Cap 4 Potencial Electrico 46 74

Cuaderno de Actividades: Física II

4) Potencial Eléctrico y
Energía Potencial
Electrostática

Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 46


4) Potencial Eléctrico

V à CAMPO ESCALAR
•P
→ Escalar
 ρ
→ 1
 r − r′
r r




r r 1
E, F → r r 2
{ r − r ′}

4.1) Definición de potencial de una carga
puntual

La diferencia de V, ∆V , entre los puntos A y B, será igual al trabajo
cuasiestacionario realizado por la fuerza externa, sobre al carga de prueba, por
unidad de carga de prueba.

VA VB
r r
A FEXT FE B
0 r
q0
q

W ≡E
r r
Proceso cuasiestacionario : − FEXT ≡ FE
r
r Fe
E= : Definición operacional del E
q0

r
r r kqr kq ( r − r ′) kq
E(r) ≡ 3 ≡ 3
≡ 2 er
ˆ
r r − r′ r



r
FEXT , q0
W B→ A
∆VAB ≡ VA − VB ≡
q0
rA rA
r r r r
∫
rB
FEXT .dr − ∫ Fe .dr
rB
VA − VB ≡ ≡
q0 q0
rA
r r r
VA − VB ≡ − ∫ E.dr ← ∆V ≡ ∆V E ( )
rB

A → r cualquiera
B → r " refererencial " ← VB " REFERENCIAL "

rA
 kq  r r
V ( r ) − V ( rREF ) ≡ − ∫  2 er dr , dr ≡ drer
ˆ ˆ
rB r 
rA
kq
→ V ( r ) − V ( rREF ) ≡ − ∫ dr
rB
r2
rA ≡ r
 −kq 
→ V ( r ) − V ( rREF ) ≡ − 
 r rB ≡ rREF
1 1 
→ V ( r ) − V ( rREF ) ≡ kq  − 
 r rREF 
1 1 
V ( r ) ≡ V ( rREF ) + kq  −  rREF → ∞ ⇒ VREF ≅ 0
 r rREF 
kq
→ V q (r ) ≡
r
r
Generalizando para una carga q colocada en r ′ ,

kq
V q (r ) ≡ r r
r − r′



4.2) Potencial para diversas distribuciones de
cargas

Extendiendo la expresión para una carga puntual obtenemos las expresiones
para distribuciones discretas y continuas,

i) Distribuciones Discretas: n q

q1 kq r r
V q (r ) ≡ r ir , r ′ ≡ ri
qn r − r′
qi V DD (r ) ≡ ∑ i V i (r )
q

r •P
ri i =n
r kq
V DD (r ) ≡ ∑ r ir
r i =1 r − ri

ii) D. Continuas: ρ , σ y λ

k ρ dv
V ρ (r ) ≡ ∫ r r
ρ
dq
ρ r −r
′

P kσ da
V σ (r ) ≡ ∫ r r
σ
r − r′

k λ dl
V λ (r ) ≡ ∫ r r
λ r −r
′

J
u [V ] ≡ ≡ volt ≡ V
C



4.3) Lugares equipotenciales

i) Superficies equipotenciales

Son regiones del R3 donde el V se mantiene constante.

j) Volumétricos
Volumen A Q ρ
V=cte

jj) Superficiales σ
Plano A
V=cte

jjj) Lineales +
Líneas A
V=cte
−

SE r
E

*El E es perpendicular a las superficies equipotenciales.



ii) Equipotenciales asociadas a ciertas ρ
i) ρ àq

Kq
V=
R

à CASACARONES

r≡R

ii) ρ à D. Discretas
r
E r
ρ →E
r r
E.dr = 0

Superficie
Equipotencial

iii) ρ → λ
r
E

λ

λ

Superficie Equipotencial



iv) ρ →σ

σ
r
E Planos // σ

σ

v) ρ → ρ

ρ ρ ( r)

