Ecuaciones diferenciales

1. 55
V. Ecuaciones Diferenciales Parciales (EDP)
Métdos de Solución Numéricos
V.1 -Introducción
Una ecuación en derivadas parciales involucra derivadas parciales de una
función desconocida de dos o más variables. Por ejemplo
a
u
x
xy
u
y
u b
u
x y
x
u
y
u y
c
u
x
u
x y
x d
u
x
xu
u
x
x
) ; )
) ; )
∂
∂
∂
∂
∂
∂ ∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂ ∂
∂
∂
∂
∂
2
2
2
2
3
2
2
2
2
2
3
3
2
2
2
2 1 8 5
6
+ + = + + =
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ + = + =
V.1
Se llama orden de la EDP al más alto orden de derivada parcial que aparece en la
ecuación. Por ejemplo, la ecuación a) arriba es de segundo orden y la c) es de tercer
orden.
En ciencias e ingeniería una de las ecuaciones más frecuentes es la de segundo
orden que se escribe en forma general como:
A
u
x
B
u
x y
C
u
y
D
∂
∂
∂
∂ ∂
∂
∂
2
2
2 2
2 0+ + + = V.2
donde A,B y C son funciones de x e y, y D es función de x, y, u y ∂u/∂x, ∂u/∂y.
Dependiendo de los valores de los coeficientes A, B, C la ecuacción (V.2) se clasifica en
tres categorías
B2 - 4AC Categoría Ejemplo
< 0 Elíptica Ec. de Laplace (problemas de estado
estacionario en dos dimensiones)
∂
∂
∂
∂
2
2
2
2
0
T
x
T
y
+ =
= 0 Parabólica Ec. de conducción de calor (dep. del
tiempo unidimensional)
k
T
x
T
t
∂
∂
∂
∂
2
2 =
> 0 Hiperbólica Ec de ondas (dep. del tiempo
unidimensional)
∂
∂
∂
∂
2
2 2
2
2
1y
x c
y
t
=
V.2 - Metodos de Soluciones Numéricas

2. 56
En este curso nos concentraremos en las soluciones numéricas de las ecuaciones
elipticas y parabólicas. Para resolver estas ecuaciones los métodos más usados son el de
diferencia finita y el de elementos finitos. En este tema desarrollaremos el método de las
diferencias finitas para ambos tipos de ecuaciones y en el tema siguiente veremos los
métodos de los elementos finitos.
V.3- La Ecuación Elíptica de Laplace
La ecuación de Laplace aparece en problemas que involucran potenciales. El
problema más corriente es el de flujo de calor. Para obtenerla supongamos una placa
rectangular de un espesor Δz que se encuentra aislada térmicamente excepto en sus
bordes. Usando el esquema de la Figura V.1. podemos usar conservación de energía
para hacer el balance en las direcciones x e y (z, aislado)
flujo entrante flujo saliente
q x y z t q y x z t q x x y z t q x y x z t
=
+ = + + +( ) ( ) ( ) ( )Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ
V.3
Figura 1
y Δx
q(y +Δy)
q(x) q(x+Δx)
Δy
Δz x
donde q(x) y q(y) son los flujos en las direcciones x e y respectivamente en cal/(cm2/s) .
Dividiendo por Δz. Δt y remplazando, tenemos
[ ] [ ]q x q x x y q y q y y x( ) ( ) ( ) ( )− + + − + =Δ Δ Δ Δ 0 V.4
multiplicando cada sumando por Δx/Δx y Δy/Δy resp. queda
q x q x x
x
y x
q y q y y
y
x y
( ) ( ) ( ) ( )− +
+
− +
=
Δ
Δ
Δ Δ
Δ
Δ
Δ Δ 0 V.5
con el pase al límite queda
− − =
∂
∂
∂
∂
q
x
q
y
0 V.6
Usando la Ley de Fourier de conducción de calor

3. 57
q k c
T
ii =− ρ
∂
∂
V.7
donde qi es el flujo en la dirección i, k la difusividad térmica en cm2/s; ρ la densidad,
g/cm
3
; c la capacidad térmica del material en cal/(g ºC) y T la temperatura en ºC.
También se emplea K = kδC = coeficiente de conductividad térmica
La Ley de Fourier es una ecuación constitutiva válida para todos los casos y
materiales que establece que el flujo de calor es proporcional al gradiente de
temperatura en el material
Usando (7) en (6) se obtiene
∂
∂
∂
∂
2
2
2
2 0 2
T
x
T
y
Ec de Laplaceen+ = ≡ . dim V.8
Si en el problema existen fuentes o sumideros de calor (V.8) se modifica para
dar
∂
∂
∂
∂
2
2
2
2
T
x
T
y
f x y Ec dePoisson+ = ≡( , ) . V.9
V.3-1 Métodos de Solución por Diferencia Finitas
El método de las diferencias finitas se basa en el remplazo de las derivadas por
aproximaciones de las mismas. Para ello se comienza subdividiendo el dominio de la
solución de la ecuación diferencial en una grilla conteniendo puntos discretos
denominados nodos . Para el caso bidimensional una grilla típica se representa en la
Figura V.2 (a). La subdivisión en cada una de las direcciones está igualmente espaciada
conformando rectángulos denominados elementos.
Figura V.2
0,n+1 (a) m+1,n+1 (b)
Δy
i,j
0,0 x
Δx m+1,0

