Este documento explica las reglas de la multiplicación y la probabilidad condicional en la probabilidad. La regla de la multiplicación establece que la probabilidad de que ocurran dos sucesos A y B es P(A) x P(B) si A y B son independientes, o P(A) x P(B|A) si A y B son dependientes. También presenta ejemplos como calcular la probabilidad de responder correctamente dos preguntas de un examen o la probabilidad de seleccionar una vaina verde y luego una vaina amarilla en un experimento de Mendel.

1. Fundamentos Ing. Gerardo Valdés Bermúdes

2. Regla de la Multiplicación En la solución de algunos problemas es necesario considerar la probabilidad de que ocurra un suceso A en un primer ensayo y el suceso B ocurra en un segundo ensayo. Esto se representa con la expresión P (A y B). P (A y B)= P (Ocurre el suceso A y después ocurre el suceso B)

3. Regla de la Multiplicación En la probabilidad P(A o B) se asocia o con sumar. En éste caso P(A y B), y se asocia con la operación de multiplicación.

4. Ejemplo En una sección de un examen hay una pregunta del tipo Verdadero/Falso y enseguida una pregunta de opción múltiple (5 opciones). ¿Qué probabilidad hay de contestar las dos correctamente si se contesta al azar?

5. Diagrama de Árbol En éste caso es útil el empleo de una imagen grafica de todos los resultados posibles de un procedimiento que se muestran como líneas que emanan de un punto de partida. El grafico se llama Diagrama de árbol y se utiliza para determinar el espacio muestral en muchos problemas.

6. Espacio Muestral del Problema a Va b Vb c V Vc d Vd e Ve a Fa b Fb F c Fc d Fd e Fe 2 5 10 x =

7. Ejemplo El espacio muestral consiste en 10 posibles resultados. Si se elige al azar, todos son igualmente posibles. Va Vb Vc Vd Ve Fa Fb Fc Fd Fe 1 __ P(ambas correctas)= 10 1 1 __ __ P(en reactivo F/V)= P(en opción múltiple)= 2 5 1 1 1 __ __ __ = Notar que : 10 2 5 P(ambas correctas)= P(en reactivo F/V) x P(en opción múltiple)

8. Regla Intuitiva de la Multiplicación P(A y B)= P(A)· P(B) La expresión anterior se utiliza en el caso de que los sucesos A y B sean independientes(cuando la ocurrencia de uno no afecta la probabilidad de la ocurrencia del otro). Si A y B no son independientes, se dice que son dependientes.

9. Ejemplo: Experimento de Mendel Si dos de los chicharos se seleccionan al azar sin reemplazo, calcula la probabilidad de que la primera selección tenga una vaina verde y la segunda una vaina amarilla (sin considerar el color de la flor)

10. Ejemplo: Experimento de Mendel Primera selección: P(Vaina verde)= Segunda selección: P(Vaina amarilla)= 8 14 6 13

11. Ejemplo: Experimento de Mendel P(primer chícharo con vaina verde y segundo chícharo con vaina amarilla)=( )( )=0.264 El punto clave es que se tiene que ajustar la probabilidad del segundo suceso para reflejar el resultado del primer suceso. 6 13 8 14

12. Probabilidad Condicional Cuando la probabilidad del segundo suceso B debe tomar en cuenta el hecho de que el primer suceso ya ocurrió, éste principio puede expresarse usando la notación: P(B|A) se lee “Probabilidad de B dado A” y representa la probabilidad de que un suceso ocurra después de admitir que el suceso A ocurrió.

13. Regla formal de la Multiplicación P (A o B) = P (A) · P (B|A) Si A y B son sucesos independientes P(B|A) es lo mismo que P(B)

14. Regla de la Multiplicación P (A y B) Regla de la Multiplicación Si ¿Son A y B independientes? P (A y B) = P (A) ·P (B) No P (A y B) = P (A) · P (B|A)

15. Conclusiones Los fundamentos de las reglas de la suma y de la multiplicación se resumen como sigue: a) En la regla de la suma, la palabra “o” en P(A o B) sugiere suma. Sumar P(A) y P(B), verificando si no existe traslape. b) En la regla de la multiplicación, la palabra “y” en P(A y B) sugiere una multiplicación. Multiplicar P(A) y P(B) verificando si el suceso B toma en cuenta la ocurrencia previa de A