Matemáticas Noveno Grado

MATEMÁTICA
Unidad 1
UTILICEMOS ECUACIONES
CON RADICALES

Objetivos de la Unidad:
Utilizarás con seguridad los determinantes y las ecuaciones con
radicales, aplicando sus propiedades en la propuesta de soluciones
a situaciones problemáticas del aula y del entorno.
Graficarás la línea recta e interpretarás sus elementos y
características con el fin de proponer soluciones a problemas
relacionados con el ámbito escolar y del entorno.
Resolverás situaciones problemáticas de tu entorno escolar y social,
utilizando sistemas de ecuaciones.

55

Las Determinantes:
determinantes y - Elementos
sus propiedades - Filas y columnas
- Diagonales

- Radicales
- Reducción a:
Ecuaciones con - Ecuaciones
radicales de primer grado
Eliminación:
- De la raíz
por el producto

Sistemas de:
Línea recta - Coordenadas cartesianas
- Coordenadas de punto
- P (abscisa, ordenada)
- Pendiente (m)
Tipos de pendiente:
- Positiva
- Negativa
- Cero e indefinida
Gráfico intercepto con el eje de las ordenadas

Sistemas de:
Sistemas de - Dos ecuaciones
ecuaciones - Ecuaciones con dos incógnitas
Sistema de:
- Ecuaciones lineales
Métodos de Método gráfico:
resolución de - Para resolver ecuaciones con dos
ecuaciones incógnitas
Otros métodos

Al final de esta unidad podrás construir un sistema de ecuaciones simultáneas con dos incógnitas y encontrarás las
respuestas a situaciones en donde se usan las ecuaciones lineales utilizando el método por determinantes. También
graficarás coordenadas cartesianas ubicando puntos en ellas para luego determinar la pendiente que existe entre
dichos puntos. Teniendo conocimiento de pendiente de una línea recta definirás la ecuación de una línea recta.

Descripción del proyecto
Al final aprenderás los distintos métodos para resolver un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas, métodos
de eliminación por igualación, sustitución y reducción.

56 Matemática - Noveno Grado

Primera Unidad Lección 1
LOS DETERMINANTES Y SUS PROPIEDADES
Motivación
C
¿ ómo resuelves la siguiente situación?
Juan, compró 2 lápices y tres borradores por $ 1.90; y otra
persona, compró tres lápices y cuatro borradores por $2.70.
¿Cuáles son los precios de un lápiz y de un borrador?
Trata de resolverlo. Para ello, representa por “x” el precio de
un lápiz y pon “y” el precio de un borrador. Tendrías:
2 x + 3 y = 1.90
3 x + 4 y = 2.70
Busca valores para x e y que satisfagan ambas ecuaciones.
Más adelante resolverás este tipo de situaciones utilizando
el método por determinantes.

Indicadores de logro:
Explicarás con confianza el proceso de formación de Resolverás de manera ordenada ejercicios y problemas
un determinante. aplicando determinantes de Segundo orden.
Identificarás con seguridad los elementos, filas, columnas,
diagonales y orden de un Determinante.

En temas anteriores, has visto que toda ecuación de En el desarrollo de esta lección, aprenderás como
primer grado con dos incógnitas, es indeterminada; en los determinantes te ayudan a resolver este tipo de
otras palabras tiene infinitas soluciones. problemas. Espero que te prepares y pongas interés para
aprender el mundo de los determinantes.
Observa este ejemplo:
Igualdad 1 2(3) + 5(2) = 6 + 10 = 16
Igualdad 2 − 3(3) + 4(2) = −9+8=−1
Ahora las escribes con incógnitas:
(1) 2x + 5y = 16
(2) 3x + 4y =−1
Observa que las soluciones de estas ecuaciones son
para x = 3 y para y = 2 ya que satisfacen a las dos
ecuaciones. Dos ecuaciones con dos incógnitas son
simultáneas, cuando se satisfacen, con iguales valores
para las incógnitas.

Noveno Grado - Matemática 57

UNIDAD 1

Determinantes
Un determinante, es un número asociado a un arreglo cuadrado de números,
encerrados entre dos barras verticales.
Ejemplo: 4 −3
0 5

Los números que forman el arreglo se llaman elementos del determinante. En este
ejemplo los elementos son 4, −3, 0 y 5.
Este determinante por tener dos filas y dos columnas de elementos es de segundo
orden.
3 0 5
4 −2 3
En este otro ejemplo el determinante es de tercer orden: por tener
1
tres filas y tres columnas. 2 −1
2

Ahora verás cómo se analizan los determinantes con líneas diagonales en un
determinante de segundo orden:
a d
Así: La línea que une: a con b se llama diagonal principal.
c b

a d
La línea que une: c con d, es la diagonal secundaria.
c b

La diagonal principal de un determinante, es la línea de elementos que corre de la
esquina superior izquierda, a la esquina inferior derecha.
La diagonal secundaria de un determinante, es la que va de la esquina inferior
izquierda, a la esquina superior derecha.
Ejemplo 1
Interpreta este ejemplo, donde se calcula el valor del determinante:
4 6
= 4(2) – (−3) (6) = 8 + 18 = 26
−3 2

¿En qué consisten los determinantes entonces?
Observa las flechitas de las diagonales:
Si del producto ab restamos el producto cd, tendremos una expresión ab – cd.
Esta expresión puede escribirse con la siguiente notación matemática:
a d a d
ab − cd = Esta expresión: es un determinante.
c b c b


UNIDAD 1

Fíjate que las columnas de un determinante, están constituidas por las cantidades que
están en una misma línea vertical; en este ejemplo  a  constituye la primera
 c 
 
columna  d  y es la segunda columna.
 b 
 
Por otra parte, las filas, están constituidas por las cantidades que se encuentran en una
misma línea horizontal. En el ejemplo que estás viendo, ad es la primera fila y cb la
segunda fila.

Orden de un determinante
El orden de un determinante cuadrado está dado por el número de filas y de columnas.
Mira estos ejemplos:
a d y 1 2 son determinantes de segundo orden.
c b 3 4

Elementos de un determinante
Para: a1 b1
a2 b2

Columna 1 Columna 2
Como puedes ver, un determinante de 2º orden tiene dos filas (elementos de línea
horizontal) y dos columnas (elementos de línea vertical).
Cálculo de un determinante de segundo orden
a1 b1 = a1b2 –a2b1
a2 b2

El determinante de segundo orden, equivale al producto de los términos que
pertenecen a la diagonal principal, menos el producto de los términos que pertenecen a
la diagonal secundaria.
Ejemplo 2

3 −2
Si: H= el determinante de H lo encuentras de la siguiente manera:
4 −1

3 −2
H= determinante de H es: 3(−1) – 4(−2) =5
4 −1

No debes olvidar que el determinante de un arreglo como éste, siempre será un
número. Y se puede interpretar como la diferencia de los productos de los elementos
que ocupan las diagonales.


UNIDAD 1

Observa cómo se calcula el valor de cada determinante siguiendo la regla anterior:
Ejemplo 3
4 −8
= 4(10) – (−3) (−8) = 16
−3 10
Punto de apoyo
Ejemplo 4
3 −5  a b 
= 3(−2) – 1(−5) = −1 Al arreglo A =  c
 d 

1 −2
Se llama matriz y su
Ejemplo 5 determinante se denota por:
−2 −5 = (−2) (−9) – (−5) (−3) =3 |A|= a b
c d
−3 −9

Ejemplo 6
2 3
= 2(−5) – (−3) (3) = −1
−3 −5

1 Actividad
1. Encuentra el valor de los siguientes determinantes:
4 5 2 7 −2 5
a) d) g)
2 3 3 5 4 3

7 9 5 −3 9 −11
e)
b)
5 −2 −2 −8 h)
−3 7

−15 −1 12 −1 10 3
c) f) i)
13 2 13 −9 17 13

Propiedades de los determinantes
Las propiedades básicas de los determinantes las comprenderás con los
siguientes ejemplos:
Observa lo siguiente:
Ejemplo 7
2 4
= 2(−2) – (−1)4 = −4 + 4 = 0
−1 −2

Fíjate, la segunda columna, es dos veces la primera columna.


UNIDAD 1

Ejemplo 8
7 −2
= 7(−6) – (21) (−2)= −42 + 42 = 0
21 −6

¿Cómo es la segunda fila con respecto a la primera fila?
Muy bien, te diste cuenta que la segunda fila es igual a tres veces la primera, es decir:
3 | 7 −2 | = | 21 −6 |
Propiedad 1
Sea A, un arreglo cuadrado. Si A tiene una fila que es múltiplo de otra fila o una
columna que es múltiplo de otra columna, entonces | A | = 0.
Ejemplo 9
5 2 Su determinante es: 5(2) – 5(2) = 10 – 10 = 0.
5 2
Observa que la segunda fila es igual a la primera.
Ejemplo 10
6 6
−3 −3
= 6(−3) – (−3) (6)= −18 + 18 = 0.
¿Cómo es la segunda columna con respecto a la primera?
Propiedad 2
Sea A, un arreglo cuadrado. Si A, posee dos filas iguales o dos columnas iguales
necesariamente |A| = 0.
Observa el siguiente ejemplo te servirá para comprender la propiedad 3.
Ejemplo 11
|A| = 4 −8 = 4(10) – (−3) (−8) = 40 – 24 = 16
−3 10
−3 10
Intercambia las filas de A: |B|= = (−3) (−8) – (4) (10) = 24 – 40= −16.
4 −8
Compara los resultados de |A| y |B| , ¿Cómo son?
Propiedad 3
Al intercambiar dos filas de A o dos columnas de A, el determinante cambia de signo.
En símbolos |B| =− |A|
Para que termines de verificar con ejemplos las propiedades observa lo siguiente:
4 5
|A| = |A| = 4(−1) – 3(5)= (−4)− (15) = −19
3 −1
Ahora, multiplica la segunda fila por 2:
|B|= 4 5 |B|= 4(−2) −6(5) = (−8) – (30) = −38
6 −2


UNIDAD 1

Propiedad 4
Si cada uno de los componentes de una fila o de una columna de un arreglo, se
multiplica por un mismo número, su determinante también se multiplica por él.
Actividad de aplicación
Encuentra el determinante asociado a cada uno de los siguientes arreglos tomando en
cuenta las propiedades que vimos anteriormente.
x −3
a) El valor de x para = 36 es:
4 2

3 3
b) El determinante de es:
−4 −4
−1 3
c) Intercambia las columnas en |A| =
2 5
Calcula el nuevo valor del determinante y comprueba que el resultado es −|A|.

3 2
d) Multiplica la segunda columna por 3 en y encuentra su determinante.
4 −5

3 2
Luego compara la respuesta con el valor de
4 −5

¿Sabes cuándo un determinante es de tercer orden?
Hasta aquí has estudiado determinantes de segundo orden más adelante estudiarás
determinantes de tercer orden y encontrarás el número asociado a este tipo de arreglos.
Entonces observa con atención lo siguiente.
El modo de encontrar el determinante es sencillo, para ello aplicas la regla de Sarrus.
Ejemplo 13
1 −2 −3
Resuelve: −4 2 1 debajo de la tercera fila horizontal se repiten las dos primeras
5 −1 3

Filas horizontales y nos queda:
1 −2 −3 Ahora trazas 3 diagonales 1 −2 −3
−4 2 1 de derecha a izquierda y −4 2 1
5 −1 3 3 de izquierda a derecha, 5 −1 3
como se te muestra en el
1 −2 −3
arreglo de números: 1 −2 −3
−4 2 1 −4 2 1


UNIDAD 1

Multiplica entre si los tres números por los que pasa cada diagonal.
Los productos de los números que hay en las diagonales trazadas de izquierda a
derecha se escriben con su propio signo:
(1)(2)(3)=6 (−4) (−1) (−3)= −12 5(−2) (1)= −10
Los productos de los números que hay en las diagonales trazadas de derecha a
izquierda se escriben con el signo cambiado:
(−3)(2)(5) = −30 cambiándole el signo tenemos: 30
(1)(−1)(1) = −1 cambiándole el signo: 1
(3)(−2)(−4) = 24 cambiándole el signo: −24
Para que al final resuelvas efectuando las operaciones:
6− 12 − 10 + 30 + 1 − 24 = −9 este valor es el determinante del arreglo de tercer orden.
También puedes aumentar
1 -2 -3 1 2
las dos primeras columnas
y hacer el mismo -4 2 1 -4 2
procedimiento anterior. Así: 5 -1 3 5 -1

Luego: |A|= (1)(2)(3)+(−2)(1)(5)+(−3)(−4)(−1)−(5)(2)(−3)−(−1)(1)(1)−(3)(−4)(−2)

= 6 − 10 − 12 + 30 + 1 − 24 = − 9 Observa el resultado obtenido es el mismo.

Los sistemas de ecuaciones lineales, como ya se dijo, también pueden resolverse
utilizando determinantes. Los determinantes sirven en particular para resolver
sistemas de ecuaciones de segundo orden, tercer orden y de orden superior.

Resumen

En esta lección aprendiste como se forman las
determinantes, los elementos como las diagonales
principales y las secundarias. También el orden de los
arreglos en filas y columnas y específicamente los de 2
por 2 o determinantes de segundo orden y de 3 por 3 o de
tercer orden.
Ejercitaste como se resuelven este tipo de determinantes y
encontraste su valor.


UNIDAD 1

Autocomprobación
Desarrolla los siguientes determinantes y encuentra su respuesta.

1 4 5
2 3
3 −2 5
4 3

a) 2 c) 3 a) 26 c) −26

b) 24 d) −2 b) 24 d) 20

2 2 5
2 3
4 7 9
5 −2

a) 16 c) 4 a) 59 c) 30

b) −4 d) 9 b) −59 d) −56

4. b. 3. c. 2. b. 1. a. Soluciones

HISTORIA DE LOS DETERMINANTES
Los determinantes fueron introducidos en
occidente a partir del siglo XVI, esto es, antes
que las matrices, que no aparecieron hasta el
siglo XIX. Conviene recordar que los chinos (Hui,
Liu, iuzhang Suanshu o Los nueve capítulos del
arte matemático.) fueron los primeros en utilizar
la tabla de ceros y en aplicar un algoritmo que,
desde el Siglo XIX, se conoce con el nombre de
Eliminación Gaussiana.
Primeros cálculos de determinantes.
El determinante determina la unicidad de la
solución de un sistema de ecuaciones lineales.
Fue introducido para el caso de orden 2 por
Cardan en 1545 en su obra Ars Magna.

Gauss Karl Friedrich


ECUACIONES CON RADICALES
Motivación

El patio de la casa de Juan es un cuadrado con un área de
30.25 m2 . Tres de los lados están cercados. El quiere cercar el
cuarto lado. ¿Cuántos metros de cerca tiene que poner? Trata de
resolverlo. Para ello representa por “x” un lado del patio.
Obtienes que A= x2 , es decir x2 = 30.25
¿Cómo despejas x?

Identificarás y explicarás con seguridad una serie de
ecuaciones con radicales transformables en ecuaciones de Resolverás ejercicios utilizando las ecuaciones con radicales
primer grado. transformables en ecuaciones de primer grado.
Aplicarás con interés las reglas de los exponentes al resolver
ecuaciones con radicales.

Recuerda un poco…… Radicación, es encontrar la raíz de un número, la
Cuando tú haces cálculos matemáticos te has dado cual elevada a la correspondiente potencia, da como
cuenta que ciertas operaciones tienen su forma inversa resultado el número inicial.
de operarse, ¿recuerdas la operación inversa de la suma?
¿recuerdas la de la multiplicación y la de la potenciación? Así, por ejemplo, cuando multiplicamos 2 × 2 y
En esta lección estudiarás estas últimas para lograr obtenemos el producto 4, decimos que 2 es la raíz de
resolver ecuaciones con radicales. 4, donde en este caso se ha multiplicado al número 2
una vez por sí mismo, es decir, lo hemos elevado al
Radicación cuadrado (²).

Observa lo siguiente: 3 8 =2, por que 23=8 puesto que
toda potencia se puede expresar como un radical.
La expresión n b es un radical. Así:
: Es el signo radical
n: es el índice radical (si n = 2 se omite su escritura)
b: cantidad subradical o radicando.


UNIDAD 1

Observa

Radical: Es toda expresión de la forma n b que indica la n-ésima raíz principal de
la cantidad b.

Radical racional
Observa este ejemplo: 4 a 2 es una cantidad racional porque si se extrae las raíces el
resultado es: 2 a
Ejemplo 1 16a 4 = 4a 2
Ejemplo 2 3 8x 3 = 2x
Radical irracional
Una expresión radical es irracional si la raíz no puede extraerse con exactitud.
Ejemplo 3
2
3
2 x 2 = 1.25992....x 3
El grado de un radical
Es el índice de la raíz. Así, x es un radical de segundo grado, ya que x = 2 x
Ejemplo 4
3
3a es un radical de tercer grado.
Radicales semejantes
Observa estos radicales: 2 3 , −5 3 y 4 3
¿Qué tienen en común? Puedes ver que todos tienen el
índice igual a 2 y tienen la misma cantidad subradical.
Por eso se llaman radicales semejantes.
¿Podrías decir que son radicales semejantes?
Son los que tienen el mismo grado (igual índice) y que
tienen la misma cantidad subradical.
Ejemplo 5
Así, 2 3 , 5 3 y 1/2 3 son radicales semejantes.
Ejemplo 6
2 3 y 5 5 2 no son radicales semejantes.


