Ecuaciones diferenciales ordinarias

1. ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS

2. INTRODUCCIÓN
 Una solución de una ecuación diferencial ordinaria es una función especifica de la variable dependiente
y de sus parámetros que satisfagan la ecuación diferencial original. Para ilustrar este concepto, se parte
de la ecuación (1):
 𝑦 = −0.5𝑥4 + 4𝑥3 − 10𝑥2 + 8.5𝑥 + 1 … … … … … … … … (1)
 Se deriva con respecto a 𝑥 para obtener la ecuación diferencial ordinaria dada por la ecuación (2):

𝑑𝑦
𝑑𝑥
= −2𝑥3
+ 12𝑥2
− 20𝑥 + 8.5 … … … … … … … … … … … (2)

3. INTRODUCCIÓN
 Esta ecuación también se describe el comportamiento del polinomio, pero en vez de representar
explícitamente los valores de 𝑦 para cada uno de los valores de 𝑥, la ecuación (2) proporciona la relación
de cambio de 𝑦 respecto a 𝑥, esto es, la pendiente para cada valor de 𝑥. Si se integra la ecuación (2) se
obtendrá la ecuación (3).
 𝑦 = −0.5𝑥4 + 4𝑥3 − 10𝑥2 + 8.5𝑥 + 𝐶 … … … … … … … . (3)

4. INTRODUCCIÓN
 Esta ecuación es casi idéntica a la ecuación (1), solo que en el proceso de derivar e integrar se pierde el
valor de la constante cuyo valor es 1 en la ecuación original. La constante de integración 𝐶 indica que la
solución no es única, y puede existir un numero infinito de valores que satisfagan la ecuación (3). Para
integrar una ecuación diferencial ordinaria de primer orden, se requiere de una condición auxiliar para
determinar la constante. Si se conoce el valor de 𝑦 𝑒𝑛 𝑥 = 0, la condición auxiliar recibe el nombre de
condición inicial; pero si se conoce el valor de 𝑦 𝑒𝑛 𝑥 diferente de cero, la condición auxiliar se denomina
condición limite. Si la ecuación (2) va acompañada de la condición inicial 𝑦 = 1 𝑒𝑛 𝑥 = 0, al sustituir estos
valores en la ecuación (3) generan la ecuación de partida (1). Las condiciones iniciales o limites por lo
general tienen interpretaciones reales en modelos de ecuaciones diferenciales de problemas físicos.

5. INTRODUCCIÓN
 La figura 1 muestra la gráfica de la ecuación (3) para diferentes valores de 𝐶. Observe que la figura es
igual en los tres casos y que solamente se desplaza en el eje 𝑌. La condición auxiliar sirve entonces para
seleccionar solo una de las curvas pertenecientes a la familia de curvas generadas con la ecuación (3).

6. INTRODUCCIÓN
Figura 1. Familia de curvas generadas con la ecuación (3)

7. MÉTODO DE EULER
 Este método se aplica en la solución de ecuaciones diferenciales que tienen la forma:
 𝜑 =
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑓 𝑥, 𝑦 … … … … … … … … . . (4)
 En este método se utiliza la pendiente 𝑓, para extrapolar a partir de un valor anterior 𝑦𝑖 un nuevo valor
de 𝑦𝑖+1 usando un incremento en 𝑥 igual a la distancia ℎ. La ecuación (4) puede ser expresada con una
razón de diferencias.
 𝜑 =
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑦 𝑖+1−𝑦 𝑖
𝑥 𝑖+1−𝑥 𝑖
=
𝑦 𝑖+1−𝑦 𝑖
ℎ
… … … … . (5)

8. MÉTODO DE EULER
 Despejando de la ecuación (5) el termino 𝑦𝑖+1 se obtiene la ecuación (6) que permite el calculo de las
aproximaciones futuras de la función.
 𝑦𝑖+1 = 𝜑ℎ + 𝑦𝑖 … … … … … … … … (6)
 En la figura 2 se muestra gráficamente como se emplea la pendiente para el calculo de los nuevos
valores de 𝑦. Obsérvese que el valor real de 𝑦 en 𝑥𝑖+1 no corresponde al valor calculado, por lo que se
tiene une error que puede ser reducido disminuyendo el valor de paso de la integración, ℎ. Esta ultima
actividad tiene un costo puesto que aumenta el numero de cálculos que se tienen que llevar a cabo. A
continuación se describe comos e emplea el método de Euler en la solución de la ecuación diferencial
ordinaria.

