1. Trigonometría
Prof. Efraín Tacoronte
Prof. Elba M. Sepúlveda
2011
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2. Instrucciones
• Esta presentación muestra como obtener las
ecuaciones para contestar problemas de
trigonometría.
• Puedes leer cada problema y activar el
sonido.
• Luego puedes cotejar tu solución con la
solución demostrada en la próxima página.
• Cualquier duda puedes escribirme a
• efrain.tacoronte@gmail.com
• elbamsepulveda@gmail.com
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3. La trigonometría de los ángulos
rectos
• Trigonometría- estudio de las
relaciones entre los lados y los
ángulos de los triángulos
rectángulos.
• Triángulo rectángulo- triángulo
que contiene un ángulo recto o de
90°.
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4. Funciones trigonométricas
a
• sen q =
c
c
b • csc q =
• cos q =
a
c
c
a • sec q =
• tan q = c b
b a
q
b
• cot q =
b a
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5. Ejemplo #1
• Conociendo 2 de estas variables
2
podemos resolver cualquier 1
problema relacionado.
30°
• Ejemplo # 1. Nos podemos
aprender por lo menos un dato b
interesante: Sen 30°= ½
• Determina la medida del lado b.
Usando el teorema de pitágoras.
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6. Resultado #1
2
•c2 a2
= + b2 1
• 22 = 12 + b2
30°
• 4 – 1 = b2
• b2 = 3 b= √ 3
• b = √3
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7. 2
1
30°
b= √ 3
• Para un q de 30° entonces:
• sen 30° = ½ csc 30° = 2
• cos 30° = √ 3/2 sec 30° = 2 / √3
• tan 30° = 1/ √ 3 cot 30° = √ 3
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8. ¿Cuál es el sen de 60° y tan 60°?
• sen 60°=______ • sen 60° = √ 3/2
•
• cos 60°=______ • cos 60° = ½
• tan 60°=______ • tan 60° = √ 3
• sec 60°=______ • sec 60° = 2/ √ 3
• csc 60°=______ • csc 60° = 2
• cot 60°=______ • cot 60° = 1/ √ 3
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9. Ejemplo #2: Un triángulo de
45°
• Determina la hipotenusa
• c2 = a2 + b2 c
• c2 = 12 + 12 1
• c2= 1 + 1
• c2 = 2 45
• c= √2 1
• Determina: sen 45°, cos
45°, tan 45°, csc 45°, sec
45° y cot 45°
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10. Ejemplo #3
• Un triángulo rectángulo tiene un ángulo
de 37°. El lado adyacente mide 4 m.
Determina la longitud del lado opuesto
al ángulo dado.
?
?
37
4m
• Determina la hipotenusa
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11. Resultado #3
• tan q = op/ady
?
• op = (ady)(tanq) ?
• = (4m)(tan 37 )
37
• op = 3m
4m
• cos q = ady/hip
• hip = ady/cosq
• = 4m/cos37
• hip= 5m
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12. Ley de los senos
• Existen ciertas relaciones
entre los lados y los C
ángulos de los triángulos
aunque éstos no sean
rectos. Esto sucede con la b a
ley de los senos. y
• Consideremos cualquier
M
triángulo ABC A B
c
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13. Ley de los senos
• En <AMC y/b = sen A 
y= b sen A
• En <BMC y/a = sen B 
y= a sen B
C
b sen B = a sen A
• Entonces:
b a
b sen A = a sen B
y
b a
=
sen B sen A
M
A B
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14. Para cualquier <ABC:
• Ley de los senos:
a b c
= =
sen A sen B sen C
C
b a
y
A M B
c
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15. Ejemplo #4
• En este <ABC,
• A=30°
• B=40°
• a= 10 m C
• determina b y c
b a
A B
c
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16. Resultado #4
a b c
= =
sen A sen B sen C
• b= a sen b/sen a
• = (10m) (sen
40 )/(sen30 )
• = 12.85m
• =13 m
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17. Ley de los cosenos b (x,y)
a c
y
g x b-x a
M
b
• Otra relación entre los lados y los ángulos
de cualquier triángulo. Dado un <
supongamos que conocemos el tamaño de
los lados a y b y la medida de c.
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18. <aMb tiene lados: y, c , b-xb (x,y)
• Usando el teorema de Pitágoras: a c
• c2= y2 + (b – x)2
y
• =y 2 + b2 – 2bx + x2
• c2= (x2 +y2) + b2 – 2bx x b-x
g a
• <γMβ tiene lados: x, y, a M
b
• por lo tanto: a2 = x2 + y2
• Sustituyendo en la ecuación anterior:
• c2= (a2 ) + b2 – 2bx
• Del <gMb también podemos obtener
que
• cos g = x/a  x= a cos g
• sustituyendo: c2= a2 +b2 – 2b(a cos
g)
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19. En resumen: b (x,y)
• Ley de los cosenos a c
y
g x b-x a
a2= b2 +c2 – 2bc cos a b
M
b2= a2 +c2 – 2ac cos b
c2= a2 +b2 – 2ab cos g
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20. Ejemplo #5
• En el siguiente triángulo
a= 60°, b= 3m y c=4m.
• ¿Cuánto es a?
b
a c=4m
g 60° a
b=3m
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21. Resultado #5
a2= b2 +c2 – 2bc cos a
• a2= (3m)2 +(4m)2 – 2(3m)(4m)*
cos 60°
• = 9m2 +16m2 – 24m2 (0.5)a =
= 3.6 m b
• = 25m2 – 12m2
• = 13m2 a c=4m
• a= √13 m2 = 3.606 m
a= 3.6 m g 60° a
b=3m
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22. Ejemplo #6: Resuelve
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23. Resultado #6
• a= c senA /sen C
• = (50m) sen 30° / sen110°
C
• = 26.6 m
b a
• sen B = y/a
• sen 40°= y/26.6m y
• y= (26.6 m) sen 40°
M
• = 17m A
c
B
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24. Las caricaturas de hoy…
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