4. 58
Tanto nodos como elementos se clasifican en internos o de contorno
dependiendo de su ubicación. Así por ejemplo en la numeración de la Figura V.2(a) el
nodo 1,2 es interno, el 0,n+1 o todos los 0,i son de contorno. En el caso (a) la grilla
comprende exactamete la placa. En el caso (b) de una superficie curva la grilla no cubre
exactamente el dominio físico de solución. Como resultado el dominio de solución
matemático es una superficie de borde escalonado. A medida que el tamaño de los
elementos o el espacio entre nodos disminuye ambos dominios se aproximan.
El paso siguiente constituye en obtener una representación aproximada de las
derivadas. Para ello existen diversas formas de encarar el problema. En nuestro caso
usaremos los desarrollos en serie de Taylor.
Comenzaremos aislando un nodo genérico como el i,j. de la Figura V.3. Al
sustituir el domino continuo por uno discreto la variable de campo, función o
particularmente en este caso la Temperatura toma valores discretos, pasa a estar
definida en los nodos. (Tx,y = Ti,j). Los resultados se extienden a cualquier variable de
campo regida por la misma ecuación diferencial.
Figura V.3
xi-1 xi xj+1
Δx
yi+1
Δy
i-1,j i,j i+1,j yi
i,j-1 yi-1
En el desarrollo supondremos funciones de una sola variable. Luego
extenderemos las fórmulas para el caso de varias variables ya que el procedimiento se
repite sin pérdida de generalidad.
V.3.1.1 Obtención de la Derivada Primera por Diferencia
Existen tres formas de obtenerla llevando a tres fórmulas diferentes llamadas
aproximaciones a la derivada:
centrada, hacia adelante, hacia atrás.
Fórmulas centradas
El desarrollo de T(x) en xi-1 alrededor de T(x) en xi y el de T(x) en xi+1 alrededor
de T(x) en xi son respectivamente

5. 59
a T x T x T x x
T x
x a
b T x T x T x x
T x
x b
i i i
i
i i i
i
) ( ) ( ) ( )
"( )
....... ( )
) ( ) ( ) ( )
"( )
......... ( )
−
+
= − ′ +
= + ′ +
1
2
1
2
2
2
Δ Δ
Δ Δ
V.10
restando a) de b) queda:
T x T x T x x
T x
xi i i
i
( ) ( ) ( )
"( )
.......+ −= + ′ +1 1
3
2
3
Δ Δ
de donde se obtiene que
V.11
V.12
( )Δ Δx x
2 2
=
que representa la derivada primera centrada de T en la dirección x. Idéntico
procedimiento puede realizarse para la dirección y. En diferencias finitas la derivada
primera se aproxima por el primer sumando despreciando los términos de orden
superior. En este caso O(Δx2) es de segundo orden y la derivada primera entonces se
calcula con esta aproximación.
Fórmulas hacia atras y hacia adelante
De la ecuación V.10 (a) se obtiene que:
T x
T x T x
x
O xi
i
′ ≅
−
+−
( )
( ) ( )
( )1
Δ
Δ V.13
donde O x
T x
xi
( )
"( )
.....Δ Δ=
2
Notar que el error es de orden 1 en Δx. La ecuación (V.13) es la expresión de la
derivada pimera en diferencias hacia atrás
Similarmente de la ecuación V.10 (b) se obtiene
T x
T x T x
x
T x
x
O x
T x
T x T x
x
O x
i
i i i
i
i i
′ =
−
−
′′′
+
↑
′ =
−
− +
+ −
+ −
( )
( ) ( ) ( )
.......
( )
( )
( ) ( )
( ) .......
1 1 2
2
1 1 2
2 6
2
Δ
Δ
Δ
Δ
Δ

6. 60
T x
T x T x
x
O x
donde O x
T x
x
i
i i
i
′ =
−
−
= +
+
( )
( ) ( )
( )
( )
"( )
...
1
2
Δ
Δ
Δ Δ
V.14
La ecuación V.14 es la expesión de la derivada primera en diferencias hacia
adelante. Notar que también el error es de primer orden.
V.3.1.2 Obtención de la Derivada Segunda en diferencias
Usando las siguientes expresiones en serie de Taylor
T x T x T x x
T x
xi i i
i
( ) ( ) ( )( )
"( )
( ) ...+ = + ′ + +2
2
2
2
2Δ Δ V.15
y la V.10 (b) multiplicada por dos y restando a la V.15 queda
T x T x T x T x xi i i i( ) ( ) ( ) "( )( ) ...+ +− = − + +2 1
2
2 Δ V.15
de donde se obtiene que:
T x
T x T x T x
x
O xi
i i i
"( )
( ) ( ) ( )
( )
( )=
− +
++ +2 1
2
2
Δ
Δ V.16
que es expresión de la derivada segunda en diferencias hacia adelante
En forma similar se puede obtener la version hacia atrás usando la expansión
hacia atrás de la función para dar:
′′ =
− +
+− −
T x
T x T x T x
x
O xi
i i i
( )
( ) ( ) ( )
( )
2 1 2
2
Δ
Δ V.17
y la versión centrada como
′′ =
− +
++ −
T x
T x T x T x
x
O xi
i i i
( )
( ) ( ) ( )
( )
( )1 1
2
22
Δ
Δ V.18
que representa una aproximación de mayor orden que las otras dos versiones como en el
caso de la derivada primera.
La versión centrada V.18 también puede derivarse como
[ ] [ ]
T x
T x T x x T x T x x
xi
i i i i
"( )
( ) ( ) ( ) ( )
=
′ − − −+ −1 1Δ Δ
Δ

