Este documento presenta los conceptos básicos de probabilidad y estadística, incluyendo experimentos aleatorios, espacios muestrales, sucesos, operaciones con sucesos, regla de Laplace, definición axiomática de probabilidad, probabilidad condicionada, teorema de la probabilidad total y teorema de Bayes. Explica estos temas a través de definiciones, fórmulas y ejemplos para proporcionar una introducción completa a los fundamentos de la teoría de la probabilidad.

1. TEMA 5
PROBABILIDAD

2. 1. Experimentos aleatorios. Y
espacios muestrales
Los experimento aleatorios son aquellos cuyo resultado final
depende del azar, y por tanto no se puede predecir de
ante mano.
Al conjunto de todos los posibles resultados de un
experimento aleatorio lo llamaremos espacio muestral, y lo
designaremos por E.
Cada elemento que forma parte del espacio muestral E, se
denomina punto muestral.

3. 2. Sucesos aleatorios. Tipo de
sucesos.
Se llama suceso de un experimento aleatorio a cada uno
de los subconjuntos de espacio muestral E.
El conjunto de todos los sucesos de un experimento
aleatorio se denomina espacio de sucesos y se designa por
S.
En un experimento aleatorio con un espacio muestral de n
elementos (n finito), el conjunto espacio de sucesos tendrá
2

4. 2.1 Suceso seguro.
Un suceso seguro es aquel que siempre sucede. Por tanto,
este tipo de sucesos, estará formado por todos los posibles
resultados. Por ello se representa también por E.
2.2 Suceso elemental.
Un suceso elemental es aquel que está formado por un
único punto muestral, es decir, por un único resultado del
experimento aleatorio.
2.3 Suceso imposible.
Un suceso imposible es aquel que no se puede realizar. Por
ello se designa por O/

5. 2.4 Suceso contrario
Dado un suceso cualquiera A del espacio de sucesos S, se
llama suceso contrario al suceso A a un suceso que se
realiza siempre que no se realiza A y recíprocamente. Al
suceso contrario se le designa A-, Ac.
2.5 Suceso compatible e incompatible
Cuando se verifica la igualdad AÇB = Ø se dice que los
sucesos A y B son dos sucesos incompatibles, y, cuando la
intersección no es el suceso imposible los sucesos se llaman
compatibles.

6. 3. Operaciones con sucesos.
3.2 Intersección de sucesos
3.1 Unión de Dado dos sucesos A y B, de un
sucesos mismo experimento aleatorio,
se llama suceso intersección
Dados dos sucesos, A y B, de A y B el que se produce
de un mismo cuando se realizan
experimento aleatorio, simultáneamente los sucesos
A y B. Se designa A B. El
se llama suceso de
suceso A B está formado por
unión de A y B el que se los puntos muestrales
produce cuando se comunes a los sucesos A y B
realiza A o B, es decir,
alguno de los dos. Se
designa A U B. Al
suceso de unión entre A
y B se le denomina

7. ●
3. Operaciones con
sucesos.
3.3 Diferencia de sucesos
Dados dos sucesos, A y B, de un mismo experimento
aleatorio, se llama suceso diferencia de A y B el suceso A
B-, es decir, el que se produce cuando se realiza el suceso
A, pero no se realiza B. Se designa por A - B.

8. 4. Leyes de Morgan
1ª. El contrario de la unión es la intersección de los
contrarios.
2ª. El contrario de la intersección es la unión de los
contrarios.

9. 5. Regla de Laplace
Si un espacio maestral es equiprobable (es
decir, todas las opciones tienen la misma
posibilidad), entonces la probabilidad de
un suceso A es el cociente entre el número
de casos favorables al suceso A y el
número de casos posibles. Su fórmula es :

10. ●
6. Definición axiomática de
probabilidad
La definición axiomática de probabilidad se basa en la
relación que existe entre la frecuencia relativa de un
suceso y su probabilidad cuando el número de pruebas es
muy grande. Kolmogorov enunció la siguiente definición
axiomática de probabilidad.

11. 6. Definición axiomática de
probabilidad
●
Se llama probabilidad a una ley (función o aplicación) que
asocia a cada suceso A. de un espacio muestral, un
número real que llamamos probabilidad de A y
representamos por P (A), que cumple los siguientes
axiomas:
●
L a probabilidad de un suceso cualquiera es positiva o nula.
●
P(A) 0
●
La probabilidad de un suceso cierto es igual a la unidad.
●
P (E) = 1
●
La probabilidad de la unión de dos sucesos incompatibles es
igual a la suma de las probabilidades de cada uno de
ellos.
●
P(A U B)=P(A)+P(B) (A y B incompatibles)
●

12. 6. Definición axiomática de
probabilidad
●
Las consecuencias son:
●
Probabilidad del suceso contrario
La probabilidAd de , contrario al suceso A, es igual a 1
menos la probabilidad del suceso A.
P ( ) = 1 – P (A)
1= P(E) = P (A ) = P (A) + P ( )
●
Probabilidad del suceso imposible.
La probabilidad del suceso imposible es O: Como el
suceso imposible es el contrario del suceso cierto y P (E) =
1, aplicando el resultado anterior se obtiene:
●

13. 7.Probabilidad condicionada.
Sucesos dependientes e
independientes

 Se llama probabilidad condicionada del suceso A
respecto del suceso B, y se anota por P (A/B) a la
siguiente fórmula y consiste en que se tiene que
cumplir aquello que va tras la barra en este caso B
para que se cumpla el suceso A.
si P ( A ) 0
Al igual sucedería con la A condicionada de B.
De esta relación se obtiene el producto siguiente :
P( B /A ) = P( B/A ) · P( A )


14. 8. Teorema de la
probabilidad total


 Si A1, A2 ,... , An son:
Sucesos incompatibles 2 a 2.
Y cuya unión es el espacio muestral (A1 A2 … An= E).
Y B es otro suceso.
Resulta que:
 p(B) = p(A1) · p(B/A1) + p(A2) · p(B/A2) + ... + p(An) · p(B/An)


15. 9.Teorema de Bayes
 Si A1, A2,... , Anson:
Sucesos incompatibles 2 a 2.
Y
cuya unión es el espacio muestral (A1 A2... An= E).
Y B es otro suceso.
Resulta
que:
*Las probabilidades p(A1) se denominan probabilidades a priori.
*Las probabilidades p(Ai/B) se
denominan probabilidades a posteriori.
*Las probabilidades p(B/Ai) se denominan verosimilitudes.