UNIDAD 1

Simplificación de radicales

Simplificar un radical es cambiar su forma sin cambiar
su valor. Lo simplificas o lo reduces a su más simple Observa
expresión permitiendo que la cantidad se mantenga
entera y que esté en su menor grado posible. 1 m

Ejemplo 7
n
a =a n n
am =a n

Simplifica 9a 3 Descompones 9 y a3
9a 3 = 32 .a 2 .a = 32 . a 2 . a = 3a a
Así, por ejemplo:
6
3
a6 = a 3 = a2
8
a =a =a4
8 2

En la práctica no se indican las raíces, sino que una
vez arreglados los factores de las cantidad subradical,
aquellos cuyo exponente sea divisible por el índice, se
sacan del radical dividiendo su exponente por el índice.

Expresión de un radical en forma de potencia

Ejemplo 8 Ejemplo 11
1
9 =9 2

2x 3 . 3 4 y = 3 ( 2x 3 ) ( 4 y )
3

Ejemplo 9
2 = 3 23 x 9 2 2 y
3
3 =3
2 3

= 3 25 x 9 y = 3 32 x 9 y
Te das cuenta, que la base de la potencia es la misma
cantidad dentro del radical y el exponente es una
fracción cuyo numerador es el exponente de la cantidad De igual forma lo puedes extraer del signo radical: lo
subradical y el denominador es el índice del radical. que tienes que hacer es lo siguiente: Se descompone el
radicando en factores primos y se expresa en forma de
Con base a lo anterior, puedes introducir un factor bajo potencias. Si un exponente es menor que el índice, la
el signo radical al elevarlo al índice del radical. cantidad se deja en el radical, y si es igual al índice, se
extrae la cantidad subradical.
Ejemplo 10
Así, 12 = 22 .3 = 2 3 dejamos el factor 3 dentro
2 3 4 y = 3 23 ( 4 y ) del radicando, pero si el exponente de algún factor
= 3 32 y subradical es igual al índice, el factor correspondiente
sale fuera del radicando.


UNIDAD 1

Este es otro ejemplo para que verifiques lo anterior.
Ejemplo 12 98 = 7 2 .2 = 7 2
Pero qué sucede cuando un exponente es mayor que el índice, entonces divides dicho
exponente por el índice. El cociente obtenido es el exponente del factor fuera del
radicando y el resto es el exponente del factor dentro del radicando.
Comprueba lo anterior con los siguientes ejemplos:
Ejemplo 13 48 = 24 .3 = 22 3 = 4 3
El factor 2 salió con exponente 2.
Ejemplo 14
3
243 = 3 35 = 3 33 .32 = 3 3 32
Otro punto importante de los radicales es cuando se eleva un radical a una potencia:
Ejemplo 15
( ) Observa como lo debes hacer:
2
Desarrolla 5x 2

( )= ( 5x )
2
2 2
5x 2 = 52 x 4 = 5 x 2
Para elevar un radical a una potencia se eleva a dicha potencia el radicando y se deja el
mismo índice.
( a)
m
n
= n a m Esto es de forma generalizada.

Ejemplo 16
( 18 ) = (18 )2 = 3 ( 2.32 ) = 3 22 .3 4 = 3 22 .33 .3 = 3 3 12
2 2
3 3

Si observas detenidamente este ejemplo te darás cuenta que el 18 lo descompones en
factores y luego elevas esos factores a la potencia 2, y finalmente sacas los factores que
cumplen con lo dicho anteriormente.

Punto de apoyo

( a ) =a
n
n
1.
2. n a n = a
Siempre que los radicales, estén definidos.


UNIDAD 1

¿Sabes cómo se resuelven ecuaciones con radicales?
Después de haber trabajado con algunas propiedades de los radicales vamos a estudiar
la resolución de ecuaciones en las cuales la incógnita aparece bajo el signo radical.
Observa qué forma tienen estas ecuaciones con radicales:
−x + 2 4
a) 2 x + 1 = 3 + y =3
3
d) 5
x +1

b)
4
y 3 − 2x = x + 5 e) x + 6 − 2x = x

x
c) = x 2 − 7x Observa
x +6
Se llama ecuación radical aquella ecuación que
involucra al menos un radical cuya cantidad
subradical es una expresión algebraica.

¿Qué diferencias observas entre estas ecuaciones y las ecuaciones lineales?
Seguramente vistes que éstas llevan el signo radical. Entonces manos a la obra y
resuelve las siguientes ecuaciones con radicales.
Ejemplo 17
Comienza resolviendo la siguiente ecuación: 4 x −15 − 2x = −1
2

(4x − 15 ) = ( 2 x − 1)2
2 2
Primero debes aislar el radical:
Elevas al cuadrado ambos miembros para eliminar el radical:
(4x − 15 ) = ( 2 x − 1)2 Esto te queda: 4 x 2 − 15 = 4 x 2 − 4 x + 1
2 2

Suprimes 4x2 en ambos miembros: −15 = −4x + 1; 4x = 16 ; x = 4
Para estar seguro de lo que has encontrado la respuesta correcta, sustituye en la
ecuación original: 4 x 2 − 15 − 2 x = −1

Comprueba:

4 x 2 − 15 − 2 x = −1 para cuando x = 4
4 ( 4 )2 − 15 − 2( 4 ) = −1

4 (16 ) − 15 − 8 = −1

64 − 15 = −1+ 8

49 =7 raíz cuadrada de 49 es 7
Por lo tanto nos resulta: 7 = 7


UNIDAD 1

Después de resolver este ejemplo puedes enumerar los pasos para resolver ecuaciones
con radicales:
a) Aíslas un radical en uno de los dos miembros, pasas al otro miembro el resto de
los términos, aunque tengan también radicales.
b) Elevas al cuadrado los dos miembros.

c) Resuelves la ecuación obtenida.

d) Compruebas si las soluciones obtenidas verifican la ecuación inicial. Hay que
tener en cuenta que al elevar al cuadrado una ecuación se obtiene otra que tiene
las mismas soluciones que la dada y, además las de la ecuación que se obtiene
cambiando el signo de uno de los miembros de la ecuación.
e) Si la ecuación tiene varios radicales, se repiten las dos primeras fases del proceso
hasta eliminarlos todos.

Ejemplo 18 Otra vez aíslas el radical:

Resuelve la siguiente ecuación con radicales: x + 4 − 25 − x + 1 = −10 x − 1

x + 4 + x −1 = 5 Reduciendo: −20 = −10 x − 1

Aísla un radical: x + 4 = 5 − x −1 20 = 10 x − 1

( )
2
Elevas ambos lados al cuadrado: Divides por 10: 2 = x −1

( ) ( ) ( )
2 2 2
x + 4 = 5 − x −1 Elevas al cuadrado: 22 = x − 1 , entonces 4= x − 1

Te queda: x + 4 = 52 − 2 × 5 x − 1 + ( x − 1)
2
Despejas x y tienes x = 5

Efectúas: x + 4 = 25 − 10 x − 1 + x − 1 La comprobación te la dejo en tus manos.


UNIDAD 1

1 Actividad

Resuelve las siguientes ecuaciones con radicales tomando en cuenta los pasos para convertirlas a
ecuaciones de primer grado.
a) x − 8 = 2 c) 7 + 5 x − 2 = 9
3
e) x 2 − 2x + 1 = 9 − x

b) 5 − 3 x + 1 = 0 d) 9 x − 5 − 3 x = −1
2

Ahora resolverás ecuaciones con radicales en los denominadores.

Ejemplo 19
2
Resuelve: x + 4 − x −1 = =2, x ≠ 1
x −1
Antes de comenzar multiplicas por el común denominador x −1 para eliminar el
denominador de la ecuación.
 2  siempre que x ≠ 1
Multiplicas: x −1 ( x + 4 − x −1 = ) ( x −1 )
 x −1 


Eliminas el denominador: x −1 ( x + 4 − x −1 = 2 )
Efectúas las operaciones indicadas: ( x + 4 )( x − 1) − ( x − 1) = 2
2

Efectúas: x 2 + 3 x − 4 − ( x − 1) = 2

x 2 + 3x − 4 − x + 1= 2

x 2 + 3x − 4 = x + 1

Elevas al cuadrado: x + 3 x − 4 = x + 2 x + 1
2 2

Eliminas términos x2 y transpones 3 x − 2 x = 4 + 1
x=5

Resumen

En esta lección trabajaste con un método para resolver ecuaciones con radicales abordaste
los temas que te ayudarán a entender la forma de tratar a las expresiones con radicales. Entre
otros temas que vistes están: Operaciones con radicales, Expresión de un radical en forma de
potencia, Extracción de factores fuera del signo radical, Potencia de radicales, Potencias de
exponente racional y resolución de ecuaciones con radicales que se reducen a primer grado.


UNIDAD 1

Autocomprobación
Resuelve las ecuaciones con radicales y selecciona la respuesta.

