El documento presenta una charla sobre aritmética y geometría. Explica conceptos como congruencia modular y aritmética modular. También introduce la idea de geometría aritmética, donde objetos geométricos como círculos se estudian en conjuntos finitos de números en lugar de en el plano.

1. Aritm´tica y geometr´
e ıa
Ricardo Menares
Instituto de Matem´tica, Pontificia Universidad Cat´lica de Valpara´
a o ıso
Charla en la Escuela de Arquitectura,
PUCV, Marzo 2012
Ricardo Menares Aritm´tica y geometr´
e ıa

2. Aritm´tica modular
e
Un entero se dice cuadrado perfecto si su ra´ cuadrada es un
ız
entero. La secuencia de cuadrados perfectos empieza as´
ı:
0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196...
¿Existe alg´n cuadrado perfecto cuya cifra de las unidades sea
u
7?
Veamos: tomando las unidades en la lista anterior obtenemos
0, 1, 4, 9, 6, 5, 6, 9, 4, 1, 0, 1, 4, 9, 6...
No hay 7. M´s a´n, la secuencia pareciera repetirse.
a u
Ricardo Menares Aritm´tica y geometr´
e ıa

3. Aritm´tica modular
e
Explicaci´n: sea n un natural, queremos inspeccionar el ultimo
o ´
d´
ıgito de n 2.
Escribamos n como un m´ltiplo de 10 m´s un resto,
u a
n = 10q + r , r ∈ {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.
Tenemos n2 = 102 q 2 + 2 × 10q + r 2 = 10(10q 2 + 2q) + r 2
S´lo r 2 contribuye a las unidades. Sabemos que
o
r 2 ∈ {0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81}. Como no hay 7’s,
concluimos que n2 nunca terminar´ en 7. a
Ricardo Menares Aritm´tica y geometr´
e ıa

4. Aritm´tica modular
e
Acabamos de hacer aritm´tica modular. Si dos n´meros a, b tienen
e u
el mismo resto al ser divididos por 10, decimos que son
congruentes m´dulo 10. En s´
o ımbolos, escribimos
a≡b mod 10.
En la p´gina anterior, mostramos que si n ≡ r mod 10,
a
entonces tambi´n se tiene n2 ≡ r 2 mod 10.
e
M´s generalmente, dado un entero m ≥ 1, escribimos
a
a≡b mod m
si a y b dan el mismo resto al ser divididos por m.
Ricardo Menares Aritm´tica y geometr´
e ıa

5. Aritm´tica modular
e
ımbolo ≡ comparte muchas de las propiedades del s´
El s´ ımbolo =
si a ≡ b mod m y c ≡ d mod m, entonces ac ≡ bd mod m
si a ≡ b mod m y c ≡ d mod m, entonces a + c ≡ b + d
mod m
Ejemplo: 10 ≡ 1 mod 9, luego
102 ≡ 1 mod 9, 103 ≡ 1 mod 9, etc...
Luego, para un natural de 4 cifras n = a103 + b102 + c10 + d, se
tiene
n ≡ a + b + c + d mod 9.
Podemos deducir que n es divisible por 9 si y s´lo si la suma de sus
o
d´
ıgitos es divisible por 9.
Ricardo Menares Aritm´tica y geometr´
e ıa

6. Aritm´tica modular
e
Otra manera de decir lo mismo es la siguiente: al dividir un entero
por m, obtenemos como resto un elemento del conjunto
Fm = {0, 1, 2, 3, . . . , m − 2, m − 1}.
Adem´s, el conjunto Fm dispone de dos operaciones, sumar y
a
multiplicar. Es f´cil ver que se puede restar tambi´n.
a e
¿Se puede dividir en Fm ?
No siempre. Por ejemplo, 2 × 5 ≡ 2 × 2 mod 6
Sin embargo, no es cierto que 5 ≡ 2 mod 6. Luego, en F6 no
se puede dividir por 2!
Ricardo Menares Aritm´tica y geometr´
e ıa

