preparaciòn para las pruebas icfes y preicfes

1. En esta sección se sugieren tres tipos de acciones que se podrían
adelantar a partir del análisis de los resultados de las pruebas
censales; que si bien no son descritas de manera exhaustiva, sí
pueden servir para orientar propuestas de mejoramiento de los
procesos de enseñanza y de aprendizaje de las matemáticas.
2.1 Indagación sobre concepciones de los
estudiantes
Si respecto a las respuestas dadas por los estudiantes la mirada del
docente no se centra exclusivamente en la opción considerada
correcta, ni tampoco en los porcentajes de acierto y error, es posible
que surja un interés por indagar sobre las razones que llevan a los
estudiantes a seleccionar opciones que aparentemente resultan
“inexplicables” o que incluso podrían ser consideradas como
“ilógicas”, en tanto las preguntas se relacionan con temáticas que
han sido suficientemente tratadas en diferentes cursos y, por
consiguiente, se esperaría que casi la totalidad de los estudiantes
respondieran la opción correcta. Sin embargo, un análisis sobre
los procesos y estrategias utilizadas por los niños y jóvenes,
contribuiría no sólo a encontrar algunas explicaciones sobre la
diversidad de respuestas dadas a una misma pregunta, sino que
aportaría elementos importantes en el proceso de cualificación
del docente. Por ejemplo (Preguntas 11 -nivel B- y 12 –nivel C-para
39
grado tercero,-):

2. “El preguntón” es un juego en el cual el profesor le hace preguntas
a los estudiantes. Por cada respuesta correcta se gana un punto. A
continuación se muestra la forma de representar los puntos y la
cantidad de puntos que han acumulado Margarita y Santiago.
40
11.
Después de un mes, Santiago ha acumulado 199 puntos. Si
contesta correctamente otra pregunta, completará
A. 100 puntos
B. 190 puntos
C. 200 puntos
D. 1.910 puntos
La opción A fue seleccionada aproximadamente por el 15% de
los estudiantes, la B por el 9%, la C por el 63% y la D por el
10%.¿Qué puede inferirse de estos resultados?.
Si bien el 63% respondió adecuadamente, es importante
preguntarse por qué, frente a una pregunta en apariencia simple
(en tanto podía responderse siguiendo una secuencia de conteo),

3. cerca del 36% seleccionó otra de las opciones. Por una parte, refleja
cierta dificultad en la comprensión del algoritmo clásico de la
suma. En las opciones A y B (24%), posiblemente suman las
unidades (9 y 1) pero, en uno de los pasos, olvidan la unidad de
orden superior que han obtenido; en la opción D, realizan la suma
de 9 y 1 y componen los dos resultados parciales, obtenidos de
manera desagregada (19 y 10), sin reconocer en el resultado final
su valor posicional.
Adicionalmente, debería preguntarse por el sentido numérico que
escolarmente se ha potenciado en los niños que seleccionaron
dichas opciones, pues se esperaría que pudieran controlar o
predecir sobre el posible resultado, en tanto reconozcan que éste
no puede ser menor que uno de los sumandos ni puede alcanzar
las unidades de mil.
41
12.
Un tendero necesita poner su nevera a una temperatura de 3 grados
centígrados, para conservar sus jugos. La nevera que registra esta
temperatura es

4. La opción A fue seleccionada por aproximadamente el 44%, la B
por el 17%, la C por el 24% y la D por el 14%; es decir, cerca del
56% seleccionó la opción equivocada. Esto puede obedecer a varias
razones. Por una parte, podría ser una manifestación sobre
dificultades con la interpretación de escalas, o de una decisión
tomada sólo con base en una primera percepción de las figuras,
centrada en el conteo de las marcas sobre la línea numerada
(opciones B y D); o posiblemente, frente a la no presencia del
símbolo numérico 3, optó por uno de los símbolos presentes en
las figuras dadas, inmediatamente anterior a 3 y que aparece
señalado (opción C). Por otra parte, permite cuestionarse sobre la
responsabilidad de la escuela en la formación de ciudadanos
capaces de interpretar información y utilizar instrumentos de
medida de uso frecuente en el contexto social.
En relación con las posibles inferencias obtenidas, a partir de las
explicaciones mencionadas en los ejemplos anteriores, resulta
importante resaltar que éstas sólo son opciones, que si bien se
fundamentan en resultados de investigaciones realizadas en el
ámbito nacional e internacional, pueden diferir de lo que realmente
sucede en contextos concretos de aula, por las condiciones
particulares de las regiones, de las escuelas, de los estudiantes o de
los docentes, en cuanto variedad de formas de trabajo, énfasis
curriculares, diversidad de interpretaciones, procedimientos
utilizados o posibles dificultades y que, si bien las pruebas escritas
son un instrumento útil, el análisis general realizado requiere ser
complementado con otros instrumentos, como se mencionó en
párrafos anteriores (entrevistas, estudios de caso o del análisis de
procesos de interacción en el aula entre estudiantes y de estos con
el profesor).
42

5. 2.2 Evaluación del currículo de
matemáticas desarrollado en la institución
Un primer uso que pueden tener los resultados de las pruebas
sería el de posibilitar una valoración de fortalezas y debilidades de
algunos aspectos de la propuesta curricular que se desarrolla en la
institución, a través de un análisis comparativo entre el desempeño
de los estudiantes de la institución y los desempeños a nivel regional
o nacional, en los diversos tópicos evaluados. Dicha valoración
permitiría, en particular, reconsiderar la pertinencia de ciertos
énfasis en los tópicos que son motivo de estudio en los diversos
grados en el trabajo escolar a nivel institucional.
De manera similar, los porcentajes de rendimiento asociados con
los niveles de complejidad exigidos para abordar las diferentes
preguntas, serían un indicador sobre los niveles logrados por los
estudiantes mediante las situaciones que usualmente se abordan
en el trabajo de aula y aportarían elementos para que el docente
decida sobre la conveniencia de mantener o incrementar el grado
de complejidad exigido para aboradar las actividades que
cotidianamente propone a sus estudiantes.
2.3 Diseño de situaciones problema
Para el diseño de situaciones problema, apropiadas para el desarrollo
curricular en el aula, si bien pueden considerarse las propuestas en
las pruebas como un referente, no deberían tomarse como preguntas
cerradas de selección múltiple, pues las abiertas son más adecuadas
para analizar procesos y, además, permiten descartar ciertas variables
que pueden estar asociadas al tipo de opciones propuestas.
2.3.1 Hacia un trabajo interdisciplinario. Ahora bien, en relación
con las posibilidades de trabajo en el aula a partir de situaciones
43

6. tomadas de las pruebas, por ejemplo, la relacionada con las
preguntas 20, 21 y 22 para quinto grado, podría favorecer un
trabajo interdisciplinario, en el que el conocimiento matemático
que se pone en uso, puede ser útil en la organización de la
información para interpretar y comprender problemas
relacionados con el medio ambiente y el contexto sociocultural;
lo cual posibilita además que el conocimiento matemático sea
reconocido como interdependiente del contexto sociocultural. Una
pretensión similar podría tenerse a partir de la situación
correspondiente a las preguntas 18 a 21 de la prueba de grado
noveno, que propiciaría un trabajo sobre indicadores económicos,
comportamiento de la producción y precio de productos agrícolas
e industriales de importancia para la economía colombiana.
2.3.2 Ubicación espacial y representaciones planas. Así mismo, el
trabajo sobre croquis, planos o mapas, propuesto en las preguntas
4 a 6 de la prueba de noveno, o, 12 y 13 de la prueba de quinto,
pueden vincularse con la posibilidad de diseño de mapas de la
localidad o de la ciudad, como herramienta de ubicación,
propiciando un contexto para reflexionar sobre la necesidad del
uso de escalas que permitan representaciones de grandes
longitudes, superficies o volúmenes en espacios reducidos. Para
los niños más pequeños, las actividades relacionadas con
representaciones de la cancha de fútbol, de baloncesto o de voleibol,
o de las zonas verdes del colegio, potencian el desarrollo del
pensamiento numérico, del métrico y, en particular, del espacial.
2.3.3 Concepto de área. La revisión de grupos de preguntas acerca
de conceptos y procedimientos relacionados con la medida, en
particular el concepto de área, ofrecería al docente, a manera de
ilustración, un conjunto de situaciones para el trabajo en el aula
que pueden potenciar tanto un análisis cualitativo mediante
procesos de comparación, aproximación y estimación, como el
tratamiento cuantitativo a través de la medición y el cálculo.
44

7. Como punto de partida se pueden considerar actividades como
las propuestas en las preguntas 5ª de la prueba de tercero y la 19ª
de la prueba de séptimo, en las cuales el estudiante debe aplicar
sobre las figuras transformaciones de romper y rehacer, a través de
las cuales es posible avanzar en los procesos de conservación del
área, que son imprescindibles en la discriminación de la magnitud,
diferenciándola, por ejemplo, de la longitud.
Observa la superficie del siguiente triángulo
¿en cuál de las siguientes figuras el área de la parte sombreada NO
es equivalente a la del triángulo anterior?
Cuando los procesos de conservación del área han sido
insuficientemente desarrollados, los estudiantes no reconocen que
las figuras de las opciones A, B y D son equivalentes, en área, con
el triángulo propuesto en la pregunta y por tanto el mayor
porcentaje de ellos (58%) escogen como respuesta la figura de la
opción B, cuya parte sombreada corresponde precisamente a una
figura no triangular, es decir, realizan la escogencia tomando como
referencia la forma y no el área.
Una vez se ha avanzado en los procesos de conservación del área,
se cuenta con una base para abordar actividades relacionadas con
el establecimiento de relaciones de orden y de equivalencia entre
45

8. figuras, de acuerdo con su área; a través de actividades como las
propuestas en las preguntas 17ª de grado tercero y 15ª de grado
séptimo, orientadas a establecer relaciones de orden entre figuras,
el estudiante puede reconocer que una figura tiene mayor área
que otra, inicialmente a partir de la percepción, o de la aplicación
de transformaciones de deshacer y rehacer (no necesariamente
mediante acciones físicas); y cuando en su experiencia verifica la
imposibilidad de encontrar entre dos figuras la de mayor o menor
área, decide que son equivalentes.
46
17.
El par de figuras cuya superficie tiene el mismo tamaño es
A. la 1 y la 2
B. la 2 y la 4
C. la 3 y la 4
D. la 1 y la 3

9. A continuación se muestran cuatro modelos de portones metálicos
que tienen en la parte superior, ventanas con vidrio.
47
15.
El modelo de portón para el cual se necesita mayor cantidad de
vidrio es
A. el modelo 1, porque las ventanas no tienen divisiones
B. el modelo 2, porque hay tres vidrios largos en cada ventana
C. el modelo 3, porque los vidrios son más altos
D. el modelo 4, porque hay 4 vidrios en cada ventana

10. Al buscar argumentos para explicar por qué una figura tiene mayor
o menor área que otra, en muchos casos, los estudiantes recurren
a un patrón o a utilizar una parte de la figura como unidad común
con la cual miden las áreas de las figuras que están comparando;
así, los procesos de comparación posibilitan el reconocimiento de
la necesidad de tomar una unidad de medida, lo cual es básico en
los procesos de medición.
La medición directa de la magnitud, mediante acciones físicas,
como las que podrían realizarse a partir de las actividades
propuestas en las preguntas 8ª de grado tercero y 23ª de grado
quinto, tampoco puede ser omitida pues ella permite centrar la
atención inicialmente en la iteración de una unidad-patrón sobre
figuras que pueden ser recubiertas con cantidades enteras de dicha
unidad (en el sentido no sólo de cubrir completamente la figura
con cierta cantidad de unidades-patrón, sino que la superficie
recubierta no exceda a la superficie de la figura).
48
8.
Para realizar un trabajo de su escuela Pedro utiliza figuras como
las siguientes:
Pedro utilizó 12 triángulos para cubrir una figura. Si quiere cubrir
la misma figura con paralelogramos necesitará

