Continuidad y limites laterales

1. CÁLCULO 1
CONTINUIDAD Y LÍMITES LATERALES

2. CONTINUIDAD

3. CONTINUIDAD
Continuidad en un punto
Una función f es continua en c si satisface las tres condiciones siguientes:
a) f(c) está definida.
b) lim 𝑓(𝑐) existe.
𝑥→𝑐
c) lim 𝑓 𝑥 = 𝑓(𝑐)
𝑥→𝑐

4. CONTINUIDAD
Continuidad en un intervalo abierto
Una función es continua en un intervalo (a,b) si es continua en cada
punto del intervalo. Una función continua en la recta completa de los
números reales (−∞, ∞) es continua en todas partes.

5. CONTINUIDAD
Una discontinuidad en c es removible o evitable si f se puede hacer continua
definiendo (o redefiniendo) apropiadamente f(c).
Considere un intervalo abierto I que contiene un número real c. Si la función f está
definida en I (excepto posiblemente en c) y no es continua en c, se dice que f tiene
una discontinuidad en c.
Las discontinuidades se clasifican en dos categorías: removibles o no removibles.

6. CONTINUIDAD. EJEMPLOS
Solución: El dominio de f lo constituyen todos los
números reales distintos de 0, por lo tanto f es
continua en todos los valores de x de su dominio.
En x=0, f tiene una discontinuidad inevitable o no
removible. En otras palabas, no hay modo de
definir f(0) para hacer que la nueva función sea
continua en x=0.
Solución: El dominio de g lo constituyen todos
los números reales, excepto x=1. por lo tanto g
es continua en todos los valores de x de su
dominio.
En x=1, la función presenta una discontinuidad
evitable o removible. La “nueva” función es
continua para todos los números reales.

7. CONTINUIDAD. EJEMPLOS
𝑥→0
El dominio de h esta formado por todos los números
reales. La función h es continua sobre (−∞, 0) y en
0, ∞ , y puesto que lim ℎ 𝑥 = 1 h es continua en toda
la recta real.
El dominio de y esta formado por todos los números
reales. La función es continua en todo su dominio
(−∞, ∞).

8. Límites laterales y continuidad en un intervalo
cerrado.

9. Límites laterales
El límite por la derecha significa que x se
aproxima a c por valores superiores a c
El límite por la izquierda significa que x
se aproxima a c por valores inferiores a c

10. Límites laterales
Encontrar el límite de 𝑓 𝑥 = 4 − 𝑥2 cuando x tiende a -2 por la
derecha.

11. Continuidad sobre un intervalo cerrado
La función f es continua por la derecha en a y continua por la izquierda en b
𝑥→𝑎+
Una función f es continua sobre un intervalo cerrado [a,b] si es
continua sobre el intervalo abierto (a,b) y lim 𝑓 𝑥 = 𝑓(𝑎) y
lim 𝑓 𝑥 = 𝑓(𝑏)
𝑥→𝑏−

12. Propiedades de la continuidad
Si b es un numero real y f y g son continuas en x=c, entonces las
siguientes funciones también son continuas en c.
𝑔
1. Múltiplo escalar 𝑏𝑓
2. Suma y diferencia 𝑓 ± 𝑔
3. Producto 𝑓𝑔
𝑓
4. Cociente , 𝑔(𝑐) ≠ 0

13. Continuidad de una función compuesta.
Si g es continua en c y f es continua en g(c), entonces la función compuesta dada
por 𝑓 ∗ 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑔 𝑥 es continua en c.
Ejemplos. Describa los intervalos donde cada función es continua.
Propiedades de la continuidad

14. a) La función tangente 𝑓 𝑥 = tan 𝑥 no está definida en 𝑥 =
𝜋
2
+ 𝑛𝜋.
En todos los demás puntos es continua, entonces es continua en todos
los intervalos abiertos.
Propiedades de la continuidad

15. Puesto que 𝑦 =
1
𝑥
es continua, excepto en
x=0, y la función seno es continua para
todos los valores reales de x, resulta que
𝑦 = 𝑠𝑒𝑛 1
es continua en todos los valores
𝑥
reales salvo en x=0. En x=0, no existe el
límite de g(x). Por lo tanto g es continua en
los intervalos −∞, 0 𝑦 (0, ∞).
Propiedades de la continuidad

16. EJERCICIOS
Determine la continuidad de las siguientes funciones:
1). 2).

17. EJERCICIOS
1)
Solución: Para que la función f sea continua
en x=3, debe ocurrir que:
Como la función se define de diferentes manera
a la derecha y a la izquierda de x=3, debemos
usar límites laterales.
Límite por la derecha:
𝑥→3
Por lo tanto, lim 𝑓(𝑥) no existe, no hay
continuidad en x=3.

