calculo

1. TRABAJO COLABORATIVO TRES
ECUACIONES DIFERENCIALES
MIGUEL FERNANDO BUITRAGO
TUTOR
ANDRÉS ORLANDO PÁEZ
GRUPO 28
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA “UNAD”
ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS TECNOLOGIA E INGENIERIA
INGENIERIA INDUSTRIAL
ECUACIONES DIFERENCIALES

2. INTRODUCCION
En el presente trabajo se presenta el proceso práctico de la unidad tres del modulo
ecuaciones diferenciales el cual consta de los siguientes temas:
Generalidades del estudio de series.
.
Técnicas para resolver ecuaciones diferenciales mediante series matemáticas.
Solución de ecuaciones diferenciales mediante serie de potencias.
Funciones especiales y series matemáticas.
Series de taylor.
Solución de ecuaciones diferenciales mediante series de taylor.
Con el presente trabajo se busca la interacción grupal, para aclarar dudas, compartir y
debatir conceptos alrededor de los temas vistos en la unidad tres.

3. OBJETIVOS
 Luego de realizar la lectura de la unidad, realizar los ejercicios propuestos para
apropiar los conocimientos adquiridos.
 Realizar un trabajo grupal para que con la ayuda de otros compañeros se resuelvan
las dudas presentadas.

4. 2. Hallar el radio de convergencia de la siguiente serie:
∑
(𝑥 − 4) 𝑛
𝑛4
∞
𝑛=1
Simplifiquemos
( 𝑥 − 4) 𝑛
( 𝑛 + 1)4
( 𝑥 − 4) 𝑛
𝑛4
=
( 𝑥 − 4) 𝑛 ( 𝑥 − 4) 𝑛4
( 𝑥 − 4) 𝑛 ( 𝑛 + 1)4
=
(𝑥 − 4) 𝑛4
(𝑛 + 1)4
Por lo tanto
1
𝑅
= lim
𝑛→∞
= |
𝑛4
(𝑛 + 1)4
| = lim
𝑛→∞
= |
𝑛4
𝑛4
(
𝑛
𝑛
+
1
𝑛
)
|
1
𝑅
=
1
(1 + 0)4
= 1
Obtenemos el radio de la convergencia que es 1
𝑅 = 1
3. Hallar la solución general de la siguiente ecuación como una serie de potencial
alrededor del punto x=0:
𝒚′′
− 𝒚 = 𝟎
𝑦′
= ∑ 𝑐 𝑛 𝑥 𝑛
∞
𝑛=0

5. 𝑦′
= ∑ 𝑛 𝑐 𝑛 𝑥 𝑛−1
∞
𝑛=1
𝑦′′
= ∑ 𝑛(𝑐 − 1)𝑐 𝑛 𝑥 𝑛−2
∞
𝑛=2
∑ 𝑛(𝑐 − 1)𝑐 𝑛 𝑥 𝑛−2
∞
𝑛=2
− ∑ 𝑐 𝑛 𝑥 𝑛
∞
𝑛=0
= 0
∑( 𝑛 + 1)( 𝑛 + 2) 𝑐 𝑛 + 2𝑥 𝑛
= 0
𝑛=𝑑
∑[( 𝑛 + 1)( 𝑛 + 2) 𝑐 𝑛+2 − 𝑐 𝑛] 𝑥 𝑛
= 0
( 𝑛 + 1)( 𝑛 + 2) 𝑐 𝑛+2 = 0
𝑐 𝑛+2 =
𝑐 𝑛
( 𝑛 + 1)( 𝑛 + 2)
𝑛 = 0, 𝑐2 =
𝑐0
1 ∗ 2
=
𝑐0
1 ∗ 2
=
𝑐0
2
,
𝑛 = 1, 𝑐3 =
𝑐0
1 ∗ 2
=
𝑐1
2 ∗ 3
=
𝑐1
23
𝑛 = 2, 𝑐4 =
𝑐2
3 ∗ 4
=
𝑐0
2 ∗ 3 ∗ 4
=
𝑐0
4
𝑛 = 3, 𝑐5 =
𝑐3
4 ∗ 5
=
𝑐1
3 ∗ 4 ∗ 5
=
𝑐1
5
𝑛 = 4, 𝑐6 =
𝑐4
5 ∗ 6
=
𝑐0
4 ∗ 5 ∗ 6
=
𝑐0
6
𝑛 = 5, 𝑐7 =
𝑐5
6 ∗ 7
=
𝑐1
5 ∗ 6 ∗ 7
=
𝑐1
7
𝑦 = ∑ 𝑐 𝑛 𝑥 𝑛
∞
𝑛=0
= 𝑐0 + 𝑐1 𝑥 + 𝑐2 𝑥2
+ 𝑐3 𝑥3
+ 𝑐4 𝑥4
+ 𝑐5 𝑥5
+ 𝑐6 𝑥6
+ 𝑐7 𝑥7
= 𝑐0 + 𝑐1 𝑥 +
𝑐0 𝑥2
21
=
𝑐1
31
𝑥3
+
𝑐0 𝑥4
41
+
𝑐1 𝑥5
5
+
𝑐0 𝑥6
6
+
𝑐1 𝑥7
7

