El documento describe el uso de modelos matemáticos basados en ecuaciones diferenciales (EDO) para describir sistemas y fenómenos. Explica que un modelo matemático se formula identificando variables clave y estableciendo hipótesis, lo que generalmente resulta en una o más EDO. También muestra cómo usar software (Maple) para graficar campos de direcciones que muestran el comportamiento de soluciones a EDO lineales de primer orden.

1. ESCUELA POLITÉCNICA DEL EJÉRCITO EXTENSIÓN LATACUNGA
NOMBRE: José Duque Materia: EDO Carrera: Mecatrónica
Nivel: III Período: feb-jul 2013 Fecha:
Consulta: N° 02
Tema: EDO como modelo matemático; uso de software para dibujar campos de
direcciones.
EDO como modelo matemático
La descripción matemática de un sistema o fenómeno se denomina modelo matemático, y
se forma con ciertos objetos en mente por ejemplo podríamos tratar de entender los
mecanismos de cierto ecosistema estudiando el crecimiento de las poblaciones animales
de animales, o podríamos tratar de fechar fósiles analizando la desintegración de una
sustancia radiactiva, sea en el fósil o en el estrato donde se encontraba.
La formulación de un modelo matemático de un sistema se inicia:
 Mediante la identificación de variables causantes del cambio del sistema.
Podremos elegir no incorporar todas las variables en el modelo desde el comienzo.
En este paso especificamos el nivel de resolución del modelo.
 Se establece un conjunto de hipótesis razonable acerca del sistema que tratamos
de describir. Esas también incluyen todas las leyes empíricas aplicables al sistema.
Dado que las hipótesis acerca de un sistema implican con frecuencia la razón o taza de
cambio de una o más variables, el enunciado matemático de todas esas hipótesis, es una o
más ecuaciones donde intervienen dos derivadas. En otras palabras un modelo
matemático es una ecuación o sistemas de ecuaciones diferenciales.
Una vez comprobado un modelo matemático se procede al problema de resolverlo, una
vez resuelto se comprueba que sea razonable.

2. Ejemplo:
Ley de Newton del Enfriamiento: Según la ley empírica de Newton acerca del
enfriamiento, la rapidez con la que se enfría un objeto es proporcional a la diferencia
entre su temperatura y la del medio que le rodea, que es la temperatura del ambiente. Si
𝑇(𝑡) representa la temperatura del objeto en el momento 𝑡, 𝑇 𝑚 es la temperatura
constante del medio que le rodea y 𝑑𝑇/𝑑𝑡 es la rapidez con que se enfría el objeto, la ley
de Newton del enfriamiento se traduce en el enunciado matemático:
𝑑𝑇
𝑑𝑡
∞ 𝑇 − 𝑇 𝑚
𝑑𝑇
𝑑𝑡
= 𝑘(𝑇 − 𝑇 𝑚)
En donde 𝑘 es la constante de proporcionalidad. Como supimos que el objeto se enfría, se
debe cumplir que 𝑇 > 𝑇 𝑚 ; en consecuencia lo lógico es que 𝑘 < 0.
Software para dibujar campos de direcciones
En esta sección utilizaremos Maple para graficar un campo de direcciones, o campo de
pendientes, como una posibilidad para investigar el comportamiento de soluciones de
ecuaciones diferenciales lineales de orden 1, 𝑦′ = 𝑓(𝑥, 𝑦).
Consideremos la siguiente ecuación diferencial:
𝑑
𝑑𝑥
𝑦( 𝑥) = 𝑎 + 𝑏𝑦 (1)
> 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑎𝑟𝑡: 𝑤𝑖𝑡ℎ(𝐷𝐸𝑡𝑜𝑜𝑙𝑠):
> 𝐸𝐷1: = 𝑑𝑖𝑓𝑓(𝑦(𝑥), 𝑥) = 𝑎 + 𝑏 ∗ 𝑦(𝑥);
𝐸𝐷1 ≔
𝑑
𝑑𝑥
𝑦( 𝑥) = 𝑎 + 𝑏𝑦(𝑥)
Antes de hacer cualquier representación gráfica es necesario especificar los parámetros
involucrados en la ecuación, en este caso 𝑎 𝑦 𝑏.
> 𝑎:= 4: 𝑏:= 1/8:
> 𝑑𝑓𝑖𝑒𝑙𝑑𝑝𝑙𝑜𝑡(𝐸𝐷1, 𝑦(𝑥), 𝑥 = 0..10, 𝑦 = 0. .100, 𝑡𝑖𝑡𝑙𝑒 = `𝐸𝑗𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜 1`, 𝑐𝑜𝑙𝑜𝑟 = 𝑎 +
𝑏 ∗ 𝑦, 𝑎𝑟𝑟𝑜𝑤𝑠 = 𝑀𝐸𝐷𝐼𝑈𝑀);

3. La ecuación (1) es una ecuación diferencial lineal de primer orden que tiene como
solución:
> 𝐸𝐷1: = 𝑑𝑖𝑓𝑓(𝑦(𝑥), 𝑥) = 𝑎 + 𝑏 ∗ 𝑦(𝑥); 𝑑𝑠𝑜𝑙𝑣𝑒(𝐸𝐷1, 𝑦(𝑥));
𝐸𝐷1 ≔
𝑑
𝑑𝑥
𝑦( 𝑥) = 4 +
1
8
𝑦( 𝑥)
Esta curva se puede graficar directamente sobre el campo de direcciones para un
conjunto particular de condiciones iniciales, en este caso, como la ecuación diferencial es
de primer orden bastara una condición inicial y escogeremos que 𝑦(0) = 1.
> 𝐷𝐸𝑝𝑙𝑜𝑡(𝐸𝐷1, 𝑦(𝑥), 𝑥 = 0. .10, [[𝑦(0) = 1]], 𝑦 = 0. .100, 𝑡𝑖𝑡𝑙𝑒 = `𝑆𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛`, 𝑐𝑜𝑙𝑜𝑟 =
𝑔𝑟𝑒𝑒𝑛, 𝑙𝑖𝑛𝑒𝑐𝑜𝑙𝑜𝑟 = −32 + 𝑒𝑥𝑝(1/8∗ 𝑥));
La clase de ecuación diferencial como la que aparece en la ecuación (1) surge en la
descripción de un objeto que cae en nuestra atmosfera. El movimiento de este objeto de
masa estará gobernado por la segunda ley de Newton 𝐹 = 𝑚 𝑎.