1 15 − 3 7 x − 1 = 12
3 x + x +7 =7
a) 4 a) − 9
b) – 4 b) 10
c) 5 c) 9
d) 3 d) 8

2 3 x − 5 + 3 x − 14 = 9
4 a) −6
x + 10 − x + 19 = −1
a) 10
b) − 10 b) 6
c) 9 c) 9
d) − 9 d) −9

4. b. 3. c. 2. a. 1. a. Soluciones

NÚMEROS RADICALES EN EL RENACIMIENTO
Durante el renacimiento se dan grandes
progresos científicos para las matemáticas cabe
destacar que uno de los grandes aportes de
esta época fue la introducción de los exponentes
fraccionarios y el concepto de números radicales,
además se estableció un sistema único de
números algebraicos, con lo que se hizo posible
expresar ecuaciones en forma general.
Así también se puede mencionar, la resolución de
ecuaciones algebraicas radicales, como las que
resultan cuando tratamos con lados de polígono
y queremos calcular el valor numérico de uno o
varios lados.


LíNEA RECTA
Motivación

L a carretera que se observa en el dibujo al pie de la
montaña asusta ¡es muy inclinada!

Sin embargo, no todas las carreteras son de esa forma,
algunas son más inclinadas que otras, y las hay sin
inclinación pero en la vida cotidiana no sólo las carreteras
tienen inclinación. ¿Puedes decir en que otras situaciones
has observado distintas inclinaciones? Resulta que estas
inclinaciones están relacionadas con la pendiente de la
línea recta, y es de lo que trataremos en esta lección.


Identificarás con seguridad los elementos de un sistema de Utilizarás y valorarás el uso de la fórmula de la pendiente de
coordenadas cartesianas. la recta conocido dos puntos por donde pasa.
Identificarás y colocarás con seguridad las coordenadas de Calcularás con exactitud el valor de la pendiente positiva,
un punto en el plano cartesiano. negativa, cero e indefinida de una recta al conocer los
valores de las coordenadas de dos puntos por donde ésta
pasa.

¿Te acuerdas lo que es un par ordenado?

Comienza escribiendo los pares ordenados que están en Lo que escribiste anteriormente son pares ordenados,
la gráfica. dicho de otra forma es un par de números que
representa un punto en una gráfica.
Punto A: (5, 4) 7
6
D 5 A
Cuando escribes un par ordenado, escribes el valor de
Punto B: (−2, −3) 4 entrada y luego el valor de salida, en matemática tiene
(-5,4) 3 (5,4)
Punto C: (0, 1) F 2 C un nombre especial, y se llaman primera componente y
(-6,0) 1 (0,1) segunda componente respectivamente.
Punto D:(−5, 4) -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1-1 1 2 3 4 5 6 7
B -2
Punto E: (5, −4) -3
(-2,-3)-4
E
-5 (5,-4)
Punto F: (−6, 0) -6
-7


UNIDAD 1

¿Qué es un plano cartesiano?
Considera dos rectas numéricas que se cruzan Las coordenadas cartesianas son grupos de números
perpendicularmente, una en dirección horizontal y la que describen una posición; posición a lo largo de una
otra en dirección vertical; la primera se denomina eje línea, en una superficie o en el espacio. La latitud y
horizontal X y la otra eje vertical Y, formando un plano longitud o la declinación y ascensión de una recta, son
llamado plano cartesiano que posee un número infinito sistemas de coordenadas en la superficie de una esfera
de puntos, cada uno de los cuales representa un par como la tierra.
ordenado de números.
Las coordenadas cartesianas se pueden usar para decir
El par ordenado se representa con las letras x, y dentro de dónde estás exactamente en un mapa o dar significado
un paréntesis así, ( x, y ) a éste le denomina coordenadas a un problema a través de un gráfico, como se muestra
cartesianas en honor a su descubridor el Matemático y en el siguiente ejemplo de cómo se extiende el suelo
Filósofo René Descartes. oceánico dependiendo del factor tiempo.
Observa el siguiente gráfico:

9 Y Ordenadas Observa
8
7 Un sistema de coordenadas te ayudará a localizar
6 los puntos en el plano. Las coordenadas se
5 escriben dentro de un paréntesis y separados por
Cuadrante II 4 Cuadrante I
(-,+) (+,+) una coma, (x, y)
3
2
1
X Abscisas
−7 −6 −5 −4 −3 −2 −1
−1
−2
1 2 3 4 5 6 7
1 Actividad
−3
Cuadrante III −4 Cuadrante IV a) Grafica en el plano cartesiano los puntos (3, 2), (2, 3) y (4, 5).
(-,-) (+,-)
−5 ¿En que cuadrante están?
−6
−7 b) Grafica los puntos (−3, −2), (−2, −5) y (−5, −2).
−8
−9 c) Ubica puntos en el segundo cuadrante.

d) Ubica puntos en el cuarto cuadrante.
Los ejes x, y separan este plano en cuatro regiones
llamadas cuadrantes.
Empezando por el de la parte superior derecha y
siguiendo en sentido contrario a las manecillas del reloj,
estos cuadrantes se enumeran I, II, III y IV.
Al eje horizontal le denominas eje “x” o eje de las
abscisas y al eje vertical eje “y” o eje de las ordenadas.
Cada par ordenado se conoce como coordenadas
cartesianas de un punto.


UNIDAD 1

Ejemplo 1 ¿Qué es la pendiente de una recta?
El suelo del océano Atlántico se extiende 4 cm cada La inclinación de la recta que resulta del ejemplo
año. Los científicos empezaron a estudiar dos partes del anterior se le conoce como pendiente; y para que te
suelo oceánico cuando estaban separadas por 10 cm. La resulte más práctico, calcularás una; utiliza los puntos
siguiente tabla nos muestra la extensión oceánica en el
siguientes: (6, 8) y (2, 3).
tiempo, esto es en los próximos 10 años.
Utilizas la línea de tiempo: y = 4x + 10 Si nombras al punto (2, 3) como P1 y al
punto (6, 8) como P2 tienes que la pendiente es igual
Valor de Línea de Valor de
entrada tiempo salida y − y 8−3 5
a: m = 2 1 = = que es una pendiente o
x 2 − x1 6 − 2 4
x 4x + 10 y
inclinación positiva.
0 4(0)+10 10
5 4(5)+10 30 Si te fijaste utilizaste una ecuación para calcular la
10 4(10)+10 50 y −y
pendiente: m = 2 1 estos datos los obtuviste
x 2 − x1
y de los pares ordenados o puntos a los que nombraste P1 y

50 P2, estos puntos se denotan así:
P1: (x1, y1); P2: (x2, y2)
40
m: es la pendiente, que significa el grado de inclinación
que tiene una línea recta respecto al eje horizontal x.
30
Observa este otro ejemplo para que comprendas mejor
20
como se calcula una pendiente.
Ejemplo 2
10
Calcula la pendiente de la línea recta que pasa por los
x puntos:
-1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 P1 (−2, 7) y P2 (3, −3)
Define primero las coordenadas:
El gráfico anterior te servirá para hacer un pequeño
Y
análisis o interpretación de los datos. x1= −2, y1= 7 y x2= 3
50
Para la construcción del gráfico de valores utilizas una y2= −3
40
ecuación, y = 4x + 10 y valores para la variable x, y así
generar los de y formándose los pares ordenados (0, 10),
30 Y luego sustituyes en la ecuación para calcular la
(5, 20) 20 (10, 30).
y pendiente:
10
Estos los colocas en el plano cartesiano y al unir los X y 2 − y1 −3 − 7 −10
m= = = = −2
puntos te resulta una línea4recta inclinada hacia la10 x 2 − x1 3 − ( −2 ) 5
-1 1 2 3 5 6 7 8 9
derecha. Obtienes una pendiente negativa.


UNIDAD 1

Observa el siguiente ejemplo, pero con su respectiva gráfica:
Ejemplo 3
Caso 1
Determina la pendiente de la siguiente recta que pasa por los puntos (2, 1) y (0, 0)
y 2 − y1 0 − 1 −1 1
m= = = =
x 2 − x1 0 − 2 −2 2

Y
5
4
1
m= con inclinación hacia la derecha 3
2
del plano. Por eso es positiva. 2 m = 1/2
1 (2,1)
X
(0,0) 1 2 3 4 5

Caso 2
Ahora localizas en el plano el par de puntos (2, 3), (4, 0) y determinarás la pendiente de
la recta que las contiene:
Aplicas la definición de la pendiente y obtienes:

Y
5
4
3
(2,3) 0−3 3
2 m= =−
m = 3/2 4−2 2
1
X

1 2 3 4 5
(4,0)

Observa

La pendiente es negativa y está inclinada a la izquierda del plano.