11. 49
A. 2 paralelogramos
B. 6 paralelogramos
C. 12 paralelogramos
D. 24 paralelogramos
A continuación se presenta un plano en el que están ubicados 4
triángulos:
23.
¿Cuántas unidades cuadradas ocupan en el plano los 4 triángulos
juntos?
A. 2
B. 8
C. 4
D. 12
Posteriormente, con miras a lograr una mayor comprensión de
los procesos relacionados con la medición, se puede considerar
figuras en las cuales es necesario romper la unidad para asignar
como medida no sólo cierta cantidad de unidades enteras sino

12. también algunas partes de la unidad. El tipo de medición aquí
mencionado es requerido para responder preguntas como:
50
25.
¿Cuántos cuadrados como éste se necesitan para cubrir cada una
de las siguientes figuras, respectivamente?
A. 4, 8, 9
B. 16, 24, 24
C. 4, 6, 4½
D. 16, 24, 18

13. Pero la medición directa del área de ciertas figuras también puede
ser utilizada en el trabajo de aula como una acción que potencie
la generalización de procedimientos para el cálculo de su área,
pues al asignar un número a la medida de su superficie, y establecer
relaciones entre tal valor y los valores de las dimensiones lineales
asociadas (por lo menos para el caso de rectángulos y triángulos),
se posibilita que el estudiante reconozca la importancia de los
cálculos numéricos, en tanto no se hace indispensable la medición
directa del área; es decir, las fórmulas para calcular el área son
producto de la optimización de procedimientos de cálculo,
expresados de manera sintética, por tanto resultaría poco
significativo el uso de fórmulas sin la realización de actividades
que permitan al estudiante construir sentido para los símbolos y
las relaciones establecidas en tales fórmulas.
Una actividad como la propuesta en la pregunta 10 de grado séptimo
permite la asignación numérica al área de las figuras, ya sea mediante
el conteo de unidades de superficie que recubren dichas figuras, o
realizando la descomposición de cada figura (en rectángulos o
triángulos) y calculando sus áreas a partir de fórmulas ya construidas.
Para embaldosar una sala se necesitan 46 m2 de baldosa. Se solicita
el pedido al depósito de donde envían inicialmente 15 cajas que
contienen 1 ½ m2 de baldosa cada una.
10.
¿Cuál de las siguientes figuras tiene un área equivalente al área de
la superficie de la sala que se desea embaldosar?
51

14. 52

15. En la sección anterior se ha propuesto formas de uso de estas
pruebas, no sólo para evaluar los aprendizajes de los estudiantes
sino también para posibilitar reflexiones sobre el papel del profesor
en la orientación de estos procesos al interior del aula. Por lo
tanto, no se trata de entrenar a los estudiantes hasta lograr cierta
experticia en el desarrollo de pruebas de este tipo, sino de sacar
provecho de las discusiones y los análisis que se pueden generar a
partir de ellas.
3.1. Una metodología para el análisis: Una estrategia consistiría en
el análisis y utilización de las pruebas agrupadas de distintas
maneras, estableciendo focos de interés específicos en cada
aplicación (con un número reducido de situaciones o preguntas)
y propiciando espacios para que los estudiantes compartan sus
interpretaciones y los procesos realizados para abordar las
situaciones y responder las preguntas formuladas.
Para desarrollar esta estrategia, podrían tenerse en cuenta las
siguientes recomendaciones:
En primer lugar, decidir sobre cuáles aspectos de la competencia
matemática de sus estudiantes quiere indagar. Por ejemplo,
con las preguntas de la prueba de grado tercero, se podría
indagar si los niños privilegian estrategias de tipo aditivo o
multiplicativo cuando resuelven problemas aritméticos como
los presentados en las preguntas 15, 16, 18,19 y 20.
Para realizar tal indagación, se propondría a los estudiantes las
preguntas seleccionadas, solicitándoles explicitar los procesos
realizados o procedimientos utilizados y justificar la validez de
53

16. la respuesta obtenida, para lo cual sería inconveniente presentar
la pregunta con opciones de respuesta.
Durante el desarrollo de esta actividad, es importante tomar
nota acerca de las inquietudes planteadas por los estudiantes
y de ciertas manifestaciones que dan cuenta de posibles
dificultades, no sólo para estudiar la frecuencia con que se
presentan ciertas inquietudes o dificultades, sino también
para contar con registros y evidencias que suelen ser de
gran utilidad para el análisis de dificultades en los procesos
de enseñanza y aprendizaje, en tanto permiten, por ejemplo,
reconocer relaciones entre determinadas interpretaciones y
los procedimientos utilizados, las cuales además de ofrecer
posibles explicaciones a las dificultades encontradas también
serían necesarias para orientar el diseño de propuestas
específicas de trabajo tendientes a superarlas.
Aplicado un grupo de preguntas, se puede determinar el
porcentaje de estudiantes que privilegian ciertas estrategias,
por ejemplo, de tipo aditiva, en tanto acuden a sumar o
restar cantidades cuando están resolviendo problemas
específicos; también podría establecerse, de acuerdo al
número de estudiantes que utilicen estrategias aditivas o
multiplicativas en cada pregunta, cuáles de estas situaciones
promueven más lo multiplicativo que lo aditivo y viceversa.
Por otra parte, sería conveniente analizar si las situaciones
que se proponen regularmente en el aula, cuando se estudian
los problemas multiplicativos, corresponden a sumas
reiteradas (en tanto pueden resolverse mediante estrategias
aditivas) o si también se proponen otro tipo de situaciones,
como las relacionadas con combinaciones, con el cálculo
de ciertas áreas, o con modelos de crecimiento exponencial,
en los cuales el proceso de resolución exige trascender las
sumas reiteradas.
54

