4. Aplicar de manera eficiente el
razonamiento deductivo en diversos
casos de arreglos numéricos bajo
determinadas condiciones .
OBJETIVO
Comprender y aplicar correctamente las tablas
de verdad de los operadores lógicos así como
también las leyes de la lógica proposicional.
Usar adecuadamente el razonamiento lógico
en el análisis de proposiciones reforzando los
conceptos de la lógica.
Aplicar de manera eficiente el razonamiento
deductivo en diversos casos de arreglos
numéricos bajo determinadas condiciones .
5. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E R A Z . M A T E M Á T I C O
PROPOSICIÓN LÓGICA
PROPOSICIÓN SIMPLE O ATÓMICA PROPOSICIÓN COMPUESTA O MOLECULAR
LÓGICA PROPOSICIONAL
Es la parte de la lógica que estudia las proposiciones y la relación existente entre ellas.
Proposición Lógica: Es aquel enunciado que puede ser calificado como verdadero (v) o falso (F)
sin ambigüedad en un determinado contexto.
Las proposiciones lógicas se denotan con las letras minúsculas: p, q, r, s…etc.
p: Lima es la capital del Perú
q: 10 es un número primo
Kevin estudia inglés y computación
p q
y es llamado conectivo lógico
6. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E R A Z . M A T E M Á T I C O
CONECTIVOS LÓGICOS
Son palabras que se representan por símbolos, se utilizan para negar una proposición simple o enlazan
proposiciones simples sin ser parte de ellos. Dichos símbolos también toman el nombre de operadores.
Los conectivos lógicos son
No es cierto que jugaré fútbol
Miguel va a comer o beber
Si me rio entonces estoy jugando
Luisa trabaja y estudia
O me caso o me quedo soltero
Ingresare si y solo si estudio
OPERACIÓN
LÓGICA CONECTIVOS LÓGICOS SÍMBOLO REPRESENTACIÓN
NEGACIÓN No es cierto que
CONJUNCIÓN … y …
DISYUNCIÓN
INCLUSIVA
… o …
CONDICIONAL Si … entonces …
BICONDICIONAL … si y solo si …
DISYUNCIÓN
EXCLUSIVA
o … o …
~ p
~
p q
p q
p → q
→
p q
p q
7. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E R A Z . M A T E M Á T I C O
I. NEGACIÓN
~ p : No voy a dormir
Se lee:
No p
No es cierto que p
Nunca p
Es falso que p
II. CONJUNCIÓN
Se lee:
además, pero, sin
embargo, aunque,
también, …
III. DISYUNCIÓN DÉBIL O INCLUSIVA
Se lee:
salvo que, o sino,
excepto que , …
p o q o ambos
IV. CONDICIONAL
Se lee:
Si p, q q, si p
p sólo si q q porque p
p por lo tanto q
q dado que p
V. BICONDICIONAL
Se lee:
Cuando y solo cuando,
es necesario y suficiente
para, es lo mismo que, …
VI. DISYUNCIÓN FUERTE O EXCLUSIVA
Se lee:
salvo que solo, ...o…o,
a menos que solamente, …
p o q
no ambos
8. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E R A Z . M A T E M Á T I C O
TABLAS DE VERDAD
La validez de una proposición compuesta depende de los valores de verdad de las proposiciones
simples que la componen y se puede esquematizar mediante una tabla de verdad.
9. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E R A Z . M A T E M Á T I C O
LEYES DE LA LÓGICA PROPOSICIONAL
2.Ley de la idempotencia
3. Ley conmutativa
4. Ley asociativa
5. Ley distributiva
1. Ley Involutiva o doble negación
10. Ley del complemento
11. Ley de la identidad
6. Ley de D´Morgan
7. Ley de absorción
8. Ley de la condicional
9. Ley de la bicondicional
p q ≡ ( p → q ) ( q → p )
p q ≡( p q ) (~p ~q )
p → q ≡ ~p q
p → q ≡ ~q → ~p
~ (p q) ≡ ~ p ~ q
~ (p q) ≡ ~ p ~q
p (p q) ≡ p
p (p q) ≡ p
p (~ p q) ≡ p q
p (~ p q) ≡ p q
p p ≡ p p p ≡ p
p ( q r ) ≡ ( p q ) r
p ( q r ) ≡ ( p q ) r
p ( q r ) ≡ ( p q ) ( p r )
p ( q r ) ≡ ( p q ) ( p r )
p V ≡ p p F ≡ F
p F ≡ p p V ≡ V
p ~p ≡ F p ~p ≡ V
( p ) ≡ p
Son equivalencias lógicas que permiten reducir esquemas moleculares y expresarlos en forma más sencilla.
10. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E R A Z . M A T E M Á T I C O
La negación del enunciado “Si Inés está
bien de salud, entonces ella sigue las
indicaciones de su médico” es
A) “Inés está bien de salud y no sigue
las indicaciones de su médico”.
B) “Inés está bien de salud y sigue las
indicaciones de su médico”.
C) “Inés no está bien de salud y no sigue
las indicaciones de su médico”.
D) “Inés no está bien de salud y sigue
las indicaciones de su médico”.
UNMSM 2018 - I
Aplicación 01:
Resolución:
Nos piden: Cual es la alternativa es correcta
De los enunciados tenemos lo siguiente:
p: lnés esta bien de salud
q: Sigue las indicaciones de su médico
Simbolizando obtenemos lo siguiente
p → q
Negando todo el enunciado
(p → q)
~ (~p q)
p ~q
… Morgan
Se obtiene: “Inés está bien de salud y no sigue las indicaciones de su médico”.
∴ Inés está bien de salud y no sigue las indicaciones de su médico.
11. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
Jaime es un
buen fiscal
no protege al
corrupto
no es un
buen fiscal
Jaime es
policía
→ → ≡ F
F
V
V
V
F
Luego :
Jaime no es un buen fiscal
Jaime no es policía
C U R S O D E R A Z . M A T E M Á T I C O
Aplicación 02:
El argumento «Si Jaime es un buen
fiscal, entonces no protege al corrupto;
pero no es un buen fiscal, por lo tanto,
Jaime es policía» es falso. Entonces,
¿cuál o cuales de las afirmaciones son
verdaderas?
I. Jaime es un buen fiscal.
II. El corrupto es amigo de Jaime.
III. Jaime no es policía.
A) I y II
B) Solo III
C) Solo I
D) I y III
UNMSM 2020 - I
Resolución:
Nos pide: Cuál o cuales de las afirmaciones son verdaderas
De los enunciados tenemos lo siguiente:
?
Evaluando las proposiciones:
I. Es falso.
II. No se puede determinar.
III. Es verdadero.
∴ 𝑆𝑜𝑙𝑜 𝑙𝑎 𝑎𝑙𝑡𝑒𝑟𝑛𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎 𝐼𝐼𝐼 𝑒𝑠 𝑣𝑒𝑟𝑑𝑎𝑑𝑒𝑟𝑎.
12. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E R A Z . M A T E M Á T I C O
VERDADES Y MENTIRAS
RESOLUCIÓN POR.SUPOSICIÓN RESOLUCIÓN POR CONTRADICCIÓN
PRINCIPIOS
Para el análisis de
dos proposiciones
PRINCIPIO DE EQUIVALENCIA
PRINCIPIO DE CONTRADICCIÓN
VERDADES Y MENTIRAS
En este tipo de problemas ubicaremos a una o mas proposiciones cuyos valores de verdad se desconocen, pero podemos
relacionarlas entre si mediante dos criterios de resolución: la búsqueda de contradicciones entre ellas o partiendo de una
suposición, dependiendo de las condiciones dadas, y de esa manera llegar a deducir el valor de verdad de cada una de ellas.
13. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E R A Z . M A T E M Á T I C O
María visitó un orfanato y regaló un juguete
diferente a cuatro niños: una bicicleta, un
carrito, una patineta y una pelota, y ningún
niño recibió más de un regalo. Respecto del
regalo recibido, cada niño dijo:
Ángel: “Yo recibí una pelota”.
Luis: “Yo recibí un carrito”.
Leandro: “Ángel recibió una bicicleta”.
Isidro: “Yo recibí una bicicleta”.
Si solo uno de ellos miente y los otros tres
dicen la verdad, ¿qué juguete recibió
Leandro?
A) Pelota B) Patineta
C) Bicicleta D) Carrito
UNMSM 2020 - I
Aplicación 03: Resolución:
Nos piden : Conocer el juguete recibió Leandro
Dato : María regaló un juguete diferente a cuatro niños
………. Además 1 F y 3 V
Ángel : Yo recibí una pelota.
Luis : Yo recibí un carrito.
Leandro : Ángel recibió una bicicleta.
Isidro : Yo recibí una bicicleta.
Contradicción
V
V
F
V
Nombre Ángel Luis Leandro Isidro
Juguete Pelota Carrito Bicicleta
Patineta
∴ Leandro recibio la Patineta.
Contradicción parcial, puede
ser FF o FV pero el FF se
descarta por el dato.
14. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E R A Z . M A T E M Á T I C O
UNMSM 2019 - II
Los futbolistas Victor, Carlos y Juan
conversan sobre sus sueldos anuales.
