Este documento presenta los conceptos fundamentales de las funciones cuadráticas. Explica cómo calcular el vértice, eje de simetría, concavidad y raíces de una función cuadrática. También muestra cómo graficar estas funciones utilizando una hoja de cálculo y resuelve un problema aplicando estos conceptos para modelar la producción de naranjas en función del número de árboles plantados.

1. Función Cuadrática
Prof. Cristian Maldonado

2. OBJETIVOS:
 Conocer y aplicar los conceptos matemáticos asociados
al estudio de la función cuadrática.
 Graficar una función cuadrática, determinando vértice,
eje de simetría y concavidad.
 Utilizar ecuaciones cuadráticas para modelar
situaciones y resolverlas usando la fórmula general
 Determinar las intersecciones de la parábola con los
ejes cartesianos.
 Determinar las raíces de una ecuación de 2º grado.
 Uso de una planilla de calculo para la interpretación de
una función cuadrática.

3. • Este contenido esta dirigido a los alumnos de 2° de la escuela
secundaria.
• Contenidos previos disponibles:
 Ecuaciones lineales.
 Lenguaje algebraico.
 Expresiones algebraicas.
 Ecuaciones de 2° grado.
Expectativas de logro
Encontrar y reconocer las relaciones entre los datos de un
problema y expresarlas mediante el lenguaje algebraico.
Conocer funciones cuadráticas.
Construir sus gráficos.
Analizar sus aplicaciones.
Promover el uso de los equipos portátiles en el proceso de
enseñanza y aprendizaje.
Promover el trabajo en red y colaborativo, la discusión y el
intercambio entre pares, la realización en conjunto de la propuesta,
la autonomía de los alumnos y el rol del docente como orientador y
facilitador del trabajo.
Estimular la búsqueda y selección crítica de información
proveniente de diferentes soportes, la evaluación y validación, el
procesamiento, la jerarquización, la crítica y la interpretación.

4. Clase N° 2
Clase N° 1

5. Situación Problemática
Clase N° 1

6. “El rendimiento del cultivo de naranjas”
Un productor tiene una plantación de una hectárea con 40 naranjos,
cada uno de ellos produce 500 naranjas por año. Desea saber cual
será la evolución de su producción si decide aumentar la cantidad
de plantas en esa parcela. Para ello encarga el estudio a un
ingeniero agrónomo. El profesional concluye que por cada planta
que se incorpore, la producción de cada naranjo disminuirá en 5
unidades, dado que los nutrientes del suelo tienen un potencial
limitado. Además presenta un informe en el que figuran; la fórmula
que describe la producción total de la chacra, en función de la
cantidad de naranjos que se agreguen.

7. ¿Cuál seria la producción de naranjas sin efectuar
modificaciones?
(4x500)=20.000
(400x50)=20.000
(40x500)=20.000

8. La producción de naranjas sin efectuar
modificaciones resulta:

9. Si el número de árboles aumenta en una cantidad
“x”, el total de árboles resulta ser:
40x
(40-x)
(X-40)

10. Como consecuencia el rendimiento por
árbol. ¿Cómo seria?
(500-5x)
(500+5x)
(5x-500)

11. ¿Cómo se expresa la fórmula que define la
producción en función de los naranjos
agregados?
(40-x)+(500-5x)
(x-40) × (5x-500)
(40-x) × (500-5x)

12. Si el número de árboles aumenta en una cantidad “x”, el total de
árboles resulta ser 40 + X, y como consecuencia el rendimiento
por árbol es: 500 -5x, entonces la fórmula que define la
producción en función de los naranjos agregados se expresa:
P(x) expresa la producción de naranjas en función
de la cantidad de naranjos

13. Aplicando propiedad distributiva se obtiene
la ecuación polinómica
¿Cómo quedaría la ecuación?
y= -5x-300x+20.000
y= -5x²-300x+20.000
y= -5x²+300x+20.000

14. • Para calcular la cantidad de plantas adicionales que anularían la producción bastará
con determinar los “ceros de la función”, es decir resolver la ecuación:
Aplicando propiedad distributiva a la ecuación anterior se obtiene la
ecuación polinómica:

