Propuesta-Guia-Probabilidad.pdf

A CARGO DE: MTRO. JUAN JOSÉ HURTADO MORENO| JUNIO DE 2018
Guía de Probabilidad
para el Examen de
Admisión a la
Maestría en
Administración
SECCIÓN DE ESTUDIOS DE POSGRADO E INVESTIGACIÓN
Unidad Profesional Interdisciplinaria de Ingeniería y
Ciencias Sociales y Administrativas
Elaborada por:
García Piñón Rodrigo Alejandro
Ruíz Durán Rebeca Eunice
Torres Ramírez Aylin
Vargas Viana Stephanie

GUÍA DE PROBABILIDAD PARA EL EXAMEN DE ADMISIÓN A LA MAESTRÍA EN ADMINISTRACIÓN
1
PREFACIO
El objetivo del presente trabajo es proporcionar una introducción a las bases teóricas y prácticas de
la Probabilidad al aspirante a la Maestría en Administración.
La teoría de la Probabilidad es aplicada tanto en Áreas de las Ciencias Exactas como las Ciencias
Sociales. La importancia de su comprensión en Áreas Sociales radica en permitir estimar o predecir
eventos de manera más sencilla. Mediante su modelación se lleva a cabo una toma de decisiones
más segura que permitan optimizar las utilidades.
La presente guía está estructurada por cinco capítulos los cuales son: capítulo 1, que desarrolla el
tema Modelos determinísticos y probabilísticos. El capítulo 2 que presenta las Técnicas de Conteo y
Probabilidad. El capítulo 3 el cual explica la Probabilidad Condicional. Enseguida, el capítulo 4
realiza una revisión sobre Modelos Discretos de Probabilidad y el capítulo 5, Variables Aleatorias
Discretas.
Así mismo, se presenta un apartado que enumera los principales errores comunes que se presentan
en la Probabilidad y la Estadística.
Se hace pertinente presentar un Glosario de términos que le permita al aspirante conocer de
manera concreta y detalla la definición de los términos más utilizados en Probabilidad.
Se ofrece una sección llamada Material didáctico que sirve de apoyo para la comprensión de los
temas a través de videos recomendados.
Para que el alumno ponga en práctica lo aprendido en esta guía, en el apartado de Ejercicios
Extras, encontrará problemas que apoyen a desarrollar sus habilidades.
La construcción de este trabajo renumera gran cantidad de textos encontrados en el libro Estadística
para la Administración y Economía, Onceava Edición (2004) elaborado por Mason, Lind y Marchal.
La guía concluye enlistando las referencias utilizadas que permitieron unificar el presente trabajo.

2
CONTENIDO
Prefacio……………………………………………………………………………………………….1
Contenido………………………………………………………………………………………….….2
1. Modelos Determinísticos y Probabilísticos……………………………………………………….…4
1.1 Modelo Determinístico……………………………………………………………………………4
1.2 Modelo Probabilístico…………………………………………………………………………….4
1.3 Interpretaciones de la Probabilidad…………………………………………………………...…6
1.3.1 Corriente Frecuentista………………………………………………………………………..…6
1.3.2 Corriente Clásica……………………………………………………………………………….7
1.3.3 Corriente Subjetiva……………………………………………………………………………..8
1.3.4 Corriente Bayesiana……………………………………………………………………………8
1.4 Conceptos Fundamentales sobre eventos…………………………………………………………9
1.4.1 Relaciones Fundamentales entre eventos……………………………………………………….9
1.4.2 Operaciones Fundamentales entre eventos………………………………………………...…10
1.5 Axiomatización de la Probabilidad………………………………………………………….…15
2. Técnicas de Conteo…………………………………………………………………………….…18
2.1 Principio de la Multiplicación……………………………………………………………………19
2.2 Principio Aditivo…………………………………………………………………………………19
2.3 Principio de Permutación………………………………………………………………………...20
2.4 Combinaciones………………………………………………………………………………..…21
3. Probabilidad Condicional…………………………………………………………………….…..23
3.1 Reglas de la Multiplicación…………………………………………………………………..…23
3.2 Diagramas de Árbol………………………………………………………………………….…26
3.3 Teorema de Bayes…………………………………………………………………………...…28
4. Variables Aleatorias Discretas…………………………………………………………………...30
4.1 Variables aleatorias Bernoulli y Binomial…………………………………………………….…30
4.2 Variables Aleatorias de Poisson……………………………………………………………...…32
4.3 Variable Aleatoria Hipergeométrica………………………………………………………...…33
5. Variables Aleatorias Continuas…………………………………………………………………..35
5.1 Función de Densidad de Probabilidad……………………………………………………….…36
5.1.1 Función acumulada de una variable aleatoria continua………………………………………36
5.1.2 Propiedades de una función de distribución acumulada……………………………………...37
5.2 Función de Distribución Acumulada, Valor esperado y Varianza………………………………38
5.3 Distribución Exponencial……………………………………………………………………...…39
5.4 Distribución de Probabilidad Normal…………………………………………………………..40

3
Errores comunes de Probabilidad y Estadística…………………………………………………...…44
Glosario de Términos………………………………………………………………………………..45
Material Didáctico…………………………………………………………………………………...46
Ejercicios Extras……………………………………………………………………………………...47
Referencias…………………………………………………………………………………………..48

4
MODELOS
DETERMINÍSTICOS Y
PROBABILÍSTICOS
Tiempo aproximado de estudio: 8 horas
n Modelo Matemático es una representación simbólica de un fenómeno cualquiera, realizada
con el fin de estudiarlo mejor. Por ejemplo: fenómenos físicos, económicos, sociales, etc.
1.1 MODELO DETERMINÍSTICO
Cuando se realiza el modelo matemático de un fenómeno y en él se pueden manejar los factores
que intervienen en su estudio con el propósito de predecir sus resultados, lo llamaremos “Modelo
Determinístico”.
EJEMPLO
La planificación de una línea de producción, en cualquier proceso industrial, es posible realizarla
con la implementación de un sistema de gestión de procesos que incluya un modelo determinístico en
el cual estén cuantificadas las materias primas, la mano de obra, los tiempos de producción y los
productos finales asociados a cada proceso.
1.2 MODELO PROBABILÍSTICO
A los modelos matemáticos de los fenómenos en los cuales no se pueden controlar los factores que
intervienen en su estudio, y además dichos factores ocurren de manera tal que no es posible
predecir sus resultados, los llamaremos “Modelos Probabilísticos”.
EJEMPLO
U

5
En inteligencia artificial, un programa estocástico opera utilizando métodos probabilísticos para
solucionar problemas, como el algoritmo de recocido simulado, las redes neuronales estocásticas, la
optimización estocástica, los algoritmos genéticos y la programación genética. Un problema puede
ser estocástico por sí mismo, como al planificar bajo incertidumbre.
EXPERIMENTOS ALEATORIOS
Al proceso por el cual se describen los resultados que no se conocen y no se pueden predecir, lo
llamaremos experimento aleatorio.
EJEMPLO
El lanzamiento de un dado es un experimento aleatorio, ya que, se cumplen los dos puntos
mencionados anteriormente: el experimento lo podemos repetir cuantas veces queramos en las
mismas condiciones y conocemos todos los resultados posibles, a pesar de no tener la certeza de qué
resultados obtendremos.
Todos los resultados posibles de nuestro experimento son los siguientes:
– Que salga 1
– Que salga 2
– Que salga 3
– Que salga 4
– Que salga 5
– Que salga 6
EXPERIMENTOS DETERMINÍSTICOS
Al proceso por el cual se describen los fenómenos de los que se pueden predecir sus resultados, lo
llamaremos experimento determinístico.
EJEMPLO
Si dejamos caer una piedra desde una ventana sabemos, sin lugar a duda, que la piedra bajará.
Si la arrojamos hacia arriba, sabemos que subirá durante un determinado intervalo de tiempo; pero
después bajará.
ESPACIOS MUESTRALES

6
Al conjunto de todos los resultados posibles de un experimento probabilístico lo llamaremos
“Espacio Muestral del experimento” y lo denotaremos por S. A los elementos de un espacio
muestral los llamaremos puntos muestrales.
EJEMPLO
Se realiza el experimento de tomar una pieza para inspeccionarla y los resultados posibles son que
salga defectuosa o no defectuosa. Su espacio muestral es:
S = {defectuosa, no defectuosa}
EVENTO
Dado un experimento aleatorio y su espacio muestral S, se llama evento a un conjunto de resultados
posibles de S. Fácilmente podemos notar que un evento, no es más que un subconjunto de un espacio
muestral.
1.3 INTERPRETACIONES DE LA PROBABILIDAD
1.3.1 CORRIENTE FRECUENTISTA
Frecuencia relativa: la probabilidad de que un evento ocurra se determina observando en qué
fracción de tiempo sucedieron eventos semejantes en el pasado. Utilizando una fórmula:
EJEMPLO
Se efectúo un estudio con 751 egresados de la carrera de administración de empresas, en la
Universidad de Toledo (EUA). Este experimento reveló que 383 de los 751 egresados no estaban
empleados de acuerdo con su principal área de estudio. Por ejemplo, un egresado especializado en
contaduría ahora es gerente de mercadotecnia en una empresa empacadora de tomates. ¿Cuál es
la probabilidad de que un egresado de administración labore en un área distinta a la de sus
estudios universitarios?
SOLUCIÓN
P(A)= Probabilidad de que ocurra el evento A (un graduado no labore en el área principal de sus
estudios universitarios).
P(A)=383/751= 0.51
Probabilidad de que ocurra un evento: Número de veces que ocurrió el evento en el pasado
Número total de observaciones

