIO:
• Un solo dígito (palote). Se repite el dígito tantas veces como
el valor de la cantidad representada: IIIIII=seis.
• Útil para números naturales pequeños.

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SISTEMA ROMANO:
• Dígitos: I, V, X, L, C, D, M (uno, cinco, diez, cincuenta, cien,
quinientos, mil)
• El valor de los símbolos es aditivo, salvo si uno o más de
menor valor se encuentran a la izquierda de uno de mayor
valor, en cuyo caso se sustrae el valor, en cuyo caso se sustrae
el valor de aquellos.
• No se escriben más de tres dígitos iguales consecutivos.
• Pensado para números naturales no demasiado grandes.
• MMII: dos mil dos
• MIIM: mil novecientos noventa y ocho.
• MCMLXVII: mil novecientos sesenta y siete

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SISTEMA DECIMAL (ÁRABE):
• Dígitos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 , 9.
• Los dígitos representan el cero y los nueve primeros números
naturales.
• El valor de los símbolos es aditivo, pero su valor (peso) depende
de la posición que ocupan: unidades, decenas, centenas...
1975: mil novecientos setenta y cinco
1975 = 1x103+9x102+7x101+5x100
• Pensando para números naturales, puede representar número
enteros incorporando el signo (+ ó -) y números racionales si se
incorpora el punto (, ó .)
• Es un sistema en base 10:
10 son los dígitos
10 es el peso relativo de cada cifra respecto de la que se
encuentra a la derecha.

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• Generación de los números (cómo se cuenta):
Los nueve primeros números naturales se representan por los
dígitos correspondientes:
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,
Acabadas las cifras, se pasa de nuevo al cero y se añade una
segunda cifra:
10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19
Incrementando esta primera cifra al terminar en 9:
20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29
30, 31, 32, ...
90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99
Añadiendo más cifras cuando se acaban los dígitos (al llegar a
número con todas sus cifras nueve):
100, 101, 102, 103, ..., 109, 110, 111, ..., 999, 1000, 1001

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SISTEMAS DE NUMERACIÓN CON BASE:
• Base n: n dígitos
• Los dígitos representan el cero y los n-1 primeros números
naturales.
• El valor de los símbolos es aditivo, pero su peso depende de la
posición que ocupan en la cifra:
Numerando la posición (p) de los dígitos desde la derecha,
comenzando por el cero.
El peso de cada dígito es su valor intrínseco multiplicado
por np

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SISTEMAS BINARIO NATURAL:
• Dígitos: 0, 1 (Cero, Uno)
Es un sistema en base 2:
•2 son los dígitos.
•2 es el peso relativo.
•Formato: AnAn-1...A7A6A5A4A3A2A1A0 Subíndice (n) el peso relativo (2n)
• Pensado para números naturales, puede representar números
enteros incorporando el signo (+ ó -) y números racionales si se
incorpora la coma o punto (, ó .)
• Generación de los números (cómo se cuenta):
0, 1 (0, 1) se acaban los dígitos, añadir:
10, 11 (2, 3) se acaban los dígitos, añadir:
100, 101, 110, 111 (4, 5, 6, 7)
1000, 1001, 1010, 1011, 1100, 1101, 1110, 1111 (8 a 15)

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CONVERSIÓN DE BINARIO A DECIMAL:
• Multiplicar cada dígito por su peso y sumar todos los valores:
(11110100101)2=
=(1x210+1x29+1x28+1x27+0x26+1x25+0x24+0x23+1x22+0x21+1x20)10=
=(1024+512+256+128+32+4+1)10=(1957)10
• Necesidad de conocer las potencias sucesivas de 2:
1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, ..., 64536, ..., 1048576
• Que se corresponden con los exponentes:
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ......, 16, ........, 20
• Algunas potencias interesantes:
24=16; 28=256; 210=1024=1K
216=64536=26·210=64K; 220=1024K=1M

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CONVERSIÓN DE DECIMAL A BINARIO:
• Dividir sucesivamente por 2, anotando los restos
(desde el punto hacia la izquierda)
Cociente Resto
1957/2 = 978 1
978/2 = 489 0
489/2 = 244 1
244/2 = 122 0
122/2 = 61 0
61/2 = 30 1
30/2 = 15 0
15/2 =7 1
7/2 =3 1
3/2 =1 1
1/2 =0 1
Utilizando los restos: 1957=11110100101

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MAGNITUDES INFERIORES A LA UNIDAD:
• De la mima forma que en decimal se incorpora un “punto
decimal” entre la parte entera y la parte fraccionaria, se puede
incorporar un “punto binario”:
(1957.8125)10 = (1957)10 + (0.8125)10
• El peso de cada dígito a la derecha del punto en el sistema
decimal es una potencia negativa de 10, siendo el primero de
ellos 10-1 (décimas), el segundo 10-2 (centésimas), etc.
• Se puede generalizar a otros sistemas con base diferente de 10,
como el binario, de forma que los pesos de los dígitos son
potencias negativas de 2, empezando por 2-1:
(11110100101.1101)2=(1957.8125)10