7. Consideremos un n´mero primo p. A pesar de lo anterior, se tiene
u
el siguiente importante
Teorema
Si p es primo, se puede dividir en Fp . En otras palabras, dado
a ∈ Fp con a = 0, se tiene que existe un elemento b ∈ Fp tal que
ab ≡ 1 mod p.
Ejemplos
2 × 4 ≡ 1 mod 7
(ejercicio) usando aritm´tica m´dulo 7, demuestre que los
e o
unicos enteros x, y , z que satisfacen la ecuaci´n
´ o
x 2 + y 2 = 7z 2
son x = y = z = 0.
Ricardo Menares Aritm´tica y geometr´
e ıa

8. Un problema aritm´tico
e
Encontrar todas las soluciones x, y ∈ Q de la ecuaci´n
o
x 2 + y 2 = 1.
Ejemplos:
x = 1, y = 0, x = −1, y = 0
3 4
x= 5, y = −5
etc
¿Cu´ntas soluciones hay? ¿C´mo encontrarlas?
a o
Ricardo Menares Aritm´tica y geometr´
e ıa

9. Entra la geometr´
ıa
Teorema (Sabidur´ Geom´trica)
ıa e
La intersecci´n de una l´
o ınea y un c´
ırculo consiste de cero, uno o
dos puntos. El caso de un punto ocurre s´lo cuando la recta es
o
tangente al c´
ırculo.
Entonces, llamemos P al punto de coordenadas (1, 0) y tomemos
una recta L, que pasa por P, no tangente al c´
ırculo y busquemos el
otro punto de intersecci´n!
o
Ricardo Menares Aritm´tica y geometr´
e ıa

10. C´lculos
a
Llamemos m a la pendiente de la recta L. Es decir, la
ecuaci´n de L es
o
y = m(x − 1).
ırculo, x 2 + y 2 = 1,
Combinando con la ecuaci´n de c´
o
obtenemos una ecuaci´n para x
o
(1 + m2 )x 2 − 2m2 x + (m2 − 1) = 0.
Teorema (Sabidur´ Algebraica)
ıa
La ecuaci´n m´s arriba tiene cero, una o dos soluciones x.
o a
Ricardo Menares Aritm´tica y geometr´
e ıa

11. C´lculos
a
Se obtiene la soluci´n
o
m2 − 1 −2m
Pm = , .
m2 + 1 m2 + 1
Observaci´n: si m es un n´mero racional, entonces las
o u
coordenadas de Pm son racionales!
m = 0 ⇒ (−1, 0)
m = 1 ⇒ (0, −1)
m = 12 ⇒ ( 145 , −24 )
143
145
6399 160
m = −80 ⇒ ( 6401 , 6401 ), o bien 63992 + 1602 = 64012 .
Ricardo Menares Aritm´tica y geometr´
e ıa

12. ¿Qu´ pas´?
e o
La Sabidur´ Geom´trica nos dio una idea para construir
ıa e
puntos del c´ırculo
La Sabidur´ Algebraica nos permite llevar a cabo la idea y
ıa
explicar por qu´ el m´todo funciona
e e
Ahora podemos olvidar la geometr´
ıa!
Ricardo Menares Aritm´tica y geometr´
e ıa

13. Geometr´ sin geometr´
ıa ıa
Tomemos p = 7 y consideremos el conjunto C7 de todos los
x, y ∈ F7 tales que
x 2 + y 2 = 1.
x = 1, y = 0 todav´ es una soluci´n
ıa o
m2 −1 −2m
La f´rmula Pm =
o ,
m2 +1 m2 +1
todav´ tiene sentido para
ıa
m ∈ F7
Los posibles valores de m son 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, dando las siete
soluciones (−1, 0), (0, −1), (2, 2), (5, 5), (2, 5), (0, 1). Junto
con la soluci´n (1, 0), esta lista describe al conjunto C7 , que
o
contiene entonces 8 puntos
Ricardo Menares Aritm´tica y geometr´
e ıa