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Puesto que 383 de los 751 egresados, es decir, 0.51 en términos de probabilidad, están en un
campo laboral diferente al de su área de estudio, se puede emplear esto como una estimación de
la probabilidad. En otras palabras, con base en la experiencia, existe una probabilidad de 0.51
de que un graduado en administración labore en un campo distinto del de su área de estudios.
1) AUTOEXAMEN
2) Pena de muerte. Se seleccionan adultos al azar para una encuesta de Gallup; a
ellos se les pregunta si están a favor de la pena de muerte para una persona
convicta por homicidio. Las respuestas incluyen a 319 personas que están a favor
de la pena de muerte, 133 personas que están en contra y 39 que no tienen una
opinión al respecto. Con base en tales resultados, estime la probabilidad de que
una persona seleccionada aleatoriamente esté a favor de la pena de muerte.
Respuesta: 319/491 = 0.650
1.3.2 CORRIENTE CLÁSICA
La probabilidad clásica se basa en la consideración de que los resultados de un experimento son
igualmente posibles empleando el punto de vista clásico, la probabilidad de que suceda un evento
se calcula dividiendo el número de resultados favorables entre el número total de resultados
posibles:
EJEMPLO
Considérese el ejemplo de lanzar un dado común. ¿Cuál es la probabilidad del evento “cae un
número par”?
Los resultados posibles son:
SOLUCIÓN
Hay tres resultados “favorables” (un “dos”, un “cuatro” y un “seis”) en el conjunto de seis resultados
posibles igualmente probables. Por tanto:
Probabilidad de un número par = 3/6 

=0.5
Probabilidad de un evento: Número de resultados favorables
Número total de resultados posibles
Un uno Un cuatro
Un dos Un cinco
Un tres Un seis
Número de resultados favorables
Número total de resultados
posibles

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Ruleta. Usted planea apostar al número 13 en el próximo giro de una ruleta. ¿Cuál es la
probabilidad de que pierda?
SOLUCIÓN
Una ruleta tiene 38 ranuras distintas y sólo una corresponde al número 13. La ruleta se diseñó de
manera que las 38 ranuras sean igualmente probables de resultar. De las 38 ranuras, 37 resultan
en una pérdida. Ya que el espacio muestral incluye resultados igualmente probables, usamos el
método clásico para obtener:
P (pérdida) = 37/38
AUTOEXAMEN
Determine la probabilidad de que una pareja con tres hijos tenga exactamente
dos niños. Suponga que es igualmente probable dar a luz un niño que una niña y
que el género de cualquier hijo no influye en el género del otro.
Respuesta: 0.375
1.3.3 CORRIENTE SUBJETIVA
Si existe poca o ninguna experiencia en la cual se pueda basar una probabilidad, puede
determinarse una probabilidad en forma subjetiva. Fundamentalmente, esto significa evaluar las
opiniones disponibles y otra información para después estimar o asignar la probabilidad.
Atinadamente, a este concepto se le denomina
probabilidad subjetiva.
La probabilidad subjetiva es la posibilidad de que suceda un evento específico; que es asignada
por una persona basándose en cualquier información que esté disponible,
EJEMPLO
Choque de meteoritos ¿Cuál es la probabilidad de que su automóvil sea impactado por un
meteorito este año?
SOLUCIÓN
La ausencia de datos históricos de meteoritos que chocan contra automóviles impide usar el método
de frecuencias relativas de la regla 1. Hay dos posibles resultados (chocar o no chocar), pero no son
igualmente probables, de tal forma que no podemos usar el método clásico. Esto nos deja con la
probabilidad subjetiva, por medio de la cual hacemos un estimado subjetivo. En tal caso, todos
sabemos que la probabilidad en cuestión es muy, muy pequeña. Estimemos que sea, digamos, de
0.000000000001 (equivalente a una en un billón). Este estimado subjetivo, que se basa en nuestro
conocimiento general, puede encontrarse en el campo general de la probabilidad real.

9
1.3.2 CORRIENTE BAYESIANA
En la corriente bayesiana se asignan probabilidades a eventos, después del experimento. Es decir,
las probabilidades son del tipo dependiente, esto es basándose en el conocimiento de la ocurrencia
de eventos que estén en dependencia con el evento estudiado.
1.4 CONCEPTOS FUNDAMENTALES SOBRE EVENTOS
Eventos finitos. Si al contar los elementos de un evento resulta una cantidad determinada, entonces
dicho evento se llama finito.
EJEMPLO
Tenemos el conjunto de las letras del abecedario, decimos que es finito porque en total son 27
letras.
A={x∣x letras del alfabeto}.
Evento vacío o no realizable. El Evento que no contiene ningún elemento, esto es, no existe algún
resultado del experimento que cumpla las condiciones del evento se llama evento vacío.
Eventos infinitos. Si al contar los resultados posibles de un evento el proceso de conteo no termina
con el tiempo, entonces el evento se llama infinito.
EJEMPLO
¿Cuántos números pares hay? ¿Cuántos múltiplos tiene el tres? Estos conjuntos son infinitos, y no es
porque este más allá de nuestra capacidad contar la cantidad de elementos que tienen. Es que es
imposible hacerlo porque no hay un número que represente la cantidad de elementos que el
conjunto contiene.
C={x∣x números pares}.
A={x∣x múltiplos de tres}.

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1.4.1 RELACIONES FUNDAMENTALES ENTRE EVENTOS
Igualdad de eventos:
Una relación muy particular entre los eventos consiste en estudiar los casos cuando todos los
elementos de un evento dado están contenidos en el otro evento.
Subeventos:
Eventos mutuamente excluyentes (ver conjuntos ajenos o disjuntos):
Podemos generalizar que el evento vacío con cualquier otro evento es mutuamente excluyente.
Si sólo uno de varios eventos puede ocurrir cada vez, se dice que los eventos son mutuamente
excluyentes. Es decir, la ocurrencia de un evento implica que ninguno de los otros eventos pueda
ocurrir al mismo tiempo.
EJEMPLO
En el experimento de tirar un dado, los eventos “un número par” y “un número impar” son
mutuamente excluyentes. Si cae un número par, no puede caer un número impar al mismo tiempo.
Los eventos A y B correspondientes a un mismo experimento son iguales, si
cualquier resultado de A es también elemento de B, y viceversa
A = B, si ∀a∈ A, entonces a∈B y viceversa, ∀b∈B, entonces b∈ A
Sean los eventos A y B correspondientes a un mismo experimento, se dice
que A es subevento de B si cualquier elemento que esté en A está en B. Lo
anterior se simboliza,
A ⊂ B . Es decir, A ⊂ B ; si a ∈ A, entonces a ∈B .
Para cualquier a ∈ A, entonces a ∉B ; igualmente, para todo b ∈ B , entonces
b ∉ A.

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1.4.2 OPERACIONES FUNDAMENTALES ENTRE EVENTOS
Unión entre eventos
La unión de los eventos A y B, correspondiente a un mismo experimento, es otro evento formado por
los resultados que pertenecen al evento A o al evento B o a los dos. La unión la simbolizaremos por:
A∪ B (A unión B).
EJEMPLO
Experimento aleatorio de tirar un dado de 6 caras. Sean los sucesos A y B siguientes:
Suceso A = que salga un número par = {2, 4, 6}
Suceso B = que salga un múltiplo de 3 = {3, 6}
Determinar A ∪ B
SOLUCIÓN A ∪ B = {2, 4, 6} ∪ {3, 6} = {2, 3, 4, 6}
EJEMPLO
Suceso B = que salga un número mayor de 4 = {5, 6}
Determinar A ∪ B
SOLUCIÓN A ∪ B = {2, 4, 6} ∪ {5, 6} = {2, 4, 5, 6}
AUTOEXAMEN
Experimento aleatorio de tirar dos monedas. Sean los sucesos A y B siguientes:
Suceso A = que salgan dos resultados iguales = {cara-cara, cruz-cruz}
A ∪ B = {x I x ∈ A o x ∈ B} la unión de los eventos A y B.

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Suceso B = que salga al menos una cara = {cara-cara, cara-cruz, cruz-cara}
Determinar A ∪ B
Respuesta: A∪B = {cara-cara, cruz-cruz} ∪ {cara-cara, cara-cruz, cruz-cara}
= {cara-cara, cara-cruz, cruz-cara, cruz-cruz}
Intersección entre eventos
La intersección entre los eventos A y B, correspondientes a un mismo experimento, es otro evento
formado por los elementos que pertenecen a ambos eventos. La intersección, la simbolizaremos A ∩
B (A intersección B).
EJEMPLO
Determinar A ∩ B
SOLUCIÓN A ∩ B = {2, 4, 6} ∩ {3, 6} = {6}
Suceso B = que salga un número menor de 4 = {1, 2, 3}
Determinar A ∩ B
SOLUCIÓN A ∩ B = {2, 4, 6} ∩ {1, 2, 3} = {2}
Determinar A ∩ B
A∩B x I x∈A y x ∈ Bla intersección entre los eventos A y B.

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SOLUCIÓN
A ∩ B = {cara-cara, cruz-cruz} ∪ {cara-cara, cara-cruz, cruz-cara} = {cara-cara}
Diferencia entre eventos
La diferencia del evento A menos el evento B, correspondientes a un mismo experimento, es otro
evento formado por los elementos del evento A, que no pertenecen al evento B. La diferencia, la
simbolizaremos A − B (A menos B).
EJEMPLO
1) Experimento aleatorio de tirar un dado de 6 caras. Sean los sucesos A y B siguientes:
Determinar A - B
SOLUCIÓN A - B = {2, 4, 6} - {3, 6} = {2, 4}
2) Experimento aleatorio de tirar un dado de 6 caras. Sean los sucesos A y B siguientes:
Suceso B = que salga un número menor de 4 = {1, 2, 3}
Determinar A - B
SOLUCIÓN A - B = {2, 4, 6} - {1, 2, 3} = {4, 6}
AUTOEXAMEN
A B x I x∈A y x∉ Bla diferencia del conjunto A, menos B.

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Determinar A - B
Respuesta: {cruz-cruz}
Evento complementario o complemento de un evento
El complemento del evento A, es otro evento formado por los resultados del experimento que
pertenecen al espacio muestral, pero que no pertenezcan al evento A. El complemento del evento A,
lo simbolizaremos, como Ac o A ′ (complemento de A).
EJEMPLO
1) El Experimento: Lanzamiento de un dado.
Suceso A: Se obtiene un número par.
Suceso B: Se obtiene un número impar.
¿Estos dos sucesos son complementarios?
SOLUCIÓN
La respuesta es sí.
La Explicación:
Los resultados posibles en el Suceso A son 2, 4 y 6. Ahora nos preguntamos cuales son los resultados
posibles que no están incluidos en el Suceso A. La respuesta es 1, 3 y 5, pero estos resultados son
exactamente los que el Suceso B define. Por lo tanto, los sucesos son complementarios.
EJEMPLO
2) El Experimento: Lanzamiento de un dado.
Suceso A: Se obtiene un número par.
Suceso B: Se obtiene un número menor a 4.
¿Estos dos sucesos son complementarios?
Ac =
{x I x ∈ S y x∉ A} el evento complementario de A.

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SOLUCIÓN
La respuesta es no.
La Explicación: Los resultados posibles del Suceso A son 2, 4 y 6. Los resultados posibles en el Suceso
B son 1, 2 y 3.
12 = 3 El Suceso B no incluye todos los resultados posibles no incluidos en el Suceso A e incluso
incluye uno de los resultados incluidos en el Suceso A (tener como resultado el 2). Esta es una regla
importante:
Si dos sucesos son complementarios, es imposible que los resultados aparezcan en ambos sucesos.
1.5 AXIOMATIZACIÓN DE LA PROBABILIDAD
Probabilidad axiomática
TEOREMA 1.1
TEOREMA 1.2
Dado un experimento con espacio muestral S, y una familia de eventos A, tal
que sus elementos cumplen con las leyes del Álgebra de Eventos, llamaremos
Probabilidad axiomática a la función numérica P, cuyo dominio es A y rango el
intervalo [0,1], y es tal que los valores P(E) para cualquier evento E en A,
cumplen con los siguientes tres axiomas llamados axiomas de Kolmogórov,
para familias finitas:
Axioma 1. Para cualquier evento E, de la familia A, P(E) ≥ 0
Axioma 2. Para el espacio muestral S, P(S) =1.
Axioma 3. Para cualquier sucesión finita (o infinita) de eventos mutuamente
excluyentes, de A,
E1, E2, E3……En, se cumple
Sea ∅ el evento vacío, entonces P(∅) = 0
Para cualquier evento E, P(Ec
) = 1- P(E)

16
TEOREMA 1.3
TEOREMA 1.4
TEOREMA 1.5
EJEMPLO
1) Veamos un ejemplo de aplicación del axioma (3)
Aditividad: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) si A ∩ B = Ø (donde Ø es el conjunto vacío).
Si la probabilidad de que el parking de la escuela tenga 100-209, 210-309, 310-400 y
> 400 coches es 0.20, 0.35, 0.25, 0.12 respectivamente. ¿Qué probabilidad hay de que el
parking tenga al menos 100 coches, pero menos de 401?
SOLUCIÓN
Puesto que los sucesos favorables 100-209, 210-309 y 310-400 son mutuamente
excluyentes:
0,20 + 0,35 + 0,25 = 0,80
2) Un banco ha comprobado que la probabilidad de que un cliente con fondos extienda un
cheque con fecha equivocada es de 0.001. en cambio, todo cliente sin fondos pone una
fecha errónea en sus cheques. El 90% de los clientes del banco tienen fondos. Se recibe hoy
en la caja un cheque con fecha equivocada. ¿Qué probabilidad hay de que sea de un
cliente sin fondos?
Para cualquier evento E, 0 ≤ P(E) ≤1
Si A y B son eventos de un mismo espacio muestral, tales que A ⊂ B , entonces
P(A) ≤ P(B)
Para dos eventos cualesquiera A y B de un mismo espacio muestral, se
cumple que:
P(A∪ B) = P(A) + P(B) − P(A∩ B)

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SOUCIÓN
A.Cliente con fondos
Ac. Cliente sin fondos
B. Fecha correcta
Bc. Fecha incorrecta
P(A)= 0.90
P (Ac)= 0.10
P (A) = 0.90
P (BcAc) = 1
P (Bc ∩ A) = 0.001
P (AcBc) = P(Ac ∩ Bc)= 0.10 / 0.101 =0.99
AUTOEXAMEN
En una ciudad el 40% de la población tienen cabellos castaños, el 25% tiene ojos
castaños y el 15% tiene cabellos y ojos castaños. Se escoge una persona al azar:
a) Si tiene el cabello castaño, ¿Cuál es la probabilidad de que también tenga ojos castaños?
b) Si tiene ojos castaños, ¿Cuál es la probabilidad de que no tenga cabellos castaños?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que no tenga cabellos ni ojos castaños?
Respuestas:
a) 0.37
b) 0.40
c) 0.50

18
2. TÉCNICAS DE CONTEO
l principio fundamental en el proceso de contar ofrece un método general para contar el
número de posibles arreglos de objetos dentro de un solo conjunto o entre varios conjuntos. Las
técnicas de conteo son aquellas que son usadas para enumerar eventos difíciles de cuantificar.
Si un evento A puede ocurrir de n1 maneras y una vez que este ha ocurrido, otro evento B puede n2
maneras diferentes entonces, el número total de formas diferentes en que ambos eventos pueden
ocurrir en el orden indicado, es igual a:
n1 x n2.
EJEMPLO
¿De cuántas maneras pueden repartirse 3 premios a un conjunto de 10 personas, suponiendo que
cada persona no puede obtener más de un premio?
Aplicando el principio fundamental del conteo, tenemos 10 personas que pueden recibir el primer
premio. Una vez que éste ha sido entregado, restan 9 personas para recibir el segundo, y
posteriormente quedarán 8 personas para el tercer premio. De ahí que el número de maneras
distintas de repartir los tres premios.
N = 10 x 9 x 8 = 720
N un número entero positivo, el producto n (n-1) (n-2) ...3 x 2 x 1 se llama factorial de N. El símbolo
! se lee factorial y es el producto resultante de todos los enteros positivos de 1 a n; es decir, sea
N = 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120
Por definición 0! = 1
Para facilitar el conteo examinaremos tres técnicas:
* La técnica de la multiplicación
* La técnica aditiva
* La técnica de la suma o adición
* La técnica de la permutación
* La técnica de la combinación
E

19
2.1 PRINCIPIO DE LA MULTIPLICACIÓN
Si se desea realizar una actividad que consta de r pasos, en donde el primer paso de la actividad
a realizar puede ser llevado a cabo de N1 maneras o formas, el segundo paso de N2 maneras o
formas y el r-ésimo paso de Nr maneras o formas, entonces esta actividad puede ser llevada a
efecto de. El principio multiplicativo implica que cada uno de los pasos de la actividad deben ser
llevados a efecto, uno tras otro. Si un evento E1 puede suceder de n1 maneras diferentes, el evento
E2 puede ocurrir de n2 maneras diferentes, y así sucesivamente hasta el evento Ep el cual puede
ocurrir de np maneras diferentes, entonces el total de maneras distintas en que puede suceder el
evento “ocurren E1 y E2…..y Ep” es igual a producto.
N1 x N2 x ..........x Nr maneras o formas
EJEMPLO
Se dispone de 3 vías para viajar de C1 a C2 y de 4 vías para viajar de C2 a C1. ¿De cuántas
formas se puede organizar el viaje de ida y vuelta de C1 a C2? Respuesta: (3)(4) =12
2.2 PRINCIPIO ADITIVO
Si se desea llevar a efecto una actividad, la cual tiene formas alternativas para ser realizada,
donde la primera de esas alternativas puede ser realizada de M maneras o formas, la segunda
alternativa puede realizarse de N maneras o formas ..... y la última de las alternativas puede ser
realizada de W maneras o formas, entonces esa actividad puede ser llevada a cabo de,
M + N + .........+ W maneras o formas
EJEMPLO
Una persona desea comprar una lavadora de ropa, para lo cual ha pensado que puede seleccionar
de entre las marcas Whirpool, Easy y General Electric, cuando acude a hacer la compra se
encuentra que la lavadora de la marca W se presenta en dos tipos de carga ( 8 u 11 kilogramos),
en cuatro colores diferentes y puede ser automática o semiautomática, mientras que la lavadora de
la marca E, se presenta en tres tipos de carga (8, 11 o 15 kilogramos), en dos colores diferentes y
puede ser automática o semiautomática y la lavadora de la marca GE, se presenta en solo un tipo
de carga, que es de 11 kilogramos, dos colores diferentes y solo hay semiautomática. ¿Cuántas
maneras tiene esta persona de comprar una lavadora?
M = Número de maneras de seleccionar una lavadora Whirpool
N = Número de maneras de seleccionar una lavadora de la marca Easy

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W = Número de maneras de seleccionar una lavadora de la marca General Electric
M = 2 x 4 x 2 = 16 maneras
N = 3 x 2 x 2 = 12 maneras
W = 1 x 2 x 1 = 2 maneras
M + N + W = 16 + 12 + 2 = 30 maneras de seleccionar una lavadora
2.3 PRINCIPIO DE PERMUTACIÓN
A diferencia de la fórmula de la multiplicación, se la utiliza para determinar el número de posibles
arreglos cuando solo hay un solo grupo de objetos. Permutación: un arreglos o posición de r objetos
seleccionados de un solo grupo de n objetos posibles. Si nos damos cuenta los arreglos a, b, c y b, a,
c son permutaciones diferentes, la fórmula que se utiliza para contar el número total de
permutaciones distintas es:
FÓRMULA: n P r = n! (n - r)
EJEMPLO
¿Como se puede designar los cuatro primeros lugares de un concurso, donde existen 15
participantes?
n P r = n! (n - r)! = 15! = 15*14*13*12 *11*10*9*8*7*6*5*4*3*2*1 (15-4)!
11*10*9*8*7*6*5*4*3*2*1 = 32760
Donde: n= número total de objetos r= número de objetos seleccionados! = factorial, producto de los
números naturales entre 1 y n.
AUTOEXAMEN
¿Cuántos números de 5 cifras son divisibles por 5?
Para que un número sea divisible por cinco debe acabar en 0 ó 5, así que:
Podemos elegir la primera cifra de entre 9 (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, si la primera cifra es 0 no
cuenta como número de 5 cifras). Podemos elegir la segunda cifra de entre 10 (nos vale cualquier
guarismo). También podemos elegir de entre 10 la tercera y la cuarta cifra. La última cifra solo
puede ser 0 ó 5, lo que nos da solo 2 posibilidades.
Así que existe un total de 9 · 10 · 10 · 10 · 2 = 18000 números de 5 cifras divisibles por 5.

21
2.4 COMBINACIONES
En una permutación, el orden de los objetos de cada posible resultado es diferente. Si el orden de
los objetos no es importante, cada uno de estos resultados se denomina combinación. Por ejemplo, si
se quiere formar un equipo de trabajo formado por 2 personas seleccionadas de un grupo de tres
(A, B y C). Si en el equipo hay dos funciones diferentes, entonces sí importa el orden, los resultados
serán permutaciones. Por el contrario, si en el equipo no hay funciones definidas, entonces no
importa el orden y los resultados serán combinaciones. Los resultados en ambos casos son los
siguientes:
Permutaciones: AB, AC, BA, CA, BC, CB
Combinaciones: AB, AC, BC
Combinaciones: Es el número de formas de seleccionar r objetos de un grupo de n objetos sin
importar el orden.
La fórmula de combinaciones es:
n C r = n! r! (n – r)!
EJEMPLO
Ejemplo: En una compañía se quiere establecer un código de colores para identificar cada una de
las 42 partes de un producto. Se quiere marcar con 3 colores de un total de 7 cada una de las
partes, de tal suerte que cada una tenga una combinación de 3 colores diferentes. ¿Será adecuado
este código de colores para identificar las 42 partes del producto?
Usando la fórmula de combinaciones:
n C r = n! = 7! = 7! = 35
r! (n – r)! 3! (7 – 3)! 3! 4!
El tomar tres colores de 7 posibles no es suficiente para identificar las 42 partes del producto.
EJEMPLO
Nueve personas saldrán de viaje en tres carros, con capacidad de dos, cuatro y cinco pasajeros,
respectivamente. Si las nueve personas se reparten en todos los carros, ¿cuál es la probabilidad de
que los dos lugares vacíos queden en el carro con capacidad para cinco personas?

22
En el problema no importa el orden. El problema es: “la manera como se reparten las nueve
personas en tres carros”. Se tienen once lugares y sólo nueve personas, además se deben emplear
los tres carros, por lo que siempre dos lugares estarán vacíos, se tienen varios tipos de arreglos:
9C1 * 8C3 * 5C5 = 504 un lugar vacío en el primero y segundo carros
9C1 * 8C4 * 4C4 = 630 un lugar vacío en el primero y tercer carros
9C2 * 7C3 * 4C4 = 1260 un lugar vacío en el segundo y tercer carros
9C2 * 7C2 * 5C5 = 756 dos lugares vacíos en el segundo carro
9C2 * 7C4 * 3C3 = 1260 dos lugares vacíos en el tercer carro
En total, por la regla de suma, (S) = 504 + 630 + 1260 + 756 + 1260 = 4 410
El evento E se define como: “los dos lugares vacíos quedan en el carro con capacidad para cinco
personas”.
De los resultados anteriores es posible observar que el evento coincide con el último caso del
espacio muestral, por tanto, (E) = 1 260.
La probabilidad es:
P(E) = (E) / (S) = 1260 / 4410 = 0.2857
AUTOEXAMEN
Entre los ocho candidatos para dos vacantes del personal de una escuela se
encuentran cuatro hombres y cuatro mujeres ¿De cuántas formas se pueden cubrir
estas vacantes… a) con dos candidatos cualesquiera de los ocho; b) con uno de los
candidatos y una de las candidatas?
Respuesta: a)8C2 =8! /2! (8-2)! =28; b)4C1 * 4C1 = (4)(4) =16
AUTOEXAMEN
Una urna contiene trece esferas numeradas del uno al trece, de las cuales tres son
rojas, cuatro blancas y seis azules. Si se toman dos esferas, calcula la probabilidad
de que una y sólo una de ellas sea roja. Esto nos lleva a tres opciones de resolución.
Respuesta: 0.3846 (sin reemplazo). 0.3550 (con remplazo)

23
3. PROBABILIDAD
CONDICIONAL
Es la probabilidad de que ocurra un evento en particular, dado que otro evento ya ocurrió.
3.1 REGLAS DE MULTIPLICACIÓN
egla Especial de Multiplicación. La regla especial de multiplicación requiere que dos eventos A y
B sean independientes. Dos eventos son independientes si la ocurrencia de uno no altera la
probabilidad del otro. De manera que si los eventos A y B son independientes, la ocurrencia de
A no altera la probabilidad de B.
Si hay dos eventos independientes A y B, la probabilidad de que ocurra A y B se obtiene al
multiplicar las dos probabilidades. A esto se le llama la regla especial de la multiplicación, y
expresada en forma simbólica es:
P(A y B) = P(A)P(B)
Esta regla para combinar probabilidades supone que un segundo resultado no depende del
primero. Para ilustrar lo que significa independencia de resultados, suponga que se lanzan al aire
dos monedas. El resultado de una moneda (cara o cruz). Puesto de otra forma, dos eventos son
independientes se el resultado del segundo evento no depende del resultado primero.
Para tres eventos independientes A, B y C, la regla especial de multiplicación utilizada para
determinar la probabilidad de que ocurran los tres eventos es:
P(A y B y C) = P(A)P(B)P(C)
EJEMPLO
Se lanzan dos monedas al aire ¿cuál es la probabilidad de que las dos caigan cruz?
Solución. La probabilidad de que una de las dos monedas caiga cruz (CR), escrita P(A), es de un
medio, o bien 0.5. La probabilidad de que la otra moneda caiga igual, denotada por P(B), es
también de un medio o 0.5. Usando la fórmula de la multiplicación, la probabilidad de que ocurran
ambas cosas es de un cuarto, o 0.25, lo cual se obtiene de la siguiente forma:
R

24
P(A y B) = P(A)P(B)
= (
1
2
) (
1
2
)
= (
1
4
) , 𝑜 𝑏𝑖𝑒𝑛 0.25
AUTOEXAMEN
Debido a su larga experiencia, en la compañía “X” se sabe que la probabilidad de
que su neumático XB-70 dure 60 mil millas antes de perder el dibujo o fallar es
0.80. Se hace un ajuste para el caso de cualquier llanta que no resista dicho
recorrido. Usted compra 4 XB-70. ¿Cuál es la probabilidad de que los cuatro
neumáticos duren al menos 60 mil millas?
Respuesta 0.4096
Si dos eventos no son independientes, se dice que son dependientes. Para ilustrar la dependencia,
suponga que hay 10 rollos de película fotográfica en una caja y que se sabe que 3 3están
defectuosos. Se selecciona uno. Es obvio que la probabilidad de escoger un rollo es de 3/10, y que
la probabilidad de seleccionar uno satisfactorio es 7/10. Después se elige un segundo rollo de la
caja sin devolver el primero a esta. La probabilidad de que éste defectuoso depende de que el
primer rollo seleccionado fuera no aceptable o bueno. La probabilidad de que también el segundo
rollo esté defectuoso es:
2/9, si el primer rollo seleccionado fuera defectuoso. (Quedarían sólo dos rollos defectuosos
más en la caja, que contenía 9 piezas).
3/9, si el primer rollo seleccionado fuera bueno. (Los tres con defectos siguen estando en la
caja que contenía lo 9 originales).
A la fracción 2/9 (o 3/9), se le denomina justamente probabilidad condicional, porque su valor
tiene tal característica (dependiente de estas) respecto de la primera selección de la caja: que se
haya sacado un rollo fotográfico defectuoso o uno normal.
Si se desea determinar la probabilidad de seleccionar dos rollos defectuosos, uno después del otro,
se aplica la llamada regla general de la multiplicación.
Regla general de Multiplicación. La regla general de la multiplicación se utiliza para determinar la
probabilidad conjunta de que ocurran dos eventos, como seleccionar dos rollos defectuosos de la
caja con 10, uno después del otro. En general, la regla indica que para dos eventos A y B, la

25
probabilidad conjunta de que ambos sucedan se evalúa al multiplicar la probabilidad de que el
evento A ocurra, por la probabilidad condicional de que suceda el evento B. De manera simbólica,
la probabilidad conjunta P(A y B), se obtiene por medio de:
P(A Y B) = P(A) P(B|A)
Donde P(B|A) expresa la posibilidad de que ocurra B dado que ya ocurrió A.
EJEMPLO
Considerar otra vez el ejemplo anterior de los 10 rollo de película en una caja, tres de los cuales
están defectuosos. Se van a seleccionar dos, uno después del otro. ¿Cuál es la probabilidad de
escoger un rollo con defectos seguido por otro también en tal condición?
Solución. El primer rollo seleccionado de la caja, que se encontró ser defectuoso es el evento A. De
modo que P(A)= 3/10 porque 3 de los 10 rollos son no aceptables. El segundo rollo seleccionado,
resultante con defectos es el evento B. Por lo tanto, P(B|A) = 2/9, porque después de descubrir que
la primera selección era un rollo con defectos, sólo quedaron 2 rollos “no buenos” en la caja que
contenían 9 rollos. Se determina la probabilidad de dos rollos defectuosos, aplicando la formula
anterior:
P(A Y B) = P(A) P(B|A)
= (
3
10
) (
2
9
) = (
6
90
) , 𝑜 𝑎𝑐𝑒𝑟𝑐𝑎 .07
Por cierto, que se considera que este experimento se realizó sin reposición ( o reemplazo); es decir,
el rollo defectuoso de película no se devolvió a la caja antes de seleccionar el siguiente rollo.
También debe observarse que la regla general de multiplicación puede ampliarse a más de 2
eventos. Para tres eventos: A, B y C, la fórmula sería:
P(A y B y C) = P(A) P(B|A) P(C|A y B)
Como ejemplo, la probabilidad de que los 3 primeros rollos seleccionados de la caja sean todos
defectuosos, es 0.00833, que resulta de calcular:
= (
3
10
) (
2
9
) (
1
8
) = (
6
720
) = 0.00833
AUTOEXAMEN
La junta de directores de Tarbell Industrias está formada por ocho hombres y 4
mujeres. Se seleccionará un comité de 4 personas, en forma aleatoria, para
recomendar a un nuevo presidente de la compañía.

26
a) ¿Cuál es la probabilidad de que sean mujeres las 4 personas del comité de investigación?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que las 4 personas sean hombres?
c) ¿La suma de las probabilidades para 1 y 2 es igual a 1? Explique su respuesta.
Respuestas: 0.002/0.1414/No, porque existen otras probabilidades como la de 3M y1H.
3.2 DIAGRAMAS DE ÁRBOL
n diagrama de árbol es una representación gráfica útil para organizar cálculos que abarca
varias etapas. Cada segmento en el árbol es una etapa del problema. Las probabilidades
escritas cerca de las ramas son las probabilidades condicionales del experimento. Para
mostrar la elaboración de un diagrama de árbol nos basaremos del siguiente problema.
Una encuesta de ejecutivos se enfocó sobre su lealtad a la empresa. Una de las preguntas
planteadas fue: “¿si otra compañía le hiciera una oferta igual o ligeramente mejor que la de su
puesto actual, permanecería con la empresa o tomaría el otro empleo? Las respuestas de los 200
ejecutivos de la encuesta se clasificaron en forma cruzada con su tiempo de servicio en la compañía.
Tiempo de Servicio
Lealtad
Menos de 1
año
1 a 5 años 6 a 10 años
Más de 10
años
Total
Se quedaría 10 30 5 75 120
No se
quedaría
25 15 10 30 80
200
1. La elaboración de una arbodiagrama se empieza trazando un pequeño punto a la
izquierda, que representa el punto central de un tronco de árbol (véase el diagrama 1).
2. Para este problema salen dos ramas principales del tronco, la superior representa “se
quedarían” y la inferior “no se quedarían”. Sus probabilidades se indican en las ramas,
específicamente 120/200 y 80/200. Se simboliza por P(A) y P(~A).
3. Cuatro ramas secundarias “se desprenden” de cada rama principal, y corresponden a los
tiempos de servicio: menos de 1 año, 1 a 5 años, 6 a 10 años y más de 10 años. Las
probabilidades condicionales para la rama superior del árbol, a saber, 10/120, 30/120,
5/120 etc., éstan en las ramas adecuadas. Se trata de las probabilidades P(B1|A), P(B2|A),
P(B3|A) y P(B4|A), donde B1 se refiere a menos de 1 año de servicio, B2 corresponde a 1 a
5 años; B3 es para 6 a 10 años, y B4 a más de 10 años. A continuación escriba las
probabilidades condicionales para la rama inferior.
4. Por último, las probabilidades conjuntas de que A y B ocurran al mismo tiempo, se muestra
al lado derecho. Por ejemplo, la probabilidad conjunta de seleccionar al azar un ejecutivo
que permanecería en la empresa y que tiene menos de un año de servicio es, utilizando la
fórmula:
P(A Y B1) = P(A) P(B1|A)
U

27
= (
120
200
) (
10
9120
) = 0.05
Debido a que las probabilidades conjuntas representan todas las posibles selecciones: se
quedarían, 6 a 10 años de servicio; no se quedarían; más de 10 años de servicio; etc. La suma
debe ser igual a 1.00
Diagrama 1.
AUTOEXAMEN
Refiérase al contenido del Diagrama anterior. Explique qué ruta seguiría para
encontrar la probabilidad conjunta de seleccionar un ejecutivo al azar, que tenga

28
de 6 a 10 años de servicio y que no permanecería con la empresa al recibir una
oferta igual o ligeramente mejor de parte de otra compañía.
Respuesta: “No se quedaría” = 80/200; 6-10 años= 10/80; Probabilidad
conjunta: 0.05
3.3 TEOREMA DE BAYES
El Teorema de Bayes parte de una situación en la que es posible conocer las probabilidades de que
ocurran una serie de sucesos A, a la cual se le añade un suceso B cuya ocurrencia proporciona cierta
información, porque las probabilidades de ocurrencia de B son distintas según el suceso A que haya
ocurrido.
𝑃(𝐴1|𝐵) =
𝑃(𝐴1)𝑃(𝐵|𝐴1)
𝑃(𝐴1)𝑃(𝐵|𝐴1) + 𝑃(𝐴2)𝑃(𝐵|𝐴2)
Suponga que 5% de la población de Umen, un país ficticio del Tercer Mundo padece una
enfermedad que es originaria de ese lugar. Sea A1, el evento “tiene enfermedad”, y A2 el evento
“no tiene enfermedad”. Por lo tanto sabemos que si seleccionamos una persona de Umer al azar, la
probabilidad de que la elegida tenga el padecimiento es 0.05, o bien P(A1) = 0.05. Esta
probabilidad, P(A1) = P(tiene la enfermedad) = 0.05, se denomina probabilidad a priori. Se le da
el nombre porque la probabilidad de asigna antes de haber obtenido datos empíricos.
La probabilidad a priori de que una persona no padezca el trastorno es, por lo tanto, igual a 0.95,
o bien P(A2) = 0.95, que se obtiene por 1 – 0.05.
Existe una técnica de diagnóstico para detectar la enfermedad, pero no es muy exacta. Sea B el
evento “la prueba indica que la enfermedad está presente”. Considere que la evidencia histórica
muestra que si una persona realmente padece la enfermedad, la probabilidad de que la prueba
indique la presencia de la misma vale 0.90. Utilizando las definiciones de probabilidad condicional
desarrolladas anteriormente, tal afirmación se expresa como:
P(B|A1) = 0.90
Considere que la probabilidad de una persona en realidad no tenga el padecimiento, pero que la
prueba indique que el mismo está presente, es 0.15.
P(B|A2) = 0.15
Seleccionemos de forma aleatoria a un habitante de Umen, al que se le aplica la prueba. Los
resultados indican que el padecimiento está presente. ¿Cuál es la probabilidad de que la persona
realmente tenga la enfermedad? En forma simbólica, se desea determinar P(A1|B), que se
interpreta como: P (tiene la enfermedad) | (los resultados de la prueba son positivos). La
probabilidad de P(A1|B), se denomina una probabilidad a posteriori.
Con la ayuda del teorema de Bayes, es posible determinar la probabilidad a posteriori o revisada.

29
𝑃(𝐴1|𝐵) =
𝑃(𝐴1)𝑃(𝐵|𝐴1) + 𝑃(𝐴2)𝑃(𝐵|𝐴2)
𝑃(𝐴1|𝐵) =
(0.05)(0.90)
(0.05)(0.90) + (0.95)(0.15)
=0.24
Por lo tanto, la probabilidad de que una persona tenga la enfermedad, dado que la prueba
resultó positiva es 0.24. ¿Cómo se interpreta este resultado? Si una persona se selecciona al azar de
la población, la probabilidad de que padezca al trastorno es 0.05. Si se aplica la prueba a la
persona y resulta positiva, la posibilidad de que en realidad tenga el padecimiento aumenta
aproximadamente cinco veces, es de 0.05 a 0.24.
El problema anterior incluyó solamente dos eventos, A1 y A2, como probabilidades a priori. Si hay
más de dos probabilidades de este tipo, el denominador del teorema de Bayes requiere términos
adicionales. Si la distribución probabilística a priori consiste en n eventos mutuamente excluyentes, el
teorema de Bayes queda como sigue:
𝑃(𝐴1|𝐵) =
𝑃(𝐴1)𝑃(𝐵|𝐴1) + 𝑃(𝐴2)𝑃(𝐵|𝐴2) + 𝑃(𝐴𝑛)𝑃(𝐵|𝐴𝑛)
Donde A1 se refiere a cualesquiera de los n posibles resultados.
AUTOEXAMEN
P(A1) = 0.60, P(A2) = 0.40, P(B1|A1) = 0.05 y P(B1|A2) = 0.10. Emplee el teorema
de Bayes para determinar P(A1|B1).
Respuesta:0.4286

30
4.VARIABLES ALEATORIAS
DISCRETAS
na variable aleatoria es la función numérica que asocia un número real a cada elemento del
espacio muestral.
Una variable aleatoria, X, decimos que es de tipo discreto cuando puede tomar los valor x₁,…xK,
con probabilidades P (X₁),…, P(XK). Estas probabilidades reciben el nombre de función de
probabilidad.
EJEMPLO
Un contador presenta el examen para certificarse como contador público. El examen tiene cuatro
partes. Defina una variable aleatoria x como x=número de partes del examen aprobadas. Esta es
una variable aleatoria discreta por que puede tomar el número finito de valores 0, 1, 2, 3, o 4.
Una variable aleatoria, X decimos que es de tipo continuo cuando puede tomar cualquier valor en
un intervalo de la recta real con una función de densidad f(x) que representa la idealización en la
población del perfil obtenido a partir de los datos en el diagrama de un histograma.
EJEMPLO
El experimento observa las llamadas telefónicas que llegan a la oficina de atención de una
importante empresa de seguros. La variable aleatoria que interesa es x= tiempo en minutos entre
dos llamadas consecutivas.
4.1 VARIABLES ALEATORIAS BERNOULLI Y BINOMIAL
Una prueba de Bernoulli es un experimento aleatorio cuyos posibles resultados son agrupados en
dos conjuntos excluyentes que llamaremos éxito E y fracaso (F), con P(E) =p y P(F) = 1-p
U

31
En el lanzamiento de una moneda podemos tomar E = {Cara} y F = {Cruz}.
Realizamos una prueba de Bernoulli con P(E) = p. El modelo de Bernoulli de parámetro p, que
representaremos abreviadamente por Bern(p), es el modelo de probabilidad de la variable
aleatoria que obtenemos al codificar el éxito con uno y el fracaso con cero:
X = 1 (si obtenemos éxito) con probabilidad p
0 (si obtenemos fracaso) con probabilidad 1 − p
Sus probabilidades son:
P(X = 0) = 1 – p ; P(X = 1) = p
De manera más compacta y más útil para algunos cálculos, podemos escribir:
P(X = x) = p x (1 − p) 1-x para x = 0, 1.
El modelo de Bernoulli es el que utilizaremos cada vez que queremos estudiar la proporción de
veces, p, que ocurre un determinado suceso (éxito).
Binomial: Está relacionado con un experimento de pasos llamado binomial.
Un experimento binomial tiene las cuatro propiedades siguientes:
1. Consiste en una serie de n ensayos idénticos
2. En cada ensayo hay dos resultados posibles. Llamados éxito y fracaso
3. La probabilidad de éxito, se denota p, la de fracaso 1-p.
4. Los ensayos son independientes.
EJEMPLO
Considere el experimento que consiste en lanzar una moneda 5 veces y observar si la cara de la
moneda que cae hacia arriba es cara o cruz. Suponga que se desea contar con el número de caras
que aparecen en los cinco lanzamientos. ¿Presenta este experimento las propiedades de un
experimento binomial? ¿Cuál es la variable aleatoria que interesa? Observe que:
1. El experimento consiste en cinco ensayos idénticos; cada ensayo consiste en lanzar una
moneda.
2. En cada ensayo hay dos resultados posibles: cara o cruz. Se puede considerar cara como
éxito y cruz como fracaso.
3. La probabilidad de éxito y la probabilidad de fracaso son iguales en todos los ensayos,
siendo p = 0.5 y 1 - p = 0.5.
4. Los ensayos o lanzamientos son independientes porque al resultado de un ensayo no afecta
a lo que pase en los otros ensayos o lanzamientos.
Función de Probabilidad Binomial

32
La esperanza y la varianza de una variable aleatoria con distribución binomial se obtienen
fácilmente utilizando las propiedades de las esperanzas y las varianzas. Para esto, definimos:
Xi= 1 si obtenemos éxito en la prueba i-ésima
0 si obtenemos fracaso en la prueba i-ésima (i = 1, . . . , n)
4.2 VARIABLES ALEATORIAS DE POISSON
La distribución de probabilidad de Poisson suele emplear para modelar las llegadas aleatorias a
una línea de espera.
Las propiedades de un experimento de Poisson son:
1. La probabilidad de ocurrencia es la misma para cualesquiera dos intervalos de la
misma magnitud.
2. La ocurrencia o no ocurrencia en cualquier intervalo es independiente de la ocurrencia o
no ocurrencia en cualquier otro intervalo.
La función de probabilidad de Poisson se define mediante la ecuación:
f(x)=probabilidad de x ocurrencias en un intervalo
µ=valor esperado o número medio de ocurrencias en un intervalo
e= 2.71828
EJEMPLO
Suponga que desea saber el número de llegadas, en un lapso de 15 minutos, a la rampa del cajero
automático de un banco. Si se puede suponer que la probabilidad de llegada de los automóviles es
la misma en cualesquiera dos lapsos de la misma duración y si la llegada o no–llegada de un
automóvil en cualquier lapso es independiente de la llegada o no–llegada de un automóvil en
cualquier otro lapso, se puede aplicar la función de probabilidad de Poisson. Dichas condiciones se
satisfacen y en un análisis de datos pasados encuentra que el número promedio de automóviles que
llegan en un lapso de 15 minutos es 10; en este caso use la función de probabilidad siguiente.
F(x)

33
Aquí la variable aleatoria es x= número de automóviles que llegan en un lapso de 15 minutos. Si la
administración desea saber la probabilidad de que lleguen exactamente cinco automóviles en 15
minutos, x =5, y se obtiene
4.3VARIABLES ALEATORIAS HIPERGEOMÉTRICA
Está estrechamente relacionada con la distribución binomial. Pero difieren en dos puntos: en la
distribución hipergeométrica los ensayos no son independientes y la probabilidad de éxito varia de
ensayo a ensayo.
La función de probabilidad hipergeométrica se usa para calcular la probabilidad de que en una
muestra aleatoria de n elementos, seleccionados sin reemplazo, se tengan x éxitos y n-x fracasos.
Para que se presente este resultado, debe tener x éxitos de los r éxitos que hay en la población y
n- x fracasos de los N-r fracasos. La siguiente función de probabilidad hipergeométrica proporciona
f(x), la probabilidad de tener x éxitos en una muestra de tamaño n.
f(x)=probabilidad de x éxitos en n ensayos
n=número de ensayos
N=Número de elementos en la población
r= número de elementos en la población considerados como éxitos
EJEMPLO
Una empresa fabrica fusibles que empaca en cajas de 12 unidades cada una. Asuma que un
inspector selecciona al azar tres de los 12 fusibles de una caja para inspeccionarlos. Si la caja
contiene exactamente cinco fusibles defectuosos, ¿cuál es la probabilidad de que el inspector
encuentre que uno de los tres fusibles está defectuoso? En esta aplicación n=3 y N=12. Si r =5
fusibles defectuosos en la caja, la probabilidad de hallar
x=1 defectuoso es

34
Ahora suponga que desea conocer la probabilidad de hallar por lo menos un fusible defectuoso. La
manera más sencilla de contestar es calcular primero la probabilidad de que el inspector no
encuentre ningún fusible defectuoso. La probabilidad de x=0 es
Si la probabilidad de cero fusibles defectuosos es f(0)= 0.1591, se concluye que la probabilidad
de hallar por lo menos un fusible defectuoso debe ser 1 =0.1591 =0.8409. Así, existe una
probabilidad razonablemente alta de que el inspector encuentre por lo menos un fusible defectuoso.
La media y la varianza de una distribución hipergeométrica son las siguientes.
En el ejemplo anterior n= 3, r =5 y N =12. Por tanto, la media y la varianza del número de fusibles
defectuosos es:
AUTOEXAMEN
La tabla siguiente muestra la distribución de probabilidad de una variable aleatoria y.
a. Calcule E(y).
b. Calcule Var(y) y σ
Y f(y)
2 0.20
4 0.30
7 0.40
8 0.10

35
5. VARIABLES ALEATORIAS
CONTINUAS
na variable aleatoria X es continua si su función de distribución es una función continua.
En la práctica, se corresponden con variables asociadas con experimentos en los cuales la
variable medida puede tomar cualquier valor en un intervalo: mediciones biométricas, intervalos de
tiempo, áreas, etc.
EJEMPLO
Resultado de un generador de números aleatorios entre 0 y 1. Es el ejemplo más sencillo que
podemos considerar, es un caso particular de una familia de variables aleatorias que tienen una
distribución uniforme en un intervalo [a, b]. Se corresponde con la elección al azar de cualquier
valor entre a y b.
Estatura de una persona elegida al azar en una población. El valor que se obtenga será una
medición en cualquier unidad de longitud (m, cm, etc.) dentro de unos límites condicionados por la
naturaleza de la variable. El resultado es impredecible con antelación, pero existen intervalos de
valores más probables que otros debido a la distribución de alturas en la población. Más adelante
veremos que, generalmente, variables biométricas como la altura se adaptan un modelo de
distribución denominado distribución Normal y representado por una campana de Gauss.
Dentro de las variables aleatorias continuas tenemos las variables aleatorias absolutamente
continuas.
Diremos que una variable aleatoria X continua tiene una distribución absolutamente continua si
existe una función real f, positiva e integrable en el conjunto de números reales, tal que la función
de distribución F de X se puede expresar como
Una variable aleatoria con distribución absolutamente continua, por extensión, se clasifica como
variable aleatoria absolutamente continua.
U

36
5.2 FUNCIÓN DE DENSIDAD DE PROBABILIDAD
Antes de continuar debemos notar que f (x) no representa alguna probabilidad. Las Probabilidades
en un intervalo (a, b) están representadas por el área bajo la curva de la función f (x) , en dicho
intervalo.
Ver la figura 5.1.
5.1.2 FUNCIÓN ACUMULADA DE UNA VARIABLE ALEATORIA CONTINUA
A la función sumable f (x) en todos los reales; que cumple, con las condiciones
siguientes le llamaremos “Función de Densidad de Probabilidad”, abreviado
por fdp, de la variable aleatoria continua X.
a).- f (x) ≥ 0 , para toda x∈R .
Sea X una variable aleatoria continua con función de densidad f (x) ,
llamaremos función de distribución acumulada (fda) de la variable aleatoria
continua X, a la función F(x) definida en todos los reales, tal que:

37
5.1.2 PROPIEDADES DE UNA FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN ACUMULADA
a) F(x), es una función no decreciente; es decir, para todos los reales x e y,
si x < y , entonces F(x) ≤ F( y).
b) lím F(x) = 0 Se deduce fácilmente de la definición de una función de distribución acumulada.
→−∞
c) lím F(x ) =1 Se deduce inmediatamente del inciso b) de la definición de una función de densidad
de probabilidad.
→+∞
d) La función de distribución acumulada de una variable aleatoria continua es continua.
e) La función de densidad de una variable aleatoria continua X se obtiene de la acumulada
f) Con la función de distribución acumulada se pueden calcular probabilidades
EJEMPLO
1) La función de distribución de la variable aleatoria que representa la duración en minutos de
una llamada telefónica es:
Hallar su función de densidad, así como la probabilidad de que una llamada dure entre 3 y
6 minutos.
f(x) =
La probabilidad de que una llamada dure entre 3 y 6 minutos es:

38
donde ξ denota la variable aleatoria que mide la duración de una llamada en minutos.
2) Sea
Otra forma de expresar la densidad es , donde la función I se
define como
a) Calcular el valor de la constante
b) Calcular P(X ≥ 2).
5.2 FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN ACUMULADA, VALOR ESPERADO Y
VARIANZA
EJEMPLO
Una confitura puede ser calificada de «almíbar» si contiene entre 420 y 520 gramos de azúcar por
kilo de confitura. Un fabricante comprueba 200 botes de confitura de 1 kilogramos encontrando
que el peso medio de azúcar es de 465 gramos, con una desviación típica de 30 gramos. Sabiendo
que el contenido de azúcar se distribuye normalmente (porque proviene de frutas con un contenido
variable de azúcar), calcular el porcentaje de la producción del fabricante que no debe ser
etiquetado como almíbar, considerando la muestra como representativa de la producción total.
RESOLUCIÓN. Sea la variable aleatoria

39
ξ = ‘contenido de azúcar (gr) en botes de confitura de 1 kg’.
Sabemos que el contenido de azúcar en dichos botes se distribuye normalmente con un peso medio
por bote de 465 gr (esto es, µ = 465 gr) y una desviación típica de 30 gr (esto es, σ = 30 gr).
Simbólicamente:
ξ ∼ N(465,30).
Considerando la muestra de 200 botes como representativa de la producción total, el porcentaje de
producción que puede ser calificado de almíbar es el P(420 < ξ < 520)· 100%. Al tipificar la
variable ξ resulta que ξ = 30Z +465, donde Z es la normal estándar. Se tiene entonces:
P(420 < ξ < 520) = P (420−465)/30 < Z < (520−465)/30 = P(−1.5 < Z < 1.83)
= P(Z < 1.83)−P(Z < −1.5) = P(Z < 1.83)−P(Z > 1.5)
= P(Z < 1.83)−[1−P(Z ≤ 1.5)] = 0.9664−(1−0.9332) = 0.8996.
Encontramos así que el 89.96% de la producción total puede ser calificada de almíbar. El resto, un
10.04%, no debe ser calificado como tal.
5.3 DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL
pesar de que la distribución Normal puede utilizarse para resolver muchos problemas en
ingeniería y ciencias, existen aún numerosas situaciones que requieren diferentes tipos de
funciones de densidad, tales como la exponencial y la gamma. Resulta que la exponencial es un
caso especial de la distribución gamma, ambas tienen un gran número de aplicaciones. Las
distribuciones exponencial y gamma juegan un papel importante tanto en teoría de colas como en
problemas de confiabilidad. En general, este modelo suele utilizarse para variables que
describen el tiempo hasta que se produce un determinado suceso.
EJEMPLO
Si una variable aleatoria tiene la densidad de probabilidad
𝑓(𝑥) = {
2𝑒−2𝑥
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 > 0
0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 ≤ 0
Encuentre las probabilidades de que tome un valor
a) Entre 1 y 3
b) Mayor que 0.5
Solución. Evaluando las integrales necesarias, obtenemos
A

40
∫ 2𝑒−2𝑥
𝑑𝑥 = 𝑒−2
− 𝑒−6
= 0.133
3
1
Para la parte a) y
∫ 2𝑒−2𝑥
𝑑𝑥 = 𝑒−1
= 0.368
𝑥
0.5
Para la parte b.
5.4 DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD NORMAL
Es la más usada para describir variables aleatorias continuas, en donde la variable aleatoria puede
ser el peso o la estatura de las personas, puntuación de exámenes, resultados de mediciones
científicas, precipitación pluvial u otras cantidades similares.
Describe que tan probable son los resultados obtenidos de un muestreo
A continuación se presenta la función de densidad de probabilidad que define la curva en forma de
campana de la distribución normal.
Las observaciones más importantes que considerar son:
1. Toda la familia de distribuciones normales se diferencia por medio de dos parámetros: la
media µ y la desviación estándar σ .
2. El punto más alto de una curva normal se encuentra sobre la media, la cual coincide con la
mediana y la moda
3. La media de una distribución normal puede tener cualquier valor: negativo, positivo o cero.
4. La distribución normal es simétrica, siendo la forma de la curva normal al lado izquierdo de
la media, la imagen especular de la forma al lado derecho de la media. Las colas de la

41
curva normal se extienden al infinito en ambas direcciones y en teoría jamás tocan el eje
horizontal. Dado que es simétrica, la distribución normal no es sesgada; su sesgo es cero.
5. La desviación estándar determina que tan plana y ancha es la curva normal.
6. Las probabilidades correspondientes a la variable aleatoria normal se dan mediante áreas
bajo la curva normal. Todo bajo la curva es 1, el área bajo la curva y a la izquierda de la
media es 0.50 y el área bajo la curva y a la derecha de la media es 0.50
7. Los porcentajes más usados son:
a. 68.3% de los valores de una variable aleatoria normal se encuentran más o menos
una desviación estándar de la media
b. 95.4% de los valores de una variable aleatoria normal se encuentran más o menos
dos desviaciones estándar de la media
c. 99.7% de los valores de una variable aleatoria normal se encuentran más o menos
tres desviaciones estándar de la media.
Distribución de probabilidad normal estándar
Se denota una distribución normal estándar cuando tiene una media cero y una desviación estándar
de uno.
Función de Densidad Normal Estándar
EJEMPLO

42
De acuerdo con las pruebas realizadas al neumático, los ingenieros de Grear estiman que la
duración media en millas es μ =36 500 millas y que la desviación estándar es σ =5000. Además,
los datos recogidos indican que es razonable suponer una distribución normal. ¿Qué porcentaje de
los neumáticos se espera que duren más de 40 000 millas? En otras palabras, ¿cuál es la
probabilidad de que la duración de los neumáticos sea superior a 40 000? Esta pregunta se
responde hallando el área de la región sombreada que se observa en la gráfica.
Para x=40 000, se tiene
El valor x=40 000 en la distribución normal de Grear Tire corresponde a z=0.70 en la distribución
normal estándar. Mediante la tabla de probabilidad normal estándar se encuentra que el área
bajo la curva normal estándar a la izquierda de z=0.70 es 0.7580. De manera que 1.000- 0.7580
=0.2420 es la probabilidad de que z sea mayor a 0.70 y por tanto de que x sea mayor a 40 000.
Entonces 24.2% de los neumáticos durará más de 40 000 millas.
El área bajo la curva a la izquierda de la cantidad desconocida de millas para la garantía debe
ser 0.10. De manera que primero se debe encontrar el valor de z que deja un área de 0.10 en el
extremo de la cola izquierda de la distribución normal estándar. Según la tabla de probabilidad
normal estándar z .28 deja un área de 0.10 en el extremo de la cola izquierda. Por tanto, z= 1.28
es el valor de la variable aleatoria normal estándar que corresponde a las millas de duración
deseadas para la garantía en la distribución normal de Grear Tire. Para hallar el valor de x que
corresponde a z=1.28, se tiene:

43
Por tanto, una garantía de 30 100 millas cumplirá con el requerimiento de que aproximadamente
10% de los neumáticos sean aptos para la garantía. Con esta información, quizá la empresa
establezca una garantía de 30 000 millas.
AUTOEXAMEN
A continuación se da una serie de experimentos y su variable aleatoria correspondiente.
En cada caso determine qué valores toma la variable aleatoria y diga si se trata de
una variable aleatoria discreta o continua.
Experimento Variable aleatoria (x)
a. Hacer un examen con 20 preguntas Numero de preguntas contestadas correctamente
b. Observar los automóviles que llegan a
una caseta de peaje en 1 hora
Numero de automóviles que llegan a la caseta de
peaje
c. Revisar 50 declaraciones de impuestos Número de declaraciones que tienen algún error
d. Observar trabajar a un empleado Número de horas no productivas en una jornada
de 8 horas
e. Pesar un envió Numero de libras

44
Errores comunes de Probabilidad y Estadística
1. No conocer la diferencia entre Población, Muestra y Variación.
2. No llevar a cabo una planeación de la Hipótesis Nula y/o Alternativa, por lo que puede
sufrir problemas de comprensión.
3. Error de Tipo I: Dar por correcto un hecho erróneo.
4. Error de Tipo II: Dar por erróneo un hecho correcto.
5. Planteamiento de la Hipótesis.
6. No tomar en cuenta el entorno en el que se está aplicando algún experimento o
investigación.
7. Influencias de las personas en los resultados.
8. Veracidad de las respuestas de una determinada muestra.
9. Información recolectada errónea.
10. Error en las transcripciones o interpretaciones de los resultados.
11. Mediciones incorrectas.
12. Una única metodología puede ser suficiente para todas sus aplicaciones.
13. Una metodología puede ser mejor que otra.
14. Los estudios pueden terminar con resultados con un número pequeño de observaciones
hechas.
15. Se descarta la hipótesis nula.

45
Glosario de términos
Desviación estándar. La raíz cuadrada positiva de la varianza.
Distribución probabilística. Enumeración de todos los resultados de un experimento junto con la
probabilidad asociada a cada uno.
Error tipo I. Rechazar la hipótesis nula, H0 cuando en realidad es verdadera.
Error tipo II. Aceptar la hipótesis nula cuando en realidad es falso.
Evento.Conjunto de uno o más resultados de un experimento.
Experimento. Proceso que conduce a la ocurrencia de una (y solamente una) de varias
observaciones posibles.
Hipótesis alternativa. Afirmación que se aceptará si los datos muestrales proporcionan amplia
evidencia de que la hipótesis nula es falsa.
Hipótesis nula. Afirmación (o enunciado) acerca del valor de un parámetro población.
Hipótesis. Enunciado acerca de una población elaborado con el propósito de poner a prueba.
Independiente. Se expresa esto cuando la ocurrencia de un evento no tiene efecto en la
probabilidad de ocurrencia de cualquier otro.
Mediana. Es el punto medio de los valores después de ordenarlos de menor a mayor, o de
mayor a menor. Se tiene que 50% de las observaciones se encuentran por arriba de la mediana y
50% por abajo de ella.
Moda. El valor de la observación que aparece con más frecuencia.
Muestra. Una porción o parte de una población de interés.
Mutuamente excluyentes. Se expresa esto porque la ocurrencia de cualquier evento implica
que ningún otro puede incurrir al mismo tiempo.
Nivel de Significancia. Probabilidad de rechazar la hipótesis nula cuando es verdadera.
Población. Conjunto de todos los posibles individuos, objetos o medidas de interés.
Probabilidad a posteriori. Es una probabilidad revisada con base en información adicional.
Probabilidad a Priori. Es la probabilidad inicial con base en el nivel actual de información.
Variable Aleatoria Discreta. Variable que sólo puede tener ciertos valores claramente
separados, que resultan de contar algún elemento de interés.
Variable Aleatoria. Cantidad que es el resultado de un experimento aleatorio, el cual, debido
al azar, puede tomar valores diferentes.
Varianza. La medida aritmética de las desviaciones con respecto a la media.

46
Material didáctico
 Conceptos Básicos de Probabilidad
https://www.youtube.com/watch?v=7b7k4ptrHgw
 Video Modelos Determinísticos y Probabilísticos
https://www.youtube.com/watch?v=6B20gGG5BAM&t=180s
 Axiomatización de la Probabilidad
https://www.youtube.com/watch?v=PwQIbTv-jKA
 Video Técnicas de Conteo
https://www.youtube.com/watch?v=_3aOsueffUw
https://www.youtube.com/watch?v=3ZVq2KvClZ8
https://www.youtube.com/watch?v=DhOeAPRXGxM&t=456s
 Video Probabilidad Condicional
https://www.youtube.com/watch?v=ovDmEn3ARFY
 Teorema de Bayes
https://www.youtube.com/watch?v=pI29EcNFtGs
 Vídeo Variables Aleatorias Discretas
https://www.youtube.com/watch?v=Bksp0Y47fEw
 Video Variables Aleatorias Continuas
https://www.youtube.com/watch?v=SWCl9DDJ3sc
https://www.youtube.com/watch?v=e0qTHDKckg0
 Video Función de Densidad de Probabilidad
https://www.youtube.com/watch?v=PkIvduRtbUs
 Video Distribución Normal
https://www.youtube.com/watch?v=W1Z3zPlvndw
 Video Distribución Exponencial
https://www.youtube.com/watch?v=sKeTf2AK6Ps

47
Ejercicios Extras
Libro Estadística para Administración y Economía. Onceava Edición (Véase su referencia en el
siguiente apartado):
 Enfoques de la Probabilidad
PÁGINA 152
 Reglas de la Probabilidad
PÁGINA 159
 Diagramas de Árbol
PÁGINA 166
 Teorema de Bayes
PÁGINA 171
 Técnicas de Conteo
PÁGINA 176
 Distribuciones Probabilísticas Discretas
PÁGINA 196, 205, 208, 211, 215 y 216.
 Distribución Probabilística Normal
PÁGINA 232 A 241
 Pruebas de Hipótesis
PÁGINA 344
 Regresión Lineal y Correlación
PÁGINA 462
 Métodos No Paramétricos: Aplicación de JI Cuadrada
PÁGINA 359
 Introducción a la Toma de Decisiones
PÁGINA 696

48
Referencias
Anderson, Sweeney, y Williams. (2008). Estadística para administración y Economía. México: Cengage
Learning.
Anónimo. (2017). Probabilidad y Estadística. Fundamentos de la Teoría de Probabilidad. Recuperado de
http://probabilidadestadisticaivangamboa.blogspot.com/2017/03/4-probabilidad-con-tecnicas-de-
conteo.html
Anónimo. Probabilidad con Técnicas de Conteo. Recuperado de
http://gc.initelabs.com/recursos/files/r157r/w13178w/Estad%20y%20Prob_5a_03.pdf
González, Hernández, Jiménez, Marrero, y Sanabria. (2013). Variables Aleatorias: problemas resueltos.
Recuperado de
https://campusvirtual.ull.es/ocw/pluginfile.php/6033/mod_resource/content/1/tema8/PR8.2-valeatorias.pdf
Gutiérrez, E. y Vladimirovna, O. (2014). Probabilidad y Estadística. Aplicaciones a la ingeniería y las ciencias.
Primera Edición. México: Patria.
Julián de la Horra. (2017). Modelos de probabilidad y muestreo aleatorio. Recuperado de
https://www.uam.es/personal_pdi/ciencias/jgonzalo/est/3-prob-muestreo.pdf
Mason, Lind, y Marchal. (2004). Estadística para Administración y Economía. Onceava Edición. Colombia:
Alfaomega.
Matematicas10.net (2018). "La Estadística". Recuperado de:
https://www.matematicas10.net/2015/12/la-estadistica.html
Miller, Freud, y Jhonson. (1992). Probabilidad y Estadística para Ingenieros. Cuarta Edición. México: Prentice
Hall.
Triola, M. (2004). Estadística. México: Pearson Educación.

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