UNIDAD 1

Caso 3 Caso 4
Calcula la pendiente de la recta que pasa por los puntos Calcula la pendiente de la recta que pasa por los
P1:(3, −3) y P2: (3, 7). puntos: P1 (−2, 4) y P2 (3, 4).
7 − ( −3 ) 10
Observas que: m = = . Como no puedes Utiliza la fórmula y obtienes que
3−3 0
dividir por cero, concluyes que la pendiente no existe. 4−4 0
m= = = 0 en este ejemplo la pendiente
3 − ( −2 ) 5
tiene un valor de cero y de igual manera lo verificas en
Observa la siguiente gráfica:
Ahora observa la gráfica y aprecia. ¿Cómo es la línea recta que se forma cuando la
¿Cómo es la línea recta que no tiene pendiente? pendiente de ella es cero?
Muy bien, es una línea horizontal.
10 Y
9
8 5
7 (3,7)
6 4
(-2,4) (3,4)
5
4 3
m=0
3 m = no existe
2 2
1 X 1
-1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
-2 -2 -1 1 2 3 4
-3 (3,-3) -1

La línea recta que se forma cuando no existe pendiente
es una línea vertical que forma un ángulo de 90 grados
con el eje horizontal X.
De igual forma vas a verificar otro caso particular de la
Actividad 2
pendiente en una línea recta.
Encuentra la pendiente de la recta que pasa por los puntos que
se dan.
Grafica dichos puntos, únelos con una línea recta. Compara la
forma de la línea con el tipo de pendiente positiva, negativa
o cero.
a) P1 (2, 4) y P2 (−3, 2)

b) A (5, 8) y B (−3, 8)

c) M (0, 4) y N (5, 0)


UNIDAD 1

Construye la ecuación de una línea recta
Ejemplo 4
José, tiene que viajar a varios departamentos de oriente, y para ello, su empresa le da
$ 10 de viáticos más la gasolina que consuma en un día. Esta semana la gasolina regular
está a $ 2.50 el galón. A José le pide su jefe que haga una gráfica que ilustre cuánto
dinero debe entregarle en función del número de galones que consume en un día, si
éstos no deben exceder a los 8 galones diarios.
Solución:
Sea x = número de galones de gasolina consumidos.
y = el costo total del viaje. (10 es costo fijo y 2.50x el costo que varía según el
número de galones consumidos)
y = 2.50x + 10
Encuentra puntos que satisfagan la ecuación anterior.
x y = 2.50x + 10 (x, y)
0 y = 2.5(0) + 10 = 10 (0, 10)
1 = 2.5(1) + 10 = 12.50 (1, 12.50)

8 2.50(8)+10=30 (8, 30)

Los pares que se formaron puedes verlos en un gráfico:

25

20

15

10 (0,10)

5
(-4,0)
- 15 - 10 -4 5 10 15

Esta gráfica le pertenece a la ecuación: y = 2.5 x + 10 puesto que con ella generamos
los pares ordenados para su construcción.
Comprueba que (−4, 0) le pertenece a la recta, sustituyendo x por −4.


UNIDAD 1

Con los puntos P1 (0, 10) y P2 (8, 30) puedes encontrar Solución:
la pendiente m:
y 2 − y1 4 − 3 1 1
= = =−
y 2 − y1 30 − 10 20 x 2 − x1 −2 − 1 −3 3
m= = = = 2.5
x 2 − x1 8 − 0 8
1
Observa que m es el valor del coeficiente de x en la Ahora utilizas m= − y cualquiera de los puntos.
3
ecuación y = 2.50 x + 10 y que 10 es el corte con el eje Por ejemplo el punto (1, 3).
de las y, en general tienes que:
y = mx + b es una ecuación de la línea recta en donde Ahora sustituyes el valor de m y el punto (1, 3) en
1
m es la pendiente y b es el valor donde se cruza dicha y –y1 =(x − x1); y − 3 = − (x−1);
línea con el eje vertical y. Se denomina ecuación de la 3
línea recta pendiente-intersecto. 1 1 1 1 1 10
y − 3 = − x + − ; y= − x + +3; y= − x +
Fíjate que la pendiente de una línea recta es única, es 3 3 3 3 3 3
decir cualesquiera dos puntos que tomes el resultado es
el mismo.
Considera un punto cualesquiera (x, y) y el punto (8, 30)

Luego:
y − 30 Actividad 3
x −8
Por lo tanto: Determina en cada caso la ecuación de la recta.

y − 30 = m(x −8) y como m = 2.5 entonces: a) Pasa por el origen y tiene pendiente −3;

y −30 = 2.5(x −8) b) Pasa por los puntos (2, 1) y (−3, 1)

Despeja “y” y obtienes la ecuación: c) Pasa por (1, 8) y tiene pendiente m = −2;
y = 2.5x −20 + 30 1
d) Pasa por (2, −6) y tiene pendiente m =
= 2.5 + 10 2
y = 2.5x + 10 es la ecuación pendiente intersecto que ya
conocías. Donde la pendiente es m = 2.5 y el intersecto
con el eje vertical “y” es 10.
Resumen
En general:
En esta unidad abordaste los contenidos sobre
Para P (x, y) y P1 (x1, y1) puntos de una recta se tiene: coordenadas cartesianas, puntos en los distintos
y − y1
= m la cual equivale a y − y1 = m ( x − x1 ) que cuadrantes del plano cartesiano, algunas gráficas para
x − x1 hacer más comprensible las referencias de un punto,
se denomina ecuación de la recta punto−pendiente.
definiciones de los ejes cartesianos, los cuadrantes del
Ejemplo 5 plano cartesiano y por último se retoma la construcción
de la ecuación de la pendiente tomando como base las
Encuentra la ecuación de la recta que pasa por P1 (1, 3) y gráficas de puntos para finalmente llegar a la definición y
P2 (−2, 4).
construcción de la ecuación de la línea recta.


UNIDAD 1

Autocomprobación

1 Calcula la ecuación de la recta, que pasa por los
puntos A (3, 2) y B (−2, −2). 3 Halla la ecuación de la recta que pasa por los
puntos P1(1, 3) y P2(0, , 2)
4 2 4 2
a) y = x− c) y = − x+ a) y = x + 2
5 5 5 5
b) y = − x + 2
2
b) y = − 4x − d) y = 5x − 2 c) y=x−2
5
d) y = x + 4

2 Determina la ecuación de la recta que pasa por el
punto P (3, 5) y m =
2 4 La ecuación de la recta que pasa por el origen y
tiene pendiente − 3 es:
3
2 2 a) y − 3x = 0
a) y = − x+3 c) y = − x−3
3 3 b) y = x − 3
2
b) y = x + 3 d) y = −2x + 3 c) y = −3x
3
d) y = 3x − 3

4. c. 3. a. 2. b. 1. a. Soluciones

PENDIENTE Ó INCLINACION
Pendiente entre dos puntos: un automóvil
que baja por una cuesta, como en la figura,
comúnmente decimos que se mueve pendiente
abajo. La idea de pendiente tiene que ver con
el grado de inclinación que tiene el camino
respecto del suelo horizontal.
Mira la gráfica de la par.
La pendiente será positiva si forma un ángulo
agudo con el eje X positivo, será negativa si
forma ángulo obtuso con este mismo eje. Será
cero si es paralela al eje X y no está definida si
es perpendicular al eje X.


SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Motivación

El centro escolar “Saúl Flores”, realizó una actividad
artística para recaudar fondos. Se vendieron entradas a
$0.25 y $ 0.10. Si lo recolectado fue de $22.50, y entraron
150 estudiantes. Los maestros quieren saber, ¿cuántas
entradas de $0.25 y cuantas de $0.10 se vendieron?

Determinarás y explicarás con interés un sistema de Determinarás y explicarás el método gráfico y valorarás su
ecuaciones lineales con dos incógnitas. importancia al resolver sistemas lineales con dos incógnitas.
Resolverás con curiosidad sistemas de ecuaciones lineales de Resolverás con seguridad y precisión el trazo de un sistema
dos incógnitas. de ecuaciones usando el método gráfico.
Utilizarás con interés el método gráfico para solucionar
problemas de sistemas de ecuaciones.

Considera la siguiente situación
Una señora pagó 26.40 dólares por 20 libras de tomates Si consideras la ecuación x + y = 20, puedes ver que
y ayotes. Si los tomates costaron $1.20 la libra y los tiene dos variables o también se les llama incógnitas. Si
ayotes $1.50 la libra. despejas y, tendrás lo siguiente: y = 20 – x entonces para
cada valor que le des a x obtienes un valor para y.
¿Qué cantidad compró de cada verdura?
El par (7, 13) es solución de x + y=20, ya que 7 + 13 = 20
Iniciamos definiendo lo siguiente:
Así:
Sea x: el número de libras de tomates.
Para x = 0, y = 20; x = 12, y = 8; x = 5, y = 15; x = 15, y = 5
y : el número de libras de ayotes.
Observa que sucede si sustituimos estos pares de valores
Formamos la primera ecuación: en la ecuación: x + y = 20
(1) x+y = 20 a) 0 + 20 = 20 c) 12 + 8 = 20
La segunda ecuación quedaría así: b) 5 + 15 = 20 d) 15 + 5 = 20
(2) 1.20x + 1.50y = 26.40


UNIDAD 1

Puedes decir entonces que estos valores satisfacen a la
ecuación. Dándole valores a x puedes obtener infinitos Punto de apoyo
pares de valores que satisfacen la ecuación.
Ésta es una ecuación indeterminada. (a, b) es solución de una ecuación y = mx + k si al
sustituir la “x” por a y la “y” por b la igualdad se cumple.
Entonces, toda ecuación de primer grado con dos
variables es una ecuación indeterminada.
¿Sabes cómo se grafica una ecuación
Considera ahora la ecuación 1.20 x + 1.50 y = 26.40 lineal con dos variables?
Por ejemplo: Considera la misma ecuación x + y = 20 y los pares
26.40 ordenados:
Si no compras tomates x = 0 y así y = = 17.60 .
1.50
P (5, 15) Q (12, 8) R (15, 5) y S (7, 13)
Compras 17.60 libras de ayotes.
Toda ecuación de primer grado con dos variables se
26.40 llama ecuación lineal porque representa una línea recta.
Si no compras ayotes y = 0 y así x = = 22 .
1.20 Además si despejas la ecuación x + y = 20, en términos
Compras 22 libras de tomates. de y obtienes que: y = −x + 20 este valor numérico (20)
tiene por nombre: término independiente y es por ello
que la línea recta no pasa por el origen o el punto (0, 0).

