herror del teorema de bayes

1. Corte de la película "21 Blackjack" en el que se habla del método de Newton-Raphson cometiendo un
error en la historia del desarrollo del mismo. Newton no se lo robó a Raphson. Más información en esta
entrada de Gaussianos:
Y para quien esté interesado en saber más sobre la paradoja de Monty-Hall (el problema del concurso de
las tres puertas que menciona Kevin Spacey en el vídeo) aquí tenéis un artículo en el que lo explico:
Marilyn vos Savant, la mujer que provocó el
error de Erdös
Publicado por ^DiAmOnD^ | 22 diciembre, 2011 | Carnaval de
matematicas, Curiosidades, Estadística, Historia | 205 |
Marilyn vos Savant, nacida en 1946, debe ser una
persona bastante interesante. No en vano posee el gran
honor de figurar en el Libro Guinness de los Récords por
ser la persona con el Cociente Intelectual (CI) más
elevado del mundo, con 228. Es, entre otras cosas,
columnista, escritora y dramaturga. Pertenece
a Mensa y Prometheus, y está casada con Robert Jarvik,
famoso por desarrollar el corazón artificial Jarvik-7. Da
conferencias con cierta frecuencia y tiene un doctorado
Honoris Causa por la Universidad de Nueva Jersey.
Como podéis intuir, lo que dio a Marilyn fama a nivel mundial fue el tema de su CI. No
se conoce todos los días a alguien con semejante barbaridad de Cociente Intelectual,
¿verdad? El caso es que su inclusión en 1986 en el Libro Guinness por este hecho llevó
a la revista Parade a publicar una selección de preguntas con respuestas de la propia
Marilyn que terminó por convertirse en la columna semanal Ask Marilyn, donde
resuelve problemas matemáticos y lógicos y responde a preguntas de temáticas
diversas.

2. Y en esta columna es donde comienza nuestra historia de hoy.
En 1990, Marilyn recibe una carta de Craig F. Whitaker que decía, entre otras cosas, lo
siguiente:
Suppose you’re on a game show, and you’re given the choice of three doors. Behind one
door is a car, behind the others, goats. You pick a door, say #1, and the host, who knows
what’s behind the doors, opens another door, say #3, which has a goat. He says to you,
«Do you want to pick door #2?» Is it to your advantage to switch your choice of doors?
que viene a ser más o menos esto:
Supón que estás en un concurso y te han dado a elegir entre tres puertas. Detrás de una
de ellas hay un coche y detrás de las otras dos hay cabras. Eliges una puerta, digamos la
#1, y el presentador, que sabe lo que hay detrás de cada puerta, abre una de las que no
has elegido, digamos la #3, dejando ver detrás de ella a una cabra. Y ahora te pregunta:
«¿Quieres quedarte con la puerta #2?»
¿Es mejor en este caso cambiar tu elección inicial?
Actualización (24/12/2011) para aclarar el problema:
La cuestión consiste en que elegimos una puerta y después el presentador nos abre
una de las que no hemos elegido, detrás de ella aparece una cabra (da igual cuál sea el
número de cada puerta) y nos ofrece la posibilidad de quedarnos con nuestra elección
inicial o cambiar a la que ha dejado cerrada. Evidentemente, el presentador sabe qué
hay detrás de cada puerta desde el principio. Y también se supone que las reglas son
siempre iguales, que siempre abre una puerta con una cabra y siempre nos ofrece
cambiar.

3. Vamos, la cuestión es saber si matemáticamente es mejor quedarse con la elección
inicial, la #1, o cambiar a la que el presentador no ha abierto de entre las otras dos, la
#2 en este caso.
Como muchos de vosotros sabréis, o habréis intuido al leer todo esto, nos referimos al
famosísimo problema de Monty Hall, en la actualidad muy estudiado y del que
podemos encontrar muchísima información en internet (de hecho en Gaussianos
ya nos habló Fran de él hace más de 5 años).
Pero en aquel momento, 1990, no era ni muchísimo menos tan conocido (aunque no
era nuevo, ya que ya había aparecido en la columna de Martin Gardner en Scientific
American). La buena de Marilyn publicó la pregunta de Whitaker y dio la siguiente
respuesta, que efectivamente es la solución del problema:
Conviene cambiar de puerta, ya que en el caso descrito cambiar a la puerta #2 nos da
una probabilidad de de llevarnos el coche frente a una probabilidad que tendríamos si
nos quedamos con la elección inicial, la puerta #1.
Pero posiblemente ni la propia Marilyn imaginaba lo que ocurriría después de la
publicación de su columna. En la redacción de Parade comenzaron a recibir cartas y
más cartas apuntando que la respuesta de Marilyn era incorrecta. En ellas se daba
como respuesta correcta que tanto quedándose con la puerta elegida al principio
como cambiando de puerta teníamos probabilidad de llevarnos el coche. Aunque,
como hemos dicho antes, este problema está muy estudiado, creo que es interesante
volver a comentar su solución aquí:
Supongamos que elegimos la puerta #1 (el número que tomemos es lo de menos) y el
presentador, que sabe qué hay detrás de cada puerta, nos enseña la #3 y hay una cabra.
¿Qué ocurre si cambiamos a la #2? Hay tres posibles casos:
Primer caso: Detrás de la puerta #1 estaba el coche. Si cambiamos a la #2 nos
quedaríamos con una cabra.
Segundo caso: Detrás de la puerta #1 estaba una de las cabras. Si cambiamos a la #2
nos llevaríamos el coche, ya que el presentador nos habría enseñado la otra cabra en la
#3.

4. Tercer caso: Detrás de la puerta #1 estaba la otra cabra. Cambiando a la #2
volvemos a llevarnos el coche.
Tres posibles casos si cambiamos. En dos de ellos nos llevamos el coche y en uno de
ellos una cabra. Si no cambiamos nos llevaríamos el coche en un caso sobre tres
posibles y una cabra en dos de esos tres. Por tanto:
Actualización (24/12/2011). Añado un esquema con todas las posibilidades. Se
parte de una colocación inicial de los objetos detrás de cada puerta y después se
estudian todos los posibles casos (por ello la colocación inicial no es importante).
Rodeados de rojo están los premios que nos llevaríamos en el caso de cambiar de
puerta:

5. Como se puede ver, en dos casos de los tres posibles nos llevaríamos el coche, y en
uno de ellos la cabra.
Es decir, Marilyn estaba en lo cierto, en esta situación es mejor cambiar de
puerta, ya que así es más probable llevarse el coche. Pero eso no es lo que pensaban
las, aproximadamente, 10000 personas que enviaron una carta a Parade criticando la
respuesta de Marilyn. Entre ellas había muchísimos matemáticos, muchos de ellos
doctores, que se mostraban asombrados y decepcionados por el supuesto error de la
columnista, quejándose de paso de la poca formación matemática de quien escribió
aquella respuesta. Algunas de las cartas no tenían desperdicio:
Yo he sido un fiel lector de su columna, y hasta ahora no tenía ninguna razón para dudar
de ti. Sin embargo, en esta materia (en la cual tengo experiencia), tu respuesta está
claramente en contradicción con la verdad.
Como matemático profesional, estoy muy preocupado por la falta de habilidad
matemática del público en general. Por favor, ayuda confesando tu error y, en el futuro,
sé más prudente.
¿Cuántos matemáticos indignados se necesitan para cambiar tu opinión?
Si todos estos doctores están equivocados, el país se encontraría en serios problemas.
Quizás las mujeres ven los problemas matemáticos de forma diferente a los hombres.
¡Tú eres la cabra!
Tenéis más en la web de Marilyn vos Savant.
Entre estos matemáticos que creían que estos cálculos eran incorrectos se encontraba
uno de los más grandes del siglo XX, si no de toda la historia de las Matemáticas: Paul
Erdös, que dijo
Esto es imposible.

6. y comentó que solamente cambiaría de opinión cuando pudiese comprobar su propio
error mediante una simulación por ordenador. Cuando esto se produjo, Erdös admitió
que estaba equivocado.
Seguro que esta simulación por ordenador junto con el desglose de todas las
posibilidades que pueden darse en este problema hizo ver a todos los que se enviaron
sus quejas que es preferible analizar adecuada y convenientemente el problema que
tenemos delante antes de responder llevados por la intuición. Todos ellos, hasta los
matemáticos, incluyendo a Erdös, tuvieron que rendirse a la evidencia y admitir que
ella era quien tenía razón. Ella, Marilyn vos Savant, la persona con el mayor CI del
mundo y la reina del problema de Monty Hall.
La historia del método de Newton-Raphson y
otro caso más de mala documentación en el
cine
Publicado por ^DiAmOnD^ | 22 octubre, 2013 | Cálculo, Carnaval de
matematicas, Historia | 21 |
Muchos son los casos en los que en cine y en televisión se han cometido errores
relacionados con la Ciencia por mala (o nula) documentación (como ejemplos pueden
servir la confusión entre logaritmo y algoritmo en la serie Castle de la que hablamos
en el blog hace un tiempo y la interesante charla de Manu Arregi en Naukas13 sobre
errores de astronomía en el cine). Parece que poco a poco los responsables de series y
películas se preocupan más por la rigurosidad científica» (Breaking Bad es un gran
ejemplo de ello y Gravity parece que lo hace bien, aunque con algunos errores o
licencias), pero por desgracia seguirá habiendo errores por mala documentación (y,
por tanto, fáciles de resolver). Hoy hablaremos, entre otras cosas, sobre uno de ellos
en la película 21 Blackjack.
El tema en cuestión aparece en el siguiente vídeo (en el que, por cierto, también se
habla del problema de Monty Hall):

7. Pero antes de explicar dicho error vamos a comentar un poco qué es el método de
Newton-Raphson y a hablar sobre la historia de dicho método.
Encontrar las soluciones de una cierta ecuación es uno de los problemas más
importantes de las matemáticas. En cualquier momento en nuestro estudio podemos
encontrarnos una ecuación de la cual necesitamos saber sus soluciones. Pero hay un
grave problema relacionado con esto: no tenemos métodos que nos permitan
obtener las soluciones de todas las ecuaciones que nos pueden aparecer.
Podemos resolver ciertas ecuaciones algebraicas (no hay fórmulas para las de grado 5
y superior) y algunas exponenciales, logarítmicas o trigonométricas, pero no todas.
Por ejemplo, no hay métodos que nos den las soluciones exactas de esta ecuación:
¿Qué podemos hacer entonces? Pues no nos queda otra que buscar aproximaciones
de las soluciones. Es decir, buscar números que aunque no sean las soluciones
exactas sí que sean lo suficientemente aproximados a ellas como para que nos puedan
servir en nuestro problema. Y eso es lo que hace nuestro método.
El método de Newton-Raphson es un método iterativo con el que podemos
encontrar aproximaciones de soluciones de ecuaciones no lineales. El método parte de
un valor inicial que se introduce en una expresión relacionada con la ecuación,
obteniendo así un resultado. Ese resultado se introduce en la misma expresión,
obteniendo un nuevo resultado, y así sucesivamente. Si la elección del valor inicial es
buena, cada vez que introducimos unos de los resultados obtenidos en esa expresión
(es decir, cada vez que realizamos una iteración del método) el método nos
proporciona una aproximación a la solución real mejor que la que tuviéramos
anteriormente. Vamos a ponerle símbolos matemáticos al asunto:
Dada una función derivable en un intervalo en el que tenga una raíz y
dado un valor real cercano a dicha raíz, el método iterativo

8. converge a esta raíz de la función inicial (es decir, a la solución de que
pertenece al intervalo ).
O sea que la cosa consiste en elegir bien , meterlo en esa expresión para obtener ,
meter después obteniendo así , y así sucesivamente. Y la cosa es que cada que
obtenemos en mejor aproximación a una solución de que los valores
obtenidos antes. Bien, ¿no? La fórmula necesaria para aplicar el método es sencilla y
las operaciones nos las puede hacer una máquina. Pero queda un «pequeño»
detalle: ¿cómo elegimos ?
El método de Newton-Raphson tiene un problema: no tenemos un teorema de
convergencia global del método. Su convergencia depende de la elección inicial
de . Si no elegimos bien ese valor inicial, no tendremos asegurado que los sucesivos
resultados obtenidos mediante el método sean de verdad buenas aproximaciones de
la solución. Por tanto la elección de es fundamental. Por ello vamos a dar
condiciones para que en el intervalo en cuestión exista una única solución de nuestra
ecuación y además el método converja a ella:
Debemos partir de una función de clase en el intervalo (es decir, al menos
dos veces derivable en dicho intervalo y con segunda derivada continua en él). Entonces:
1.- En principio debemos escoger un intervalo en el que cumpla el teorema de
Bolzano para poder asegurar así que hay al menos una raíz en dicho intervalo. Es
decir, debe ser continua en dicho intervalo (como le exigimos que sea derivable esta
condición no da problemas) y debe cumplirse también que y tengan signos
distintos.
2.- Debe cumplirse que la primera derivada de sea distinta de cero en todo el intervalo.
3.- También se debe cumplir que la segunda derivada de no cambie de signo en dicho
intervalo (es decir, que saa siempre positiva o siempre negativa en ).
4.- Con todo esto, es claro que se cumple que

9. Eligiendo como el extremo del intervalo que cumpla que ese producto es positivo
tenemos asegurado que el método converge a la única solución de la ecuación en .
Vamos a ver un ejemplo de aplicación de este método. Utilizaremos la ecuación para la
que comentamos antes que no teníamos método de resolución exacta: :
Nuestra función será . Como la función es derivable infinitas veces en
todo no tendremos problemas a la hora de exigirle que sea de clase en el intervalo
que escojamos.
1.- Vamos con el intervalo. Necesitamos que la función tome valores con signos
contrarios en los extremos. Una fácil y rápida comprobación nos lleva a
que y , por lo que, según el teorema de Bolzano, nuestra
función tiene al menos una raíz en el intervalo .
2.- La primera derivada de nuestra función es
Como para todo valor real de , para que esa expresión sea nula debe
ser , de donde despejando obtenemos que
que al ser negativo no pertenece al intervalo . Por tanto, es distinta de cero en
todo el intervalo.
3.- La derivada segunda es

10. El primer factor, , es siempre positivo. El segundo, , es una constante positiva. Y
el tercer factor, , es positivo para todo valor del intervalo . Esto nos lleva
a que la segunda derivada de es positiva en todo el intervalo y, en consecuencia,
no cambia de signo en todo el intervalo.
4.- Ahora:
Por tanto, tomando tenemos asegurada la convergencia del método a la solución
de la ecuación inicial.
Calculemos ahora algunas iteraciones para ver qué resultados parciales vamos
obteniendo:
Teniendo en cuenta que una aproximación de la solución a 20 decimales es
la aproximación obtenida con cuatro iteraciones del método no está nada mal.
Después de la descripción del método y del ejemplo que hemos hecho volvamos al
vídeo de 21 Blackjack. En él, como habéis visto, se comenta que Raphson fue el
primero que publicó el método y Newton se lo apropió indebidamente (vamos, que lo

11. robó). Pero esto no es del todo cierto. Vamos a comentar cómo fue la historia en
realidad.
Cierto es que Joseph Raphson fue el primero en publicar el método en 1690 en su
libro Analysis Aequationum Universalis, y que el de newton se publicó unos años
después de su muerte, en 1736 (por lo que Raphson lo publicó casi 50 años antes).
Pero se sabe que Newton lo había escrito en 1671 (y por tanto antes de la publicación
de Raphson), aunque aplicado exclusivamente a aproximación de raíces de polinomios
(el de Raphson era más general). A todo esto hay que añadir un detalle: Raphson fue
una de las pocas personas a las que Newton le permitía ver sus trabajos
matemáticos (de hecho se encargó de traducir algunos de esos trabajos matemáticos
de Newton del latín al inglés).
O sea que Newton describe su método de aproximación de raíces de polinomios y
unos años después Raphson, que tenía acceso a los trabajos de Newton, publica su
método válido también para el resto de funciones. Sería entonces razonable pensar
que Raphson partió del método de Newton para desarrollar el suyo, ¿verdad? Pues eso
es lo que históricamente está más aceptado. Así que nada de robo de Newton.
Por todo ello, en muchos sitios se conoce al método como método de Newton-
Raphson, aunque en otros muchos lugares se le llama simplemente método de
Newton, honrando solamente a la primera persona que trabajó en él.
EL VIDEO DE LA PELICULA 21 BLACKJACK
https://youtu.be/otCohi-yvGI
PARA LOS ALUMNOS QUE LA VEAN HACER UN EN SALLO Y CON SULTAR CUAL ES ERRROR DE LA
PELICULA SEGÚN EL METODO DE NEWTON-RAPHSON. DEL TEMARIO DEL CURSO UNIDAD #5
SOBRE EL METODO DE NEWTON RAPHSON.
https://youtu.be/d61CdmH5KMI?si=TqHtB_QbBphGlYyk
METODOS DE SECANTE RAICES MULTIPLES.

12. CÁLCULO INTEGRAL
El Cálculo Integral es una rama de las matemáticas que estudia el cálculo a partir
del proceso conocido como integración o antiderivación. Tiene aplicaciones
principalmente en la física, ingeniería, en el cálculo de áreas, volúmenes de
regiones y sólidos de revolución. También conocido como cálculo infinitesimal que
fue usado por primera vez por hombres de ciencia como Arquímedes, Descartes,
Leibniz, Newton y Barrow. Estos últimos demostraron lo que se le conoce como "el
Teorema fundamental del Cálculo integral" que nos confirma que la derivación e
integración de una función son operaciones inversas. En otras palabras quiere decir
que toda función continua integrable verifica que la derivada de su integral es igual
a ella misma. Fue una idea originalmente desarrollada por el matemático inglés
Isaac Barrow junto con los avances de Isaac Newton y Gottfried Leibniz.
Las integrales constituyen un instrumento de valor incalculable para construir
nuevas funciones y en este andar matemático la derivada volverá a aparecer más
poderosa que nunca... Michael Spivak