≡ q

Superficie
Equipotencial

r
4.4) Relación entre V ∧ E
r
E →V
r
r r
1ºà V
1ºà
ρ
( r ) − Vref ≡ − ∫ E ρ . dr
rref
r
V →E
r
E ≡− V
∇

r
2ºà E → CAMPO CONSERVATIVO
2ºà

∂ ˆ ∂ ˆ ∂ ˆ
∇≡ i+ j+ k V ≡ V ( x, y,z )
∂x ∂y ∂z

Aplicaciones



S2P1) Una esfera conductora de radio R posee una densidad de carga:

ρ ( r ) ≡  ρ0 R  r , ρ0 ≡ cte
 
 

a) Halle la carga total.
b) Halle la carga en el interior de una esfera de radio r.
c) Halle el y úselo para determinar el V en cualquier potencial y graficar.

Solución:

r r
R
EI EII
R r r
da

 ρ0 r  4πρ0 r 3 πρ0 r 4
a ) q ≡ ∫ ρ dv ≡ ∫   { 4π r dr} → q ( r ) ≡
R ∫
2
r dr =
ρ ρ R  0
R
b) Q ( r ≡ R ) ≡ πρ 0 R3
c) El potencial se puede hallar con :
k ρ dv
r
r r
V ρ ( r ) ≡ Vref − ∫ E.dr ∨ V ρ ( r ) ≡ ∫ r r
r ρ r −r
′
ref

r r q r r
∫E
II ) Ñ .da ≡ NE
SG
ε0
→ E//da
r r  ρ R3  1
→ E cte∀punto SG EII =  0  2
 4ε 0  r
r πρ R 3
EII { 4π r 2 } ≡ 0 →
4ε 0



r πρ r 4
I ) EI { 4π r 2 } ≡ 0 →
r  ρ 
EI =  0  r 2
Rε 0  4 Rε 0 

r
 CII   r dr 
 
II )V ( r ) ≡ VREF − ∫  2 er  .{ drer } ≡VREF − CII
ˆ ˆ  ∫ 2
rREF  
r  rREF r 
 
 −1 
= VREF − CII  ]rREF r → rREF → ∞, VREF ≈ 0
r 
CII ρ0 R 3
VII ( r ) = ≡
r 4ε 0 r

r  r 2 
 
I )V ( r ) ≡ VREF − ∫ { C r e } .{ dre } ≡V − CI  ∫ r dr 
2
I
ˆ ˆ
r r REF
rREF  rREF
 

r

 r3 
VI ( r ) ≡ VREF − CI   ← VREF ≡ ?
 3  rREF

Argumentación:

à Continuidad del V: VI ( R ) ≡ VII ( R )
ρ0 R 2 ρ  r 3 R3 
VI ( r ) ≡ − 0  − 
à 4ε 0 4 Rε 0  3 3 



4.5) Energía potencial electrostática, EPe = U

Q q r
0 →∞ Inicio

kqQ
W FEXT ≡ −W − FE ≡ q∆V ≡
R

Q q
0 r fin

La Epe se puede definir como la E almacenada en el sistema de cargas luego
de constituir el sistema de cargas. Esto es, la energía necesaria para formar el
sistema de cargas.

 Para un sistema q1,q2,r: kq1q2
E pe ≡
r

 En general,

Kq1q2 Kq1q2
E pe ≡ ≡ p p
d r2 − r1

q1
d
r q2
r1

r
r2



Epe para ciertas distribuciones de carga

i) Distribuciones Discretas

qi

Caso n=4
q2 q2 q3 q q3
2

E1 E2 E3 E4
q1 q1 q1 q1 q4

n=4
EPe ≡ ∑ Ei
q2 q3

i

q1 q4

E1 = 0
Kq1q2
E2 =
l
Kq q Kq q
E3 = 3 2 + 3 1
l l 2
Kq4 q3 Kq4 q2 Kq4 q1
E4 = + +
l l 2 l



j ≡n
i ≡n
1 kq
E pe ≡ ∑ qiV j , V j ≡ ∑ r jr
i ≡1 2 j ≡1 ri − rj
j ≠i

ii) Distribuciones Continuas

1
2∫
 Para el volumen: Ep = ρ dvV
ρ

1
 Para el área: Ep =
2σ∫ ρ daV

1
2∫
 Para la longitud: Ep = ρ dlV
λ

4.6) Dipolo eléctrico,

AISLANTE

-

≡ + r r
≡
- - -+ - + +
P, p
- -
+ -
- - -+ -+
- + -

Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo - 57


Definición de dipolo eléctrico

r
Es el caso más simple {el modelo más sencillo} del momento dipolar, p , de un
dipolar,
sistema de cargas.

Para el caso de Distribuciones Discretas:

r i =n r
p = ∑ qi ri
i =1

Cuando n=2 y las cargas son de igual intensidad con diferente polaridad:

n = 2 : q1 ≡ + q ∧ q2 ≡ −q

r r r r r
→ p ≡ r1 ( + q ) + r2 ( −q ) ≡ q ( r1 − r2 )

r r r r r
pero r1 − r2 <<< r , si ( r1 − r2 ) = d

+q −q
r r
r1 r2

r r
p = qd



i) Potencial del Dipolo

à “P muy lejos a ”

d

−q +q

r
r′
r r P
r− r+
r
r

12
 % d  % d   2
% % d

% d
*r − r− ≡ r + ≡  r +   r +  ≡  r + r .d + 
2  2  2  4
 
12
 % 2

%  r .d d 
≡ r 1 + 2 + 
 r % %2
4r 
 

d
*Considerando a << 1 pequeño : BINOMIO : (1 +x )
n
≈ +nx, x < 1
1 <
%
r

12
 %  
%  r .d  1 % 
1  1 r .d 
r −r ′ ≡ r 1 + 2  ≡ 1 −
% 

 r  r − r− %
r  2 r  %2
 
−1 2

1 1  r .d 
 %   % 
− Kq  1 r .d 
→ ≡ 1 + 2  → V− q ( r ) ≡ 1−
r − r′ r 
%

%
r   % 
r  2 r  %2

 
 % 
Kq  1 r .d 
r .d d cos θ
% → V+ q ( r ) ≡ 1+
≡ ,θ = θ ( r , d )
% % 
r  2 r  %2

%2
r %
r  



⇒ Vp ( r ) ≡ Kq
( r% .d )
%3
r
( r% . p )
p = qd ⇒ V p ( r ) ≡ K
%3
r

→ Vp ( r ) ≡k
{ ( r − r ′) . p}
3
r − r′

r ′ : localiza el p
r : localiza el P(punto de calculo)

V p ( r ) en mejores coordenadas

De la ecuación anterior :
Z P Vp ( r ) ≡ k
{ ( r ) . p}
3
p r

θ r
rp cos θ k p cos θ
0 Y Vp ( r ) ≡ k ≡
r3 r2
X

ii ) EP ( r ) " Campo del Dipolo"

p
E
3( r . p ) r
% p 
r  % 
r EP ( r ) ≡ k  5
. 3
r′ % %
 r
 r 

r
r

EP ( r ) = E− q ( r ) + E+ q ( r ) ← DD

iii) Energía de Interacción



p − E ≡ E pe para formar p

p à Energía para formar el dipolo
E en ese campo y posición.