7. 61
V.3.2 Aplicación de las D.F a la Ecuación de Laplace
Como las diferencias centrales tienen mayor aproximación las usaremos para
este desarrollo.
Para un nodo interior i,j cualquiera de la Figura V.2 a aislado en la Figura V.3 la
ecuación de Laplace V.8 en diferencias finitas centrales queda:
T T T
x
T T T
x
i j i j i j i j i j i j+ − + −− +
+
− +
=
1 1
2
1 1
2
2 2
0
, , , , , ,
Δ Δ
V.19
Si prara mayor simplicidad suponemos una grilla con elementos cuadrados
donde Δx = Δy, V.19 queda:
T T T T Ti j i j i j i j i j+ − + −− + + − =1 1 1 1 4 0, , , , , V.20
que se denomina Ecuación Laplaciana en Diferencias
Para obtener una solución única al problema físico se requiere la aplicación de
las condiciones de contorno. Los tipos de condiciones son:
1) los de valores especificados en el contorno denominada condición de contorno de
Dirichlet y
2) las de derivadas especificada en el contorno denominada condición de contorno de
Neumann
Ambas pueden aparecer en un mismo problema en diferentes secciones de
contorno. Las del tipo 1 son más sencillas de aplicar y lo haremos sobre un ejemplo
concreto y sencillo como el problema de la Figura 4.
100ºC
1,3 2,3 3,3
1,2 2,2 3,2
75ºC 50ºC
1,1 2,1 3,1
0ºC
Figura 4. Placa plana cuadrada calentada en los bordes a las temperaturas
especificadas con una grilla conteniendo 25 nodos. 16 en los bordes con T especificada
y 9 internos.
En el problema de la Figura 4 hay 9 nodos internos y 16 de borde con
temperatura conocida, es decir el sistema de ecuaciones tendrá 9 incógnitas y 9
ecuaciones.

8. 62
Para ilustrar como se obtienen las ecuaciones aplicamos la Eq. V.20 al nodo
(1,1); en este caso i,j = 1
i +1 = 2 e i- 1 = 0 entonces nos queda
V.21
V.22
para un nodo interno como el (2,2) la ecuación (V.20) queda, (con i, j = 2 i - 1 = 1 , i +
1 = 3)
T T T T T3 2 1 2 2 3 2 1 2 24 0, , , , ,+ + + + = V.23
Similarmente puede aplicarse V.20 a todos los nodos resultando el siguiente
sistema de ecuaciones.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 =
-4T1,1 + T2,1 +T1,2 = -75
T1,1 -4T2,1 + T3,1 + T2,2 = 0
T2,1 -4T3,1 + T3,2 = -50
T1,1 -4T1,2 + T2,2 + T1,3 = -75
T2,1 + T1,2 - 4T2,2 + T3,2 T2,3 = 0
T3,1 +T2,2 -4T3,2 + T3,3 = -50
T1,2 -4T1,3 + T2,3 = -175
T2,2 +T1,3 -4T2,3 + T3,3 = -100
T3,2 + T2,3 -4T3,3 = -150
V.24
Su solución permite determinar el campo de temperatura de la placa
V.3.2.1 Método de Solución del Solución de Ecuaciones Lineales (SEL)
Los métodos de solución numérico para resolver los sistemas de ecuaciones son
en general especiales. En el caso analizado se obtiene un sistema de 9 x 9. Si las
condiciones de contorno fueran del tipo Neumann la temperatura en los borde también
sería incognita y entonces el sistema sería de 25 x 25. Más aun si se refina la grilla para
mejorar la solución el número de ecuaciones se incrementa rapidamente. Por ejemplo
para el mismo problema de la Figura V.4. duplicando el número de nodos por lado a 10
resulta en un sistema de 100 ecuaciones (* n2) y así sucesivamente. El método
aproximado más frecuente es el de Gauss-Seidel en el que la variable despejada es Ti,j.
Métodos de inversión de matrices desarroladas tienen en cuenta que en los métodos de
diferencias finitas la matriz no es completa. Para el caso bidimensional (como el
estudiado) el nodo en cuestión se vincula solamente con los nodos vecinos en la
T T T T T
como T y T tenemos
T T T
2 1 0 1 1 2 1 0 1 1
0 1 1 0
1 1 1 2 2 1
4 0
75 0
4 75
, , , , ,
, ,
, , ,
+ + + − =
= =
− + + = −