15. Presentación
Definición: una función cuadrática es aquella que puede
escribirse de la forma:

17. 1. Función Cuadrática
Es de la forma:
f(x) = ax2 + bx + c
Ejemplos:
y su gráfica es una parábola.
a) Si f(x) = 2x2 + 3x + 1
b) Si f(x) = 4x2 - 5x - 2
a = 2, b = 3 y c = 1
a = 4, b = -5 y c = -2


con a =0; a,b,c  IR

18. 1.1. Intersección con eje Y
En la función cuadrática, f(x) = ax2 + bx + c ,
el coeficiente c indica la ordenada del punto donde
la parábola intersecta al eje Y.
x
y
x
y
c
(0,C)

19. 1.2. Concavidad
En la función cuadrática, f(x) = ax2 + bx + c ,
el coeficiente a indica si la parábola es
cóncava hacia arriba o hacia abajo.
Si a > 0,
es cóncava hacia arriba
Si a < 0,
es cóncava hacia abajo

20. 1.3. Eje de simetría y vértice
El eje de simetría es la recta que pasa por el vértice
de la parábola, y es paralela al eje Y.
x
y Eje de simetría
Vértice
El vértice de una parábola es el punto más alto o más
bajo de la curva, según sea su concavidad.

21. Si f(x) = ax2 + bx + c , entonces:
b) Su vértice es:
a) Su eje de simetría es:
2a 2a
V =
-b , f -b
4a
-b , 4ac – b2
2a
V =
-b
2a
x =

22. 2.1. Raíces
Fórmula para determinar las soluciones (raíces)
de una ecuación de segundo grado:
- b ± b2 – 4ac
2a
x =
Ejemplo:
Determinar las raíces de la ecuación: x2 +2x - 8 = 0
-(2) ± (2)2 – 4·1(- 8)
2
x =
-2 ± 36
2
x =
x1 = 2
x2 = -4

23. 2·1
-2
x =
En la función f(x) = x2 + 2x - 8, a = 1, b = 2 y c = - 8,
entonces:
V = ( -1, f(-1) )
a) Su eje de simetría es:
x = -1
b) Su vértice es:
V = ( -1, -9 )
2a
-b
x =
-b , f -b
2a 2a
V =
 



24. f(x)
V = ( -1, -9 )
x = -1
Eje de simetría:
Vértice:

25. Si la parábola es abierta hacia arriba, el
vértice es un mínimo y si la parábola es
abierta hacia abajo, el vértice es un máximo.

26. ¿Cual seria la solución?
Sol (-40;100)
Sol (40;100)
y= -5x²+300x+20.000

27. Volviendo al problema de los naranjos ahora podemos
graficar aplicando los conocimientos aprendidos:
El caso de x = -40, significaría considerar una cantidad de árboles
plantados, negativa ¡absurdo! Solo nos queda la opción de x = 100,
que representa que si se plantaran 100 árboles más, la producción
sería nula, pues P (100) = 0.
Para mostrar la situación gráficamente, primero obtenemos las coordenadas
del vértice:
El punto (30; 24500) es el vértice de la parábola y resulta el punto máximo,
de la producción de naranjas y plantación de árboles, todas las posibles
combinaciones están representadas en el área sombreada,
en el intervalo

28. Grafico

29. Clase N°2

30. Actividades
1) Abran una hoja de calculo en Excel y a
partir de la tabla, Grafiquen las siguientes
funciones cuadráticas:
a) f(x) = x² - 2x - 1
b) f(x) = x²+2x + 1
c) f(x) = x² - 2x + 2

31. A partir de los gráficos realizados
anteriormente, contesten:
a) ¿Existe diferencia entre los gráficos?
Justifiquen su respuesta.
b) ¿Cuántas raíces tiene cada función?
c) ¿Alguna de las funciones no corta en el
eje x?

32. 2) Grafique la siguiente función utilizando una
barra de desplazamiento para valores positivos
y negativos “a”.
122
)(  xxf x

33. 3) Muevan la barra de desplazamiento de "a";
observen qué ocurre con el gráfico y respondan.
a) ¿Qué sucede a medida que el valor de a crece en valor
absoluto?
b) ¿Cómo se relaciona el signo de a con la forma del
gráfico?

34. Actividad