14. Geometr´ sin geometr´
ıa ıa
El conjunto C7 es finito, no es ”redondo”, no es continuo, etc.
¿Podemos llamar a C7 un c´ ırculo?
Si lo que nos interesa es la geometr´ aritm´tica, estas
ıa e
propiedades no son esenciales
Descartes introdujo ecuaciones que describen objetos
geom´tricos. Nosotros estudiamos el proceso inverso:
e
tomamos ecuaciones y establecemos propiedades
”geom´tricas” de ´stas
e e
Este punto de vista fue introducido y desarrollado por
Alexandre Grothendieck en los 60’s
Ricardo Menares Aritm´tica y geometr´
e ıa

15. ¿Qu´ tan geom´trica es esta nueva geometr´
e e ıa?
Tomemos p = 5 y consideremos el conjunto C5 de todos los
x, y ∈ F5 tales que
x 2 + y 2 = 1.
x = 1, y = 0 todav´ es una soluci´n
ıa o
m2 −1 −2m
En la f´rmula Pm =
o ,
m2 +1 m2 +1
, tomemos m = 2.
Como 22 + 1 = 5 ≡ 0 mod 5, el punto P2 no est´ definido!
a
Ricardo Menares Aritm´tica y geometr´
e ıa

16. ¿Qu´ tan geom´trica es esta nueva geometr´
e e ıa?
Veamos que fall´: al intersectar la recta y = 2(x − 1) con el
o
c´
ırculo, obtenemos la ecuaci´n para x
o
5x 2 − 8x + 3 = 0
Pero 5 ≡ 0 mod 5 y 8 ≡ 3 mod 5, luego la ecuaci´n en
o
realidad es
3 − 3x = 0
Esta ecuaci´n tiene s´lo 1 soluci´n, x = 1 (el punto original).
o o o
Es decir, tenemos una recta que intersecta al c´ırculo en 1 solo
punto!
Ricardo Menares Aritm´tica y geometr´
e ıa

17. ¿Qu´ tan geom´trica es esta nueva geometr´
e e ıa?
Nos quedan dos posibilidades
Considerar que y = 2(x − 1) es una recta tangente al c´ ırculo.
Como la recta de ecuaci´n x = 1 tambi´n es tangente, esto
o e
nos obliga a aceptar que hay dos rectas tangentes distintas,
pasando por el mismo punto
Considerar que y = 2(x − 1) no es una recta tangente al
c´
ırculo. En este caso, tendremos que aceptar que hay rectas
no tangentes que lo cortan en s´lo 1 punto
o
Las ideas de Grothendieck muestran de manera convincente
que el segundo punto de vista es el correcto
Ricardo Menares Aritm´tica y geometr´
e ıa

18. ¿C´mo proceder entonces?
o
Resolvamos el problema sobre C5 .
Como 22 ≡ −1 mod 5, tenemos
x 2 + y 2 = (x + 2y )(x − 2y ) en F5 .
El cambio de variable u = (x + 2y ), v = (x − 2y ) transforma
la ecuaci´n del c´
o ırculo en
uv = 1.
Hay 4 posibilidades para (u, v ), a saber,
(1, 1), (2, 3), (3, 2), (4, 4). En t´rminos de (x, y ), obtenemos
e
(1, 0), (0, 1), (0, −1), (−1, 0)
Ricardo Menares Aritm´tica y geometr´
e ıa

19. Caracter´
ısticas de la geometr´ aritm´tica
ıa e
Cuando trasladamos conceptos geom´tricos a nuevos
e
contextos, algunas caracter´
ısticas de la geometr´ tradicional
ıa
se conservan y otras no.
Cuando la nueva situaci´n entra en conflicto con la intuici´n
o o
proveniente de la geometr´ tradicional, generalmente aparece
ıa
una estructura extra, que podemos encontrar inspeccionando
la raz´n del desacuerdo
o
Para el ge´metra aritm´tico, el c´
o e ırculo es la ecuaci´n
o
x 2 + y 2 = 1. El dibujito redondo no es m´s que un esbozo del
a
conjunto de soluciones reales de esta ecuaci´n!
o
Ricardo Menares Aritm´tica y geometr´
e ıa

20. Gracias!
Think geometrically, prove algebraically
David Mumford
Ricardo Menares Aritm´tica y geometr´
e ıa