9. 63
dirección x e y resultando un sistema donde en cada ecuación aparecen solamente 5
términos. Si el problema hubiese sido unidimensional resultaría en un sistema
"Tridiagonal" con términos no nulos en lugares vecinos a la diagonal solamente. El caso
de problemas tridimensionales resultaría un sistema con siete sumandos. Esta situación
simplifica los algaritmos de inversión de matrices y disminuye los requerimiento de
memoria ya que la mayoría de los términos son ceros.
Unidimensional Tridimensional
tridiagonal
En todos los casos el refinamiento de la grilla o malla incrementa no solo el
número de ecuaciones sino también el error de redondeo.
V.3.2.2 Variables Secundarias
Desde el punto de vista ingenieril son más importantes los valores de cantidades
que se derivan de los resultados. En el caso de fluidos será el flujo o la velocidad y en el
caso de calor la variable importante para el análisis podrá ser el flujo de calor. Para ello
entonces se puede calcular, una vez conocidos los campos (de temperatura en el caso en
estudio) las derivadas de la siguiente forma
V.25
o en general para una dirección "n"
c q q q
con
d tan
q
q
n x y
y
x
)
)
= +
=
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
−
2 2
1
θ
V.3.2.3 Condiciones de contorno de Neumann
a q K
T T
x
para la dir x
b q K
T T
y
para la dir y
x
i j i j
y
i j i j
) .
) .
, ,
, ,
= −
−
= −
−
+ −
+ −
1 1
1 1
2
2
Δ
Δ

10. 64
En el punto anterior hemos tratado el caso de condiciones de contorno del tipo
Dirichlet. En el caso que consideramos a continuación lo que esta especificado es la
derivada de la variable de campo en el contorno. Como se expresó anteriormente este
tipo de condición se denomina de Neumann. El caso más simple de problemas de
transferencia de calor una condición de este tipo es el dado por caras aisladas
térmicamente (o superficies) que se refiere como condición de contorno natural. En
este caso el valor de la derivada de la temperatura es cero. Su inclusión en la ecuación
en diferencias para un nodo cualquiera se realiza usando el siguiente método.
Supongamos un nodo en la superficie del Dominio solución como el de la Figura V.5,
para este nodo la ecuación V.20 se aplica como sigue, (suponiendo que existe un nodo
imaginario) (-1, j)
Figura 5
T0,j+1
T-1,j T0,j T1,j
T0,j-1
T T T T Tj j j j j1 1 0 1 0 1 04 0, , , , ,+ + + − =− + − V.26
La presencia de T-1,j permite ahora la introducción de la condición de borde de
Neumann usando la siguiente expresión de derivada primera en diferencias finitas
divididas para el nodo 0,1 en la dirección x
a
T
x
T T
x
b T T x
T
x
j j
j j
)
)
, ,
, ,
∂
∂
∂
∂
=
−
= −
−
−
1 1
1 1
2
2
Δ
Δ
V.27
Sustituyendo T-1,j en V.26 por su valor V.27 (b), V.26 queda:
2 2 4 01 0 1 0 1 0T x
T
x
T T Tj j j j, , , ,− + + − =+ −Δ
∂
∂
V.28
con lo que se incluye ∂T/∂x en la ecuación en diferencias. Como ejemplo de aplicación
simple repitamos el ejercicio anterior suponiendo que la placa de la Figura V.4 tiene
una cara aislada; supongamos que esa cara sea la que estaba a la emperatura T = 0. Para
cualquier nodo en esta cara j = 0 y el equivalente de la ecuación V.26 será:

11. 65
T T T T T
reemplazando T T y
T
y
queda
T T y
T
y
T T T
i i i i i
i i
i i i i i
, , , ,
, ,
, , , , ,
,
1 1 1 0 1 0 0
1 1
1 1 1 0 1 0 0
4 0
2
2 4 0
+ + + − =
= −
+ −− + + − =
− + −
−
+ + −
Δ
Δ
∂
∂
∂
∂
como ∂T/∂y = 0, tenemos que, reordenando,
T T T Ti i i i+ −+ + − =1 0 1 0 1 02 4 0, , , , V.29
La matriz para el sistema queda ahora de la siguiente forma
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎧
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎫
⎬
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪⎪
⎭
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
4 1 2
1 4 1 2
1 4 2
1 4 1 1
1 1 4 1 1
1 1 4 1 1
1 1 4 1 1
1 1 4 1
1 1 4 1
1 1 4 1
1 1 4 1
1 1 4
1 0
2 0
3 0
1 1
2 1
3 1
1 2
2 2
3 2
1 3
2 3
3 3
φ
φ
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
⎪
⎪
⎪
=
−
−
−
−
−
−
−
−
−
⎧
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎫
⎬
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪⎪
⎭
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
75
0
50
75
0
50
75
0
50
175
100
150
cuya solución determina los valores de Ti,j.
V.3.2.4 Contornos Irregulares
Hasta aqui consideramos contornos regulares. Para el caso de contornos curvos
se procede de la siguiente manera. Se consideran factores de escala o forma α1, α2, β1 y
β2 representados en la Figura V.7. En el caso particular de la figura α2 = β2 = 1 ya que
el tamaño de estos elementos es el mismo que en el resto de la grilla. α1 y β1 son
menores que 1 ya que la separación ente los nodos del contorno y los internos es menor
que entre nodos internos. Los valores de derivada en diferencia cuando se consideran
estos factores son:

12. 66
Figura 7
α1Δx β2Δy
β1Δy α2Δx
( )
( )
∂ ∂
α
∂ ∂
α
T x
T T
x
a
T x
T T
x
b
i a i
i j i j
ia i
i j i j
/ ( )
/ ( )
,
, ,
,
, ,
−
−
+
+
=
−
=
−
1
1
1
1
1
2
Δ
Δ
V.31
Las segundas derivadas en la misma dirección podrá calcularse como
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
α α
2
2
1 1
1 2
2
T
x x
T
x
T
x
T
x
x x
ia i i a i
=
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ ≈
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ −
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
+
+ −, ,
Δ Δ
V.32
donde se ha promediado el valor del incremento entre los nodos i +1 e i. Sistituyendo
V.31 a y b en V.32 tenemos
( )
( ) ( )
∂
∂
α α
α α
α α α α α α
2
2
1
1
1
2
1 2
2
1
1 1 2
1
2 1 2
2
2
T
x
T T
x
T T
x
x
x
T T T T
i j i j i j i j
i j i j i j i j
≈
−
+
−
+
=
=
−
+
+
−
+
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
− +
− +
, , , ,
, , , ,
Δ Δ
Δ
Δ
V.33
Similarmente se obtiene para la dirección y que
( ) ( )
∂
∂ β β β β β β
2
2 2
1
1 1 2
1
2 1 2
2T
y y
T T T Ti j i j i j i j
≈
−
+
+
−
+
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
− +
Δ
, , , ,
V.34
como ejemplo supongamos que el nodo (0,0) en el problema de la Figura V.4 es
irregular de tal forma que β1 = β1 = 0,732 y β1 y β2 = 1. Para este problema de
Dirichlet la única ecuación de nodo que es ajustada es la correspondiente al nodo 1,1, en
este caso la ecuación Laplaciana en diferencias representada por la Ecuación V.33 y
V.34 sumados queda

13. 67
( ) ( )
( ) ( )
0 788675 0 57735
0 788675 0 57735 0
0 1 1 1 2 1 1 1
1 0 1 1 1 2 1 1
, ,
, ,
, , , ,
, , , , ,
T T T T
T T T T
− + −
+ − + − =
V.35
Donde se usó que Δx = Δy. Reordenando queda
− + + =
− −
2 73205 0 57735 0 57735
0 788675 0 788675
1 1 2 1 1 2
1 0 1 0
, , ,
, ,
, , ,
, ,
T T T
T T
V.36
Con lo que se afecta solamente una ecuación, la primera en el sistema V.24
V.4 Ecuaciones Parabólicas
V.4.1 Ecuación de calor en una Dimensión
Efectuando un balance de energía sobre el elemento de la Figura V.8, en el que
se supone existe flujo de calor unidimensional tenemos en un tiempo Δt
Figura 8 Δx
q(x) q(x + Δx)
Δy Δz
entrada - salida = acumulación
q x y z t q x x y z t x y z C T ó
a b
q x q x x
x
C
T
t
q
x
C
T
t
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ
Δ
Δ
Δ
Δ
− + =
− +
= ≡ − =
δ
ρ
∂
∂
ρ
∂
∂
V.37
tomando límites, usando la ley de Fourier y sustituyendo en V.37 (b) queda
k
T
x
T
t
∂
∂
∂
∂
2
2 = V.38
que es la ecuación de conducción de calor en una dimensión.

14. 68
Esta ecuación puede resolverse por diferencias finitas. En este caso los
problemas involucrados con los métodos incluyen problemas de estabilidad. Los
métodos que comunmente se emplean usando las diferencias se denominan métodos
explícitos e implícitos.
V.4.2 Métodos Explicitos
Igual que para la ecuación de Laplace se requiere sustituir la derivada segunda
espacial por un cociente de diferencias. En diferencias centradas tendremos que:
( )∂
∂
2
2
1 1
2
22
0
T
x
T T T
x
xi i i
≅
− +
++ − −
l l l
Δ
Δ V.39
El supraíndice l denota el tiempo (l Δt).
Para la derivada primera respecto al tiempo podemos usar una fórmula hacia
adelante con lo que tendremos
∂
∂
T
x
T T
t
i i
≅
−+l l1
Δ
V.40
con error del orden Δt, 0(Δt).
Sustituyendo V.39 y V.40 en V.38 queda:
k
T T T
x
T T
t
i i i i i+ −
+
− +
=
−1 1
2
1
2l l l l l
Δ Δ
V.41
reordenando se obtiene
T T T T T con k t xi i i i i
l l l l l+
+ −= + − + =1
1 1
2
2λ λ( ) /Δ Δ V.42
Ejemplo de aplicación
Consideramos una barra fina y larga de aluminio de longitud 10 cm que se
encuentra inicialmente a 0 ºC y cuyos extremos se mantienen a 100 ºC y 50 ºC. Calcular
la distribución de temperatura en función del tiempo, tomando Δx = 2 cm y Δt = 0,5 s.
Los datos son: k = 0,49 cal/(s cm ºC), CAl = 0,2174 cal/(grºC), ρAl = 2,7 g/cm3,
Solución
Con estos valores λ = 0,020875,
Las condiciones de contorno son que t > 0

15. 69
T(0) = 100 ºC y T(10) = 50 ºC
Con Δx = 2 cm tenemos 4 nodos interiores- Aplicando la ecuación V.43 a los
nodos 1 y 4 para el primer paso t = Δt = 0,1 s tenemos:
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
T
T
T
T
1
1
2
1
3
1
4
1
0 0 020875 0 2 0 100 2 0875
0 0 020875 0 2 0 0 0
0 0 020875 0 2 0 0 0
0 0 020875 50 2 0 0 1 0438
= + − + =
= + − + =
= + − + =
= + − + =
, ( ) ,
, ( )
, ( )
, ( ) ,
a tiempo t = 0,2 s tenemos
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
T
T
T
T
1
2
2
2
3
2
4
2
2 0875 0 020875 0 2 2 0875 100 4 0878
0 0 020875 0 2 0 2 0875 0 043577
0 0 020875 1 0438 2 0 0 0 021788
1 0438 0 020875 50 2 1 0438 0 2 0439
= + − + =
= + − + =
= + − + =
= + − + =
, , ( , ) ,
, ( ) , ,
, , ( ) ,
, , ( , ) ,
El proceso de cálculo se continúa así sucesivamente hasta obtener los resultados
buscados.
V.4.2.1 Convergencia y estabilidad
Convergencia significa que para Δx y Δt → 0 a Ta(x,t) → Treal(x,t).
Estabilidad significa que los errores en cualquier etapa de la computación no se
amplifican sino se atenuan a medida que la computación progresa.
Carnahan y otros en 1969 demostraron que los métodos explícitos son estables y
convergentes si λ ≤ 1/2.
Para λ = 1/6 es estable y se tiende a minimizar los errores de truncamiento. Para
λ ≤ 1/4 se asegura que la solución no oscila. Para λ ≤ 1/2 la solución puede oscilar pero
se asegura que los errores no crecen.
V.4.2.2 Condición de contorno derivativa
Como en el caso de Laplace la condición de contorno de Neumann puede
introducirse suponiendo la existenca de un nodo externo ficticio (nodo -1) entonces la
ecuación para un nodo de borde en una dimensión queda (i = 0)

16. 70
T T T T T0
1
0 1 0 12l l l l l+
−= + − +λ( ) V.44
dejando abierta la posibilidad de introducir la derivada primera en diferencias centrales.
V.4.3 Un Método Implicito Simple
En el método implicito más sencillo la derivada espacial se calcula en un tiempo
futuro l + 1. Por ejemplo
∂
∂
2
2
1
1 1
1
1
2
2T
x
T T T
x
i i i
≈
− ++
+ +
−
+l l l
Δ
V.45
Cuando esta ecuación se remplaza en la ecuación diferencial original V.38 la
ecuación algebraica resultante contiene muchas incógnitas. Por consiguiente no puede
resolverse explicitamente resultando en un sistema de ecuaciones lineales algebraicas
que deben resolverse simultaneamente a cada paso temporal l ó Δt.
Remplazando V.44 en V.38 queda
k
T T T
x
T T
t
ó
T T T T
i i i i i
i i i i
+
+ +
−
+ +
−
+ +
+
+
− +
=
−
− + + − =
1
1 1
1
1
2
1
1
1 1
1
1
2
1 2
l l l l l
l l l l
Δ Δ
λ λ λ( )
V.46
donde λ = k Δt/(Δx)2
Con la condición de contorno de temperatura definida en un extremo, por
ejemplo
T f t0
1
1
1l l+ +
= ( ) V.47
donde f(tl+1) describe como To cambia con el tiempo. Entonces para el primer nodo
interior queda
( )( )1 2 1
1
2
1
1 0
1
+ − = ++ + +
λ λ λT T T f tl l l l
V.48
similarmente para el último nodo (i = m)
( )− + + = +−
+ +
+
+
λ λ λT T T f tm m m m1
1 1
1
1
1 2l l l l
( ) V.49
donde f m+1 refleja la temperatura en el nodo m+1.
La aplicación del método da un sistema de m ecuaciones con m incógnitas.

17. 71
Para el ejemplo presentado antes con Δx = 2 cm
0 1 2 3 4 5
100 ºC 50 ºC
0 10
para el nodo interior i = 1 con λ = 0,020875
1 04175 0 020875 0 0 020875 100
1 04175 0 020875 2 0875
1
1
2
1
1
1
2
1
, , , ( )
, , ,
T T
ó T T
− = +
− =
para un nodo interior i = 2 queda
− + − = ←0 020875 1 04175 0 20875 02
1
2
1
3
1
2
0
, , ,T T T T
para el último
− + = ←0 020875 1 04175 1 04375 0 020875 503
1
4
1
, , , , ( )T T
que da un sistema de ecuaciones
1 04175 0 20875
0 020875 1 04175 0 020785
0 020785 1 04175 0 020785
0 020785 1 04175
2 0975
0
0
1 04375
1
1
2
1
3
1
4
1
, ,
, , ,
, , ,
, ,
,
,
−
− −
− −
−
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
⎥
⎧
⎨
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎫
⎬
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
=
⎧
⎨
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎫
⎬
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
T
T
T
T
V.50
la solución es T1
1
= 2,0047, T2
1
= 0,0406, T3
1
= 0,0209, T4
1
= 1,0023
Se puede notar que la diferencia del método explícito, todos los nodos han
variado respecto a su condición inicial durante el primer paso.
Estos valores de Ti
1
se utilizan en el siguiente paso como T1
l
en la ecuación
V.46 junto con los nuevos valores de ( )f t0
1l+
y ( )f tm+
+
1
1l
en las Ecuaciones V.48 y
V.49 que en nuestro caso resultan constantes. La introducción de estos nuevos valores
modifican unicamente el vector del miembro derecho de la Ecuación V.50. Realizando
estas modificaciones y resolviendo el sistema nuevamente obtenemos
T1
2
= 3,9305; T2
2
= 0,1190; T3
2
= 0,0618; T4
2
= 1,9653
Una inconsistencia de este método implicito simple radica en el hecho que la
derivada espacial es una aproximación de segundo orden mientras que la derivada

18. 72
temporal es de primer orden en Δt. El método de Crank - Nicolson resuelve esta
situación.
V.4.4 El método de Crank - Nicolson
El método de Crank - Nicolson provee una alternativa de esquema implícito
aproximado en el segundo orden tanto de la derivada temporal como la espacial.
En este equema la derivada temporal en tl+1 2/
se aproxima como
∂
∂
T
x
T T
t
i i
≅
−+l l1
Δ
V.40
y la derivada espacial se determina en el punto medio promediando las derivadas
espaciales en ambos extremos del intervalo de tiempo tl y tl+1.
( ) ( )
∂
∂
2
2
1 1
2
1
1 1
1
1
2
1
2
2 2T
x
T T T
x
T T T
x
i i i i i i
≈
− +
+
− +⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
+ − +
+ +
−
+l l l l l l
Δ Δ
V.51
Lo que genera una ecuación en diferencias para un nodo interno como
− + − − = + − +−
+ +
+
+
− +λ λ λ λ λ λT T T T T Ti i i i i i1
1 1
1
1
1 12 1 2 1l l l l l l
( ) ( ) V.52
y para los nodos externos con temperatura T f t0
1
0
1l l+ +
= ( ) y T f tm m+
+
+
+
=1
1
1
1l l
( ) las
respectivas expresiones siguientes
2 1 2 11
2
1
0 1 2 0
1
( ) ( ) ( ) ( )+ − = + − + ++ + +
λ λ λ λ λ λT T f t T T f ti
l l l l l l
V.53
y
− + + = + − + ++
+ +
+ − +
+
λ λ λ λ λ λT T f t T T f tm m m m m m1
1 1
1 1 1
1
2 1 2 1l l l l l l
( ) ( ) ( ) ( ) V.54
Utilizando este esquema para resolver nuestro problema testigo da como
resultado para el segundo paso, tiempo 0,2 s, las siguientes temperaturas
T1
2
= 4,0073; T2
2
= 0,0826; T3
2
= 0,0422; y T4
2
= 2,0036
con una conveergencia más rápida a los valores analíticos
V.4.5 Ecuaciones parabólicas en dos dimensiones
La ecuación de difusión en dos dimensiones toma la forma siguiente
∂
∂
∂
∂
∂
∂
T
x
k
T
x
T
y
= +
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
2
2
2
2 V.53

19. 73
La misma puede resolverse por diferencias finitas utilizando métodos explícitos
o implícitos. En el caso de los métodos explicitos se remplazan las derivadas espaciales
en tl y se calcula la derivada temporal en diferencias como en la Ecuación V.40. Los
métodos explícitos en dos dimensiones tienen los mismos problemas de estabilidad que
en una dimensión.
Davis (1984) estableció un criterio de estabilidad que establece que para que ello
ocurra ocurra debe cumplirse que:
( ) ( )
Δ
Δ Δ
t
x y
k
=
+1
8
2 2
V.56
con lo cual para una malla igualmente espaciada en ambas direcciones (Δx = Δy) λ =
kΔt/(Δx)2
que debe ser menor o igual a 1/4. Esto requiere que si se reduce a la mitad el
intervalo de tiempo se debe cuadruplicar el número de nodos y por consiguiente
incrementar 16 veces el esfuerzo en computación.
La aplicación del método implicito garantiza estabilidad al costo de resolver por
ejemplo m x n ecuaciones simultáneas.
Si intentamos pasar a resolver un problema en tres dimensiones el problema de
guardar el sistema se multiplica y los tiempos de computación se incremenan
enormemente.
El método implicito con dirección alterna o esquema ADI simplifica el problema
de memoria generando un sistema tridiagonal para un problema bidimensional.. En este
esquema el incremento temporal se ejecuta en dos etapas. En el primer paso con un
incremento de tiempo Δt/2 el problema es explícito en una dirección, (x) e implícito en
la otra (y), en el segundo paso Δt/2 el esquema se altera haciendo implícito para la
primera dirección (x) y explícito para la segunda con lo que siempre se obtiene un
sistema tridiagonal. Esto es
en t + Δt/2
( ) ( )
T T
t
T T T
x
T T T
y
i j i j i j i j i j i j i j i j,
/
, , , , ,
/
,
/
,
/
/
l l l l l l l l+
+ − +
+ +
−
+
−
=
− +
+
− +⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
1 2
1 1
2
1
1 2 1 2
1
1 2
2
2
2 2
Δ Δ Δ
V.57
que resulta para el nodo interno Ti,j la siguiente ecuación con tres incógnitas
( , ),
/
,
/
,
/
T T y Ti j i j i j−
+ +
+
+
1
1 2 1 2
1
1 2l l l
− + + − = + − +−
+ +
+
+
− +λ λ λ λ λ λT T T T T Ti j i j i j i j i j i j,
/
,
/
,
/
, , ,( ) ( )1
1 2 1 2
1
1 2
1 12 1 2 1l l l l l l
V.58
y en (t + Δt/2) + Δt/2

20. 74
( ) ( )
T T
t
T T T
x
T T T
y
i j i j i j i j i j i j i j i j, ,
/
, , , ,
/
,
/
,
/
/
l l l l l l l l+ +
+
+ +
−
+
+
+ +
−
+
−
=
− +
+
− +⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
1 1 2
1
1 1
1
1
2
1
1 2 1 2
1
1 2
2
2
2 2
Δ Δ Δ
V.59
dando la siguiente ecuación con tres incógnitas ( , ), , ,T T y Ti j i j i j+
+ +
−
+
1
1 1
1
1l l l
:
− + + − = + − +−
+ +
+
+
−
+ +
+
+
λ λ λ λ λ λT T T T T Ti j i j i j i j i j i j1
1 1
1
1
1
1 2 1 2
1
1 2
2 1 2 1, , , ,
/
,
/
,
/
( ) ( )l l l l l l
V.60
Problemas y Coloquio
1) Resolver el problema de la placa sujeta a las siguientes condiciones de contorno:
una cara a 100 ºC, la cara opuesta a 0 ºC, una cara aislada, la cara opuesta sujeta a la
condición de enfriamiento de

21. 75
( )
∂
∂
T
x
h
k
T TS= − − ∞
para los siguientes valores de los parámetros
k = 130 BTU/Hr.ft. ºF L1 = L2 = 10 cm
ρ = 2.7 gr/cm3 espesor = 1 cm
C = 4 cal/ºC
h = 10 BTU/hr ft2
ºF
utilizar la misma malla de 5 x 5 nodos
2) Aleaciones de aluminio que contiene solutos como cobre, magnesio, silicio o zinc
alcanzan máxima resistencia mecánica cuando las aleaciones son templadas bajo
condiciones tales que la curva de enfriamiento permanezca a la izquierda del extremo
de las curvas de resistencia en función de temperatura y tiempo que se muestran en la
figura 2.1. Este diagrama corresponde a la aleación 7075.
Desarrollar un modelo de
enfriamiento de placas basado
en diferencias finitas y
transferencia de calor
unidimensional descrito por la
ecuación parabólica V.38, que
describa el templado de la
aleación 7075 en diferentes
medios, agua, agua 5 % NaOH
y aceite. Determinar el espesor
máximo de la placa que puede
templarse en cada medio para
una temperatura inicial de la
placa de 900 º F y del baño
que permanece constante a 70
º F. Los coeficientes de
transferencias en los tres
medios están graficados en las
figuras 2.2 y 2.3. De los mismos se pueden extraer la siguiente tabla con valores del
coeficiente
Figura 2.1

22. 76
Figura 2.3
Tabla 2.1 Coeficiente de Transferencia para diferentes
medios en BTU/hr ft2
ºF
T º F Agua Agua + 5%NaOH Aceite
900 250 8000 2200
850 270 8500 1500
800 300 9000 1000
750 350 11500 500
700 400 14000 250
650 600 14500 125
600 1700 15000 90
550 4000 16000 70
500 7000 17000 60
450 10000 16000 54
400 15000 15000 47
350 14000 14000 44
300 8000 8000 41
250 3000 3000 35
200 350 350 30
150 50 50 25
100 10 10 20
50 10 10 15
Los valores de los parámetros son los siguientes.
k =136 BTU/hr ft ºF
C = 4.80 + 0,00322 T T[ºK] [C] = cal/deg mol
ρ = 170 lb m /ft3

23. 77
3) Leer y comentar el trabajo siguiente de los lineamientos usados previamente.
“Three - dimensional axisymmetric model for convection in laser - melted
pools” por C.L. Chen, J. Mazumder y M.M Chan Materials Science and Technology.
April 1987 vol 3. p.p 306 - 311.