9. MÉTODO DE EULER
 Despejando de la ecuación (5) el termino 𝑦𝑖+1 se obtiene la ecuación (6) que permite el calculo de las
aproximaciones futuras de la función.
 𝑦𝑖+1 = 𝜑ℎ + 𝑦𝑖 … … … … … … … … (6)
 En la figura 2 se muestra gráficamente como se emplea la pendiente para el calculo de los nuevos
valores de 𝑦. Obsérvese que el valor real de 𝑦 en 𝑥𝑖+1 no corresponde al valor calculado, por lo que se
tiene une error que puede ser reducido disminuyendo el valor de paso de la integración, ℎ. Esta ultima
actividad tiene un costo puesto que aumenta el numero de cálculos que se tienen que llevar a cabo. A
continuación se describe como se emplea el método de Euler en la solución de la ecuación diferencial
ordinaria.

10. MÉTODO DE EULER
𝑦𝑖+1 𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑑𝑎
𝜙 𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒
ℎ
𝑥𝑖 𝑥𝑖+1
𝑦𝑖+1 𝑟𝑒𝑎𝑙
𝑦𝑖+1
Figura 2. Representación gráfica del método de Euler

11. MÉTODO DE EULER
 Ejemplo 1
 Resolver la ecuación diferencial
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
1
2
1 + 𝑥 𝑦2 por el método de Euler, para 𝑦(0.5) utilizando como
condiciones iniciales 𝑦 0 = 1 con tamaños de paso de integración de ℎ = 0.05 y h = 0.1. Compare los
resultados contra los valores de solución analítica. Prepare una grafica de errores relativos.

12. MÉTODO DE EULER
 Solución Analítica
 Si se resuelve en forma analítica por separación de variables e integración directa se tiene:
 1
𝑦 𝑑𝑦
𝑦2 =
1
2 0
𝑥
1 + 𝑥 𝑑𝑥 ⟹ −
1
𝑦 1
𝑦
=
1
2
𝑥 +
𝑥
2
2
0
𝑥
⟹ −
1
𝑦
− 1 =
1
2
𝑥 +
𝑥2
2
⟹ −
1
𝑦
+ 1 =
1
2
𝑥 +
1
4
𝑥2

1
𝑦
= 1 −
1
2
𝑥 −
1
4
𝑥2 ⟹
1
8−4𝑥−2𝑥2
8
= 𝑦 ⟹
8
8−4𝑥−2𝑥2 = 𝑦 ⟹ 𝑦 =
−4(2)
2 𝑥2+2𝑥−4
⟹ 𝑦 =
−4
𝑥2+2𝑥−4

13. MÉTODO DE EULER CON EXCEL
 La solución del problema usando la herramienta Excel se puede seguir el programa mne6-1v3. En la hoja
1 aparece la versión completa del método, todos los cálculos son realizados paso a paso para la mejor
comprensión del mismo. La figura 3 muestra la hoja con la distribución de las celdas y los cálculos
realizados. Los renglones 5 y 13 se han usado para etiquetar las diferentes columnas que integran el
algoritmo.. En la columna A se incluye el numero de iteraciones que se requieren hasta alcanzar el valor
deseado. En este ejemplo son 5 iteraciones para cuando se tiene un paso de integración, ℎ, de 0.1 y diez
iteraciones cuando ℎ se disminuye a 0.05.

14. MÉTODO DE EULER CON EXCEL
Figura 3 Hoja de Calculo con la solución del Ejemplo

15. MÉTODO DE EULER CON EXCEL
 En las celdas de la columna B aparecen los valores de la variable independiente. El valor inicial de 𝑥 = 0,
se coloca en la celda B6. A partir de ahí se calculan los valores siguientes de 𝑥. La celda B7 lleva la
formula de incremento de 𝑥 con le paso de integración (0.1 + 𝐵6).
 Los valores de la variable dependiente se colocan en las celdas de la columna C. En C6 va el valor inicial
(𝑦 = 1). En la celda C7 se copia el valor correspondiente al valor calculado en la iteración anterior (celda
E6). Los valores para la pendiente, ecuación (5), se calculan en las celdas de la columna D.