17. De este modo, se podrían llevar a cabo varias experiencias que
arrojen información sobre diversos aspectos. A continuación se
sugiere algunos grupos de preguntas de las pruebas aplicadas en
octubre de 2003, que podrían ser utilizados, en cada grado, para
realizar indagaciones con base en un criterio específico (ver anexo):
55
Grado Tercero
Grado Quinto
Grado Séptimo
Grado Noveno

18. 3.2 Sugerencias metodológicas para el
trabajo en el aula
En el documento Matemáticas escolares: Aportes para orientar
procesos de innovaciòn, se plantearon algunas recomendaciones para
el trabajo en temas acerca del tópico de aritmética. Allí se presentan
algunas sugerencias relacionadas con temas asociados a los tópicos
de estadística, álgebra, geometría y medición, y además se refiere
una bibliografía básica que podría complementar lo aquí expuesto
y aportar elementos para cualificar el conocimiento profesional
del profesor en relación con los procesos de enseñanza y aprendizaje
de las matemáticas.
3.2.1 Tópico de estadística. Las posibilidades de los ciudadanos de
participar activamente en la sociedad contemporánea están cada
vez más determinadas por su capacidad no sólo para interpretar y
analizar la información proveniente de distintas fuentes, sino
también para recopilar, organizar y presentar información relevante
tendiente, por ejemplo, a sustentar propuestas relacionadas con
necesidades e intereses tanto de carácter individual como de los
grupos sociales de los cuales se hace parte. En tal sentido, en el
ambiente escolar es necesario ofrecer espacios en los cuales la
discusión se centre en los aspectos mencionados.
El desarrollo de la competencia matemática de los estudiantes a
través del trabajo estadístico en los primeros años, puede ser llevado
a cabo a través de actividades en las que el estudiante requiera
organizar datos, clasificar información y representarla de distintas
maneras, relacionar las diversas formas de representar y organizar
dicha información, para obtener conclusiones y realizar inferencias
a partir del análisis de situaciones específicas. El grado de dificultad
de las actividades debe estar acorde con la edad y las condiciones
particulares de los niños, pero puede incrementarse a medida que
aborden nuevas situaciones y desarrollen cierta competencia.
56

19. Si bien en los primeros grados, las explicaciones dadas por los
estudiantes pueden ser insuficientes para justificar sus maneras de
proceder, así como las ideas o hechos matemáticos que sustentan
los procedimientos, es en estos primeros años cuando se debe
propiciar en el aula una comunicación permanente entre los
estudiantes, para explicar lo realizado, además del por qué y cómo
se hizo, ya que este trabajo posibilita el desarrollo de procesos de
argumentación; en tal sentido, sería deseable que el docente
registrara sus observaciones para reconocer elementos del
razonamiento combinatorio y probabilístico de sus estudiantes, a
partir de:
Las posibles ocurrencias que de un evento reconocen los
estudiantes.
Las estrategias de los niños en situaciones que implican la
realización de combinaciones y permutaciones.
Las aproximaciones y razonamientos de los niños en
situaciones que involucran la noción de probabilidad
condicionada.
Algunas actividades con intencionalidades cercanas a las de las
preguntas presentadas en estas pruebas, que podrían ser
consideradas y que contribuirían al desarrollo de temáticas
vinculadas con el tópico de estadística, estarían relacionadas con:
La recolección de datos o de información acerca de un hecho
o suceso específico; a partir del cual el trabajo estaría
orientado a que el estudiante realice el conteo y establezca
una primera organización a través de trazos o rayas que le
permitan determinar dónde hay más o quién tiene más,
dónde hay menos o quién tiene menos y cuántos necesitaría
cualquiera para tener tantos como otro. Es importante que
el docente propicie, en primera instancia, la construcción
por parte de los estudiantes de maneras propias de organizar
57

20. y representar la información y que, a partir de estas primeras
representaciones, genere en los estudiantes la necesidad
tanto de construir otras formas de representar como de
conocer las diferentes formas de organización usadas, como
las tablas, y los diagramas de barras. Algunos ejemplos
pueden apreciarse en las preguntas 1, 2, 6, 7, 9,10 y 11.
Posteriormente, el trabajo se centraría en que los niños
organicen en distintas tablas o mediante diagramas de barras
(horizontales o verticales), una cierta información, y
reconozcan que a pesar de la diversidad de representaciones
elaboradas en el grupo, éstas corresponden a una misma
información, es decir, que puedan realizar conversiones de
una forma de representación a otra (por ejemplo, de los
datos recolectados a la tabla y de ésta a los diagramas de
barras).
La clasificación de información de diversas maneras,
haciendo explícitos los criterios tenidos en cuenta, y
presentación en plenaria de las distintas clasificaciones
obtenidas. Estas clasificaciones podrían generar nuevas
tablas y diagramas en donde, con los mismos datos, fuese
posible presentar la información en una forma más
elaborada.
La recolección y organización de datos acerca de la vida
familiar de los estudiantes, en cuanto a: edad, número de
hermanos, número de tíos y aficiones. En particular, las
actividades propuestas en las preguntas 1, 10 y 20 del grado
quinto o 29 y 30 en noveno grado, podrían conducir a la
obtención de información interesante para la comunidad
escolar y a que los estudiantes reconocieran este tratamiento
de la información como útil en contextos donde
interactúan.
58