18. EJERCICIOS
Mientras que
2).
Solución: Debemos analizar la continuidad en los puntos x=5 y
x=9, en vista de que el resto de los puntos, la función es
continua.
Continuidad en x=5: Haciendo uso de los límites laterales

19. EJERCICIOS 2).
CONTINUACIÓN…

20. LIMITES INFINITOS

21. LIMITES INFINITOS
𝑥→𝑐
Sea f una función definida en todo numero real de un
intervalo abierto que contiene a c (salvo, posiblemente,
en el propio c). La expresión:
lim 𝑓 𝑥 = ∞
𝑥→𝑐
Significa que para toda 𝑀 > 0 existe una δ > 0 tal que
f(x) > 𝑀, siempre que 0 < 𝑥 − 𝑐 < 𝛿.
Del mismo modo, la expresión
lim 𝑓 𝑥 = −∞
Significa que para todo 𝑁 < 0 existe una δ > 0 tal que
f(x) > 𝑀, siempre que 0 < 𝑥 − 𝑐 < 𝛿.

22. LIMITES INFINITOS
Determine los límites al infinito a partir de la gráfica.
Cuando x se aproxima a 1 por la izquierda o por
la derecha, (𝑥 − 1)2 es un número positivo
1
pequeño. Así, el cociente es un número
(𝑥−1)2
grande y f(x) tiende a infinito por ambos lados
de x=1. De modo que se puede concluir:

23. Determine los límites al infinito a partir de la gráfica.
Cuando x se aproxima a 1 por la izquierda, (𝑥 − 1) es un
LIMITES INFINITOS
−1
número negativo pequeño. Así, el cociente es un
número positivo grande y f(x) tiende a infin𝑥
it
−
o
1
por la
izquierda de x=1. De modo que se puede concluir:
Cuando x se aproxima a 1 por la derecha, (𝑥 − 1) es un
−1
número positivo pequeño. Así, el cociente es un
número negativo grande y f(x) tiende a men𝑥
o
−
s1
infinito
por la derecha de x=1. De modo que se puede concluir:

24. ASINTOTAS VERTICALES
• Definición: Si f(x) tiende a infinito (o menos infinito) cuando x tiende
a c por la derecha o por la izquierda, se dice que la recta x=c es una
asíntota vertical de la gráfica de f.
• NOTA. Si la gráfica de una función f tiene una asíntota vertical en x=c,
entonces f no es continua en c.

25. Ejemplos. Calcular las asíntotas verticales
Cuando x=-1, el denominador de la función es igual a 0 y el numerador
no lo es. Por tanto, se puede concluir que x=-1 es una asíntota vertical.

26. Ejemplos. Calcular las asíntotas verticales
Al factorizar el denominador se anula en x=-1 y en x=1. Además, dado
que el numerador no es 0, la gráfica tiene dos asíntotas verticales.

27. Ejemplos. Calcular las asíntotas verticales
Al reescribir la función cotangente, se observa que las asíntotas verticales
tienen lugar en todos los valores de x, tales que 𝑠𝑒𝑛 𝑥 = 0 y cos 𝑥 ≠ 0. Por
consiguiente la gráfica de esta función tiene infinitas asíntotas verticales.

28. Ejemplos. Calcular límites al infinito
Puesto que el denominador es 0 cuando x=1 (y el numerador no se anula), se
sabe que la gráfica de la función tiene una asíntota vertical en x=1. Esto
significa que cada uno de los límites dados son ∞ o −∞
En la gráfica se observa que la función tiende a ∞ por la
izquierda de 𝑥 = 1 y a −∞ por la derecha de 𝑥 = 1.

29. PROPIEDADES DE LOS LÍMITES INFINITOS
Sean c y L números reales, y f y g funciones tales que
1. Suma o diferencia
2. Producto
3. Cociente

30. Ejemplos