Victor : «Yo gano S/ 60 000. Yo gano
S/ 20 000 menos que Carlos. Yo gano
S/ 10 000 más que Juan».
Carlos: « Yo no soy el que gana menos.
Yo gano S/ 30 000 más que Juan. Juan
gana S/ 90 000 al año».
Juan: « Yo gano menos que Victor.
Victor percibe S/ 70 000 al año. Carlos
gana s/ 30 000 más que Victor».
Si cada uno hace dos afirmaciones
verdaderas y una falsa, ¿a cuánto
asciende la suma de sus sueldos
anuales?
A) S/ 210 000 B) S/ 230 000
C) S/ 240 000 D) S/ 220 000
Resolución:
Aplicación 04:
Nos piden : A cuanto asciende la suma de sus sueldos anuales
Dato : Cada uno hace dos afirmaciones verdaderas y una falsa
Victor :
- Yo gano S/ 60 000.
- Yo gano S/ 20 000 menos que Carlos.
- Yo gano S/ 10 000 más que Juan.
Carlos:
- Yo no soy el que gana menos.
- Yo gano S/ 30 000 más que Juan.
- Juan gana S/ 90 000 al año.
Juan:
- Yo gano menos que Victor.
- Victor percibe S/ 70 000 al año.
- Carlos gana s/ 30 000 más que Victor.
Al no haber mas proposiciones que se contradigan utilizaremos la suposición
V
F
Contradicción
V
V
S/ 60 000 S/ 90 000
F
V
S/ 50 000
V
F
F
F
V
V
V
S/ 70 000 S/ 90 000
S/ 60 000
V
V
F
F
V
∴ La suma de los sueldos anuales asciende a S/ 220 000.
Contradicción
parcial, puede
ser FV o FF.
15. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
Casillas adyacentes o vecinas
Generalmente dos casillas son adyacentes
si estas tienen por lo menos un punto en
común (a menos que se indique lo contrario).
Casillas vecinas
Casilla común
Dicha casilla es compartida por dos o mas
líneas de igual o diferente suma.
C U R S O D E R A Z . M A T E M Á T I C O
Tiene 4 casillas vecinas,
2 por lado y 2 por vértices.
Casilla común Casilla común
ARREGLOS NUMÉRICOS
Los problemas de arreglos numéricos consisten en
ubicar, colocar o distribuir números sobre un esquema
gráfico (generalmente los números no se repiten)
teniendo en cuenta ciertas condiciones establecidas.
Los números ubicados en las
casillas tienen una condición
de sumas no constantes.
Los números ubicados en las
casillas tienen una condición
de sumas constantes.
Una casilla es el lugar donde ubicaremos el número que
vamos a distribuir.
16. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E R A Z . M A T E M Á T I C O
ARREGLOS NUMÉRICOS
ARREGLOS CON CONDICIONES
DIVERSAS.
ARREGLOS CON CONDICIÓN DE
SUMA O PRODUCTO CONSTANTE
NO CONOCIDO.
ARREGLOS CON CONDICIÓN DE
SUMA O PRODUCTO CONOCIDO.
17. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E R A Z . M A T E M Á T I C O
Escriba en los cuadraditos de la figura
los números enteros del 1 al 9, un
número en cada cuadradito y, sin
repetir, de tal manera que la suma de
los números escritos en la fila y
columna sea la misma e igual a 27.
¿Cuál es el número que se escribe en
el cuadradito sombreado?
A) 2 B) 3 C) 9 D) 5
UNMSM 2019-II
Aplicación 05: Resolución:
Nos piden: El número que se escribe en el cuadradito sombreado
De la información debemos distribuir los números:
1 2 3 4 5 6 7 8 9
Suma =
9×10
2
= 45
27
27
x
27 + 27 = 1 + 2 + 3 + … + 9
45
El valor de X han sido sumados dos veces
+ x
9 = x
∴ El número que se escribe en el
cuadradito sombreado es 9.
18. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E R A Z . M A T E M Á T I C O
Aplicación 06:
Sobre los vértices consecutivos de un
octágono regular, se colocan,
respectivamente, fichas numeradas
como se muestra en la figura.
¿Cuántas fichas deben cambiar de
posición, como mínimo, para que el
producto de los dos números que se
encuentran en los extremos de las
diagonales mayores sea el mismo?
UNMSM 2018 - I
A) 6 B) 2 C) 3 D) 4
Resolución:
Piden: la menor cantidad de fichas que debemos cambiar
De la información debemos distribuir los números:
21 22
23
24
25
26
27 28
Se agrupan en parejas de productos constantes
producto 29
producto 29
producto 29
∴ Se deben cambiar como mínimo cuatro fichas.