E pe ≡ W ≡ − p.E

iv) Fuerza sobre un p en una región de E

r
Fp Fp ≡ −∇W
E

Fp ≡ −∇E pe

p
E

v) Torque sobre un p en una región de E
r′



r
{ }
τ p ≡ r ′ × p. ( ∇E ) + p × E

Si r ′ es cero o si E es uniforme :
τ p = p× E

Aplicaciones:



S2P17) Un volumen esférico de radio R0 está lleno con carga de densidad
uniforme ρ. Supongamos que dicha esfera se construye, capa por
capa, a partir de una esfera de radio r, a) ¿Cuál es la carga total en
este estado?, b) Seguidamente añada una capa infinitesimal delgada
de espesor dr. ¿Cuánto vale el trabajo dw efectuado en trasladar la
carga de esta capa desde el infinito hasta el radio r?, c) Finalmente
realice una integración desde r = 0 a r = R0 para calcular el trabajo
total, ¿Cuál es la energía total asociada al sistema?, expréselo en
función de la carga total Q y del radio de la esfera R0.

Solución:

A) Por superposición de capas: forma distinguible.

Q ρ

q q +dq
dr
r r
R0

 4 
kdq { q} {
k ρ (4π r 2 dr )  ρ ( π r 3 ) 
 3
}
 ≡ k ( 4π ) ρ 2 r 4 dr
2

dW ≡ ≡
r r 3

k ( 4π ) ρ 2 k ( 4π ) ρ 2
2 2
R0 R0
W ≡ E ≡ ∫ dw ≡ ∫ r 4 dr ≡ 5
R0
0 0 3 15

k ( 4π )
2
Q2
≡ × 2
× R0 × 9 3
5

5 15 4 3 
 π R0  R0
3 

3kQ 2
W ≡E≡
5 R0



B) Usando la Ec general: forma indistinguible

1
E pel =
2 ∫ ρdvV
ρ

V =Vp ≡V ( r )
r
r r kQ
V ( r ) =Vref − ∫ E.dr ; rref = R0 , Vref =
ref
R0
4
r k [ ρ( πr 3 )]
kQ 3
V (r ) = − ∫{ 2
}{dr}
R0 R0
r
kQ 4 1
V( r ) = −k ρ π × {r 2 −R0 }
2

R0 3 2

R
1 0
 Qr 2 1 1 4 1 1 2 2 
E pel = ( ρ 4π ) k{ ∫ 
2
− × r + × R0 r dr}
2 0 
ρ 4π R0 3 2 3 2 
1 QR03 1 1 R05 1 1 R05
= ( ρ 4π ) k{
2
− × + × }
2 ρ 4π R0 3 3 2 5 3 2 3
1 2 5 1 1 1
= ρ (4π ) kR0  − + 
2

2  9 30 18 
3kQ 2
W ≡E≡
5R0

S2P38) Determine el V en el eje de un anillo de radio R y densidad λ


Z
P
z≡d

λ k λ dl
V ( z) ≡ ∫ r r
0 y λ
r −r'
φ R
r ˆ r
x dq
r ≡ zk , r ' ≡ R cosθ i + Rsenθ ˆ
ˆ j

r r
→ ( r − r ' ) ≡ − R cosθ i − Rsenθ ˆ + zk
ˆ j ˆ
1
r r
{
r − r ' ≡ R2 + z 2 } 2;

dl ≡ Rdθ

V λ ( z) ≡
kλ R
1 { ∫ dθ }
2π

{R }
0
2
+z 2 2

2π k λ R
V λ ( z) ≡ 1

{R 2
+z }
2 2

S2P39) Una partícula de masa m y carga – q se coloca en el centro de un anillo
cargado uniformemente, de radio a. El anillo tiene una carga total
positiva Q y la partícula está confinada a moverse en el eje del anillo (X).
Si se desplaza una pequeña distancia x de su posición de equilibrio a lo



largo del eje (x << a) y luego es soltado, demuestre que la partícula
oscilará con MAS y halle la frecuencia de oscilación.

Solución:

A) Usando Epe

La Ep para formar el sistema Anillo-carga,

2π k λ aq
E p ≡ qV λ ( x ) ≡ 1

{a 2
+x }
2 2

Aplicando la condición,

1
−
 x  2
E p ≡ −qV λ ( x ) ≡ −2π k λ q 1 + ( ) 2 
 a 

 1 x 
E p ≡ −2π k λ q 1 − ( ) 2 
 2 a 
π kλq 2 1 % 2 %
Ep ≡ x ≡ kx ; k : cteelastica
a2 2
1 % π kλq % (2π aλ )kq ≡ Qkq ≡ ω 2 m
k≡ →k ≡
2 a2 a3 a3

1
Qkq ω 1  kQq  2
ω 2m ≡ → ω ≡← ν ≡ →ν ≡  3
a3 2π 2π  ma 

Z
Y B) Usando fuerza eléctrica
dq r
r
r dF
dθ
x -q
Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo X 66


Q
dq ≡ λ ds λ=
2π a
dFx ≡ dF cosφ

(solo interesa fuerza hacia la izquierda)

Distribución contínua de carga

∑→∫

kdqq cos φ
F = ∫ dF cos φ = ∫
r2
k λ ( adθ ) ( q ) cos φ
≡∫
r2
k λ aq cos φ 2π
≡
r2 ∫0 dθ
x
F ≡ kQq 3
r
x
≡ kQq
( )
3/ 2
x2 + a2

r x
Fe = − kQq ˆ
i
(x 2
+a )
2 3/ 2



x
x << a << 1
a
r x
Fe = −kQq 3/ 2

3  x
2

a    + 1
 a  
 
r kQq ˆ
Fe = − 3 xi ≡ −cxi ˆ
a
r r
ˆ
Fe ≡ Fe ≡ −cxi ≡ mxi&&ˆ

c
&& +
x x≡0
m
→ && → w2 x ≡ 0
x

c
w=
m

w 1 kQq
→ν ≡ ≡
2π 2π ma 3

+
q
S2P21) Calcule la energía que se requiere para hacer el
arreglo de cargas que se observa en la figura,
donde a = 0,20, b = 0,40 m y q = 6µC.
-2q

a

+2q b +3q


Deducir las expresiones que usará.

SOLUCION:

q1 q2 Ep,el =?
a

q4 b q3

a)
q1

a
* w1 = 0

b

q1 q2

a k .q1.q2
* w2 =
b

b

q1 q2

a k .q1.q3 k .q1.q3
w3 = +
(a 2
+b )
2 1/ 2 a

b q3

q1 q2
k .q1.q4 k .q2 .q4 k .q .q
w3 = + + 3 4
a
( a 2 + b2 )
1/ 2
a b

q4 b q3



→ E p ,el = wT = w1 + w2 + w3 + w4

 
 kq2 + kq3 kq4 
b) * q1 : q1 + = w1
 b ( a 2 + b 2 ) 1/ 2 a 
 

 
kq kq kq4
* q2 : q2  1 + 3 + =w
 b a ( a 2 + b 2 ) 1/ 2 
2

 

 
kq1 kq kq
* q3 : q3  + 2 + 4  = w3
 ( a 2 + b 2 ) 1/ 2 a b 
 

 
kq kq2 kq
* q4 : q4  1 + + 3  = w4
 a ( a 2 + b 2 ) 1/ 2 b 
 

1
→ E p ,el = ( w '1 + w '2 + w '3 + w '4 )
2
= ( w1 + w2 + w3 + w4 )

S2P27) La esfera de radio “a” constituye un sistema de
cargas con densidad volumétrica ρ = ρ0 r. Se a S
encuentra rodeada concéntricamente por un
b
cascaron metálico de radio interno “b”.



a) Calcule el potencial eléctrico en r = a/2
b) Si se conecta el interruptor S, ¿Cuál es el nuevo potencial en r =
a/2?

