1. TEMA 5: PROBABILIDAD

2. Índice
1.- Experimentos aleatorios. Espacios muestrales
2.- Sucesos aleatorios. Tipos de sucesos:
2.1.-Sucesos elementales
2.2.-Suceso seguro
2.3.-Suceso imposible
2.4.-Suceso contrario
2.5.-suceso compatible e incompatible
3.-Operaciones con sucesos:
3.1.-Unión de sucesos
3.2.-Intersección de sucesos
3.3.-Diferencia de sucesos
4.-Leyes de Morgan
5.-Regla de La Place
6.-Definición axiomática de probabilidad
7.-Probabilidad condicionada. Sucesos dependientes e
independientes
8.- Teorema de la probabilidad total
9.-Teorema de Bayes

3. 1. Experimentos aleatorios. Espacios
muestrales.
● Experimentos o fenómenos aleatorios son los
que pueden dar lugar a varios resultados, sin
que pueda ser previsible enunciar con certeza
cuál de éstos va a ser observado en la
realización del experimento.
● Espacio muestral es el conjunto formado por
todos los posibles resultados de un
experimento aleatorio. En adelante lo
designaremos por E.

4. 2. Sucesos aleatorios
● Un suceso aleatorio es un acontecimiento que ocurrirá
o no, dependiendo del azar.
- Suceso elemental: Suceso elemental es cada uno de los
elementos que forman parte del espacio muestral.
- Suceso seguro: El suceso seguro es aquel que está formado
por todos los resultados posibles, esto es, todo el espacio
muestral entendido como un suceso aleatorio. Se llama suceso
seguro porque es el suceso que siempre ocurre.
- Suceso imposible: El suceso imposible es aquel que está
formado ningún resultado esto es, el conjunto vacío. Se llama
suceso imposible porque es el suceso que nunca ocurre.

5. 2. Sucesos aleatorios
- Suceso contrario: El - Suceso compatible e
suceso contrario a A es otro incompatible: Dos sucesos,
suceso que se realiza A y B, son compatibles
cuando no se realiza A. cuando tienen algún suceso
elemental común. Dos
sucesos, A y B, son
incompatibles cuando no
tienen ningún elemento en
común.

6. 3. Operaciones con sucesos
3.1 Unión de sucesos
Es el suceso formado por todos los elementos de A y
todos los elementos de B:
3.2 Intersección de sucesos
Es el suceso formado por todos los elementos que son, a
la vez, de A y de B:
3.3 Diferencia de sucesos
Es el suceso formado por todos los elementos de A que
no son de B:

7. 4. Leyes de Morgan
1. El contrario de la unión es la intersección de
los contrarios:
2. El contrario de la intersección es la unión de
los contrarios:

8. 5. Regla de Laplace
● Si un espacio muestral es equiprobable, es
decir, si consta de un número finito de sucesos
simples y todos ellos tienen la misma
posibilidad de suceder; entonces la
probabilidad de un suceso A es:
●

9. 6. Definición axiomática de
probabilidad
● La definición axiomática de probabilidad se basa en la relación que
existe entre la frecuencia relativa de un suceso y su probabilidad
cuando el número de pruebas es muy grande.
● Se llama probabilidad a una ley que asocia a cada suceso A, de
un espacio de sucesos, un número real que llamamos probabilidad
de A y representamos por P(A), que cumple los siguientes
axiomas:
1. La probabilidad de un suceso cualquiera es positiva o nula:
2. La probabilidad del suceso cierto es igual a la unidad: P(A) =
E
3. La probabilidad de la unión de dos sucesos incompatibles es
igual a la suma de las probabilidades de cada uno de ellos:
P(A U B)=P(A)+P(B)

10. 7.Probabilidad condicionada.
Sucesos dependientes e
independientes
● Sean A y B dos sucesos tal que P( A ) 0, se
llama probabilidad de B condicionada a A,
P(B/A), a la probabilidad de B tomando como
espacio muestral A, es decir, la probabilidad de
que ocurra B dado que ha sucedido A.
●

11. 7.Probabilidad condicionada.
Sucesos dependientes e
independientes
● Dos sucesos A y B son dependientes si:
p(A/B) ≠ p(A)
● Dos sucesos A y B son independientes si:
p(A/B) = p(A)

12. 8. Teorema de la probabilidad
total
● El Teorema de la probabilidad total nos permite calcular la
probabilidad de un suceso a partir de probabilidades condicionadas
● La fórmula para calcular esta probabilidad es:
● Es decir, la probabilidad de que ocurra el suceso B (en nuestro
ejemplo, que ocurra un accidente) es igual a la suma de multiplicar
cada una de las probabilidades condicionadas de este suceso con
los diferentes sucesos A (probabilidad de un accidente cuando
llueve y cuando hace buen tiempo) por la probabilidad de cada
suceso A.
● Para que este teorema se pueda aplicar hace falta cumplir un
requisito: Los sucesos A tienen que formar un sistema completo, es
decir, que contemplen todas las posibilidades (la suma de sus
probabilidades debe ser el 100%).

13. 9.Teorema de Bayes
● El Teorema de Bayes viene a seguir el proceso
inverso al que hemos visto en el Teorema de la
probabilidad total:
- Teorema de la probabilidad total: a partir de las
probabilidades del suceso A deducimos la probabilidad
del suceso B.
- Teorema de Bayes: a partir de que ha ocurrido el
suceso B deducimos las probabilidades del suceso A.
● La fórmula del Teorema de Bayes es: