El documento explica cómo resolver triángulos oblicuángulos utilizando la ley de senos y la ley de cosenos. Presenta ejemplos de cómo aplicar la ley de senos cuando se conocen dos ángulos y un lado, o cuando se conocen tres medidas cualesquiera. Resuelve un problema paso a paso aplicando la ley de senos y determina todas las medidas del triángulo.

1. G. Edgar Mata Ortiz

2. Triángulos oblicuángulos
• ¿Cómo resolvemos un triángulo que no es
rectángulo?
• Es decir, ¿Cómo calculamos los valores
de los lados y ángulos de un triángulo si
ninguno de sus ángulo mide 90 ?
• Disponemos de dos herramientas:
• Ley de cosenos y ley de senos.

3. Ley de los senos y ley de los
cosenos
• Si se conocen tres magnitudes de un
triángulo podemos determinar todas las
demás.
• Dependiendo de qué datos se dispone, se
aplica la ley de los senos o de los
cosenos.

4. Ley de los senos
• Expresión algebraica para la ley de los
senos a b c
sen A sen B sen C
A
c
B b
a
C

5. Ley de los senos
• Se necesita conocer al menos tres datos
para aplicar esta fórmula.
a b c
sen A sen B sen C

6. Ley de los senos
• Pero no cualquier grupo de tres datos.
• Si se conoce por ejemplo el valor de los
lados a, b y el ángulo C no es posible
aplicar la fórmula. a b c
• ¿Puedes ver por qué? sen A sen B sen C

7. Ley de los senos
• Digamos que los datos son:
• Ángulo C = 56 , lado a = 5 y lado b = 6
• Al sustituir en la fórmula obtenemos:
5 6 c
sen A sen B sen 56
5 6 c
sen A sen B 0.829

8. Ley de los senos
• Digamos que los datos son:
• Ángulo C = 56 , lado a = 5 y lado b = 6
• Al sustituir en la fórmula obtenemos:
5 6 c
No es posible despejar
sen A sen B sen 56 ninguna de las
5 6 c cantidades
desconocidas.
sen A sen B 0.829

9. Ley de los senos
• Este caso no puede ser resuelto aplicando
la ley de los senos.
• Ángulo C = 56 , lado a = 5 y lado b = 6
5 6 c Posteriormente
sen A sen B sen 56 veremos cómo
5 6 c resolver este
problema.
sen A sen B 0.829

10. Ley de los senos
• Veamos otro caso.
• Conocemos las siguientes medidas:
• Ángulo A = 36 , Ángulo B = 59 , lado a = 15 cm.
a b c
sen A sen B sen C

11. Ley de los senos
• Conocemos dos ángulos y el lado opuesto a
uno de ellos.
• También se dice que conocemos dos ángulos y
el lado no comprendido entre ellos.
• Ángulo A = 36 , Ángulo B = 59 , lado a = 15 cm.
a b c
sen A sen B sen C

12. Ley de los senos
• Conocemos dos ángulos y el lado opuesto a uno de
ellos.
• También se dice que conocemos dos ángulos y el lado
no comprendido entre ellos.
• Ángulo A = 36 , Ángulo B = 59 , lado a = 15 cm.
A=36
c
B=59 b
a = 15
C

13. Ley de los senos
• Sustituyendo en la fórmula de la ley de los senos:
Ahora conocemos
datos suficientes
para despejar y
determinar los 15 b c
valores faltantes.
sen 36 sen 59 sen C

14. Ley de los senos
• Sustituyendo en la fórmula de la ley de los senos:
Esta parte de la
fórmula la veremos
más adelante.
Ahora conocemos
datos suficientes
para despejar y
determinar los 15 b c
valores faltantes.
sen 36 sen 59 sen C

15. Ley de los senos
• Sustituyendo en la fórmula de la ley de los senos:
Vamos a despejar
para calcular el
valor de “b”
15 b
sen 36 sen 59

16. Ley de los senos
• Despejar “b” para calcular su valor.
15 b
sen 36 sen 59
b 15
sen 59 sen 36
15
b sen 59
sen 36

17. Ley de los senos
• Con los senos de los ángulos conocidos
determinar el valor de b.
15
b sen 59 Hemos
sen 36 determinado la
15 medida de uno de
b 0.8572 los lados faltantes,
0.5878 el lado b = 21.8747
b 25.5188 0.8572
b 21.8747

18. Ley de los senos
• Para el resto del problema parece que no hay
datos suficientes.
A = 36
c
B = 59 b = 21.8747
a = 15
C
15 21.8747 c
sen 36 sen 59 sen C

19. Ley de los senos
• Sin embargo existe una forma de resolverlo,
podemos determinar la medida del ángulo C.
¿Puedes ver cómo?
15 21.8747 c
sen 36 sen 59 sen C

20. Ley de los senos
• La suma de los ángulos interiores de un triángulo…
Ya tenemos un
dato más, el
ángulo C.
• En este caso: A + B + C = 180
• Es decir: 36 + 59 + C = 180
• Entonces: C = 180 - 95 Ángulo C = 85

21. Ley de los senos
• Ya podemos aplicar la fórmula de la ley de los senos.
A = 36
c
B = 59 b = 21.8747
a = 15
C = 85
Ahora conocemos
datos suficientes
para despejar y
15 21.8747 c
determinar el valor sen 36 sen 59 sen85
del lado “c”.

22. Ley de los senos
• Disponemos de más datos de los necesarios, podemos
tomar cualquiera de dos grupos de datos. ¿Cuál grupo
de datos es más conveniente utilizar?
15 21.8747 c
sen 36 sen 59 sen85

23. Ley de los senos
• Siempre que sea posible se recomienda utilizar datos
que nos hayan dado en la redacción del problema, en
lugar de valores que hayamos calculado nosotros.
• En este caso los datos que nos dieron desde el principio
fueron:
• Ángulo A = 36 , Ángulo B = 59 , lado a = 15 cm.
• Mientras que la medida del lado b lo calculamos.
• Vamos a utilizar los valores del lado “a” y el ángulo “A”
15 b c
sen 36 sen 59 sen 85

24. Ley de los senos
• Vamos a despejar para determinar el último valor
faltante.
15 c
sen 36 sen85

25. Ley de los senos
• Despejando obtenemos:
15 c
sen 36 sen 85
c 15
sen 85 sen 36
15
c sen 85
sen 36

26. Ley de los senos
• Efectuando operaciones:
15
c 0.9962
0.5877 Hemos
determinado la
c 25.5232 0.9962 medida del último
lado faltante:
c 25.4262 c = 25.4262

27. Ley de los senos
• La solución del problema es una figura con las medidas
de los tres lados y los tres ángulos:
A = 36
c = 25.4262
B = 59 b = 21.8747
a = 15
C = 85
Una forma de saber si el resultado es razonable es una propiedad que
dice: En cualquier triángulo, al lado mayor se opone el ángulo mayor
y al lado menor se opone el ángulo menor.

28. Ley de los senos
• Ejercicio:
• Siguiendo un procedimiento similar determina
las medidas faltantes en el siguiente triángulo.
A
c = 21
B = 56 b
a
C = 75

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