21. La interpretación de pictogramas, buscando que el
estudiante logre reconocer cómo, mediante ciertos íconos,
se pueden representar cantidades determinadas de objetos
(estableciendo equivalencias o relaciones proporcionales)
y, además, observe que en un solo pictograma se pueden
combinar varios de estos símbolos, lo cual podría favorecer
el desarrollo de un pensamiento variacional.
La integración de actividades de tipo estadístico, a través
de las cuales se posibilite reconocer la estadística como
herramienta útil en otras áreas, proponiendo a los niños
(organizados en equipos) que analicen y clasifiquen
información relacionada, por ejemplo, con ecosistemas o
con economía, haciendo explícitos los criterios para dicha
clasificación. Además, al presentar las distintas
clasificaciones, se podrían generar nuevas tablas y diagramas
con información más elaborada, que facilitaría la realización
de diversos tipos de análisis.
La realización de acciones sobre diversos arreglos que
pongan en consideración la existencia de múltiples
posibilidades. Por ejemplo, elaboración de distintos trajes
para un muñeco: con papel de distintos colores -
inicialmente tres, luego cuatro- para encontrar cómo
aumenta el número de posibilidades de confección del traje,
si aumenta el número de colores utilizados.
3.2.2 Tópico de álgebra. Uno de los propósitos fundamentales de la
educación matemática se refiere a la búsqueda de regularidades en
fenómenos del mundo natural y social y a su representación mediante
modelos matemáticos. Sin embargo las dificultades en la resolución
de problemas que exigen comprender la variación y la función,
observadas en estudiantes que finalizan la educación básica, permiten
cuestionar la eficiencia de la organización curricular actual del álgebra
59

22. en relación con el mencionado propósito, en este sentido, algunas
propuestas curriculares ya han modificado contenidos y estrategias
metodológicas para posibilitar el avance del estudiante en el
conocimiento del álgebra desde el inicio de su formación, sin
restringir su estudio a los grados octavo y noveno.
En algunos estudios5 se muestra que a pesar de la escasa variación
que el currículo de álgebra escolar ha presentado en los últimos
cien años, las investigaciones sobre su aprendizaje sugieren que si se
pretende que los estudiantes alcancen comprensión de la estructura
del álgebra serían necesarios tiempos mas prolongados de trabajo
sobre procesos de generalización, operaciones y transformaciones
sobre la igualdad conservando sus propiedades como relación de
equivalencia, justificación de simplificaciones en cálculos numéricos
a partir de las propiedades de las operaciones, resolución de
problemas que contengan sólo datos literales, generación de
programas de computador para la realización de cálculos –por
ejemplo, con Excel- y análisis de los diversos tipos de variación en
contextos significativos para los estudiantes.
En propuestas como los Lineamientos Curriculares del MEN o
los Estándares Curriculares del NCTM en cuanto al pensamiento
variacional se recomienda que desde los primeros grados de básica
primaria los niños exploren patrones, a partir del diseño de trabajos
artísticos que contengan ciertas secuencias (trenes o serpientes con
materiales didácticos como los bloques lógicos, que respeten una
regla de formación, o dibujos y frisos donde haya regularidad en
el número de elementos o en las figuras trazadas), o también
reconociendo la regularidad presente en diferentes arreglos como
cintas decorativas, tapetes o textiles.
5 KIERAN, C. (1992). The Learning and Teaching of School Algebra. In: Grows,
D. (Ed.). Handbook of Research on Mathematics Teaching and Learning. New
York: MacMillan [Traducido por el Grupo Pretexto de la Universidad Distrital,
1993).
60

23. Complemento a las tareas de creación de patrones por parte de
los niños serían las actividades tendientes a colocar o dibujar
algunas piezas más en cada patrón, así como a descubrir el patrón
y expresarlo con palabras, es probable que las primeras relaciones
establecidas por los niños sean de orden cualitativo y con alguna
ambigüedad en ellas, y aunque este es un hecho normal en el
inicio del reconocimiento de patrones, si es necesario que ante las
ambigüedades el docente formule preguntas para que los niños,
por una parte, reconozcan las interpretaciones distintas a las cuales
podrían conducir ciertas palabras, y por otra, encuentren
expresiones que describan en forma más precisa los elementos y
sus relaciones.
En grados posteriores se podría considerar patrones en secuencias
más amplias y el énfasis se trasladaría, por ejemplo, a la
construcción de tablas de datos, a la representación de los valores
de las tablas en gráficas cartesianas y posteriormente a la conversión
desde tales representaciones al lenguaje algebraico. Es conveniente
que el docente tenga en cuenta que, si bien, es necesario que los
estudiantes al organizar los datos en una tabla acudan a la
recurrencia para obtener cada renglón a partir del anterior, es
61

24. necesario superar la recurrencia por estrategias más potentes de
generalización si se requiere encontrar reglas que describan
apropiadamente la variación para cualquier valor arbitrario.
62
CONTANDO CERILLAS
En los primeros grados los niños ya han desarrollado un
conocimiento sobre los números naturales y las operaciones, que
les sirve de base para iniciar la construcción de significado para
las ecuaciones con juegos como la Ficha Tapada6 donde deben
descubrir el valor de una ficha, la tapada, en presencia de otras
dos fichas, una que por su color señala cuanto se agrega o se quita
y otra que indica el resultado. Al comienzo la ficha tapada se halla
por cálculo mental, luego se pasa a la escritura donde cada jugada
6 La Ficha Tapada es un juego propuesto por el profesor Jorge Castaño en
las Hojas Pedagógicas del MEN Serie lo numérico Nº 2. Enero-marzo de
1996, p. 7

25. se representa con una ecuación asociando a la tapada alguna figura
o símbolo; es conveniente que desde este momento los niños
justifiquen la manera de obtener la nueva igualdad a partir de la
anterior y a través de las transformaciones que apliquen sobre las
igualdades el docente buscará que reconozcan la reflexividad,
simetría y transitividad de la igualdad.
Con el avance en el conocimiento de los sistemas numéricos y en
la resolución de problemas aritméticos se tiene la posibilidad de
abordar trabajos que articulan aritmética y álgebra, como los
relativos a la descripción de procedimientos para resolver familias
de problemas y a la generalización de propiedades de las
operaciones. Cuando los estudiantes han encontrado una estrategia
que les permite resolver un problema particular, pueden ser
orientados por el profesor a describir el procedimiento sin hacer
referencia a los resultados específicos de las operaciones. En forma
similar es posible hacer discusiones acerca de la equivalencia entre
expresiones numéricas con operaciones indicadas, sin necesidad
de efectuar cálculos sino aplicando propiedades de las operaciones.
63

26. Otra temática que es necesario considerar en el trabajo algebraico
escolar son las diferentes interpretaciones de las letras, inicialmente
los estudiantes realizarían actividades en las cuales la interpretación
requerida corresponde a los primeros niveles donde se evalúan las
letras, continuando con actividades donde las letras puedan ser
vistas como objetos e incógnitas, y avanzado a problemas donde
las letras deban ser interpretadas como números generalizados o
como variables.
Para evaluar las letras es posible hacer cálculos reemplazando en
una fórmula conocida el valor de la letra por los números que se
requiera, teniendo en cuenta que los contextos deben ser
significativos para los estudiantes, por ejemplo, hallar el valor de
la cuota mensual para pagar un artículo en cierto número de meses,
o calcular el valor que se obtiene en una moneda extranjera al
cambiar cierta cantidad de dinero en pesos.
En problemas de cálculo de perímetros, áreas y volúmenes a partir
de fórmulas conocidas se pueden evaluar las letras que refieren las
dimensiones lineales de la figura, pero también es posible
considerar las unidades de medida y operar con ellas desde la
interpretación de letra como objeto. Por ejemplo, en una piscina
con forma de prisma rectangular, si la base mide de largo 25 metros
y de ancho 12 metros, y la profundidad de la piscina es de 2
metros, entonces,
El perímetro sería: 2 l m + 2 a m = 2 x 25 m + 2 x 12 m = 50 m + 24 m = 74 m
El área de la base sería: l m x a m = 25 m x 12 m = 300 m2
El volumen de la piscina sería: l m x a m x h m = 25 m x 12 m x 2 m = 600 m3.
Para interpretar las letras como incógnitas es pertinente simbolizar
las acciones realizadas en juegos como la ficha tapada, donde se
privilegia el tanteo y la comprobación del valor “adivinado”
reemplazándolo en la ecuación. La ejecución y simbolización de
otros juegos como los de descubrir una cantidad desconocida en
64

27. balanzas en equilibrio, al quitar o agregar simultáneamente
paquetes iguales a los dos platillos de la balanza, permite ubicar el
énfasis en la aplicación de una misma transformación sobre los
dos miembros de la ecuación hasta encontrar el valor de la
incógnita.
La interpretación de las letras como números generalizados se
requiere, por ejemplo, al buscar una regularidad respecto a
propiedades geométricas (como la determinación del número de
diagonales de un polígono convexo o de la medida de los ángulos
internos de los polígonos regulares, a partir de su número de lados),
o cuando se trata de hallar una expresión para el término enésimo
en una sucesión, (como en los problemas de encontrar el número
de cerillas). Cuando los estudiantes aun no interpretan las letras
como números generalizados, proponen una relación que es válida
sólo para uno o algunos casos, entonces el docente puede ayudarles
a encontrar la inconsistencia si les pide verificarla para algún valor
que ella no satisfaga; de este modo los estudiantes se acercan a esta
interpretación de las letras al comprender que la relación es válida
sólo si se cumple para cualquier valor escogido arbitrariamente.
Diferentes situaciones en contextos numéricos, geométricos y de
medida, en las cuales se enfatiza en la determinación de la forma
en que los cambios en un conjunto de valores son determinados
por los cambios en otro, podrían favorecer la interpretación de las
letras como variables, por ejemplo ante un problema como: Todos
los rectángulos de un conjunto tienen 1 cm2 de área, encontrar la
forma como se relacionan sus dimensiones. Los estudiantes que han
alcanzado ésta interpretación observan que si una de los lados del
rectángulo mide a cms, entonces el otro lado mide 1/a cms.
Conseguir que los estudiantes construyan las relaciones que les
permitan asociar de manera fluida a enunciados literales, las tablas,
las gráficas cartesianas y las expresiones algebraicas
65

28. correspondientes, y en general que partiendo de alguna de las
mencionadas representaciones puedan realizar conversiones hacia
las restantes, demanda de un trabajo de aula donde sean
considerados, por una parte, problemas relativos a distintos tipos
de funciones (constante, lineal, exponencial, logarítmica, etc.) y
por otra parte, problemas en los cuales se analice la forma como
las modificaciones sobre los valores que intervienen en la expresión
algebraica, por ejemplo, generan cambios en su respectiva gráfica
cartesiana.
En gran medida las sugerencias aquí planteadas se refieren a ubicar
distintos aspectos del trabajo en aritmética que permitan establecer
conexiones con la iniciación del álgebra, pero la comprensión de
la estructura del álgebra por parte de los estudiantes requiere no
sólo que puedan llegar al álgebra a partir de la generalización de
las propiedades de los números y las operaciones aritméticas, sino
también que usen sus conocimientos en álgebra para explicar la
aritmética, partiendo de las propiedades de las expresiones
algebraicas lleguen a justificar propiedades y relaciones aritméticas
66

29. 3.2.3 Tópico de geometría y medición. En los Lineamientos
Curriculares se plantea que los sistemas geométricos están
vinculados con el desarrollo de pensamiento espacial que
comprende el conjunto de procesos cognitivos mediante los cuales
se construyen y se manipulan las representaciones mentales de los
objetos del espacio, las relaciones entre ellos, sus transformaciones
y sus diversas traducciones a representaciones materiales.
Las investigaciones sobre el aprendizaje de nociones y conceptos
relacionados con el espacio concluyen que inicialmente se
construye un espacio intuitivo o sensoriomotor y luego un espacio
conceptual o abstracto, así sugieren que en la enseñanza elemental
los niños realicen una exploración activa de los objetos del espacio
y al actuar sobre ellos establezcan relaciones, reconozcan los
resultados obtenidos al aplicarles transformaciones, describan o
tracen rutas para determinar su posición y construyan diversos
modelos que los representen.
Las primeras actividades escolares acerca del espacio pueden
acompañar y potenciar los procesos de construcción del esquema
corporal propio y de organización de los objetos exteriores con
respecto al yo, por tanto pueden centrarse en la realización de
juegos en los cuales las acciones de los niños les permitan
familiarizarse con las nociones de orientación (delante, detrás,
derecha, izquierda), proximidad (cerca, lejos, acercar, alejar),
interioridad (dentro, fuera, interior, exterior, abierto, cerrado) y
direccionalidad (ir hacia, pasar por).
Si bien se acepta la actividad e incluso el juego como estrategia
adecuada para los niños más pequeños, hay una tendencia a centrar
en forma prematura la actividad del estudiante en el desarrollo de
tareas de “lápiz y papel”, como la trascripción de definiciones y
listados de sus propiedades; ante tal tendencia es necesario resaltar
que para el aprendizaje de conceptos o procedimientos geométricos
67

30. los estudiantes de cualquier edad requieren realizar exploraciones
a partir de su propia actividad, y sólo es a través de sus acciones
como construyen de las imágenes mentales que luego les permitirán
razonar sobre objetos, relaciones y transformaciones sin recurrir a
representaciones materiales.
Una propuesta para la enseñanza de la geometría que aporta al
docente una mirada sobre la forma como evoluciona el
razonamiento geométrico de los estudiantes y sugiere unas fases
secuenciales para orientar el aprendizaje es el modelo de Van Hiele.
De los niveles de razonamiento de éste modelo, los que serían
alcanzables en la educación básica son: reconocimiento: en el cual
los objetos geométricos se perciben como totalidades aisladas,
análisis: en este nivel se tiene conciencia de los elementos que
conforman los objetos geométricos y de algunas de sus propiedades,
y clasificación: en el cual se establecen conexiones lógicas entre
propiedades permitiendo determinar cadenas de implicaciones que
son la base para la separación en clases.
Las fases de enseñanza del modelo de Van Hiele, son unas etapas
en la graduación y organización de las actividades que debe realizar
un estudiante para adquirir las experiencias que le permitan superar
su nivel actual de razonamiento, así inicialmente se indaga por el
nivel de razonamiento en el cual se ubica el estudiante con respecto
al tema que es objeto de estudio y después se diseña actividades
para que pueda usar explícitamente habilidades que en el nivel
precedente sólo usaba en forma implícita. Con base en este modelo
el docente podría realizar investigaciones en el aula que le
permitieran tanto reconocer el nivel de razonamiento de sus
estudiantes, como valorar la pertinencia de secuencias de
enseñanza.
Al mismo tiempo que el estudiante se apropia de elementos para
la organización y comprensión del espacio, las actividades
68

31. geométricas que realiza en el aula le deben propiciar el desarrollo
tanto de diferentes tipos de habilidades visuales, verbales, de dibujo
y construcción, lógicas y aplicadas, así como de la apreciación
estética. Las tareas de percepción de distintos objetos geométricos
y de descripción de sus elementos y propiedades, y las primeras
construcciones a partir de plegado de papel o de armar modelos
con piezas prediseñadas, anteceden a tareas que requieren de un
mayor desarrollo de la motricidad fina o un refinamiento de los
procesos de medida, como las relacionadas con el trazo de figuras
en el plano usando instrumentos o la construcción de modelos
tridimensionales de sólidos geométricos a partir de sus desarrollos
planos o del plegado de papel.
Como en el espacio real donde interactúan los estudiantes, las
formas tridimensionales como totalidades, son percibidas antes
que las figuras planas, las líneas o los puntos, conviene que el
estudio de la geometría en lugar de partir de la definición de punto,
línea, etc., se inicie con nociones sobre objetos del espacio a partir
del concepto intuitivo de frontera. Al tocar los poliedros y los
cuerpos redondos los estudiantes percibirán superficies planas y
superficies curvas respectivamente y concluirán que la superficie
separa interior y exterior del sólido, así las superficies se consideran
como fronteras de los cuerpos; al desplazar las manos por la
superficie de una esfera no se encuentra frontera alguna, pero al
desplazarse por la superficie de un prisma se llega hasta fronteras
que son líneas, y entonces las líneas son fronteras de las superficies;
cuando se desliza el dedo a través de una arista del prisma, se llega
hasta un punto, que será la frontera de la línea.
Se ha hecho más énfasis en el estudio de figuras que de los cuerpos
geométricos, pero las habilidades para comprender formas y
relaciones tridimensionales son tanto o más necesarias que las
relacionadas con el plano. Los niños pequeños reconocen y
denominan los cuerpos geométricos de acuerdo con objetos de su
69

32. entorno que tienen formas parecidas, pero su conocimiento acerca
de ellos se profundiza a medida que los perciben, describen,
discriminan sus elementos y encuentran propiedades que les
permiten clasificar cuerpos redondos y poliedros; prismas,
pirámides, antiprismas y bipirámides; poliedros regulares o
platónicos y poliedros semirregulares o arquimedianos. Además
de estudiar los cuerpos con modelos tridimensionales, el que gran
parte de la información se encuentre en formatos planos exige el
estudio de la representación plana de los cuerpos, inicialmente
por ejemplo, los cubos y prismas rectos se representan fácilmente
en papel isométrico, luego se puede profundizar en
representaciones isométricas de otros sólidos, así como en el dibujo
de cuerpos a través de sus proyecciones ortogonales.
Estudiar la ubicación en el plano y el espacio, llegando a los
sistemas de coordenadas podría incluir la ubicación de elementos
en los planos del salón de clase y de las áreas recreativas del colegio,
el diseño de planos del aula o del colegio y la lectura de
instrucciones para orientarse en sitios de interés como parques,
centros comunitarios o centros comerciales, además el
reconocimiento y trazo de planos del barrio y del sector donde se
ubica el colegio así como la ubicación de sitios de interés para la
comunidad en el plano de la ciudad. También son pertinentes
juegos como la “Batalla Naval” en los cuales se inicia el uso de
coordenadas asignando valores numéricos en uno de los ejes y en
el otro eje valores literales.
Las transformaciones geométricas podrían considerarse en el aula,
partiendo del análisis de las propiedades de las figuras que se
conservan cuando se les aplica un determinado grupo de
transformaciones; así ante las dilataciones y los estiramientos sobre
figuras trazadas en superficies elásticas como las bombas de inflar
o los modelos de plastilina (geometría del caucho o topología) los
estudiantes podrán observar que puntos próximos en la figura
70

