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Teoria de la Probabilidad
- 1. Maracaibo, Estado Zulia, 20 de junio de 2014 República Bolivariana de Venezuela Ministerio del Poder Popular Para la Educación Universitaria Instituto Universitario Politécnico “Santiago Mariño” Unidad Curricular: Estadística Realizado Por: Soto, Argenis C.I. 23.281.068
- 2. Introducción El concepto de probabilidad nace con el deseo del hombre de conocer con certeza los eventos futuros. Es por ello que el estudio de probabilidades surge como una herramienta utilizada por los nobles para ganar en los juegos y pasatiempos de la época. El desarrollo de estas herramientas fue asignado a los matemáticos de la corte. Con el tiempo estas técnicas matemáticas se perfeccionaron y encontraron otros usos muy diferentes para la que fueron creadas. Actualmente se continuó con el estudio de nuevas metodologías que permitan maximizar el uso de la computación en el estudio de las probabilidades disminuyendo, de este modo, los márgenes de error en los cálculos. La teoría de probabilidades se ocupa de asignar un cierto número a cada posible resultado que pueda ocurrir en un experimento aleatorio, con el fin de cuantificar dichos resultados y saber si un suceso es más probable que otro.
- 3. CONTENIDO La teoría de probabilidades se ocupa de asignar un cierto número a cada posible resultado que pueda ocurrir en un experimento aleatorio, con el fin de cuantificar dichos resultados y saber si un suceso es más probable que otro. Con este fin, introduciremos algunas definiciones: Suceso Es cada uno de los resultados posibles de una experiencia aleatoria. Ejemplo Al lanzar una moneda salga cara. Al lanzar un dado se obtenga 4. Espacio muestral Es el conjunto de todos los posibles resultados de una experiencia aleatoria, lo representaremos por E (o bien por la letra griega Ω). Ejemplo Espacio muestral de una moneda: E = {C, X}. Espacio muestral de un dado: E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Suceso aleatorio Suceso aleatorio es cualquier subconjunto del espacio muestral. Ejemplo Tirar un dado un suceso sería que saliera par, otro, obtener múltiplo de 3, y otro, sacar 5.
- 4. Según la frecuencia relativa y definición axiomática Axiomas de probabilidad La autodefinición axiomática de la probabilidad se define con base a sí misma (igualmente factible es sinónimo de igualmente autoprobable) se define la probabilidad estimada u honírica basada en la frecuencia relativa de aparición de un suceso S cuando es muy grande. La probabilidad de un suceso es una medida que se escribe como y mide con qué frecuencia ocurre algún suceso si se hace algún experimento indefinidamente. La definición anterior es complicada de representar matemáticamente ya que debiera ser infinito. Otra manera de definir la probabilidad es de forma axiomática esto estableciendo las relaciones o propiedades que existen entre los conceptos y operaciones que la componen. Definición clásica de probabilidad La probabilidad es la característica de un evento, que hace que existan razones para creer que éste se realizará. La probabilidad p de que suceda un evento S de un total de n casos posibles igualmente probables es igual a la razón entre el número de ocurrencias h de dicho evento (casos favorables) y el número total de casos posibles n. La probabilidad es un número (valor) que varia entre 0 y 1. Cuando el evento es imposible se dice que su probabilidad es 0, si el evento es cierto y siempre tiene que ocurrir su probabilidad es 1. La probabilidad de no ocurrencia de un evento está dada por q, donde: Sabemos que p es la probabilidad de que ocurra un evento y q es la probabilidad de que no ocurra, entonces p + q = 1
- 5. Simbólicamente el espacio de resultados, que normalmente se denota por , es el espacio que consiste en todos los resultados que son posibles. Los resultados, que se denota por , etcétera, son elementos del espacio . Probabilidad discreta Este tipo de probabilidad, es aquel que puede tomar sólo ciertos valores diferentes que son el resultado de la cuenta de alguna característica de interés. Probabilidad continua Una variable aleatoria es una función medible Que da un valor numérico a cada suceso en . Función de densidad Función de densidad La función de densidad, o densidad de probabilidad de una variable aleatoria, es una función a partir de la cual se obtiene la probabilidad de cada valor que toma la variable. Su integral en el caso de variables aleatorias continuas es la distribución de probabilidad. En el caso de variables aleatorias discretas la distribución de probabilidad se obtiene a través del sumatorio de la función de densidad. Tipos de sucesos Suceso elemental Suceso elemental es cada uno de los elementos que forman parte del espacio muestraL. Suceso aleatorio Suceso compuesto es cualquier subconjunto del espacio muestral. Suceso seguro Suceso seguro, E, está formado por todos los posibles resultados (es decir, por el espacio muestral).
- 6. Suceso imposible Suceso imposible, es el que no tiene ningún elemento. Por ejemplo al tirar un dado obtener una puntuación igual a 7. Sucesos compatibles Dos sucesos, A y B, son compatibles cuando tienen algún suceso elemental común. Sucesos incompatibles Dos sucesos, A y B, son incompatibles cuando no tienen ningún elemento en común. Sucesos independientes Dos sucesos, A y B, son independientes cuando la probabilidad de que suceda A no se ve afectada porque haya sucedido o no B. Sucesos dependientes Dos sucesos, A y B, son dependientes cuando la probabilidad de que suceda A se ve afectada porque haya sucedido o no B. Suceso contrario El suceso contrario a A es otro suceso que se realiza cuando no se realiza A., Se denota por . Unión de Sucesos La unión de sucesos, A B, es el suceso formado por todos los elementos de A y de B. Intersección de sucesos La intersección de sucesos A B, es el suceso formado por todos los elementos que son, a la vez, de A y B. Diferencia de sucesos
- 7. La diferencia de sucesos, A − B, es el suceso formado por todos los elementos de A que no son de B. Sucesos contrarios El suceso = E - A se llama suceso contrario o complementario de A. Axiomas de la probabilidad 1.0 ≤ p(A) ≤ 1 2.p(E) = 1 3.p(A B) = p(A) + p(B) Propiedades de la probabilidad 1 2 3 4 5 Si A1, A2, ..., Ak son incompatibles dos a dos entonces: 6 Si el espacio muestral E es finito y un suceso es S = {x1, x2, ..., xn} entonces:
- 8. Ley de Laplace Probabilidad de la unión de sucesos incompatibles A B = p(A B) = p(A) + p(B) Probabilidad de la unión de sucesos compatibles A B ≠ p(A B) = p(A) + p(B) − p(A B) Probabilidad condicionada Probabilidad de la intersección de sucesos independientes p(A B) = p(A) · p(B) Probabilidad de la intersección de sucesos dependientes p(A B) = p(A) · p(B/A) Teorema de la probabilidad total Si A 1, A 2 ,... , A n son sucesos incompatibles 2 a 2, cuya unión es el espacio muestral (A 1 A 2 ... A n = E) y B es otro suceso, resulta que:: p(B) = p(A1) · p(B/A1) + p(A2) · p(B/A2 ) + ... + p(An) · p(B/An )
- 9. Teorema de Bayes Si A 1, A 2 ,... , A n son sucesos incompatibles 2 a 2, cuya unión es el espacio muestral (A 1 A 2 ... A n = E) y B es otro suceso, resulta que:: El cálculo de probabilidades nos suministra las reglas para el estudio de los experimentos aleatorios o de azar, constituyendo la base para la estadística inductiva o inferencial.
- 10. Conclusión La probabilidad mide la frecuencia con la que se obtiene un resultado (o conjunto de resultados) al llevar a cabo un experimento aleatorio, del que se conocen todos los resultados posibles, bajo condiciones suficientemente estables. La teoría de la probabilidad se usa extensamente en áreas como la estadística, la física, la matemática, la ciencia y la filosofía para sacar conclusiones sobre la probabilidad de sucesos potenciales y la mecánica subyacente de sistemas complejos. La probabilidad constituye un importante parámetro en la determinación de las diversas casualidades obtenidas tras una serie de eventos esperados dentro de un rango estadístico. La probabilidad mide la frecuencia con la que ocurre un resultado en un experimento bajo condiciones suficientemente estables. La teoría de la probabilidad se usa extensamente en áreas como la estadística, la matemática, la ciencia y la filosofía para sacar conclusiones sobre la probabilidad de sucesos potenciales y la mecánica subyacente de sistemas complejos. "...Uno de los objetivos fundamentales de la Probabilidad es evaluar la posibilidad de que un suceso ocurra o que no ocurra. Es importante saber que el cálculo de probabilidades permite la toma de decisiones." (Gadino y Bressan, 2005).