define que es la probabilidad

1. 1.1.7 Definición clásica de Probabilidad
Como ya se dijo anteriormente, un experimento es aleatorio cuando sus
resultados son inciertos. El método más adecuado para medir la incertidumbre de
los resultados o de un conjunto de resultados (evento) es la probabilidad.
Pero ¿Qué es la probabilidad? ¿Cómo podemos asignar probabilidades a los
diferentes eventos de un espacio de eventos?.Estas son preguntas que se tratarán
de contestar en forma precisa, tomando en cuenta las diferentes condiciones que
pueden existir en el problema.
Definición Clásica de Probabilidad
Si en un experimento pueden producirse N resultados igualmente posibles y si dentro de
estos N resultados el evento A puede ocurrir veces, la probabilidad del evento A está
dada por
Esta definición se aplica únicamente a experimentos cuyo espacio muestral esté
constituido por un número finito de resultados, los cuales deben de ser
igualmente posibles, o sea que a cada resultado se le asigna la misma
probabilidad (espacio muestral equiprobable) y es igual a , por lo que el
cálculo de probabilidades se reduce a contar los elementos de que consta el
evento del cual se quiere calcular la probabilidad (función de conjunto aditivo del
evento) y multiplicarlo por .
Ejemplo 1. 22. Se lanzan dos dados legales y se observa la suma de los números
que aparecen. Calcular la probabilidad de los eventos siguientes:
a) A={La suma es siete}.

2. b) B={La suma es mayor que ocho}.
c) C={Los números que aparecen son diferentes}.
d) D={La suma es un número par mayor que siete}
Solución.
Primero encontremos el espacio de eventos:
en donde hay 36 resultados, por lo que N=36
a) El evento A está constituido por todos los resultados cuya suma es siete, por
lo que . Como son seis resultados,
entonces , por lo que
b) El evento B lo integran los resultados cuya suma sea mayor que ocho.
Entonces y
. En consecuencia
c) El evento C está formado por todos los resultados en que aparecen números
diferentes. Observando el espacio de eventos S se puede observar que hay 30
resultados que tienen esta característica, por lo
que y

3. d) El evento D está compuesto por aquellos resultados cuya suma sea par y
menor que siete.
Así y . Por lo
tanto
Ejemplo 1. 23. Una urna contiene tres canicas amarillas y siete verdes. Si se
extrae una canica al azar ¿Cuál es la probabilidad de que sea amarilla?
Solución.
Definamos el evento . Se tiene un total de diez
canicas, N=10, de las cuales tres son amarillas, . En
consecuencia,
1.1.8 Definición de probabilidad como frecuencia relativa
Por desgracia las suposiciones establecidas en la definición clásica de
probabilidad pocas veces se cumplen en problemas prácticos y por lo tanto esta
definición no se puede aplicar genéricamente. Por ejemplo, si se pregunta por la
probabilidad de que haya un choque de vehículos en cierto crucero en una
fecha determinada, o que se pierda cierta cantidad de artículos en una estación
de ferrocarril, entonces no hay forma de introducir los supuestos que exige la
definición clásica de probabilidad. Debido a esto es que se necesita ampliar el
concepto de probabilidad, de forma que se puedan obtener soluciones para
problemas prácticos.

4. Consideremos un experimento cuyos resultados posibles son los eventos A, B, C
y D, tales que S = {A, B, C, D}. Si este experimento se realiza cien veces y se
anota el número de ocasiones que ocurre cada evento, se puede obtener la
siguiente información
Evento Veces que ocurre
A 14
B 45
C 30
D 11
Total 100
Con esta información podemos decir que A ocurrió el 14% de las veces, B el
45%, C el 30% y D el 11% de las veces. Estos valores se obtuvieron dividiendo el
número de veces que ocurrió cada evento entre el número de veces que se
repitió el experimento y cada uno de los valores recibe el nombre de frecuencia
relativa. Este concepto se formaliza en los términos siguientes:
Si A es un evento asociado a un experimento, la frecuencia relativa de A está dada por la
ecuación , donde es el número de veces que ocurre el evento A en las N
repeticiones del experimento.
Por otra parte, la experiencia indica que si repetimos muchas veces un
experimento aleatorio, la frecuencia relativa de los eventos tiende a
permanecer constante, en cuyo caso decimos que el experimento muestra

