Para llegar a una definición formal del concepto de límite se retoma el ejemplo en el cual dada la función f(x) = con dominio D = {x / x Î R Ù x ¹ 1}, se obtuvo que =6. Para profundizar el significado de la expresión: f(x) tiende a 6 cuando x tiende a 1, se estudiará el comportamiento de las distancias entre x y 1 y entre f(x) y 6. Se agregan a las tablas confeccionadas anteriormente dos columnas encabezadas por y .

1. República Bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder Popular para la Educación
Instituto Universitario de Tecnología “Antonio José de Sucre”
Barquisimeto Edo. Lara
Alumno: Ramos Ángel
C.I: 24.712.574

2. Definición de Limites
Para llegar a una definición formal del concepto de límite se retoma el ejemplo en el
cual dada la función f(x) = con dominio D = {x / x Î R Ù x ¹ 1}, se obtuvo
que =6.
Para profundizar el significado de la expresión: f(x) tiende a 6 cuando x tiende a 1, se
estudiará el comportamiento de las distancias entre x y 1 y entre f(x) y 6. Se agregan a las
tablas confeccionadas anteriormente dos columnas encabezadas por y .
x < 1 x > 1
x f(x) x f(x)
0,9 5,7 0,1 0,3 1,1 6,3 0,1 0,3
0,95 5,85 0,05 0,15 1,05 6,15 0,05 0,15
0,99 5,97 0,01 0,03 1,01 6,03 0,01 0,03
0,995 5,985 0,005 0,015 1,005 6,015 0,005 0,015
0,999 5,997 0,001 0,003 1,001 6,003 0,001 0,003
Observando las tablas surge que cuando x difiere de 1 en ±0,1, la función f(x) difiere de 6
en ±0,3 y cuando x difiere de 1 en ±0,001 la función difiere de 6 en ±0,003.
Esto puede expresarse de otro modo diciendo que los valores de f pueden hacerse tan
próximos a 6 como se quiera, tomando x suficientemente próximo a 1.

3. Más precisamente, puede hacerse el valor absoluto de la diferencia tan pequeño
como se quiera, tomando suficientemente pequeño el valor absoluto de la
diferencia, .
Por ejemplo, si se desea que < 0,45 se debe tener en cuenta:
=
=
= 3 < 0,15
De esta manera, para que < 0,45 bastará con tomar siendo x ¹ 1.
Así se ha probado que si , o bien, expresado de otra
manera:
Resulta útil visualizar gráficamente esta situación.
Para ello, se debe tener en cuenta que, si x ¹ 1, x -
1 ¹ 0 Þ f(x) =
De esta manera, la gráfica de la función f(x) = es la recta y = 3x + 3 excluido el punto (1, 4)
pues la función no está definida para x = 1.
Si x ¹ 1 Ù 1 – 0,15 < x < 1 + 0,15, entonces 6 – 0,45 < f(x) < 6 + 0,45.

4. La parte de gráfica encerrada entre las rectas verticales x = 0,85 y x = 1,15 también queda
encerrada entre las rectas horizontales y = 5,55 e y = 6,45.
El procedimiento realizado podría repetirse fijando otros valores para ½ f(x) - 6½ . A esos
valores (positivos) se los llama, en forma genérica, e (épsilon) y para cada uno de ellos se
obtiene un valor d (delta) también positivo, tal que: si x ¹ 1 y 1- d < x < 1+d , entonces 6 -
e < f(x) < 6+ e .
Utilizando notación de distancia. Si x ¹ 1 y ½ x- 1½ < d entonces ½ f(x) - 6½ < e
o en forma equivalente: si x ¹ 1 Ù x Î (1 - d , 1 + d ) Þ f(x) Î (6 - e , 6 + e )
Gráficamente significa que la parte de gráfica encerrada entre las rectas verticales x = 1 -
d y x = 1 + d, también queda encerrada entre las rectas horizontales y = 6 - e e y = 6
+ e .
Puede decirse que  6.
Definición de límite
(por pequeño que sea), $ d > 0 / ½ f(x) - L ½ < e para 0 < ½ x -
a ½ < d .
o bien:
½ x - a½ < d Þ ½ f(x) - L ½ < e
Esta definición establece que los valores de la función y = f(x) se aproximan al límite L
conforme x lo hace al número a si el valor absoluto de la diferencia entre f(x) y L puede
hacerse tan pequeña como se desee tomando x suficientemente cerca de a pero no igual
a a.

5. Gráficamente:

6. Limites Infinitos
Analicemos, a partir de su gráfica, la existencia de los límites.
 si x ® 0+ los valores de la función
crecen indefinidamente.
 si x ® 0- los valores de la función
decrecen indefinidamente
 si x ® 1+ los valores de la
función decrecen
indefinidamente.
 si x ® 1- los valores de la
función crecen
indefinidamente.
Las dos ramas de la curva se acercan cada
vez más al eje y a medida que x se
aproxima a cero.
Para esta gráfica la recta x = 0 es asíntota
vertical.
Las dos ramas de la curva se acercan
cada vez más a la recta x = 1 a
medida que x se aproxima a ese
valor.
Para esta gráfica la recta x = 1 es
asíntota vertical.

7.  si x ® 0+ los valores de la función
crecen indefinidamente.
 si x ® 0-los valores de la función
crecen indefinidamente.
 si x ® 0+ los valores de la
función decrecen
indefinidamente.
 si x ® 0-los valores de la
función decrecen
indefinidamente.
Para esta gráfica la recta x = 0 es asíntota
vertical.
Para esta gráfica la recta x = 0 es
asíntota vertical.
El comportamiento de estas funciones no puede describirse con la idea y el concepto de
límite que se ha estudiado hasta ahora.
Analizando nuevamente la función y = , se observa en la gráfica que cuando x ® 0+, los
valores de f crecen más allá de todo tope. Por lo tanto f no tiene límite cuando x ® 0+. Sin
embargo resulta conveniente decir que f(x) se aproxima a ¥ cuando x ® 0+. Se
escribe .
Esto no significa que el límite existe ni que +¥ es un número real, sino que expresa que la
función se hace tan grande como deseamos escogiendo x suficientemente cercano a cero.

8. Resumen
Simbólicamente se escribe: Gráficamente:
para indicar que los valores
de la función crecen indefinidamente (sin
tope) cuando x se acerca a "a" por izquierda
y por derecha.
para indicar que los valores de
la función decrecen indefinidamente (sin
tope) cuando x se aproxima a "a" por valores
menores y mayores que él.
para indicar que los valores
de la función crecen indefinidamente
cuando x se aproxima a "a" por valores
menores que él.
para indicar que los valores
de la función decrecen indefinidamente
cuando x se aproxima a "a" por valores
mayores que él.

9. para indicar que los valores
de la función decrecen indefinidamente
cuando x se acerca a "a" por valores
menores que él.
para indicar que los valores
de la función crecen indefinidamente
cuando x se acerca a "a" por valores
mayores que él.
Nota. Cuando se refiere a límites infinitos en realidad no son límites sino que
proporcionan símbolos y un lenguaje útiles para describir el comportamiento de funciones
cuyos valores se hacen arbitrariamente grandes (positivos o negativos).
Ejemplo. Sea la gráfica de la función f(x) = :
Observando la gráfica se puede escribir: y
Trazando rectas horizontales de ordenada N y -N, tan grandes como se quiera en valor
absoluto, quedan determinados dos puntos sobre la gráfica (a1, -N) y (a2, N) tal que para
x Î (a1, a2) los respectivos valores absolutos de f(x) superan a N. De esta manera, al

10. aproximarse x a 3 por izquierda o por derecha, se obtienen ordenadas que superan
cualquier valor real preestablecido.
Del análisis de este ejemplo se formaliza la definición de la noción de límite de una
función que tiende a +¥ ó a -¥ cuando la variable tiende a un número finito.
Definición.
si dado un número N > 0, $ d > 0 / f(x) > N siempre que 0 < ½ x - a½ < d .
si dado un número N < 0, $ d > 0 / f(x) < N siempre que 0 < ½ x - a½ < d .
Ejemplos. Determine los siguientes límites
a) b) c)
a) =
Cuando x ® 3 el denominador tiende a cero y la expresión tiende a ¥ .
Cuando x se aproxima a 3 por derecha, la expresión es negativa pues el
numerador es negativo y cada uno de los factores del denominador es positivo. Por lo
tanto, el límite es -¥ .
b) =
Cuando x ® 3 el denominador tiende a cero y la expresión tiende a ¥ .
Cuando x se aproxima a 3 por izquierda, la expresión es positiva, pues el
numerador es negativo, el factor (x + 3) es positivo y (x - 3) negativo. Por lo tanto, el límite
es +¥ .

11. c) El límite para x ® 3 no existe.
Limites en el Infinito
Analizaremos el comportamiento de las funciones definidas gráficamente cuando x crece
indefinidamente y cuando x decrece indefinidamente
a) Si x crece indefinidamente la función f(x)
se acerca a 0.
b) Si x decrece indefinidamente, los valores
de la función se acercan a 0.
a) Si x crece indefinidamente la función
f(x) se acerca a 2.
b) Si x decrece indefinidamente, los
valores de la función se acercan a 2.
La recta y = 0 es asíntota horizontal de la
función.
La recta y = 2 es asíntota horizontal de la
función.

12. a) Si x crece indefinidamente la función f(x)
se acerca a 2.
b) Si x decrece indefinidamente, los valores
de la función se acercan a -2.
a) Si x crece indefinidamente la función
f(x) se aproxima a 3.
b) Si x decrece indefinidamente, los
valores de la función se aproximan a -1.
Las rectas y = 2 e y = -2 son asíntotas
horizontales de la función.
Las rectas y = 3 e y = -1 son asíntotas
horizontales de la función.
En el primer ejemplo anotamos .
Recordemos que ¥ no representa un número. La expresión anterior expresa que el límite
de f(x) cuando x crece o decrece indefinidamente es cero.
El comportamiento de funciones que se aproximan a un número cuando la variable crece
o decrece indefinidamente (x ® +¥ , x ® -¥) se indica de la siguiente manera:
Simbólicamente se escribe Gráficamente:
para indicar
que la función tiende a L
cuando los valores de x
crecen indefinida- mente.

13. para indicar
que la función tiende a L
cuando los valores de x
decrecen
indefinidamente.
Formalizando la definición de límite de una función que tiende a un número finito cuando
la variable independiente tiende a +¥ ó a -¥, resulta:
Definición.
Las propiedades referidas al álgebra de límites válidas si "x® a" se cumplen también si
"x® +¥ " y "x® –¥".
Ejemplo. Calcule .
Cuando x toma valores grandes, es pequeño. Tomando x suficientemente
grande, puede hacerse tan pequeño como queramos. Por lo tanto .
Por otra parte
y como el límite de la diferencia es la diferencia de los límites resulta: = 3 –
0 = 3

14. Problema. Se proyecta que dentro de t años, la población de cierto pueblo será
p(t) = miles de personas. ¿Qué se espera que suceda con la población a medida
que el tiempo transcurre indefinidamente?
Solución. Para determinar el comportamiento de la función cuando el tiempo transcurre
indefinidamente se debe calcular el límite .
Cuando t ® +¥ , también t +1® +¥ y, por lo tanto, ® 0.
En consecuencia = 20. Esto expresa que a medida que el tiempo
transcurre, la población tiende a estabilizarse en 20 000 personas.