ecuaciones

1. ECUACIONES CUADRÁTICAS
NIVEL: SECUNDARIA QUINTO AÑO
Ecuaciones de Segundo Grado II
Naturaleza de Raíces
 = b
2
- 4ac
Discriminante
si
 > 0
Raíces reales
diferentes
 = 0
Raíces
iguales
 < 0
Raíces
complejas y
conjugadas
 > 0
Raíces
reales
x1  x2 x1 = x2 x1 = m + ni
x2 = m – ni
m; n  R
además:
1
i 

depende
a
b
x
x 2
1



Propiedades de
las Raíces
suma
a
c
x
.
x 2
1 
producto
|
a
|
x
x 2
1



Diferencia
Suma = S
a
b
S


Formación de la
Ecuación
se debe tener
Producto = P
a
c
P 
donde
x
2
– Sx + P = 0

2. Una ecuación de segundo grado o ecuación cuadrática de una variable es una ecuación que tiene
la expresión general:
Donde X es la variable , y a , b y c constantes; a es el coeficiente cuadrático (distinto de 0 ), b el coeficiente
lineal y c es el término independiente.
Para una ecuación cuadrática con coeficientes reales o complejos existen siempre dos soluciones, no
necesariamente distintas, llamadas raíces, que pueden ser reales o complejas (si los coeficientes son
reales y existen dos soluciones no reales, entonces deben ser complejas conjugadas).
Fórmula general para la obtención de raíces:
Una raíz es: x1 = m, la
otra es: x2 = -m
Observaciones
Raíces Recíprocas o
Inversas
Raíces Simétricas u
Opuestas
Ecuaciones Cuadráticas
Equivalentes
si
Una raíz es: x1 = m, la
otra es:
m
1
x2 
si
ax
2
+ bx + c = 0 ; a  0
mx
2
+ nx + p = 0 ; m  0
si las ecuaciones
x1 + x2 = 0
se cumple
x1x2 = 1
se cumple
Las mismas raíces
o soluciones
tienen
p
c
n
b
m
a


se cumple

3. ¿Qué es ese símbolo de más/menos que se ve así ± ?
El signo ± significa que hay DOS respuestas:
x = −b + √(b2 − 4ac)
2a
x = −b − √(b2 − 4ac)
2a
Discriminante
¿Ves la parte donde dice b2
− 4ac en la fórmula de arriba? Se llama Discriminante,
porque puede "discriminar" entre los posibles tipos de respuesta:
 cuando b2
− 4ac es positivo, obtenemos dos soluciones reales
 si es cero, sólo hay UNA solución real (en realidad las dos soluciones son la
misma)
 cuando es negativo, obtenemos un par de soluciones complejas

4. ¿Soluciones Complejas?
Cuando el discriminante (el valor de b2
− 4ac) es negativo obtenemos un par de
respuestas Complejas ... ¿Qué significa eso?
Significa que nuestra respuesta incluye Números Imaginarios.

5. Ejercicios
1.Ejemplo: En la ecuación x
2
+ 6x + 5 = 0
Calculemos el DISCRIMINANTE:
 = b
2
– 4ac
 = (6)
2
– 4(1)(5)
 = 16, es decir  > 0
Por la fórmula General:
a
2
b
x




)
1
(
2
16
6
x



De donde: 5
2
4
6
x
;
1
2
4
6
x 2
1 








 es decir C.S. = {-1; -5} ¡raíces reales y
diferentes!.
2.Ejemplo: En la ecuación x
2
– 14x + 49 = 0
3.Ejemplo: En la ecuación x
2
– 6x + 25 = 0
4.Ejemplo: Indicar la suma y producto de raíces de: x
2
+ 5x + 3 = 0
a). Por despeje
1. Halla las raíces de 5x2
– 10 = 0
2. La familia Ramos adquiere un departamento, cuya superficie es de forma cuadrada,
además de un estacionamiento de 30m2 de superficie. Si en total pagó por una
superficie de 255m2 .¿cuáles son las dimensiones del departamento?
EJERCICIOS DE APLICACIÓN

6. b). por factorización
3. El consumo x de materia prima hecho por una máquina, en toneladas, es
determinado por una ecuación 5x2
– 9x – 2 = 0. Calcula la cantidad de materia
prima consumida.
4. Una piscina rectangular de 50 m de largo por 34 m de ancho está rodeada por
una vereda de ancho uniforme. Calcula el ancho de la vereda si su área es 540
m2
C ). Por formula general
5. En una oficina cuadrada, hay 3 módulos de trabajo y , además, un pasadizo de
2,5 m de ancho a lo largo de uno de sus lados. Si el espacio destinado a cada
módulo de trabajo es 17 m2, ¿Cuál es la medida del lado de la oficina?
6. Resuelve x2
– 4x + 3 = 0 (construye tabla y gráfica)