5. regularidad estadística. Esto se manifiesta con los datos de la tabla siguiente, en
donde se reportan los resultados de lanzar una moneda
Experimentos
hechos por:
Número de
lanzamientos
Número
de caras
Frecuencia
Relativa
Buffon 4,040 2,048 0.5069
K. Pearson 12,000 6,019 0.5016
L. Pearson 24,000 12,012 0.5005
En otras palabras, la regularidad estadística establece que las frecuencias
relativas tienden a estabilizarse y aproximarse a un valor fijo después de un gran
número de repeticiones del experimento.
Tomando en cuenta lo antes mencionado, podemos definir la probabilidad
como frecuencia relativa en los términos siguientes:
Si un evento A se produce veces en un experimento, la probabilidad del evento A es la
frecuencia relativa de ocurrencia del evento, cuando el número de veces N que se realiza el
experimento tiende a infinito, o sea

6. A este concepto de probabilidad se le ha dado en llamar enfoque empírico y
debemos tomar en cuenta los siguientes puntos:
1. La probabilidad obtenida de esta manera es una estimación y no una
probabilidad exacta.
El hecho de que si en 100 veces que accionemos un encendedor de cierta
marca se encienda 90 veces al primer intento, no garantiza que la
probabilidad de que ese encendedor se encienda al primer intento sea 0.9, o
que si salen 6 caras al lanzar 10 veces una moneda, la probabilidad de que
salga cara sea 0.6.
2. Cuanto mayor sea el número de veces que se realiza el experimento, tanto
mejor será la estimación de la probabilidad.
3. La probabilidad es válida sólo cuando existen condiciones idénticas a
aquellas en las que se obtuvieron los datos.
Fuera de las ciencias exactas resulta muy difícil o imposible igualar las
condiciones en que se realiza un experimento. En consecuencia, la confianza
que se le puede dar a esta probabilidad debe tomar en cuenta el grado de
discrepancia que hay entre las condiciones en las que se obtienen los datos y
aquellas en las que habrán de aplicarse las probabilidades resultantes.
Ejemplo 1. 24. La Sociedad Mundial de Gemelos ha observado que de cada mil
personas con antecedentes familiares de gemelos, 58 tienen descendencia de

7. gemelos ¿Cuál es la probabilidad de que una persona que tiene antecedentes
familiares de gemelos, tenga descendencia de gemelos?
Solución.
Definamos el evento D como persona que tiene antecedentes familiares de
gemelos tenga descendencia de gemelos. De esta forma y
como N=1000 entonces
PROBABILIDAD AXIOMATICA:
Los axiomas de probabilidad son las condiciones mínimas que deben verificarse para que una función
que definimos sobre unos sucesos determine consistentemente valores de probabilidad sobre dichos
sucesos.
La probabilidad P de un suceso E, denotada por P(E), se define con respecto a un "universo"
o espacio muestral Ω, conjunto de todos los posibles sucesos elementales, tal que P verifique los
Axiomas deKolmogoróv, enunciados por el matemático ruso de este nombre en 1933. En este sentido,
el suceso E es, en términos matemáticos, un subconjunto de Ω.
PRIMER AXIOMA:
La probabilidad de un suceso A es un número real mayor o igual que 0.
La probabilidad de un suceso es un número positivo o nulo.
SEGUNDO AXIOMA:
La probabilidad del total, Ω, es igual a 1.
Ω representa todas las posibles alternativas y se denomina suceso seguro.
TERCER AXIOMA:
Si A1, A2... son sucesos mutuamente excluyentes (incompatibles dos a dos, disjuntos o de intersección
vacía dos a dos), entonces:
.
Según este axioma se puede calcular la probabilidad de un suceso compuesto de varias alternativas

8. mutuamente excluyentes sumando las probabilidades de sus componentes.
PROPIEDADES QUE SE DEDUCEN DE LOS AXIOMAS
De los axiomas anteriores se deducen otras propiedades de la probabilidad:
1.- donde el conjunto vacío representa en probabilidad el suceso imposible
2.-Para cualquier suceso
3.-
4.-Si entonces
5.-
PORBABILIDAD CONDICIONAL
Probabilidad condicionada es la probabilidad de que ocurra un eventoA, sabiendo que también sucede
otro evento B. La probabilidad condicional se escribe P (AB), y se lee «la probabilidad de A dado B.
No tiene por qué haber una relación causal o temporal entre A y B. A puede preceder en el tiempo a B,
sucederlo o pueden ocurrir simultáneamente. A puede causar B, viceversa o pueden no tener relación
causal. Las relaciones causales o temporales son nociones que no pertenecen al ámbito de la
probabilidad. Pueden desempeñar un papel o no dependiendo de la interpretación que se le dé a los
eventos.
Dado un espacio de probabilidad y dos eventos (o sucesos), la probabilidad condicional de A dado B
esta definida como:
INDEPENDENCIA DE SUCESOS:
Dos sucesos aleatorios A y B son independientes si y sólo si:
O sea que si A y B son independientes, su probabilidad conjunta, ó P(A, B).
Puede ser expresada como el producto de las probabilidades individuales. Equivalentemente:
En otras palabras, si A y B son independientes, la probabilidad condicional de A dado B es simplemente
la probabilidad de A y viceversa.
EXCLUSIVIDAD MUTUA:
Dos sucesos A y B son mutuamente excluyentes si y sólo si . Entonces, .
Además, si P(B) > 0 entonces es igual a 0.
FORMULAS

9. Probabilidad Axiomática:
1.- P(A) ≥ 0
2.- P(A) ≤ 1
3.- P (Ac) = 1- P(A)
Si A y B son mutuamente excluyentes:
5.- P (AUB) = P(A) + P(B)
Si A y B no son mutuamente excluyentes:
6.- P (AUB) = P(A) + P(B) – P(A∩B)
Probabilidad Condicional:
7.- P(AB) = P(A∩B) / P(B)
8.- P(BA) = P(A∩B) / P(A)
Si A y B son independientes:
9.- P (AUB) = P(A) – P (B)
Si A y B son dependientes:
10.- P (A∩B) = P (B) · P (AB)
= P (A) · P (BA)
¿Que es mutuamente excluyentes?
P (AUB) = P(A) + P(B)
A y B son mutuamente excluyentes – Sus puntos no se INTERSECTAN.

10. P (AUB) = P(A) + P(B) – P(A∩B)
A y B no son mutuamente excluyentes – Uno o más de sus puntos se intersectan.
Publicado por Equipo 03en 9:13
8 comentarios:
1.
jaime2 de diciembre de 2009, 5:53
buen desarrollo de los problemas y buenos conceptos me a quedado mas claro el tema de
probabilidad axiomatica.
Responder
2.
ariazfer3 de diciembre de 2009, 13:50
MUY BUENO SU BLOG SOLO LE RECOMIENDO QUE CHEQUEN ALGUNOS ERRORES DE
ORTOGRAFIA.
SIN NADA MAS QUE ARGUMENTAR ME RETITO
ATTE: FERNANDO ARIAS OSORIO (FERCHO)
Responder
3.
benjamin gabriel aguilar3 de diciembre de 2009, 18:24
oollaa
esta muy bien hecho su blog
suerte
benjamin gabriel aguilar
Responder
4.
gGaMyJilM3 de diciembre de 2009, 19:24

11. los problemas estan bn desarrollados
les quedo mui bn
atte: Mirna T. Miranda Lagunez
Responder
5.
gGaMyJilM3 de diciembre de 2009, 19:29
esta muy bien su blog
se ve que se esforsaron mucho
atte. Ortega Herrera Guadalupe
Responder
6.
gGaMyJilM3 de diciembre de 2009, 19:32
jejejeje see esforsaron un buueen
esta muy felizz su blog...
:D
by:Miirelithaa Montiel fernandez
Responder
7.
cgcg3 de diciembre de 2009, 20:24
ola:
esta padre su blog,
se nota su esfuerzo.
atte:
cecilia cano
Responder
8.
ccc-coral3 de diciembre de 2009, 21:06

12. Hola :)
Su información esta
muy buena y muy completa
Felicidades!
Atte: Coral Andrade G.
1. INTRODUCCION A LA
PROBABILIDAD
2. DISTRIBUCION DE
PROBABILIDAD
3. PROGRAMACIÓN LINEAL
4. MODELOS DE LINEA DE
ESPERA
5. PROCESOS DE MARKOV
1. INTRODUCCION A LA PROBABILIDAD
PROBABILIDAD
La probabilidad es una herramienta de ayuda para la toma de decisiones porque
proporciona una forma de medir, expresar y analizar las incertidumbres asociadas
con eventos futuros de razones entre el número de casos favorables y el número
de casos posibles.
¿Qué es probabilidad? Es una medida numérica de la posibilidad de que ocurrirá
un evento en la que sus valores se asignan en una escala de 0 a 1.
EXPERIMENTO Y ESPACIO MUETRAL
Experimento: es como cualquier proceso que pueda generar uno de un conjunto de
resultados bien definidos. Ejemplo: lanzar una moneda.
Espacio muetral: es el conjunto de todos los resultados que pueda suceder.
Ejemplo: cara o cruz
La probabilidad de un resultado experimental es resultado posible que ocurra.
Se deben satisfacer dos requerimientos de probabilidad:
1. Los valores de las probabilidades asignados. (0<=P(Ei) <=1)
2. La suma de los posibles resultados experimentales debe ser 1
.(P(Ei)+P(E2)+…….P(EK)=1)