SOLUCION:

ρ ( r ) = ρ0 .r

E3 =0

s
q (r) +Q -Q +Q
ˆ
er
E1 E2 E4
0 a b c r
(1) (2) (3) (4)

a) s↑ V( r = a/2) = ?

r
q ( r ) = ∫ ( ρ0 r ) ( 4π r 2 dr ) = πρ0 r 4 → q ( a ) = Q = πρ0 a 4
0

r
r r
→ V ( r ) = VREF − ∫ E.dr
rREF

kQ kq
(4): E4 =? ← LG → E4 = 2
→ V4 ( r ) =
r r

(3): E3 =0 → V3 (r) = cte ← LG

Debido a la continuidad del V,

kQ
r = c; V (r = c) = V3 = V4 (r = c) =
c



kQ
(2): E2 ( r ) = ← LG
r2

r
 kQ 
V2 ( r ) = V ( r = b ) − ∫  2 er . ( drer )
ˆ ˆ
b r 

kQ  kQ kQ 
→ V2 ( r ) = + − 
c  r b 

r r qNE
∫E
(1): E1 (r) =? ← LG→∴ Ñ .ds =
SG
ε0

πρ0 .r 4 ρ .r 2
→ E1.{ 4π r 2
} = → E1 = 0 = kπ .ρ 0 .r 2
ε0 4ε 0
r
r r kπρ 0 3 3
V1 (r) =? → V1 ( r ) = V ( r = a ) − ∫ E1.dr → V1 ( r ) = V ( a ) −
3
(r −a )
a

Por continuidad del V, r = a : V1 ( a ) = V2 ( a )

1 1 1
→ V2 ( a ) = kQ  + −  = V1 ( a ) = V ( a )
c a b

 1 1 1  kπρ 0 3
→ V1 ( r ) = kQ  + −  −
c a b 3
( r − a3 )

 1 1 1  7kπρ0 a
3
→ V1 ( a / 2 ) = kQ  + −  +
c a b 24

b) s↓ V( r = a/2) = ?

En estas condiciones la carga +Q externa es neutralizada por “tierra”,
alcanzando el cascaron potencial cero.



(4): E4 =0 ← LG → E4 = 0 → V4 ( r ) = 0 , debido a la continuidad del V,

(3): E3 =0 → V3 (r) = 0

kQ
(2): E2 ( r ) = ← LG
r2

r
 kQ 
V2 ( r ) = V ( r = b ) − ∫  2 er . ( drer )
ˆ ˆ
b 
r

 kQ kQ 
→ V2 ( r ) =  − 
 r b 

r r q
(1): E1 (r) =? ← LG→ ∫
∴ Ñ .ds = NE
E
SG
ε0

πρ0 .r 4 ρ .r 2
→ E1.{ 4π r 2
} = → E1 = 0 = kπ .ρ 0 .r 2
ε0 4ε 0
r
r
( r ) = V ( r = a ) − ∫ E1.dr → V1 ( r ) = V ( a ) − kπρ0 ( r 3 − a3 )
r
V1 (r) =? → V1
a 3

Por continuidad del V en r = a : V1 ( a ) = V2 ( a )

1 1
→ V2 ( a ) = kQ  −  = V1 ( a ) = V ( a )
a b

 1 1  kπρ 0 3
→ V1 ( r ) = kQ  −  −
a b 3
( r − a3 )

 1 1  7kπρ 0 a
3
→ V1 ( a / 2 ) = kQ  −  +
a b 24



2aq cos θ
S2P35) Usando la ecuación: V ( r , θ ) = , r >> a, demuestre que las
4πε 0 r 2
superficies equipotenciales de un dipolo eléctrico son descritas por la
ecuación r2 = b cosθ donde b es una constante.

SOLUCION:

2a.q.cos θ
V ( r ,θ ) = ; r >> a
4πε 0 r 2

SE , V p : r 2 = b cos θ ; b : cte...?
r

kp cos θ
V ( r,θ ) =
r2

S E: V = cte

kp kp
→ r2 = cos θ → = b ( b : cte ) → r 2 = b cos θ
V V



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