Y
18
16 P(5, 15)
14
12 S(7, 13)
10
8 Q(12, 8)
6
4 R(15, 5)
2
X
Los valores x = 0 , y = 17.60 ; x = 22 , y = 0 cumplen la 2 4 6 8 10 12 14 16 18
ecuación 1.20 x + 1.50 y = 26.40
Por lo tanto:
Verifica si x = 12 , y = 8 satisface la ecuación anterior.
Toda ecuación de primer grado con dos variables
Observa que (12, 8) satisface ambas ecuaciones representa una línea recta.
x + y = 20 y 1.20 x + 1.50 y = 26.40 por lo tanto la
señora compró 12 libras de tomates y 8 libras de ayotes. Si la ecuación carece de término independiente, la línea
recta que ella representa pasa por el origen.
En esta lección aprenderás a encontrar esta solución de
manera directa. Si la ecuación tiene término independiente, la línea recta
que ella representa no pasa por el origen.


UNIDAD 1

Observa otra situación de ecuaciones indeterminadas.
Ejemplo 1
Un comerciante destina 64 dólares para comprar lapiceros a 3 dólares cada uno y
portaminas a 5 dólares cada uno.
¿Cuántos lapiceros y cuántos portaminas puede comprar?
Se plantea el problema con las variables:
Para: x = número de lapiceros
y = número de portaminas
Fíjate que la solución debe ser entera y positiva para que tenga sentido. No puedes
comprar un pedazo de lapicero.
Como cada lapicero cuesta 3 dólares, los x lapiceros costarán 3x dólares y cada
portaminas cuesta 5 dólares, estos costarán 5y dólares. El total a pagar es de 64 dólares.
Ahora, tienes la ecuación: 3x + 5y = 64
Para resolver tienes que despejar y, darle valores a x y obtener los valores enteros
positivos.
−3 x
Así: y = + 64 Puedes hacer una tabla así:
5

x 3 64
y =− x +
5 5
1 61 Se descarta, no es entero
5
3 11 Es solución
4 3 64 52 Se descarta, no es entero
− (4)+ =
5 5 5
8 3 64 40 Es solución
− (8)+ = = 8
5 5 5

Comprueba en tu cuaderno otros valores y te darás cuenta que:
Para x = 18, y = 2; x = 8, y = 8; x = 13, y = 5; x = 3, y = 11; son los pares de valores que dan
solución a la ecuación planteada y que además tiene sentido para el comerciante.
Entonces el comerciante debe escoger como comprar los lapiceros y los portaminas y
para ayudarle un poco le propondremos las siguientes opciones.
Con los 64 dólares puede comprar 18 lapiceros y 2 portaminas, 13 lapiceros y 5
portaminas, 8 lapiceros y 8 portaminas o 3 lapiceros y 11 portaminas.


UNIDAD 1

Ecuaciones lineales y simultáneas
Dos o más ecuaciones con dos o más incógnitas son
simultáneas cuando se satisfacen para iguales valores de
las incógnitas.

De acuerdo a lo anterior observa las ecuaciones:
x + y =5
x − y =1
Son simultáneas porque x = 3, y = 2 satisfacen ambas
ecuaciones.

Lo probaremos de la siguiente forma:

Ecuación (1) x+y=5 (3) + (2) = 5

Ecuación (2) x − y =1 (3) – (2) = 1

¿Tienes idea de lo que es un sistema de ecuaciones lineales?

Un sistema de ecuaciones es la reunión de dos o más ecuaciones con dos o más
incógnitas.

Así: 2 x + 3 y = 13 Este es un sistema de dos ecuaciones de primer grado con
4x − y = 5 dos incógnitas.

La solución de estos sistemas de ecuaciones es un grupo de valores de las incógnitas
que satisface todas las ecuaciones del sistema. En el caso anterior tienes que el conjunto
solución es para x = 2, y = 3.

Comprueba estos valores en las dos ecuaciones:

Ecuación 1: 2x + 3y = 13 esto es 2(2) + 3(3) =13 que nos da 13 = 13

Ecuación 2: 4x − y = 5 4(2) – (3) =5 5=5

Un sistema de ecuaciones es posible o compatible cuando tiene solución y es imposible
o incompatible cuando no tiene solución.

Primero aprenderás a resolver un sistema de ecuaciones lineales en forma gráfica.


UNIDAD 1

Resolución gráfica de un sistema de dos ecuaciones
con dos incógnitas
Existen varios métodos para resolver un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas,
pero el método gráfico que te ayudará a comprender mejor los pares comunes o puntos
que satisfacen el sistema.
x + y =6
Resuelve gráficamente el siguiente sistema: lo primero que debes hacer
5 x − 4 y = 12
es encontrar las coordenadas donde se cruzan las dos rectas y para ello procedes de la
siguiente manera:
En x + y = 6 tienes para x = 0, y = 6, para y = 0, x = 6.
Graficas (0, 6) y (6, 0) y los unes con una línea.
12
En 5x – 4y = 12 tienes para x =0 y = −3, para y = 0, x = .
12 5
Graficas (0, −3) y ( , 0) los unes con una línea.
5
Después de graficar las dos líneas observa que:
La intersección es el punto (4, 2) es decir x = 4 y y = 2 la cual es la solución del sistema:
Te queda hacer la comprobación de ese punto en las dos ecuaciones, para ver si
satisfacen ambas ecuaciones.
Y

7
6
5
4
x+y = 6 5x-4y = 12
3
2 (4,2) Punto de intersección
1
X
1 2 3 4 5 6 7

El punto (4, 2) es la solución para x + y = 6 y para 5x – 4y = 12
Sustituye los valores x = 4 y y = 2 en cada una de las ecuaciones anteriores.
Para x + y = 6, 4 + 2 = 6; cumple.
Para 5x − 4y = 12, 5(4)−4(2) = 12; cumple
El punto (4, 2) satisface ambas ecuaciones puesto que es la intersección de las dos rectas.


UNIDAD 1

Ejemplo 2
 4 x + 5 y = −32
Resuelve gráficamente el sistema: 
3 x − 5 y = 11

Solución:
2
En la ecuación 4 x + 5 y = −32 , tienes que: Para x = 0, y = −6 y para y = 0, x = −8.
5
2
Grafica (0, −6 ) y (−8, 0) y únelos con una línea.
5
1
En la ecuación 3 x − 5 y = 11 , se tiene: Para x = 0, y = −2 y para y = 0, x = 3 2 .
5 3
1 2
Grafica (0, −2 ) y ( 3 , 0) y únelos con una línea.
5 3

3
2
P(-8, 0) 1 P(3 , 0)
-8 -7 -6 -5 - 4 -3 - 2 -1 -1 1 2 3 4 5
-2
-3 P(0, -2 )
-4
-5
P(-3,-4)
-6 P(0, -6 )
-7

Entonces, encuentras la intersección de las rectas.

Si te fijas, la gráfica es de mucha utilidad para conocer en que punto se intersectan las
líneas rectas de cada ecuación.

Y como ves el punto es (− 3,− 4)
Que es la solución del sistema x = − 3, y = − 4, las sustituyes en las dos ecuaciones para
comprobar.
Para 4 x + 5 y = −32 tienes 4(− 3) + 5(− 4) =− 32
− 12 – 20 = − 32
− 32 = − 32
Para 3 x − 5 y = 11 tienes 3(−3) – 5(− 4) = 11
−9 + 20 = 11
11 = 11


UNIDAD 1

Por lo tanto, para resolver gráficamente un sistema de
dos ecuaciones lineales con dos incógnitas, se trazan
las gráficas de las dos rectas y luego se “estiman” las
coordenadas del punto de intersección.
Si las dos rectas se cortan, y lo hacen en un único punto
el sistema es consistente.
Si las dos rectas son paralelas y distintas, entonces no
hay punto de intersección y en consecuencia, no hay
solución; el sistema es inconsistente.
Al final el método gráfico utiliza la estimación para saber
las coordenadas del punto de intersección, esto hace que
se pierda precisión; entonces este método solo da una
solución aproximada.

Actividad 1
Resuelve gráficamente en tu cuaderno los siguientes sistemas de ecuaciones con dos incógnitas:
x − y = 1 3 x = −4 y
a)  d) 
x + y = 7 5 x − 6 y = 38

 x − 2 y = 10 3 x + 4 y = 15
b)  e) 
2 x + 3 y = −8 2 x + y = 5

5 x − 3 y = 0
c) 
7 x − y = −16

Resumen

El proceso de resolución de un sistema de ecuaciones mediante el método gráfico se
resume en las siguientes fases:
Se despeja la incógnita “y” en ambas ecuaciones.
Se encuentran, para cada una de las dos funciones de primer grado obtenidas, dos puntos.
Se representan gráficamente ambas rectas en los ejes coordenados.
Sistema compatible o consistente (las rectas se intersecan).
Sistema incompatible o inconsistentes (las rectas son paralelas y distintas)


UNIDAD 1

Autocomprobación
Encuentra los puntos de intersección de cada par de ecuaciones:

1 x − y = 1

x + y = 7
3 x + y =1

2 x + 2 y = 2
a) (3, 4) a) (1, 0)
b) (4, 3) b) Equivalentes
c) (−3, 4) c) (0, 1)
d) No existe solución. d) No existe solución.

2 x − 2 y = 1

x − 2 y = 4
4 2 x + 3 y = 18

3 x + 4 y = 25
a) (1, 0) a) (3, 4)
b) (4, 0) b) ( 4, 3)
c) (0, −2) c) (−4, 3)
d) No existe solución. d) No existe solución.

4. a. 3. a. 2. d. 1. b. Soluciones

OPTIMIZACIÓN Y ECUACIONES LINEALES
Un buen día, una fábrica de coches decide
aumentar la fabricación del modelo A y bajar
la del modelo B aunque se pare una parte la
cadena de producción.
¿Por qué se toma esta desición?
Esta pregunta tiene mucho que ver con el
problema de optimización, que consiste en
encontrar puntos de máximo beneficio, costo
mínimo, pérdidas menores posibles. Y para este
tipo de problema cobra mucha importancia las
técnicas de programación lineal, que se dan
en abundancia en los sistemas de ecuaciones
lineales e inecuaciones.


APRENDAMOS MéTODOS DE SOLUCIóN DE SISTEMAS DE
ECUACIONES LINEALES
Motivación

En Cinécali la capital del cine en una función, las 10
entradas de adultos y 9 de niños cuestan 77 dólares, y en
otra función de cine las 17 entradas de niño y 15 de adulto,
cuestan 126 dólares.
Encuentra el precio de una entrada de niño y una de adulto.

Resolverás con seguridad un sistema de dos ecuaciones Resolverás con seguridad un sistema de ecuaciones lineales
utilizando el método de sustitución. aplicando el método de reducción.
Utilizarás con orden el método de sustitución para Utilizarás con interés el método de reducción para
solucionar problemas de sistemas de ecuaciones. solucionar problemas de sistemas de ecuaciones.
Resolverás con seguridad un sistema de ecuaciones lineales Resolverás con seguridad un sistema de ecuaciones lineales,
aplicando el método de igualación. aplicando el método de determinantes.
Utilizarás con interés el método de igualación para solucionar
problemas de sistemas de ecuaciones.

¿Conoces tú la forma de construir las ecuaciones al problema anterior?
Si le asignas a: Como puedes ver ya formastes un sistema de ecuaciones
con dos incógnitas.
x = el precio de una entrada de niño.
y = el precio de una entrada de adulto. Al resolver este sistema te resulta que x = 3 y y=5 por lo
tanto el precio de una entrada de niño es de 3 dólares y
Entonces formas las ecuaciones para encontrar la una de adulto es de 5 dólares.
solución a este problema.
Situaciones como ésta, donde existe un sistema de
Primera ecuación ecuaciones con dos incógnitas resolverás con la ayuda
9x + 10y = 77 de los métodos de resolución de ecuaciones que verás
Segunda ecuación a continuación.
17x + 15y = 126


UNIDAD 1

Métodos para resolver un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas
Para resolver sistemas de dos ecuaciones con dos
incógnitas, es necesario que obtengas de las dos
ecuaciones que te dan, una sola ecuación con una
incógnita. A esta operación se le conoce como
eliminación. Existen tres métodos de eliminación muy
utilizados, los cuales son:
Método de eliminación por igualación.
Método de eliminación por sustitución.
Método de eliminación por reducción.
Con estos métodos encontrarás el conjunto solución,
que en el método gráfico encontrabas con el punto de
intersección de las líneas rectas de cada ecuación.

Método de eliminación por igualación
7 x + 4 y = 13 (1)
Observa el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas: 
5 x − 2 y = 19 (2)
Y haz los siguientes pasos para resolverlo:
Primero despeja una de las incógnitas, la que te parezca más fácil; como por ejemplo x
en ambas ecuaciones.
−4 y + 13
Si despejas x en la ecuación 1: 7 x = −4 y + 13 ∴ x =
7
2 y + 19
Ahora despejas x en la ecuación 2: 5 x = 2 y + 19 ∴ x=
5
Segundo igualas estos despejes de x
−4 y + 13 2 y + 19
Así, = con esto logras tener una sola ecuación con una sola
7 5
incógnita, puesto que eliminas a la variable x.
Lo que sigue es quitar los denominadores y seguir con algunas operaciones algebraicas
−4 y + 13 2 y + 19
=
7 5
( 5 )( −4 y + 13 ) = ( 7 )( 2 y + 19 ) Los denominadores pasan a multiplicar
−20 y + 65 = 14 y + 133
−20 y − 14 y = 133 − 65
68
−34 y = 68 ; y= ∴ y = −2
−34


UNIDAD 1

El valor de “y” que haz encontrado lo sustituyes en cualquiera de las ecuaciones que
estas usando, por ejemplo lo haces en la ecuación 1, así:
21
7 x + 4 y = 13 , 7 x + 4( −2 ) = 13 ; 7 x − 8 = 13 ; 7 x = 13 + 8 ; 7 x = 21 ; x = = 3
7
x = 3
Entonces el conjunto solución es: 
 y = −2
Cuando sustituyes los valores encontrados en las ecuaciones originales; te darás cuenta
que satisfacen ambas ecuaciones.
Compruébalo:
Ecuación (1) Ecuación (2)
7 x + 4 y = 13 5 x − 2 y = 19

7( 3 ) + 4( −2 ) = 13 5( 3 ) − 2( −2 ) = 19
21− 8 = 13 15+4=19
13 = 13 19=19

Cómo pudiste comprobar los valores encontrados satisfacen las dos ecuaciones; por lo
tanto se convierten en solución del sistema.

Método de eliminación por sustitución
Este otro método sin duda alguna es de mucha ayuda para resolver sistemas de
ecuaciones lineales, sin embargo debo decirte que pongas mucho empeño a la hora
de aplicarlo.
Ejemplo 1
Resuelve el sistema de ecuaciones lineales a continuación.
2 x + 5 y = −24 (1)
8 x − 3 y = 19 ( 2 )
Tomas una de las ecuaciones, por ejemplo 8 x − 3 y = 19 (2) y despejas la variable x
Lo que tendrías: 8 x − 3 y = 19 ( 2 )
8 x = 3 y + 19
3 y + 19
x=
8
Y este valor de x lo sustituyes en la ecuación (1).
2 x + 5 y = −24 (1)
 3 y + 19 
2 + 5 y = −24
 8  
¿Qué haz logrado con esto? Bueno si te fijaste el truco es tener una ecuación con una
sola incógnita y ya la tienes; pues haz eliminado x.


UNIDAD 1

Te queda resolver paso a paso las operaciones que intervengan en esta otra ecuación.

 3 y + 19 
2 + 5 y = −24 Tienes que simplificar el 2 y el 8.
 8  

 3 y + 19 
 + 5 y = −24 Multiplicas toda la expresión por 4 para eliminar el denominador.
 4  

3 y + 19 + 20 y = −96 Trasladas valores o términos semejantes al mismo lado.
3 y + 20 y = −96 − 19 Simplificas en cada lado.
23 y = −115
−115
y=
23
y= − 5
Este valor de y = − 5 lo sustituyes en la ecuación (1) para encontrar cuánto vale la
variable x
2 x + 5 y = −24 (1)
2 x + 5( −5 ) = −24  1
x=
El conjunto solución es:  2

2 x − 25 = −24
 y = −5

2 x = −24 + 25
2x = 1
1
x=
2
Verifica si este conjunto solución funciona en ambas ecuaciones:

2 x + 5 y = −24 (1) 8 x − 3 y = 19 ( 2)

1 1
2( ) + 5( −5 ) = −24 8( ) − 3( −5 ) = 19
2 2
1 − 25 = −24 4 + 15 = 19
−24 = −24 19 = 19

En efecto, estos valores satisfacen a las dos ecuaciones y
por lo tanto ambas se convierten en identidad.


UNIDAD 1

Método de eliminación por reducción

Resuelve el siguiente sistema:
3 x − 2 y = −14 (1)

2 x + 3 y = 8 (2)
Si observas los valores que acompañan a la variable y
tienen signos distintos y eso te ayudará para resolver este
sistema.
Multiplicas la ecuación (1) por 3:
Así, ( 3 )3 x − ( 3 )2 y = ( 3 )( −14 )
El resultado es: 9 x − 6 y = −42
Ahora multiplicamos la ecuación (2) por 2:
( 2 )2 x + ( 2 )3 y = ( 2 )8

Nos resulta: 4 x + 6 y = 16

Lo que lograste con este método es hacer iguales los coeficientes de una de
las incógnitas.
Como resultado obtienes:
9 x − 6 y = −42
4 x + 6 y = 16

Observa que los coeficientes de la variable “y” son iguales pero tienen distinto signo, lo
que te permite sumar estas ecuaciones para que se elimine la incógnita y:
9 x − 6 y = −42
4 x + 6 y = 16 −26
x= x = −2
13 x = − 26 13
Encontrar el valor de y es sencillo, lo que tienes que hacer es sustituir x = −2 en
cualquiera de las ecuaciones originales, por ejemplo en la ecuación (1).
Obtienes: 3 x − 2 y = −14
3( −2 ) − 2 y = −14
−6 − 2 y = −14 −8
y= ∴ y=4
−2
−2 y = −14 + 6
−2 y = −8
Si haces que x = −2, y = 4 en las dos ecuaciones originales, te darás cuenta que ambas se
convierten en identidad. (Dejo el paso de la comprobación para ti).


UNIDAD 1

Resolución por determinantes de un sistema de dos ecuaciones
con dos incógnitas
Observa detenidamente,la siguiente resolución por Visto lo anterior, tú puedes reflexionar lo siguiente:
determinantes del sistema de ecuaciones lineales dado.
Para resolver un sistema de dos ecuaciones con dos
incógnitas por determinantes.
5 x + 3 y = 5
 a) El valor de x es una fracción cuyo denominador es
 4 x + 7 y = 27 el determinante formado con los coeficientes de x
5 3 e y (determinante del sistema). Cuyo numerador
es el determinante que se obtiene sustituyendo
27 7 5( 7 ) − 27( 3 ) 35 − 81 −46
x= = = = = −2 en el determinante del sistema la columna de los
5 3 5( 7 ) − 4( 3 ) 35 − 12 23 coeficientes de x por la columna de los términos
4 7 independientes de las ecuaciones dadas.
b) El valor de y es una fracción cuyo denominador
5 5 es el determinante del sistema y cuyo numerador
4 27 5( 27 ) − 4( 5 ) 135 − 20 115 es el determinante que se obtiene sustituyendo
y= = = = =5
5 3 5( 7 ) − 4( 3 ) 23 23 en el determinante del sistema la columna de los
coeficientes de y por la columna de los términos
4 7
independientes de las ecuaciones.
x = −2
Solución: 

 y =5
Ahora te mostraré la prueba de estas respuestas
encontradas para las incógnitas x e y
Para la primera ecuación tienes:

5x + 3 y = 5
5( −2 ) + 3( 5 ) = 5
−10 + 15 = 5
5=5
Para la segunda ecuación:

4 x + 7 y = 27
4( −2 ) + 7( 5 ) = 27
−8 + 35 = 27
27 = 27


UNIDAD 1

Observa otro ejemplo pero de forma más simplificada.
7 x − 5 y = −17
Resuelve por determinantes el siguiente sistema: 
2 x − y = −1
−17 −5
−1 −1 17 − 5 12
x= = = =4
7 −5 −7 + 10 3
2 −1

7 −17
2 −1 −7 + 34 27
y= = = =9
7 −5 −7 + 10 3
2 −1

x = 4
El conjunto solución es: 
 y =9

Actividad 1
Resuelve por el método de igualación:
x + 6 y = 27 3 x − 2 y = −2
a) b)
7x − 3 y = 9 5 x + 8 y = −60
Resuelve por el método de sustitución:
x +3 y = 6 5 x + 7 y = −1
c) d)
5 x − 2 y = 13 −3 x + 4 y = −24
Resuelve por el método de reducción:
6 x − 5 y = −9 7 x − 15 y = 1
e) f)
4 x + 3 y = 13 −x − 6 y = 8

Resumen

El estudio de sistemas de ecuaciones lineales es un contenido clásico de las matemáticas.
Cuando se trata de sistemas de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas, se
aplican diversos métodos de resolución sencillos de tipo gráfico y algebraico.
Los métodos seleccionados en esta lección fueron para sistemas de dos ecuaciones con
dos incógnitas, a continuación los enumeramos: sustitución, igualación, reducción y el
método resolución por determinantes de dos ecuaciones con dos incógnitas.


UNIDAD 1

Autocomprobación
Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones por el método que se te indica:

1 Igualación:
7x − 4 y = 5
9 x + 8 y = 13
3 4x + 5 y = 5
Sustitución:
−10 y − 4 x = −7
1 3 2
a) x = 1, y = c) x = 2, y = 1 a) x = , y = c) x = 4, y = 3
2 5 5
1 1 3 2
b) x= −1, y = d) x = , y =1 b) x = , y = d) x = 3, y = 4
2 2 4 5

2 7 x + 9 y = 42
12 x + 10 y = −4
4 10 x + 18 y = −11
16 x − 9 y = −5
a) x = −12, y = 14 c) x = 12, y = −14
1 1 1 1
a) x = − , y = − c) x = , y =
2 3 2 3
b) x = 12, y = 14 d) x = 14, y = 12
b) x = 1, y = 2 d) x = 2, y = 1

4. a. 3. b. 2. a. a. Soluciones 1.

DETERMINANTES EN EL SIGLO III a. DE C.

Los sistemas de ecuaciones lineales fueron ya
resueltos por los babilonios, los cuales llamaban
a las incógnitas con palabras tales como
longitud, anchura, área, o volumen , sin que
tuvieran relación con problemas de medida.
El libro El arte matemático, de autor chino
desconocido (siglo III a. de C.), contiene algunos
problemas donde se resuelven ecuaciones. En
ellos encontramos un esbozo del método de
los determinantes, para resolver sistemas de
ecuaciones lineales. Uno de dichos problemas
equivale a resolver un sistema de tres
ecuaciones lineales por dicho método matricial.


Solucionario
Lección 1
Actividad 1
a) 2 b) −59 c) −17 d) −11 e) −46

f) −95 g) −26 h) 30 i) 79

Lección 2
Actividad 1
a) 12 b) 8 c) 2 d) 1 e) 5

Lección 3
Actividad 1
y y
a) b)
5
4 -5 -4 -3 -2 -1 x
-1
3 -2
2 -3
1 -4
x -5
1 2 3 4
En el primer cuadrante En el tercer cuadrante
c) y d) y
3
1 2 3 4 5 x
2 -1
1 -2
-3
-5 -4 -3 -2 -1 x
-4
-5


Solucionario
Actividad 2
a) y b)
4 m=0 y
m = 2/5
3
2
1
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 x

-4 -3 -2 -1 1 2 x

c) y
4
3 m = −4/5
2
1

1 2 3 4 5 x

Actividad 3
1
a) y = −3x b) y = 0 c) y = −2x + 10 d) y = x −7
2
Lección 4
Actividad 1
a) x = 4, y = 3 b) x = 2, y = −4 c) x = −3, y = −5

d) x = 4, y = −3 e) x = 1, y = 3

Lección 5
Actividad 1
27 17
a) x = 3, y = 4 b) x=−4; y=−5 c) x= ,y=
46 21 13 13
172 117
d) x= , y =− e) x = ,y= f) x = −2,y = −1
41 41 19 19


Proyecto
Ayúdales a dos jóvenes que desean resolver las siguientes situaciones.
1. En la finca del tío de Roberto, se han acomodado 510 huevos en cartones pequeños
de 15 huevos y grandes de 30 huevos, en total utilizaron 25 cartones.
Los jovenes necesitan saber cuántos eran cartones pequeños y cuántos
cartones grandes.
(Sugiéreles a los jovenes que le llamen "x" al número de cartones pequeños y "y" al
número de cartones grandes, y que planteen dos ecuaciones lineales para luego
resolverlas).

2. Juan le pregunta a Roberto: ¿Qué edad tiene su tío ya que este es una persona muy
trabajadora y entusiasta? Roberto le contesta lo siguiente: este año la suma de mi
edad con la de mí tío es de 74 años y el año pasado él tenía el triple de años que
tengo yo. Encuentra tú la edad de mi tío.
(Sugiérele a Juan lo siguiente: que le llame "m" a la edad de Roberto y “n” a la edad de su
tío y luego que plantee dos ecuaciones lineales para resolverlas)


Recursos
Aurelio Baldor, Álgebra de Baldor, Grupo Editorial Patria, México 2000, 575 p.
Earl W. Swokowski, Matrices y Determinantes, primera edición, Editorial
Iberoamérica, México 1986.
Mauro Hernán Henríquez, Matemática para noveno grado, sexta reimpresión
UCA-Editores, El Salvador 2007, 363 p.

www. didactika.com
www.descartes.com
www.sectormatematico.com
http://es.wikipedia.com


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