álgebra lineal

1. N´umero complejo. 1 / 13
N´umero complejo.
Ing. Braulio Lozano Hern´andez.
Ingenier´ıa en Tecnolog´ıas de Manufactura
Universidad Polit´ecnica de Amozoc
4 de septiembre de 2015
Ingenier´ıa en Tecnolog´ıas de Manufactura N´umero complejo. 1 / 13

2. N´umero complejo. 2 / 13
1 Definici´on.
2 Operaciones fundamentales con n´umeros complejos.
Suma.
Resta.
Multiplicaci´on.
Divisi´on.
Potencia.
Ejercicios.
Evaluaci´on.
Respuesta.
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3. N´umero complejo. 3 / 13
Definici´on.
Definici´on.
Se puede decir que un n´umero imaginario no es m´as que la
indicaci´on de la ra´ız de ´ındice par de un n´umero negativo; o
tambi´en podemos decir que es el producto de n´umero positivo
o negativo cualquiera por la unidad imaginaria i.
i=
√
−1
Un n´umero imaginario complejo es la suma algebraica de un
n´umero real con un n´umero imaginario.
z = a + bi
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4. N´umero complejo. 4 / 13
Definici´on.
Definici´on.
El n´umero imaginario puro es el complejo cuya parte real es
cero.
Se llamar´a i=
√
−1 la unida imaginaria.
Un n´umero complejo se define como: z = a + b i
a se llama la parte real.
b se llama parte imaginaria.
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5. N´umero complejo. 5 / 13
Operaciones fundamentales con n´umeros complejos.
Suma.
Suma.
Para que se pueda realizar una suma de n´umero complejos, se
siguen las normas o reglas b´asicas de la aritm´etica, sumando los
n´umeros reales con los n´umeros reales y los n´umeros imaginarios
con los n´umeros imaginarios.
(a + b i) + (c + d i) = (a + c) + (b + d )i
Ejemplo de la suma:
(4 + 3 i) + (3 + 2 i) = (4 + 3) + (3 + 2) i = 7 + 5 i
Ejercicio.
(3 + 4 i) + (2 + 3 i) - (5 - 2 i) =
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6. N´umero complejo. 5 / 13
Operaciones fundamentales con n´umeros complejos.
Suma.
Suma.
Para que se pueda realizar una suma de n´umero complejos, se
siguen las normas o reglas b´asicas de la aritm´etica, sumando los
n´umeros reales con los n´umeros reales y los n´umeros imaginarios
con los n´umeros imaginarios.
(a + b i) + (c + d i) = (a + c) + (b + d )i
Ejemplo de la suma:
(4 + 3 i) + (3 + 2 i) = (4 + 3) + (3 + 2) i = 7 + 5 i
Ejercicio.
(3 + 4 i) + (2 + 3 i) - (5 - 2 i) =
= 0 + 9 i
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7. N´umero complejo. 6 / 13
Operaciones fundamentales con n´umeros complejos.
Resta.
Resta.
Es exactamente igual que la suma, solamente con la diferencia
obvia; que en lugar de sumar se va a restar.
Ejemplo de la resta:
(4 − 2i) − (2 + i) = (2 − 3i)
Se aplica la regla b´asica de la ley de signos.
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8. N´umero complejo. 7 / 13
Operaciones fundamentales con n´umeros complejos.
Multiplicaci´on.
Multiplicaci´on.
Para obtener el producto de dos n´umeros complejos, se multipli-
ca cada t´ermino del primer par´entesis por todos los t´erminos del
segundo par´entesis, con lo que se obtienen todos los t´erminos a
reducir.
(a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi2
= (ac − bd) + (ad + bc)i
Observe que el t´ermino bdi2
pasa a ser -bd. Eso es porque:
i2
= −1.
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9. N´umero complejo. 8 / 13
Operaciones fundamentales con n´umeros complejos.
Divisi´on.
Divisi´on.
La divisi´on de n´umeros complejos requiere un mayor trabajo que
la multiplicaci´on y partimos de un artificio previo, basado en que
el producto de un n´umero complejo por su conjugado da como
resultado un n´umero real:
(a + bi) ∗ (a − bi) = a2
− abi + abi + b2
= a2
+ b2
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10. N´umero complejo. 9 / 13
Operaciones fundamentales con n´umeros complejos.
Divisi´on.
Divisi´on. (Cont.)
Si a la divisi´on de dos n´umeros complejos, la multiplicamos y
dividimos por el conjugado del denominador:
a + bi
c + di
=
(a + bi)(c − di)
(c + di)(c − di)
=
ac − adi + bci + bd
c2 − cdi + cdi + d2
=
ac + bd + (bc − ad)i
c2 + d2
=
ac + bd
c2 + d2
+
bc − ad
c2 + d2
i
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11. N´umero complejo. 10 / 13
Operaciones fundamentales con n´umeros complejos.
Potencia.
Potencia.
Para poder elevar un n´umero complejo a un exponente entero,se
aplican las reglas de los productos notables.
(6 − 3i)2
= 62
− 2(6)(3i) + (3i)2
= 36 + 36i − 9 = 27 + 36i
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12. N´umero complejo. 11 / 13
Operaciones fundamentales con n´umeros complejos.
Ejercicios.
Ejercicios.
1 (23 + 14i) + (36 − 22i)
2 (45 − 35i) − (25 + 12i)
3 (45 + 38i) ∗ (12 − 23i)
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13. N´umero complejo. 11 / 13
Operaciones fundamentales con n´umeros complejos.
Ejercicios.
Ejercicios.
1 (23 + 14i) + (36 − 22i)
2 (45 − 35i) − (25 + 12i)
3 (45 + 38i) ∗ (12 − 23i)
4 (45 − 12i)/(5 + 12i)
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14. N´umero complejo. 11 / 13
Operaciones fundamentales con n´umeros complejos.
Ejercicios.
Ejercicios.
1 (23 + 14i) + (36 − 22i)
2 (45 − 35i) − (25 + 12i)
3 (45 + 38i) ∗ (12 − 23i)
4 (45 − 12i)/(5 + 12i)
5 (20 + 98i) + (43 + 45i)
6 (56 − 23i) − (−57 − 89i)
7 (34 − 56i) − (23 − 67i)
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15. N´umero complejo. 11 / 13
Operaciones fundamentales con n´umeros complejos.
Ejercicios.
Ejercicios.
1 (23 + 14i) + (36 − 22i)
2 (45 − 35i) − (25 + 12i)
3 (45 + 38i) ∗ (12 − 23i)
4 (45 − 12i)/(5 + 12i)
5 (20 + 98i) + (43 + 45i)
6 (56 − 23i) − (−57 − 89i)
7 (34 − 56i) − (23 − 67i)
8 (57 − 67i) + (89 + 90i)
9 (12 + 23i) − (76 − 34i)
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16. N´umero complejo. 11 / 13
Operaciones fundamentales con n´umeros complejos.
Ejercicios.
Ejercicios.
1 (23 + 14i) + (36 − 22i)
2 (45 − 35i) − (25 + 12i)
3 (45 + 38i) ∗ (12 − 23i)
4 (45 − 12i)/(5 + 12i)
5 (20 + 98i) + (43 + 45i)
6 (56 − 23i) − (−57 − 89i)
7 (34 − 56i) − (23 − 67i)
8 (57 − 67i) + (89 + 90i)
9 (12 + 23i) − (76 − 34i)
10 (12 − 14i) ∗ (23 − 22i)
11 (18 + 25i) ∗ (96 + 76i)
Ingenier´ıa en Tecnolog´ıas de Manufactura N´umero complejo. 11 / 13

17. N´umero complejo. 11 / 13
Operaciones fundamentales con n´umeros complejos.
Ejercicios.
Ejercicios.
1 (23 + 14i) + (36 − 22i)
2 (45 − 35i) − (25 + 12i)
3 (45 + 38i) ∗ (12 − 23i)
4 (45 − 12i)/(5 + 12i)
5 (20 + 98i) + (43 + 45i)
6 (56 − 23i) − (−57 − 89i)
7 (34 − 56i) − (23 − 67i)
8 (57 − 67i) + (89 + 90i)
9 (12 + 23i) − (76 − 34i)
10 (12 − 14i) ∗ (23 − 22i)
11 (18 + 25i) ∗ (96 + 76i)
12 (24 − 45i)/(12 + 14i)
Ingenier´ıa en Tecnolog´ıas de Manufactura N´umero complejo. 11 / 13

18. N´umero complejo. 11 / 13
Operaciones fundamentales con n´umeros complejos.
Ejercicios.
Ejercicios.
1 (23 + 14i) + (36 − 22i)
2 (45 − 35i) − (25 + 12i)
3 (45 + 38i) ∗ (12 − 23i)
4 (45 − 12i)/(5 + 12i)
5 (20 + 98i) + (43 + 45i)
6 (56 − 23i) − (−57 − 89i)
7 (34 − 56i) − (23 − 67i)
8 (57 − 67i) + (89 + 90i)
9 (12 + 23i) − (76 − 34i)
10 (12 − 14i) ∗ (23 − 22i)
11 (18 + 25i) ∗ (96 + 76i)
12 (24 − 45i)/(12 + 14i)
13 (34 − 23i)2
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19. N´umero complejo. 11 / 13
Operaciones fundamentales con n´umeros complejos.
Ejercicios.
Ejercicios.
1 (23 + 14i) + (36 − 22i)
2 (45 − 35i) − (25 + 12i)
3 (45 + 38i) ∗ (12 − 23i)
4 (45 − 12i)/(5 + 12i)
5 (20 + 98i) + (43 + 45i)
6 (56 − 23i) − (−57 − 89i)
7 (34 − 56i) − (23 − 67i)
8 (57 − 67i) + (89 + 90i)
9 (12 + 23i) − (76 − 34i)
10 (12 − 14i) ∗ (23 − 22i)
11 (18 + 25i) ∗ (96 + 76i)
12 (24 − 45i)/(12 + 14i)
13 (34 − 23i)2
14 (23 − 12i)3
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20. N´umero complejo. 11 / 13
Operaciones fundamentales con n´umeros complejos.
Ejercicios.
Ejercicios.
1 (23 + 14i) + (36 − 22i)
2 (45 − 35i) − (25 + 12i)
3 (45 + 38i) ∗ (12 − 23i)
4 (45 − 12i)/(5 + 12i)
5 (20 + 98i) + (43 + 45i)
6 (56 − 23i) − (−57 − 89i)
7 (34 − 56i) − (23 − 67i)
8 (57 − 67i) + (89 + 90i)
9 (12 + 23i) − (76 − 34i)
10 (12 − 14i) ∗ (23 − 22i)
11 (18 + 25i) ∗ (96 + 76i)
12 (24 − 45i)/(12 + 14i)
13 (34 − 23i)2
14 (23 − 12i)3
15 (22 + 18i)3
Ingenier´ıa en Tecnolog´ıas de Manufactura N´umero complejo. 11 / 13

21. N´umero complejo. 12 / 13
Operaciones fundamentales con n´umeros complejos.
Evaluaci´on.
Evaluaci´on.
1 (5 + 3i) + (8 + 4i)
2 (7 + 9i) + 13 − 7i)
3 (19 − 20i) − (8 − 20i)
4 (−6 − 5i) − (−9 − 2i)
5 (3 + 4i) + (2 + 3i) − (5 − 2i)
6 (27 − 20i) + (36 − 35i) − (17 − 39i)
Ingenier´ıa en Tecnolog´ıas de Manufactura N´umero complejo. 12 / 13

22. N´umero complejo. 13 / 13
Operaciones fundamentales con n´umeros complejos.
Respuesta.
Respuesta.
1 13 + 7i
2 20 + 2i
3 11
4 3 − 3i
5 9i
6 46 − 16i
Ingenier´ıa en Tecnolog´ıas de Manufactura N´umero complejo. 13 / 13