33. inicial también son cercanos en la figura transformada e igualmente
que la condición de estar en el interior o el exterior de la figura
también se conserva al aplicar este tipo de transformaciones. Ante
las ampliaciones y las reducciones de la geometría proyectiva, los
estudiantes encontrarán que se mantiene la forma, pero no el
tamaño de las figuras. Con la aplicación de traslaciones, rotaciones
y reflexiones en el plano, podrán observar que se conservan tantota
forma como el tamaño de las figuras.
Una vez comprendidos los diversos tipos de transformaciones se
podría adelantar trabajos de representación de transformaciones
isométricas de figuras sobre el plano cartesiano, diseño de mosaicos
a partir de transformaciones isométricas, diseño y graficación de
figuras con ejes de simetría, determinación de los ejes de simetría
en distintas clases de polígonos, análisis de los grupos de simetrías
del cuadrado y del cubo, y construcción de ampliaciones y
reducciones (homotecias) de un polígono, con factores de
homotecia enteros y fraccionarios.
En cuanto a la enseñanza de la medida conviene tener en cuenta
estudios de investigación, basados en los trabajos de Piaget7, en
los cuales se reconoce un desarrollo evolutivo en la construcción
de conceptos asociados con la medida que comprende:
Consideración y percepción de una magnitud, como propiedad de
una colección de objetos Conservación de una magnitud,
reconocimiento que frente a determinados cambios de los objetos
la magnitud puede conservarse. Ordenación respecto a una magnitud
dada, incluyendo inicialmente relaciones de orden para llegar
posteriormente a la equivalencia y Relación entre la magnitud y el
número, que incluye la construcción de una unidad de medida,
así como procesos de iteración y aproximación.
7 Ver, por ejemplo, Chamorro y Belmonte, 1991; Dickson y Otros, 1991; Vasco,
1994.
71

34. Así, el aprendizaje de una magnitud requiere del dominio inicial
de relaciones cualitativas para ubicarse posteriormente en aspectos
de orden cuantitativo, sin embargo, resulta inconveniente centrar
la enseñanza en aspectos numéricos como equivalencias y
conversiones entre unidades del sistema métrico decimal u otros
sistemas, descuidando procesos que son fundamentales, como los
relacionados con: construcción de los conceptos de cada magnitud,
comprensión de los procesos de conservación de las magnitudes,
estimación de magnitudes y proceso de capturar lo continuo con
lo discreto, apreciación del rango de las magnitudes, selección de
unidades de medida, patrones e instrumentos, diferencia entre
unidad y patrón de medición, y papel del trasfondo social de la
medición.
En la enseñanza también es importante reconocer la necesidad de
un avance gradual, desde el trabajo con magnitudes que pueden
ser comprendidas hacia el inicio de la escolaridad (longitud,
capacidad y masa), a otras de mayor complejidad (volumen y
amplitud angular) cuya comprensión solo podría alcanzarse en
secundaria8. Por ejemplo, en tanto en los primeros años de
escolaridad (grado 1° ó 2°) el estudiante puede reconocer la
longitud y capacidad como atributos de un cuerpo y
posteriormente, en relación con éstos, utilizar unidades de medida
apropiadas (hacia grado 3°), mientras que en ese periodo es posible
que no conciba unidades de medida para el volumen o la amplitud
angular, si aún no los reconoce como atributos.
Como parte del trabajo acerca de los sistemas métricos se requiere
que la escuela contribuya al desarrollo de habilidades para
aproximar y hacer estimaciones de la medida, ya sea porque la
8 Según se concluye de algunas investigaciones (ver, por ejemplo, Chamorro,
1991), la comprensión de las magnitudes longitud, capacidad y masa se
ubicaría entre los seis y los ocho años, mientras que superficie y tiempo hacia
los siete u ocho y volumen y amplitud angular hasta los diez o doce años
72

35. medición directa se convierta en un proceso dispendioso o porque
las condiciones del problema a resolver, como en el caso de estimar
el costo de la baldosa para un salón, demandan una buena
aproximación antes que un valor exacto. Tales habilidades se basan
en contar con imágenes mentales de las unidades y con una amplia
experiencia que puede ganarse tanto a partir de la práctica con
mediciones directas así como con la estimación y posterior
comprobación del acierto o error al realizar la medición. Además
con respecto a la aproximación es necesario que los estudiantes
puedan valorar los niveles de exactitud requeridos para las distintas
mediciones y de acuerdo con ellos determinar los instrumentos y
técnicas apropiadas.
Los sistemas de medida tienen importantes conexiones con el
surgimiento y uso de dominios numéricos diferentes al de los
naturales, pues a través de modelos de área se tiene interpretaciones
para la comprensión del número y sus operaciones (decimales,
fracciones, razones y porcentajes); de manera similar los procesos
de medida tienen relación con el pensamiento variacional pues
con base en la tabulación de medidas específicas se generaliza y
expresa simbólicamente algoritmos para el cálculo de áreas,
perímetros o volúmenes de figuras y cuerpos geométricos.
73

36. 74

37. AZARQUIEL, Grupo (1993). Ideas y actividades para enseñar
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Aspects Epistemology and Pedagogy. USA: MAA. (Traducción
grupo Pretexto).
76

39. POSIBLES RECORRIDOS PARA LA
PRUEBA CENSAL APLICADA EN ABRIL
DE 2003
En las tablas que se presentan a continuación se sugieren algunas
agrupaciones de las preguntas de las pruebas censales aplicadas en
abril de 2003 en los diferentes grados, las cuales podrían ser
utilizadas para realizar miradas puntuales con base en un criterio.
Cabe mencionar que en las diferentes instituciones se pueden
realizar otras agrupaciones, dependiendo del análisis y uso que
quiera darse a las pruebas.
77
Grado Tercero
Grado Quinto

40. 78
Grado Séptimo
Grado Noveno