16. MÉTODO DE EULER CON EXCEL
Figura 4. Gráfica comparativa de valores analíticos y calculados y gráfica de errores del Ejemplo

17. MÉTODO DE EULER CON EXCEL
 En la celda D6 se incluye el calculo mediante la ecuación = 1 + 𝐵6 ∗ 𝐶2
/2, equivalente a 1 + 𝑥 𝑦2
/2.
Los valores de las celdas en blanco en las columnas C, D y E se obtienen copiando y actualizando los
valores a partir de la celda inicial en cada columna. La figura 4 incluye las comparación de la solución
analítica contra las graficas obtenidas con ℎ = 0.1 𝑦 0.05 así como los errores relativos para los dos
tamaños de integración. Se puede observar que cuando el paso de integración se reduce, los valores
de los errores calculados también se reducen, pero con el costo de incrementar el numero de
evaluaciones de las funciones.

18. MÉTODO DE EULER CON EXCEL
 Una versión mas versátil del algoritmo de Euler es desarrollada en la Hoja 2 del mismo archivo: la figura
5 muestra el esquema compacto para realizar los cálculos de manera repetitiva, en tan solo dos
renglones; pero con la posibilidad de almacenar los datos intermedios para generar las gráficas de
resultados. Los datos de entrada 𝑎 𝑦 𝑏 corresponden al valor inicial y al valor deseado de la variable
independiente.

19. MÉTODO DE EULER CON EXCEL
Figura 5. Versión corta del Método de Euler

20. MÉTODO DE EULER CON EXCEL
 En la versión corta se hace uso del arrancador y del contador para mantener el control del flujo de
cálculos. Se incluye la posibilidad de seleccionar tanto el numero de segmentos de integración como el
de puntos deseados para construir las graficas de resultados. Es importante mencionar que el numero
de segmentos de integración deberá ser múltiplo de puntos deseados para construir las graficas. La
Figura 6 muestra las gráficas que se generan al emplear 10000 segmentos (ℎ = 0,00005) y 10 puntos
para construir la gráfica.
 Observe que el error relativo porcentual producido con este numero de segmentos es mucho menor al
calculado cuando se emplearon 5 y 10 segmentos.

21. MÉTODO DE EULER CON EXCEL
Figura 6. Resultados del proceso de integración con la versión corta

22. MÉTODO DE EULER CON EXCEL
 Una tercera versión se emplea al ambiente Visual Basic para generar la solución mostrada en la Figura 7.
Al abrir la Hoja 3 del programa se observa el arrancador y el contador han desaparecido, pero ahora se
tiene un botón para calcular y otro para limpiar las celdas de datos. Al oprimir el botón de calcular se
generaran automáticamente los resultados de la integración que se pueden emplear en la construcción
de una gráfica. Al igual que en la versión corta se pueden modificar el numero de segmentos empleados
en la integración y el numero de puntos deseados para formar la gráfica. El algoritmo de programación
en Visual Basic puede ser consultado directamente en el archivo correspondiente a este ejemplo.

23. MÉTODO DE EULER CON EXCEL
Figura 7. Versión Visual Basic del Método de Euler

24. MÉTODO DE EULER CON EXCEL
 En la primera parte del archivo se dimensionan las variables a emplear, luego se leen los valores de los
limites de integración, numero de segmentos y numero de puntos para la gráfica. A partir de ahí se
inicial el ciclo de integración. Para el calculo del error se incluyen como funcionan tanto la ecuación a
integrar como la solución analítica.

25. MÉTODO DE EULER CON MATLAB
 Ejemplo
 Dada la ecuación diferencial
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑥2 + 𝑦2, use el método de Euler para aproximar 𝑦(2.3) tomando
como numero de paso 𝑛 = 3 para el proceso iterativo, si la condición inicial es 𝑦 2 = 0.5
 Respuesta: 𝑦 2.3 = 1.166470

26. MÉTODO DE EULER CON MATLAB

27. MÉTODO DE EULER CON MATLAB