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CONVERSIÓN DE BINARIO A DECIMAL:
• Multiplicar cada dígito por su peso y sumar todos los valores:
(0.1101)2 = (1x2-1+1x2-2+0x2-3+1x2-4)10 =
= (1x0.5+1x0.25+0x0.125+1x0.0625)10 = (0.8125)10
CONVERSIÓN DE DECIMAL A BINARIO:
•Multiplicar sucesivamente por 2 la parte fraccionaria, atendiendo
a la parte entera generada, que va conformando el número:
(desde el punto hacia la derecha)
Producto Parte entera
0.8125 x2 = 1.625 1
0.625 x2 = 1.25 1
0.25 x2 = 0.50 0
0.50 x2 = 1.00 1
El número: (0.8125)10=(0.1101)2

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SISTEMA HEXADECIMAL:
• Sistema en base 16.
• Dígitos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F
• Los dígitos representan el cero y los 15 primeros números
naturales: A diez B once C doce
D trece E catorce F quince
• Debido a que la base (16) es una potencia de 2 (16=24), surge
una relación especial entre los sistemas hexadecimal y binario
natural.
• Generación:
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F, (0 al 15)
10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 1A, 1B, 1C, 1D, 1E, 1F, (16 al 31)
20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 2A, 2B, 2C, 2D, 2E, 2F, (32 al 47)
30, ..., 90, 91, 92, ..., 9F, A0, A1, A2, A3,...A9, AA, ...FF,

13. CIRCUITOS DIGITALES – SISTEMAS DE NUMERACIÓN J. Gómez-García
CONVERSIÓN HEXADECIMAL A DECIMAL:
• Multiplicar cada dígito por su peso y sumar todos los valores
(recordar que los pesos son potencias de 16)
(7A5)16 = (7x162+10x161+5x160)10 = (1957)10
CONVERSIÓN DE DECIMAL A HEXADECIMAL:
• Dividir sucesivamente por 16, anotando los restos:
Cociente Resto
1957/16 = 122 5
122/16 = 7 10=A
7/16 =0 7
(1957)10=(7A5)16

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CONVERSIÓN HEXADECIMAL A BINARIO:
• Convertir cada dígito hexadecimal en su equivalente binario)
(7A5)16 = (0111 1010 0101)2
CONVERSIÓN DE BINARIO A HEXADECIMAL:
• Agrupar los bits de cuatro en cuatro desde el punto hacia la
derecha y convertir cada grupo en su dígito hexadecimal:
(11110100101)2 = (111 1010 0101)2 = 7A5

15. CIRCUITOS DIGITALES – SISTEMAS DE NUMERACIÓN J. Gómez-García
SISTEMA BCD:
• BCD: decimal codificado en binario
• Sistema en base mixta decimal y binaria (????)
• Dígitos: 0, 1 (????)
• Inspirado en el sistema decimal, pero pasado a binario para
poder ser manejado en sistemas digitales.
• Formato: A32A22A12A02 A31A21A11A01 A30A20A10A00
CONVERSIÓN DE DECIMAL A BCD:
• Convertir a binario cada uno de los dígitos decimales,
empleando siempre 4 bits en la conversión:
(1957)10=(0001 1001 0101 0111)BCD

16. CIRCUITOS DIGITALES – SISTEMAS DE NUMERACIÓN J. Gómez-García
CONVERSIÓN DE BCD A DECIMAL:
• Agrupar los bits de cuatro en cuatro desde la derecha y convertir
cada grupo en su dígito decimal:
(001100101010111)BCD=(001 1001 0101 0111)BCD=(1957)10
• ¡No pueden aparecer grupos de cuatro bits mayores que el nueve! (al agruparlos
desde la derecha)
• Un cantidad binaria como 001010010111 representa cantidades diferentes si se asume
que está en BCD o en binario natural ante un conjunto de bits se necesita conocer
cual es el sistema de numeración (código) que se empleó al cifrarlo para poderlo
interpretar.
• El peso de un bit Anm depende de la posición dentro de su grupo
de 4 bits (n) y de la posición de su grupo en el número completo
(m) siendo su valor Anmx2nx10m.

17. CIRCUITOS DIGITALES – SISTEMAS DE NUMERACIÓN J. Gómez-García
CÓDIGO DE GRAY O CÓDIGO REFLEJADO:
• Sistema binario sin base
• Dígitos: 0, 1
• No Hay “pesos” porque no hay base
• Generación:
0, 1 1, 0 00, 01, 11, 10
00, 01, 11, 10 10, 11, 01, 00 110, 111, 101, 100
Gray Decimal
000 0
001 1
011 2
010 3
110 4
111 5
101 6
100 7