6. 𝑐0 = 𝑐2 + 𝑐3 𝑦 𝑐1 = 𝑐2 − 𝑐3
4. Mediante las series de potencias podemos desarrollar las ecuaciones diferenciales en
forma aproximada por medio de dos métodos: el método de general de solución por
series de potencias donde se representa Una función f en un intervalo de
convergencia, permitiendo así encontrar la solución general y un segundo método
donde permite resolver la ecuación diferencial con condiciones iníciales haciendo
uso de las series de Taylor. Usando el teorema de Taylor en el intervalo [0,1] para la
ecuación diferencial 𝑦′ = 𝑦2 − 𝑥 con condición inicial (0) = 1 Identifique el tercero
y cuarto término de la serie que permite la solución de la ecuación diferencial.
Con x=0 tenemos:
𝒚 = 𝒚( 𝟎) + 𝒚´( 𝟎) 𝒙 +
𝒚´´(𝟎)𝒙 𝟐
𝟐!
+
𝒚´´´(𝟎)𝒙 𝟑
𝟑!
+ ⋯
Con las condiciones iniciales y la ecuación 𝑦′ = 𝑦2 – 𝑥 derivamos sucesivamente:
𝑦(0) = 1
𝑦´ = 𝑦2
− 𝑥 𝑦´(0) = 1
𝑦´´ = 2𝑦𝑦´ − 1 y´´(0)=2(1)-1=1
𝑦´´´ = 2𝑦. 𝑦´´ + 2𝑦2
𝑦´´´(0) = 2(1)(1)+ 2(1) = 4
𝑦´´´´ = 2𝑦. 𝑦´´´ + 6𝑦´. 𝑦´´ 𝑦´´´´(0) = 8 + 6 = 14
𝑦(5)
= 2𝑦. 𝑦´´´´ + 8𝑦ý´´´ + 6(𝑦´)2
𝑦(5)
(0) = 28 + 32 + 6 = 66
Reemplazando

7. 𝒚 = 𝒚( 𝟎)+ 𝒚´( 𝟎) 𝒙 +
𝒚´´(𝟎)𝒙 𝟐
𝟐!
+
𝒚´´´(𝟎)𝒙 𝟑
𝟑!
+
𝒚´´´´(𝟎)𝒙 𝟒
𝟒!
+
𝒚´´´´´(𝟎)𝒙 𝟓
𝟓!
𝒚 = 𝟏 + 𝒙 +
𝒙 𝟐
𝟐!
+
𝟒𝒙 𝟑
𝟑!
+
𝟏𝟒𝒙 𝟒
𝟒!
+
𝟔𝟔𝒙 𝟓
𝟓!
El tercer y cuarto término son
𝒙 𝟐
𝟐!
+
𝟒𝒙 𝟑
𝟑!