13. EVENTOS Y SUS PROBABILIDADES
Un evento es una colección de puntos muestrales, por ejemplo:
1. La probabilidad de lanzar un dado de cómo resultados números pares
A= 1,2,3,4,5,6
A= 2,4,6
El dado tiene seis punto muestrales por lo que probabilidad de que es resultado
experimental o punto muestral seria el evento A.
2. Si se tienen 3 cincos amarillos, 2 cincos morados y 4 cincos verdes, entonces:
3/9+2/9+4/9=1

16. 1.3.5 Teorema de Bayes
La interpretación más aceptada del teorema de Bayes, es que su estructura
permite el calculo de probabilidades después de haber sido realizado un
experimento (probabilidades aposteriori), basándose en el conocimiento de la
ocurrencia de ciertos eventos que dependan del evento estudiado, o sea, se
parte de probabilidades conocidas antes de efectuar el experimento
(probabilidades apriori), las cuales son afectadas por las probabilidades propias
del experimento (las que aparecen durante la ocurrencia del evento).
Continuando nuestro análisis sobre el teorema de Bayes, la probabilidad
condicional de Ai dado B, para cualquier i, es:
Aplicando en el numerador la Regla de Multiplicación P(AiB) = P(Ai) P(B|Ai) y
en el denominador el Teorema de Probabilidad Total P(B) = P(A1) P(B | A1) +
P(A2) P(B | A2) + . . . + P(An) P(B | An), obtenemos la ecuación que representa al:

17. Teorema de Bayes
Ejemplo 3. 11. Referente al problema de la fábrica que produce dos tipos de
reguladores A y B visto anteriormente en la aparte corresponde al Teorema de
Probabilidad Total, cabe hacer el siguiente análisis: si se selecciona un regulador
al azar de la producción de la fábrica y se ve que funciona bien ¿Cuál es la
probabilidad de que sea del tipo B?
Solución
En este caso el estudio se restringe a los reguladores que funcionan bien, por lo que ese
evento actúa como espacio muestral reducido, o sea como evento condición. Por lo tanto, el
planteamiento de la pregunta es P(B | F).
Los datos que se tienen son :
P(A) = 0.75 P(F | A) = 0.95
P(B) = 0.25 P(F | B) = 0.98
De acuerdo al Teorema de Bayes:

18. Podemos observar que el denominador corresponde al resultado obtenido al
aplicar el Teorema de Probabilidad Total, lo cual debe ser así, ya que la
probabilidad condicional establece que . De esta forma
podemos ver que la Probabilidad
Total es el denominador de la fórmula del Teorema de Bayes. También podemos
observar que aplicando los conceptos de la Regla de Multiplicación y del
Teorema de Probabilidad Total llegamos al planteamiento del teorema
de Bayes, Veamos:
Ejemplo 3. 12. Una fábrica que produce material para la construcción tiene 3 máquinas, a
las que se les denomina A, B y C. La máquina A produce tabique, la B adoquín y la C
losetas. La máquina A produce el 50% de la producción total de la fábrica, la B el 30% y la
C el 20%. Los porcentajes de artículos defectuosos producidos por las máquinas son,
respectivamente, 3%, 4% y 5%. Si se selecciona un artículo al azar y se observa que es
defectuoso, encontrar la probabilidad de que sea un tabique.
Solución

19. Definamos el evento D como sea un artículo defectuoso. De acuerdo a
esto tenemos que:
P(A) = 0.5 P(D | A) = 0.03
P(B) = 0.3 P(D | B) = 0.04
P(C) = 0.2 P(D | C) = 0.05
Si el artículo del que deseamos calcular la probabilidad es un tabique, significa que
es producido por la máquina A. También observamos que en la solución solamente
participan los artículos defectuosos, ya que se pone por condición esta característica. Por lo
tanto:
Ejemplo 3. 13. A un congreso asisten 100 personas, de las cuales 65 son hombres y 35 son
mujeres. Se sabe que el 10% de los hombres y el 6% de las mujeres son especialistas en
computación. Si se selecciona al azar a un especialista en computación ¿Cuál es la
probabilidad de que sea mujer?
Solución
Definamos los eventos:

20. H: Sea un hombre
M: Sea una mujer
E: La persona sea especialista en computación
Tenemos que:
Por lo tanto: